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25.2 降次——解一元二次方程
25.2.1 配方法
第1课时 用直接开平方法解一元二次方程
第二十五章 一元二次方程
R·九年级数学上册
学习目标
1.能根据平方根的意义解形如 x2=p 及 ax2+c=0 的一元二次方程.
2.能运用开平方法解形如 (mx+n)2=p (p≥0) 的方程.
3.体会“降次”的数学思想．
复习回顾
1.如果 x2=a ，则 x 叫作 a 的________.
平方根
2.如果 x2=a(a≥0)，则 x =________.
±
3.如果 x2=16，则 x =________.
±4
4.你会解哪些方程，如何解的？
二元、三元一次方程
一元一次方程
分式方程
消元
去分母
思考：一元二次方程如何解？
探索新知
试一试：说出下列方程的解，并说明你所用的方法.
一元二次方程 方程的解 方法
x2=4 x1=2，x2= –2 根据平方根的意义直接开方
x2=0 x1= x2= 0 根据平方根的意义直接开方
x2= – 4 无实数根 负数没有平方根
知识要点
一般地，对于方程 x2=p，
（1）当 p>0 时，根据平方根的意义，方程有两个不相等的实数根 x1 = ，x2 = – ；
（2）当 p=0 时，方程有两个相等的实数根 x1 = x2 = 0；
（3）当 p<0 时，因为对任意实数x，都有x2 ≥ 0，所以方程无实数根.
利用平方根的意义直接开平方求一元二次方程的根的方法叫直接开平方法.
牛刀小试
用直接开平方法解下列方程：
（1）x2 = 81；
（2）x2 – 900 = 0.
解：直接开平方，得 x =±9，
即x1=9，x2= – 9.
解：移项，得 x2=900，
直接开平方，得 x =±30，
即x1=30，x2= – 30.
对照上面解方程 x2=4 的过程，你认为应怎样解方程 (x+3)2=5？
解：(x+3)2=5
直接开平方，得 x+3=±，
移项，得 x=± – 3，
所以 x1= – 3，x2= – – 3.
一元二次方程
一元一次方程
知识要点
二元、三元一次方程
一元一次方程
分式方程
消元
去分母
一元二次方程
降次
直接开平方法解一元二次方程，实质上是利用平方根的意义把一个一元二次方程“降次”转化为两个一元一次方程，这样就把方程转化为我们会解的方程了.
例1 解下列方程：
（1）4x2 – 3 = 0；
（2）(x+2)2 – 9 = 0.
解：（1）移项，并将二次项系数化为1，得 x2 = .
由此可得 x =±.
即 x1 = ， x2 = – .
例1 解下列方程：
（1）4x2 – 3 = 0；
（2）(x+2)2 – 9 = 0.
解：（2）移项，得 (x+2)2 = 9.
由此可得 x+2=±3，x+2=3，或 x+2= – 3，
即 x1 =1， x2 = – 5 .
方法小结
利用直接开平方法解一元二次方程的一般步骤为：
①移项，将方程转化为 x2=n 或 (mx+n)2=p (p≥0) 的形式
②方程两边同时开平方，得到两个一元一次方程
③解这两个一元一次方程
④写出一元二次方程的两个解
随堂练习
1.一元二次方程 (x+6)2=16 可转化为两个一元一次方程，其中一个一元一次方程是 x+6=4，则另一个一元一次方程是（ ）
A. x–6= – 4 B. x–6=4 C. x+6=4 D. x+6= – 4
D
2.方程 3x2+9=0 的根为（ ）
A. 3 B. – 3 C. ±3 D. 无实数根
3.若 8x2 – 16=0，则 x 的值是_______.
D
±
4.解下列方程：
【选自教材第6页 练习】
（1）x2 – 9 = 0；
（2）2x2 – 8 = 0；
解：移项，得 x2=9，
由此可得 x=±3，
即 x1=3， x2= – 3 .
解：移项，并将二次项系数化为1得 x2=4，
由此可得 x=±2，
即 x1=2， x2= – 2 .
（3）9x2 – 5 = 3；
（4）(x+6)2 – 9 = 0；
解：移项，并将二次项系数化为1得 x2 = ，
由此可得 x=±，
即 x1= ， x2= – .
解：移项，得 (x+6)2 = 9，
由此可得 x+6=±3，
即 x1= – 3， x2= – 9.
（5）3(x – 1)2 – 6 = 0；
（6）x2 – 4x+4 = 5.
解：移项，并将二次项系数化为1得 (x – 1)2 = 2，
由此可得 x – 1=±，
即 x1= +1， x2= –+1.
解：将上式变形，得
(x–2)2 = 5，
由此可得 x – 2=±，
即 x1= +2， x2= – +2.
拓展提高
1.已知方程 ax2+c=0(a≠0) 有实数根，则 a 与 c 的关系是（ ）
A. c=0或a，c异号 B. c是a的整数倍
C. c=0或a，c同号 D. c=0
A
2.已知方程 (x2+y2–5)2=64，则 x2+y2=_____.
13
课堂小结
直接开平方法解一元二次方程
原理
利用平方根的意义
思想
通过“降次”将一元二次方程转化为一元一次方程

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