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二次函数y=ax +bx+c的图象和性质
R·九年级上册
学习目标
1.会用配方法把二次函数y=ax2+bx+c写成y=a(x-h)2+k的形式.
2.会用配方法或公式法确定抛物线y=ax2+bx+c的顶点、对称轴及最值.
3.会根据所给的自变量的取值范围画二次函数的图象.
复习回顾
y=a(x-h)2+k a>0 a<0
开口方向
对称轴
顶点坐标
增减性
最值
当x当x>h时，y随x增大而增大.
向上
直线x=h
（h,k）
x=h时，y最小值=k
当x当x>h时，y随x增大而减小.
向下
直线x=h
（h,k）
x=h时，y最大值=k
一般地，抛物线y=a(x-h)2+k与y=ax2(a≠0)形状相同，位置不同
二次函数 顶点坐标 对称轴 最值
y=-2x2 (0, 0) 直线x=0 y最大值=0
y=-2x2-5 (0, -5) 直线x=0 y最大值=-5
y=-2(x+2)2 (-2, 0) 直线x=-2 y最大值=0
y=-2(x+2)2-4 (-2, -4) 直线x=-2 y最大值=-4
y=(x-4)2+3 (4, 3) 直线x=4 y最小值=3
y=-x2+2x
y=3x2+x-6
顶点式
我们已经认识了形如y=a(x-h)2+k的二次函数的图象和性质，你能研究二次函数y= x2-6x+21的图象和性质吗
化成y=a(x-h)2+k的形式.
探索新知
思考：怎样将y= x2-6x+21化成y=a(x-h)2+k的形式
y= x2-6x+21
想一想：配方的方法及步骤是什么？
（1）“提”：提出二次项系数；
（2）“配”：括号内配成完全平方；
（3）“化”：化成顶点式.
配方后的表达式通常称为顶点式.
= (x2-12x)+21
= (x2-12x+62)+21- ×62
= (x-6)2+3
x … 3 4 5 6 7 8 9 …
y=(x-6)2+3 … 7.5 5 3.5 3 3.5 5 7.5 …
y=x2-6x+21
=(x-6)2+3
的图象和性质:
方法一：描点画图
方法二：平移画图
(对称性列表)
先画y=x2
y=(x-6)2+3
对称轴是直线x=6，顶点坐标为(6，3).
当x<6时，y随x的增大而减小；当x>6时，y随x的增大而增大；
当x=6时，y取最小值，最小值是3.
探 究
你能用上面的方法讨论二次函数y=-2x2-4x+1的图象和性质吗
解：配方得y=-2x2-4x+1
=-2(x2+2x)+1
=-2(x2+2x+1)+2+1
=-2(x+1)2+3
=-2(x+1)2+3
由配方结果知，此抛物线开口向下，对称轴是x=-1，顶点坐标是(-1, 3)，顶点是图象的最高点.
画图：先利用对称性列表：
x … -4 -3 -2 -1 0 1 2 …
y=-2x2-4x+1 … -15 -5 1 3 1 -5 -15 …
开口向下，
对称轴是x=-1，
顶点坐标是(-1, 3).
当x<-1时，y随x增大而增大；
当x>-1时， y随x增大而减小.
描点、连线，画出这个函数的图象.
y=-2x2-4x+1
你能用上面的方法将二次函数y=ax2+bx+c化成顶点式y=a(x-h)2+k吗？
y=ax2+bx+c
（1）“提”
（2）“配”
（3）“化”
∴对称轴是 ，顶点坐标为 .
练一练
确定下列二次函数图象的对称轴和顶点坐标：
（1）y=3x2-6x＋7；
（2）y=2x2-12x＋8.
=3(x2-2x)+7
=3(x2-2x+1)-3+7
=3(x-1)2+4
对称轴是x=1，
顶点坐标为(1，4).
=2(x2-6x)+8
=2(x2-6x+9)-18+8
=2(x-3)2-10
对称轴是x=3，
顶点坐标为(3，-10).
要想讨论一般的二次函数y=ax2+bx+c的图象和性质，应该先配方，得：
可知一般二次函数的图象的对称轴是x=- ，
顶点(- , ).
是最高点还是最低点呢 由谁决定呢
y
O
x
（a>0）
y
O
x
（a<0）
二次函数y=ax2+bx+c的图象：
最小值
最大值
练习
1.先确定下列抛物线的开口方向、对称轴和顶点，说出随着x的增大，y的变化情况，再描点画图：
（1）y= － 3x2+12x－3； （2）y=4x2－24x+26；
开口向下，对称轴为直线x=2，
顶点为(2, 9).
开口向上，对称轴为直线x=3，
顶点为(3, -10).
【教材P43练习第1题】
y= -3(x-2)2+9
y= 4(x-3)2-10
（3）y=2x2+8x－6； （4）y=x2－2x －1.
开口向上,对称轴为直线x=-2,
顶点为(-2, -14).
开口向上,对称轴为直线x=3，
顶点为(2, -3).
y= 2(x+2)2-14
y= (x-2)2-3
2.求下列函数的最大值或最小值：
(1) y=3x + 2x; (2) y=－2x2 + 8x － 8.
【教材P44练习第2题】
=3(x + x)
=3(x + ) －
y最小值= －
= － 2(x － x) － 8
= － 2(x － 2)
y最大值= 0
随堂练习
1.已知二次函数y=ax2+bx+c的x，y的部分对应值如下表：
则该二次函数图象的对称轴为( ).
A. y轴 B.直线x= C. 直线x=2 D.直线x=
x -1 0 1 2 3
y 5 1 -1 -1 1
D
2.已知二次函数y=-x2+2bx+c，当x>1时，y的值随x值的增大而减小，则实数b的取值范围是( ).
A. b≥-1 B. b≤-1 C. b≥1 D.b≤1
D
3.已知二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象如图所示，则下列结论：
① a，b同号；
② 当x=-1和x=3时，函数值相等；
③ 4a+b=0；
④ 当y=-2时，x的值只能取0；
其中正确的是_______.
②
-
4.已知抛物线y=2x2-12x+13.
（1）当x为何值时，y有最小值，最小值是多少
（2）当x为何值时，y随x的增大而减小
（3）将该抛物线向右平移2个单位，再向上平移2个单位，请直接写出新抛物线的表达式.
解：∵y=2x2-12x+13=2(x2-2x+9)-5=2(x-3)2-5，
∴抛物线开口向上，顶点为(3, -5)，对称轴为直线x=3.
（1）当x=3时，y有最小值，最小值为-5；
（2）当x<3时，y随x的增大而减小；
（3）新抛物线的表达式为y=2(x-5)2-3.
5.已知二次函数y=x2-4x-1.
（1）将函数y=x2-4x-1的解析式化为y=a(x+m)2+k的形式，并指出该函数图象顶点B的坐标；
解：y=x2-4x-1=(x2-4x+4)-4-1=(x-2)2-5，
该函数图象顶点B的坐标为(2, -5).
（2）在平面直角坐标系xOy中，设抛物线y=x2-4x-1与y轴交点为C，抛物线的对称轴与x轴交点为A，求四边形OABC的面积.
解：y=x2-4x-1=(x-2)2-5，
∴B(2, -5)，A(2, 0).
当x=0时，y=-1.
∴C(0, -1).
S四边形OABC= (AB+OC)·OA=6.
课堂小结
y=ax2+bx+c(a≠0)
(一般式)
(顶点式)
配方法
公式法
对称轴是 ，顶点坐标为 .
课后作业
1.从教材习题中选取；
2.完成练习册本课时的习题.

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