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第二十五章 一元二次方程
R·九年级数学上册
习题 25.3
复习巩固
1.两个数的和是 26 ，积是 168 ，求这两个数.
解：设这两个数分别为 x，(26–x).
由题意，得 x(26–x)=168，
解方程，得 x1=14，x2=12.
当 x=14 时，26–x=12；当 x=12 时，26–x=14.
答：这两个数为12，14.
2.一个直角三角形的两条直角边的和是14，面积是24. 求这两条直角边的长.
解：设直角三角形的一条直角边为 x ，则另一条直角边为(14–x).
由题意，得 x(14–x)=24，解方程，得x1=1，x2=8.
当 x=6 时，14–x=8；当 x=8 时，14–x=6.
答：这两条直角边的长分别为 8，6.
3.某足球联赛采用双循环赛制，如果赛季结束后共比赛90场，那么共有多少支球队参加比赛？
解：设共有 x 支球队参加比赛.
由题意，得 x(x–1)=90×，
解方程，得x1=10，x2= – 9（不合题意，舍去）.
答：共有10支球队参加比赛.
4. 2022年我国快递业务量是1105.8 亿件，2024 年增至1750.8 亿件，这两年的年平均增长率是多少（结果写成a% 的形式，其中 a 保留小数点后一位）？
解：设这两年的年平均增长率为 x .
由题意，得 1105.8(1+x)2=1750.8，
解方程，得 x1≈-2.258（不合题意，舍去），x2≈0.258.
答：这两年的年平均增长率为 25.8% .
5. 请结合生活实际，提出一个与一元二次方程有关的问题，并加以解决.
6. 一个菱形的两条对角线长之和是10，面积是12. 求这个菱形的周长.
综合运用
解：设菱形的一条对角线长为 x，则另一条对角线长为(10–x).
由菱形的性质，可知 x(10–x)=12，
解方程，得x1=4，x2=6.
当 x=4 时，10–x=6；当 x=6 时，10–x=4.
所以菱形的的对角所以菱形的的对角线长分别为 4，6，则菱形的边长为 = .
答：菱形的周长为 4 .
7.如图，要为长 22cm，宽 29cm 的照片配相框，要求相框的四条边宽度相等，并且相框边的面积是照片面积的四分之一，相框边的宽度应是多少厘米（结果保留小数点后一位）
解：设相框边的宽度为 x cm.
根据题意，得(29+2x)(22+2x)–22×29= ×29×22.
整理，得 8x2+204x–319=0，
解得 x1≈1.5，x2≈ –27.0（不合题意，舍去）.
答：相框边的宽度约是 1.5 cm.
8.一个直角三角形的三边长均为正整数，斜边的长比一直角边的长大1，且比另一直角边的长大8，这样的直角三角形存在吗？如果存在，有多少个？
解：设直角三角形的斜边长为 x，则直角边长分别为(x–1)，(x–8).
由题意，得(x–1)2+(x–8)2=x2，
解方程，得x1=13，x2=5（不合题意，舍去）.
答：这样的直角三角形只有1个，三边长分别为5，12，13.
拓广探索
9.如图，要设计一幅宽 20 cm，长 30 cm 的图案，其中有两横两竖的彩条，横、竖彩条的宽度比为 3∶2. 如果要使彩条所占面积是图案面积的四分之一，应如何设计彩条的宽度（结果保留小数点后一位）？
解：设横彩条的宽度为 3x cm，则竖彩条的宽度为 2x cm.
根据题意，得30×20× = 30×20–(30–4x)(20–6x).
整理，得 12x2–130x+75=0，
解得 x1= ，x2= .
因为 x>0，30–4x>0且20–6x>0，所以0所以x1=不合题意，舍去.所以x = ≈ 0.6.
所以 3x=1.8，2x=1.2.
答：设计横彩条的宽度约为 1.8 cm，竖彩条的宽度约为 1.2 cm.
10.如图，线段 AB 的长为1，点 C，D，E 在线段 AB 上.
（1）若 AC2=BC AB，求线段AC的长；
解：设 AC=x，则由 AC2=BC·AB，
得 x2=(1–x)·1，
解得 x= . 因为 AC >0，所以 AC = .
（2）在（1）的条件下，若AD2=CD AC，求线段AD的长；
解：设AD=y，则由AD2=CD·AC，
得 y2=( –y)·
解得 y=± – .
因为 AD>0，所以 AD = .
（3）在（1）（2）的条件下，若AE2=DE AD，求线段AE 的长. 上面各题的结果反映了什么规律？
解：设 AE=z，则由 AE2=DE·AD，
得z2=( –z)·，解得z=± – .
因为AE>0，所以AE= .
规律：AE= AD， AD= AC， AC= AB.

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