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25.2 降次——解一元二次方程
25.2.1 配方法
第2课时 用配方法解一元二次方程
第二十五章 一元二次方程
R·九年级数学上册
学习目标
1.知道用配方法解一元二次方程的一般步骤，能运用配方法解一元二次方程.
2.通过配方法将一元二次方程进行变形，进一步体会“降次”的转化思想.
复习回顾
完全平方公式：
a2 + 2ab + b2
= ( ______ )2
a2 – 2ab + b2
= ( ______ )2
a + b
a – b
两个数的和（或差）的平方，等于它们的平方和，加上（或减去）它们的积的2倍.
填空：
【选自教材第9页 练习 第1题】
（1）x2 + 10x + ___ = ( x + ___ )2；
（2）x2 – 12x + ___ = ( x – ___ )2；
（3）x2 + 5x + ___ = ( x + ___ )2；
（4）x2 – x + ___ = ( x – ___ )2.
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观察这几个式子，你发现了什么规律？
x2±2mx+(m)2=(x±m)2
二次项系数为1的完全平方式：常数项等于一次项系数一半的平方.
探索新知
怎样解方程 x2+6x+4=0？
问题1：怎样把方程变成 (x+n)2=p 的形式呢？
x2+6x+4=0
x2+6x= – 4
移项
x2+6x+9= – 4+9
两边都加9
使左边配成
x2+2mx+m2的形式
(x+3)2=5
左边写成完全平方形式
问题2：为什么在方程 x2+6x= – 4 的两边加9？加其他数行吗？
不行，因为只有在方程两边加上一次项系数一半的平方，方程左边才能配成完全平方式.
探索新知
怎样解方程 x2+6x+4=0？
x2+6x+4=0
x2+6x= – 4
移项
x2+6x+9= – 4+9
两边都加9
使左边配成
x2+2mx+m2的形式
(x+3)2=5
左边写成完全平方形式
x+3=±
降次
x1= – 3+， x2= – 3 –
x+3=，或x+3= –
解一次方程
知识要点
像上面那样，通过配成完全平方式来解一元二次方程的方法，叫作配方法.
基本思路：把方程化为 (x+n)2=p 的形式，将一元二次方程降次，转化为一元一次方程求解.
方法：在方程两边都加上一次项系数一半的平方.
注意：在二次项系数为1的前提下进行的.
例2 解下列方程：
（1）x2 – 8x+1 = 0；
（2）2x2 +1=3x；
（3）3x2 – 6x+4=0.
解：（1）移项，得 x2 – 8x = –1.
配方，得 x2 – 8x+42 = –1+42，
(x – 4)2 = 15.
由此可得 x – 4 = ±，
x1=4+，x2=4 – .
例2 解下列方程：
（1）x2 – 8x+1 = 0；
（2）2x2 +1=3x；
（3）3x2 – 6x+4=0.
解：（2）移项，得 2x2 – 3x = – 1.
二次项系数化为1，得 x2 – x = – .
配方，得 x2 – x + ()2 = – + ()2 ，
(x – )2 = .
由此可得 x – = ±，x1=1，x2= .
例2 解下列方程：
（1）x2 – 8x+1 = 0；
（2）2x2 +1=3x；
（3）3x2 – 6x+4=0.
解：（3）移项，得 3x2 – 6x = – 4.
二次项系数化为1，得 x2 – 2x = – .
配方，得 x2 – 2x + 12 = – + 12 ，
(x – 1)2 = – .
因为实数的平方不会是负数，所以 x 取任何实数时，
(x – 1)2都是非负数，上式都不成立，所以原方程无实数根.
归纳总结
用配方法解
一元二次方程
将常数项移到方程的右边
二次项系数化为1
利用平方根的意义直接开平方
解两个一元一次方程
方程左、右两边同时加上一次项系数一半的平方
一移
二化
三配
四开
五解
一般地，一元二次方程可以通过配方转化为 (x+n)2=p 的形式.
归纳总结
（1）当 p>0 时，根据平方根的意义，方程有两个不相等的实数根 x1 = – n + ，x2 = – n – ；
（2）当 p=0 时，方程有两个相等的实数根 x1 = x2 = – n ；
（3）当 p<0 时，因为对任意实数x，都有(x+n)2 ≥ 0，所以方程无实数根.
随堂练习
1.一元二次方程 x2 – 6x – 5=0 配方，可变形为（ ）
A. (x–3)2=14 B. (x–3)2=4
C. (x+3)2=14 D. (x+3)2=4
A
2.将一元二次方程 2x2 – 3x+1=0 配方，下列配方正确的是（ ）
A. (x – )2=16 B. 2(x – )2=
C. (x – )2= D. 以上都不对
C
3.解下列方程：
【选自教材第9页 练习 第2题】
（1）x2+10x+9=0；
（2）x2 – x – = 0；
解：移项，得 x2+10x = –9.
配方，得x2+10x+52= –9+52，
(x+5)2=16.
由此可得 x+5=±4，
x1= –1，x2= –9.
解：移项，得 x2–x = .
配方，得x2–x+()2= +()2，
(x – )2=2.
由此可得 x – =±，
x1= +，x2= –+.
（3）3x2+6x–4=0；
（4）4x2–6x–3=0；
解：移项，得 3x2+6x=4.
二次项系数化为1，得x2+2x=.
配方，得x2+2x+12=+12，
(x+1)2=.
由此可得 x+1=±，
x1= –1+ ，x2= –1– .
解：移项，得 4x2–6x=3.
二次项系数化为1，得x2–x=.
配方，得x2– x+()2=+()2，
(x – )2=.
由此可得 x – =±，
x1= ，x2= .
（5）x2+4x–9=2x–11；
（6）x(x+4)=8x+4；
解：移项，得 x2+2x= –2.
配方，得x2+2x+12= –2+12，
(x+1)2= –1.
因为实数的平方不会是负数，所以x取任何实数时，(x+1)2都是非负数，上式都不成立，所以原方程无实数根.
解：移项，得 x2–4x=4.
配方，得x2–4x+22=4+22，
(x–2)2=8.
由此可得 x – 2 =±2，
x1=2+2，x2=2–2.
拓展提高
已知 2x2+y2+4x–6y+11=0，x，y为实数，求 xy 的值.
解：因为 2x2+y2+4x–6y+11=0，
所以2(x2+2x)+(y2–6y)+11=0，
2(x2+2x+1–1)+(y2–6y+9–9)+11=0，
2(x+1)2+(y–3)2=0.
因为 2(x+1)2 ≥0，(y–3)2≥0，
所以 x+1=0，y–3=0.
所以 x = –1，y=3. 所以 xy=(–1)3= –1.
课堂小结
用配方法解
一元二次方程
将常数项移到方程的右边
二次项系数化为1
利用平方根的意义直接开平方
解两个一元一次方程
方程左、右两边同时加上一次项系数一半的平方
一移
二化
三配
四开
五解

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