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25.3 实际问题与一元二次方程
第1课时 数字问题与几何图形问题
第二十五章 一元二次方程
R·九年级数学上册
学习目标
1.掌握列一元二次方程解应用题的一般步骤.
2.掌握数字、图形面积等问题的常见应用题解法.
3.正确分析问题中的数量关系并建立一元二次方程模型．
复习回顾
以前，我们列方程（一元一次方程、二元一次方程（组）、分式方程）解决实际问题的一般步骤是什么？
1. 审：审清题意，明确已知条件和未知条件，找到它们之间的等量关系；
2. 设：设未知数；
3. 列：根据等量关系列出方程；
4. 解：解方程；
5. 验：检验解在实际问题中是否有意义；
6. 答：写出实际问题的答案.
探索新知
例1 是否存在三边长是三个连续正整数的直角三角形？如果存在，这样的三角形有多少个？
解：若存在这样的三角形，设其三边长依次为 x，x+1，x+2，其中x为正整数.
由勾股定理，得 x2 +(x+1)2 = (x+2)2.
解方程，得 x1=3，x2= – 1（不符合题意，舍去）.
因此，三边长是三个连续正整数的直角三角形存在且只有一个，其三边长分别为 3，4，5.
解决数字问题的关键是用代数式表示出其他数，设未知数时通常采用间接设元法，即设这个数为x，然后将其他数用含x的代数式表示出来，最后根据题中的数量关系列方程.
知识要点
牛刀小试
1.一个两位数，十位上的数字与个位上的数字之和是5，把这个数的个位上的数字与十位上的数字对调后，所得的新的两位数与原来的两位数的乘积为736，求原来的两位数.
分析：设原来的两位数个位数字为 x，则十位数字为 5–x.
十位数字 个位数字 这个两位数
原两位数 5–x x 10(5–x)+x
新两位数 x 5–x 10x+(5–x)
等量关系：所得的新数与原来的两位数乘积为736.
解：设原来的两位数的十位上的数字为x，则个位上的数字为 5–x.
依题意，得 [10x+(5–x)][10(5–x)+x]=736.
解得 x1=2，x2=3. 当 x=2 时， 5–x=3；当 x=3 时， 5–x=2.
所以原来的两位数是23或32.
牛刀小试
1.一个两位数，十位上的数字与个位上的数字之和是5，把这个数的个位上的数字与十位上的数字对调后，所得的新的两位数与原来的两位数的乘积为736，求原来的两位数.
分析：假设细绳能围成面积为96 m2的矩形区域，则矩形的周长就是细绳的长度.设矩形一边长为x m，由周长为40 m，可用含 x 的式子表示出该边的邻边长，再利用面积列方程求解.
例2 用一根长为40 m的细绳，能否围成一个面积为96 m2的矩形区域？如果能围成，这样的矩形是否唯一？
例2 用一根长为40 m的细绳，能否围成一个面积为96 m2的矩形区域？如果能围成，这样的矩形是否唯一？
解：设矩形的一边长为 x m，由矩形的周长为 40 m，可得此边的邻边长为 (20–x) m；再由矩形的面积为 96 m2，得
x(20–x) = 96.
解方程，得 x1= 12，x2=8.
方程有两个根，是否表示可以围成两个满足条件的矩形区域？
因此，用一根长为 40 m 的细绳可以围成面积为 96 m2 的矩形区域，这样的矩形唯一，其两邻边长分别为 8 m，12 m.
思考：对于例2中的问题，设矩形的两邻边长的方法有多种. 例如：
（1）可设一边长为 x m，那么其邻边长为 m；
（2）可设一边长为 (10+x)m，那么其邻边长为 (10–x)m.
能根据以上设两邻边长的方法列方程求解例2吗？
解：设一边长为 x m，那么其邻边长为 m.
解：设一边长为 (10+x) m，那么其邻边长为 (10–x) m.
由矩形的周长为 40 m，得
2(x+)=40.
解方程，得 x1= 12，x2=8.
由矩形的面积为 96 m2，得
(10+x)(10–x) =40.
解方程，得 x1=2，x2= – 2.
当 x=2 时，边长为 10+2=12m，10–2=8m；
当 x= –2 时，边长为10–2=8m，10+2=12m.
比较这些设法，说说它们各自的特点.
解：设一边长为 x m，那么其邻边长为 m.
由矩形的周长为 40 m，得
2(x+)=40.
解方程，得 x1= 12，x2=8.
解：设一边长为 (10+x) m，那么其邻边长为 (10–x) m.
由矩形的面积为 96 m2，得
(10+x)(10–x) =40.
解方程，得 x1=2，x2= – 2.
当 x=2 时，边长为 10+2=12m，10–2=8m；
当 x= –2 时，边长为10–2=8m，10+2=12m.
直接利用面积关系表示邻边，方程会出现分式，需要去分母化为整式方程，步骤稍多.
利用 “和为定值” 设未知数，直接用平方差公式，方程非常简洁，计算量小，能快速得到结果.
知识要点
1.利用一元二次方程解决规则图形问题时，常利用规则图形的面积、体积或周长公式等建立方程进行计算；
2.根据条件灵活选择设元方式，优先用能简化运算的技巧，同时保证解的合理性验证.
牛刀小试
2.如图，某中学准备在校园里利用围墙的一段，再砌三面墙,围成一个矩形花园ABCD（围墙MN最长可利用 25 m），现在已备足可以砌 50 m 长的墙的材料，当矩形花园的面积为300 m2 时，求AB的长．
解：设AB长为 x m，则BC长为 (50–2x) m.
根据题意，得 x(50–2x)=300.
解方程，得 x1= 10，x2=15.
当 x=10 时，AD=BC=50–2x=30>25，不合题意，所以 x=10 应该舍去．
当 x=15 时，AD=BC=50–2x=20<25，所以 x=15 满足条件．
答：AB的长为15 m.
随堂练习
1.怎样用一根长为 40 m 的细绳围成一个面积为 75 m2 的矩形区域？能围成一个面积为 101 m2 的矩形区域吗？如果能，说明围法；如果不能，说明理由.
解：设矩形的长为 x m，宽为 (20–x) m.
当矩形面积为 75 m2 时，x(20–x)=75，
解方程，得x1=15，x2=5（不合题意，舍去）.
所以，矩形的长为 15 m，宽为 5 m 时，面积为 75 m2.
当矩形面积为 101 m2时，x(20–x)=101，
因为此方程无实数根，所以，不能围成面积为101m2的矩形区域.
【选自教材第21页 练习 第1题】
解：设AE=x，则BE=4–x，
在Rt△ABC和Rt△BCE中，
由勾股定理，得 DE2=12+x2，CE2=12+(4–x)2.
若△DEC为直角，则DE2+CE2=CD2，
即1+x2+1+(4–x)2=42.
解方程，得x1=2+，x2=2–.
所以，AB上存在点E，即当 AE=2+或2–时，使∠DEC为直角.
2.如图，矩形ABCD的两条邻边AD=1，DC=4，AB 上是否存在点 E，使得∠DEC 为直角.
【选自教材第21页 练习 第2题】
3.广西壮锦被誉为指尖上的非遗，经纬交织之处，绘就民族华章.现需将长为 3m、宽为 2m 的壮锦四周镶上宽度相等的锦缎边饰，制成一幅矩形挂画，如图所示.设边饰的宽度为 x m.
（1）请用含 x 的式子分别表示挂画的长和宽；
解：由图可知挂画的长为(3+2x) m，宽为 (2+2x) m.
3.广西壮锦被誉为指尖上的非遗，经纬交织之处，绘就民族华章.现需将长为 3m、宽为 2m 的壮锦四周镶上宽度相等的锦缎边饰，制成一幅矩形挂画，如图所示.设边饰的宽度为 x m.
（2）若整幅挂画的面积是 12m2，求锦缎边饰的宽度.
解：由题意，得(3+2x)(2+2x)=12.
解得x1=0.5，x2= –3（不符合题意，舍去）.
答：锦缎边饰的宽度为 0.5m .
4.如图，在宽为 20 m、长为 32 m 的矩形地面上修筑等宽的道路（图中黄色部分），余下的部分种上草坪，要使草坪的面积为 540m2，求道路的宽.
解：设道路的宽为 x m.
平移转化
由题意得(20–x)(32–x)=540，
解得 x1=50（不符合题意，舍去），x2=2.
答：道路的宽为 2m.
5.如图，A，B，C，D为矩形的四个顶点，AB=16 cm，AD=6 cm，动点P，Q分别从点A，C同时出发，点P 以 3 cm/s 的速度向点 B 移动，一直到达点B为止，点Q以 2 cm/s 的速度向点D移动.当点P停止运动时，点Q的运动也随之停止. P，Q两点出发几秒时，点P 和点Q之间的距离是10 cm？
A
D
B
C
P
Q
A
D
B
C
P
Q
解：设P，Q两点出发t s时，点P和点Q之间的距离是10 cm，则AP=3t cm，CQ=2t cm，DQ=(16–2t) cm.
如图，过点P作PE⊥CD，垂足为E.当点P在点Q上方时，QE=DQ–AP=(16–5t) cm；
当点P在点Q下方时，QE=AP–DQ=(5t–16) cm.
在Rt△PQE中，QE2+PE2=PQ2，
即(16–5t)2+62=102，解得t1= ， t2= .
答：P，Q两点出发 s或 s时，点P和点Q之间的距离是10 cm.
E
课堂小结
本节课学习了数字、几何图形与一元二次方程的问题，你有哪些收获呢？请同学们谈一谈.

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