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生活中的最值问题
R·九年级上册
学习目标
1.学会把实际问题转化为数学问题，体验数学来源于生活又可应用于生活.
2.把最值问题转化成二次函数问题.
复习导入
用你认为最简单的方法求出顶点坐标，说出开口方向，对称轴及最值.
（1）y=x2-4x-5
（2）y=-x2+x+
开口方向
对称轴
顶点坐标
最值
向上
x=2
（2，-9）
y最小值=-9
向下
y最大值=
探究新知
例1 在一次跳水运动中，某运动员的重心相对于水面的高度h(单位：m)与起跳后的时间t(单位：s)之间的关系式是h=－4.9t +2.8t+11.运动员起跳后经过多长时间达到最高点？运动员跳水过程中重心的最大高度是多少？（结果保留小数点后一位.）
知识点一 已知二次函数解析式
解：显然t取顶点的横坐标时，这个函数有最大值，这个最大值即为运动员重心的最大高度.
即运动员起跳后大约0.3s时，其重心达到最高点，最大高度为11.4m.
函数h=－4.9t +2.8t+11的图象，直观地反映了运动员跳水过程中重心高度的变化，由此你能描述运动员在竖直方向上的运动过程吗？
(0.3, 11.4)
.
一般地，当a>0(a<0)时，抛物线 y = ax2 + bx + c的顶点有最低（高）点，也就是说，当 x= 时，二次函数有最小（大）值 .
归 纳
利用二次函数图象解决最值问题时需要注意哪些问题？
从地面竖直向上抛出一小球，小球的高度h(单位：m)与小球的运动时间t(单位：s)的关系近似为h=30t－5t2 (0≤t≤6). 小球运动的时间是多少时，小球最高？小球运动中的最大高度是多少？
根据题意，结合图象可知，小球在抛物线的顶点时为最大高度.
练习
【选自教材P52 练习第2题】
解：显然t取顶点的横坐标时，这个函数有最大值，这个最大值即为小球的最大高度.
h＝30t-5t2 (0≤t≤6)
即小球运动的时间是3s时，小球最高，且最大高度是45m.
例2 如图，利用一面墙(墙的长度不限)，用20m长的篱笆围成一个矩形菜园.如何围才能使菜园的面积最大？最大面积是多少
知识点二 建立二次函数模型
(0< x <10).
因此，当垂直于墙的边长为5m时，这个矩形菜园的面积最大，最大面积为50m .
解：设垂直于墙的边长为xm，
则平行于墙的边长为(20 2x)m，
矩形菜园的面积
，
即
20-2x
x
x
思考 如果例2中墙的长度为8m，如何围才能使菜园的面积最大？最大面积是多少？
(0< x <10)
(5,50)
解：平行于墙的边长20-2x ≤ 8，
解得 x ≥ 6. 所以6 ≤ x <10.
当x=6时，
S最大值=-2×62+20×6=48
20-2x
x
x
(6 ≤ x <10)
6
因此，当垂直于墙的边长为6m时，这个矩形菜园的面积最大，最大面积为48m .
【选自教材P52 练习第1题】
利用二次函数解决几何图形中的最值问题的要点：
1.根据面积公式、周长公式、勾股定理等建立函
数关系式；
2.确定自变量的取值范围；
3.根据开口方向、顶点坐标和自变量的取值范
围画草图；
4.根据草图求所得函数在自变量的允许范围
内的最大值或最小值.
随堂练习
1.如图，四边形的两条对角线AC、BD互相垂直，AC+BD=10，
当AC、BD的长是多少时，四边形ABCD的面积最大？
解：设AC=x,四边形ABCD面积为y,
则BD=(10-x).
即当AC、BD的长均为5时，四边形ABCD的面积最大.
2.用一段长为30m的篱笆围成一个一边靠墙的矩形菜园(如图所示)，墙长为18m，这个矩形的长，宽各为多少时，菜园的面积最大，最大面积是多少？
解：设矩形的长为x m,面积为y m2,则矩形的宽为 m.
∴03.如图，点E、F、G、H分别位于正方形ABCD的四条边上，四边形EFGH也是正方形，当点E位于何处时，正方形EFGH的面积最小？
解：令AB长为1，设AE=x，正方形EFGH的面
积为y，则AH=1-x.
即当E位于AB中点时，正方形EFGH面积最小.
4.已知矩形的周长为36 cm，矩形绕它的一条边旋转形成一个圆柱，矩形的长、宽各为多少时，圆柱的侧面积最大？
解：设矩形的长为xcm，圆柱的侧面积为ycm2，
则矩形的宽为(18-x)cm，绕矩形的长或宽旋转，圆柱的侧面积相等.
有y=2πx(18-x)=-2π(x-9)2+162π(0＜x＜18).
当x=9时，y有最大值为162π.
即当矩形的长、宽各为9cm时，圆柱的侧面积最大.
5.如图，四边形ABCD的两条对角线AC，BD互相垂直，AC+BD=10，当AC，BD的长是多少时，四边ABCD的面积最大？
解:设四边形ABCD的面积为S，AC的长为x，则BD的长为10-x.
所以当 时，S取最大值，
当AC，BD的长均为5时，四边形ABCD的面积最大.
A
B
D
C
2.图形面积最值问题：
由图形面积公式直接计算列出关系式，再利用二次函数的性质分析、解决问题.
1.运动问题：
（1）运动中的距离、时间、速度问题，这类问题多根据运动规律中的公式求解；
（2）物体的运动路线（轨迹）问题，解决这类问题的思想方法是建立合适的平面直角坐标系，根据已知数据求出运动轨迹（抛物线）的解析式，再利用二次函数的性质分析、解决问题.
课堂小结
1.从课后习题中选取；
2.完成练习册本课时的习题。
课后作业

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