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二次函数与一元二次方程的联系
R·九年级上册
学习目标
1.知道抛物线y=ax2+bx+c与x轴交点情况与一元二次方程ax2+bx+c=0(a,b,c为常数，a≠0)的根的情况之间的关系.
2.了解用图象法求一元二次方程的近似根.
复习回顾
思考：你如何看待等式2x-1=0 你能求出x的值吗
等式
2x-1=0
方程角度
一元一次方程2x-1=0的解
函数观点
一次函数y=2x-1，当y=0时对应的自变量x的值
数
2x=1
一次函数y=2x与常数函数y=1，当函数值相等时，对应的自变量x的值
直线y=2x与直线y=1交点的横坐标
直线y=2x-1与x轴交点的横坐标
形
方程角度
一元一次方程ax+b=0(a≠0)的解
直线y=ax+b (a≠0)与x轴交点的横坐标
形
函数观点
一次函数y=ax+b (a≠0)，当y=0时对应的自变量x的值
数
那么，二次函数与一元二次方程是否也有类似的关系呢？
思考：下列二次函数的图象与x轴有公共点吗？如果有，公共点的横坐标是多少？当x取公共点的横坐标时，函数值是多少？ （1）y=x2+x-2；（2）y=x2-8x+16；（3）y=x2-x+1.
探索新知
由此 ， 你能说说相应的一元二次方程的根的情况吗？
先画出函数图象：
（1）y=x2+x-2； （2）y=x2-8x+16； （3）y=x2-x+1.
无公共点
公共点的函数值为 .
0
0=x2-x+1.
0=x2+x-2
0=x2-8x+16
x1=-2，x2=1.
二次函数图象与x轴的公共点的横坐标是多少？
x1=x2=4.
对应一元二次方程的根是多少？
有两个不等的实根
有两个相等的实根
方程无实数根
由上述问题，你可以得到什么结论呢？
方程角度
一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的解
抛物线y=ax2+b+c (a≠0)与x轴交点的横坐标
形
函数观点
二次函数y=ax2+bx+c (a≠0)，当y=0时对应的自变量x的值
数
一般地，从二次函数y=ax +bx+c的图象，可得如下结论：
(1)如果抛物线y=ax +bx+c与x轴有公共点，公共点的横坐标是x0，那么当x=x0时，函数值是0，因此x=x0是一元二次方程ax +bx+c=0的一个根.
(2)二次函数у=ax +bx+c的图象与x轴的公共点的情况有三种：没有公共点，有一个公共点，有两个公共点. 它们分别对应着一元二次方程ax +bx+c=0的根的三种情况：没有实数根，有两个相等的实数根，有两个不相等的实数根.
归纳：
二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴交点的坐标与一元二次方程ax2+bx+c=0根的关系
二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴交点 一元二次方程ax2+bx+c=0的根 b2-4ac
有两个交点
有两个不相等的实数根
b2-4ac>0
有一个交点
有两个相等的实数根
b2-4ac=0
没有交点
没有实数根
b2-4ac<0
例1 如图，以40m/s的速度将小球沿与地面成30°角的方向击出时，小球的飞行路线将是一条抛物线．小球的飞行高度h (单位：m)与飞行时间 t (单位：s)的关系近似为 h=20t-5t2 .小球的飞行高度能否达到20m？如果能，需要多长时间？
O
h
t
h=20t-5t2
解：当h=20时，
则 20=20t-5t2.
解方程，得t1=t2=2.
当小球飞行2s时，它的飞行高度为20m.
20
2
即 t2-4t+4=0.
你能结合图指出为什么只在一个时间小球的高度为20m吗？
（1）小球的飞行高度能否达到15m？如果能，需要长时间？
O
h
t
h=20t-5t2
解：令h=15，则
15=20t-5t2.
解得t1=1，t2=3.
当小球飞行1 s和3 s时，它的飞行高度为15 m.
你能结合图指出为什么在两个时间小球的高度为15m吗？
15
1
3
练习
关于例1，回答下列问题：
【教材P48 练习】
（2）小球的飞行高度能否达到20.5m？如果能，需要长时间？
O
h
t
h=20t-5t2
解：令h=20.5，则
20.5=20t-5t2.
即t2-4t+4.1=0.
∵Δ=(-4)2-4×4<0，∴此方程无实数根.
即小球的飞行高度不能达到20.5m.
你能结合图形指出为什么球不能达到20.5m的高度吗？
20.5
（3）小球从飞出到落地，需要多长时间？
O
h
t
h=20t-5t2
解：令h=0，则
0=20t-5t2.
解得t1=0，t2=4.
当球飞行0s和4s时，它的高度为0m.
所以小球从飞出到落地要4 s.
二次函数与一元二次方程的关系：
y=ax2+bx+c
一元二次方程
y取定值
且a≠0
已知二次函数中因变量的值，求自变量的值
求相应的一元二次方程的根
例：已知二次函数y=-x2+4x的值为3，求自变量x的值，可以解一元二次方程-x2+4x=3（即x2-4x+3=0）．
反过来，解方程x2-4x+3=0又可以看作已知二次函数y=x2-4x+3的值为0，求自变量x的值．
练一练
(1)证明：∵m≠0，
∴Δ=[-(m+2)]2-4m×2=m2+4m+4-8m=(m-2)2.
∵(m-2)2≥0，
∴Δ≥0，因此抛物线与x轴总有两个交点.
已知关于x的二次函数y=mx2-(m+2)x+2(m≠0)．
(1)求证：此抛物线与x轴总有交点；
(2)若此抛物线与x轴总有两个交点，且它们的横坐标都是整数，求正整数m的值．
练一练
已知关于x的二次函数y=mx2-(m+2)x+2(m≠0)．
(1)求证：此抛物线与x轴总有交点；
(2)若此抛物线与x轴总有两个交点，且它们的横坐标都是整数，求正整数m的值．
(2)解：令y=0，则(x-1)(mx-2)=0，即x-1=0或mx-2=0，
解得x1=1，x2= .
当m为正整数1或2时，x2的值为整数.
又∵当m为2时， Δ=0，抛物线与x轴只有一个交点，
∴正整数m的值为1.
随堂练习
1.已知二次函数y=x2-3x+m（m为常数）的图象与x轴的一个交点为(1, 0)，则关于x的一元二次方程x2-3x+m=0的两实数根是( ).
A.x1=1, x2=-1 B.x1=1, x2=2 C.x1=1, x2=0 D.x1=1, x2=3
2.二次函数y=kx2-6x+3的图象与x轴有交点，则k的取值范围是( ).
A.k<3 B.k<3且k≠0 C.k≤3 D.k≤3且k≠0
B
D
3.已知函数y=(k-3)x2+2x+1的图象与x轴有交点，求k的取值范围．
解：当k=3时，函数y=2x+1是一次函数．
∵一次函数y=2x+1与x轴有一个交点，∴k=3.
当k≠3时，y=(k-3)x2+2x+1是二次函数．
∵二次函数y=(k-3)x2+2x+1的图象与x轴有交点，
∴Δ=b2-4ac≥0.
∵b2-4ac=22-4(k-3)=-4k+16，
∴-4k+16≥0.∴k≤4且k≠3.
综上所述，k的取值范围是k≤4.
课堂小结
解二元一次方程ax2+bx+c=0(a≠0)
确定二次函数y=ax2+bx+c=0(a≠0)
的图象与x轴公共点的横坐标
数
形
课后作业
1.从教材习题中选取；
2.完成练习册本课时的习题.

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