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第3节　函数的奇偶性与周期性
（时间：60分钟，满分：96分）
[备注：单选、填空题5分，多选题6分]
1.已知函数f（x）的图象关于原点对称，且周期为4，若f（－1）＝2，则f（2 025）＝（　　）
A.2 B.0
C.－2 D.－4
2.（2026·浙江杭州质检）函数f（x）＝（　　）
A.是奇函数
B.是偶函数
C.是非奇非偶函数
D.既是奇函数也是偶函数
3.若奇函数f（x）的定义域为R，当x∈[0，＋∞）时，f（x）单调递增，则f（－），f（π），f（－3）的大小关系是（　　）
A.f（π）＞f（－3）＞f（－）
B.f（π）＞f（－）＞f（－3）
C.f（π）＜f（－3）＜f（－）
D.f（π）＜f（－）＜f（－3）
4.设f（x）为R上的奇函数，当x∈（0，＋∞）时，f（x）＝x2－1，则使f（x）＞0的x的取值范围是（　　）
A.{x｜x＞1}
B.{x｜－1＜x＜0}
C.{x｜x＜－1或x＞1}
D.{x｜－1＜x＜0或x＞1}
5.〔多选〕已知函数f（x），g（x）的定义域均为R，若f（ －2x），g（2＋x）均为偶函数，则下列结论一定正确的是（　　）
A.f（－1）＝f（2） B.g（2）＝1
C.f（1）＝f（2） D.g（－1）＝g（5）
6.〔多选〕已知f（x）是定义在R上的偶函数，其周期为4，当x∈[0，2]时，f（x）＝2x－2，则（　　）
A.f（2 026）＝2
B.f（x）的值域为[－1，2]
C.f（x）在[4，6]上单调递减
D.f（x）在[－6，6]上有8个零点
7.（2025·广东湛江一模）已知函数f（x）＝（ 2x－）·cos x是偶函数，则实数a＝　　　　.
8.（2026·福建三明四校联考）已知函数f（x）＝ax3＋＋2且f（2 026）＝16，则f（－2 026）＝　　　　.
9.（13分）（2026·宁夏银川模拟）已知函数f（x）是偶函数.当x＞0时，f（x）＝logax的图象过点（3，－1）.
（1）求实数a的值；
（2）求函数f（x）的解析式；
（3）求不等式f（x）＜1的解集.
10.（2025·湖北武汉二调）函数f（x）满足：f（x＋1）＝f（x）＋f（x＋2），若f（1）＝2，f（11）＝3，则f（2 025）＝（　　）
A.1　　　B.－1　　　C.5　　　D.－5
11.已知函数g（x）对任意的x∈R，有g（x）－g（－x）＝2x，设函数f（x）＝g（x）－x，且f（x）在区间[0，＋∞）上单调递增.若f（a）－f（2a＋1）＞0，则实数a的取值范围为（　　）
A.（ －1，－） B.（－∞，－1）
C.（－1，0） D.（ －∞，－）
12.〔多选〕（2026·江苏苏州调研）定义在R上的函数f（x）满足f（x＋y）＝f（x）＋f（y），当x＜0时，f（x）＞0，则函数f（x）满足（　　）
A.f（0）＝0
B.y＝f（x）为奇函数
C.f（x）在R上是增函数
D.f（x－1）＋f（x2－1）＞0的解集为{x｜－2＜x＜1}
13.已知函数f（x）的定义域为R，y＝f（x）＋ex是偶函数，y＝f（x）－3ex是奇函数，则函数f（x）的最小值为　　　　.
14.（15分）设f（x）是定义在R上的奇函数，且对任意实数x，恒有f（x＋2）＝－f（x）.当x∈[0，2]时，f（x）＝2x－x2.
（1）求证：f（x）是周期函数；
（2）当x∈[2，4]时，求f（x）的解析式；
（3）计算f（0）＋f（1）＋f（2）＋…＋f（2 026）.
15.〔创新设问〕定义在R上的不恒为零的偶函数f（x）满足xf（x＋2）＝（x＋2）f（x），且f（2）＝4.则[f（2k）＋f（－2k）]＝（　　）
A.30 B.60
C.90 D.120
第3节　函数的奇偶性与周期性
1.C　2.B　3.B　4.D　5.CD　
6.AB　f（2 026）＝f（506×4＋2）＝f（2）＝2，所以A正确；当x∈[0，2]时，f（x）＝2x－2单调递增，所以当x∈[0，2]时，函数的值域为[－1，2]，由于函数是偶函数且周期为4，所以函数的值域为[－1，2]，所以B正确；当x∈[0，2]时，f（x）＝2x－2单调递增，又函数的周期为4，所以f（x）在[4，6]上单调递增，所以C错误；令f（x）＝2x－2＝0，所以x＝1，所以f（1）＝f（－1）＝0，由于函数的周期为4，所以f（5）＝f（－5）＝0，f（3）＝f（－3）＝0，所以f（x）在[－6，6]上有6个零点，所以D错误.
7.－1
8.－12　解析：令g（x）＝f（x）－2＝ax3＋，则g（x）的定义域为{x｜x≠0}，关于原点对称.因为g（－x）＝a（－x）3＋＝－ax3－＝－g（x），所以g（x）为奇函数，所以g（2 026）＋g（－2 026）＝0，所以f（2 026）－2＋f（－2 026）－2＝0，将f（2 026）＝16代入上式，可得f（－2 026）＝－12.
9.解：（1）∵当x＞0时，f（x）＝logax的图象过点（3，－1），∴loga3＝－1，解得a＝.
（2）设x＜0，则－x＞0，∴f（－x）＝lo（－x），
又∵f（x）为偶函数，
∴f（x）＝f（－x）＝lo（－x）.
综上所述，f（x）＝
（3）∵f（x）为偶函数，且在（0，＋∞）上单调递减，
1＝lo＝f（ ），
∴f（x）＜1 f（x）＜f（ ），
∴｜x｜＞，
解得x＜－或x＞.
故不等式的解集为{x｜x＜－或x＞}.
10.D　由题意可得：f（x＋2）＝f（x＋1）－f（x），用x＋1代替x可得：f（x＋3）＝f（x＋2）－f（x＋1），两式相加得：f（x＋3）＝－f（x），所以f（x＋6）＝－f（x＋3）＝f（x），所以函数f（x）是以6为周期的周期函数.所以f（11）＝f（5）＝3.又f（5）＝－f（2），所以f（2）＝－3.所以f（3）＝f（2）－f（1）＝－3－2＝－5.所以f（2 025）＝f（337×6＋3）＝f（3）＝－5.故选D.
11.A　因为函数g（x）对任意的x∈R，有g（x）－g（－x）＝2x，f（x）＝g（x）－x（x∈R），则f（－x）＝g（－x）＋x＝g（x）－2x＋x＝g（x）－x＝f（x），所以函数f（x）为偶函数.又函数f（x）在区间[0，＋∞）上单调递增，所以由f（a）－f（2a＋1）＞0，得f（a）＞f（2a＋1），即f（｜a｜）＞f（｜2a＋1｜），则｜a｜＞｜2a＋1｜，解得－1＜a＜－，故实数a的取值范围为（ －1，－）.故选A.
12.ABD　由题意，定义在R上的函数f（x）满足f（x＋y）＝f（x）＋f（y），对于A，令x＝y＝0，则f（0）＝f（0）＋f（0），即f（0）＝0，故A正确；对于B，令y＝－x，则f（0）＝f（x）＋f（－x）＝0，即f（－x）＝－f（x），所以y＝f（x）为奇函数，故B正确；对于C，任取x1，x2∈R，且x1＜x2，则f（x1）－f（x2）＝f（x1－x2＋x2）－f（x2）＝f（x1－x2）＋f（x2）－f（x2）＝f（x1－x2），因为x1＜x2，所以x1－x2＜0，所以f（x1－x2）＞0，即f（x1）＞f（x2），所以函数f（x）在R上是减函数，故C错误；对于D，由f（x－1）＋f（x2－1）＞0，可得f（x－1）＞－f（x2－1）＝f（1－x2），由C知函数f（x）在R上是减函数，所以x－1＜1－x2，解得－2＜x＜1，所以f（x－1）＋f（x2－1）＞0的解集为{x｜－2＜x＜1}，故D正确.
13.2　解析：因为函数y＝f（x）＋ex是偶函数，则f（－x）＋e－x＝f（x）＋ex，即f（x）－f（－x）＝e－x－ex　①，又因为函数y＝f（x）－3ex是奇函数，则f（－x）－3e－x＝－f（x）＋3ex，即f（x）＋f（－x）＝3ex＋3e－x　②，联立①②可得f（x）＝ex＋2e－x，由基本不等式可得f（x）＝ex＋2e－x≥2＝2，当且仅当ex＝2e－x，即x＝ln 2时等号成立，故函数f（x）的最小值为2.
14.解：（1）证明：∵f（x＋2）＝－f（x），
∴f（x＋4）＝－f（x＋2）＝f（x）.
∴f（x）是周期为4的周期函数.
（2）当x∈[－2，0]时，－x∈[0，2]，
由已知得f（－x）＝2（－x）－（－x）2＝－2x－x2.
又f（x）是奇函数，
∴f（－x）＝－f（x）＝－2x－x2.
∴f（x）＝x2＋2x.
又当x∈[2，4]时，x－4∈[－2，0]，
∴f（x－4）＝（x－4）2＋2（x－4）.
又f（x）是周期为4的周期函数，
∴f（x）＝f（x－4）＝（x－4）2＋2（x－4）＝x2－6x＋8.
∴当x∈[2，4]时，f（x）＝x2－6x＋8.
（3）f（0）＝0，f（1）＝1，f（2）＝0，f（3）＝－1.
又f（x）是周期为4的周期函数，
∴f（0）＋f（1）＋f（2）＋f（3）＝f（4）＋f（5）＋f（6）＋f（7）＝…＝f（2 020）＋f（2 021）＋f（2 022）＋f（2 023）＝0，
∴f（0）＋f（1）＋f（2）＋…＋f（2 026）＝506×[f（0）＋f（1）＋f（2）＋f（3）]＋f（2 024）＋f（2 025）＋f（2 026）
＝0＋f（2 024）＋f（2 025）＋f（2 026）
＝0＋f（0）＋f（1）＋f（2）＝1.
15.D　由题意可知，＝，且＝2，则＝＝＝＝＝2，所以f（2）＋f（4）＋f（6）＋f（8）＋f（10）＝2（2＋4＋6＋8＋10）＝60，因为函数f（x）为偶函数，所以f（－2）＋f（－4）＋f（－6）＋f（－8）＋f（－10）＝60，则[f（2k）＋f（－2k）]＝60＋60＝120.
1 / 1第3节　函数的奇偶性与周期性
1.了解函数奇偶性的概念和几何意义，了解函数周期性的概念和几何意义. 2.会依据函数的性质进行简单的应用.
知识梳理
1.函数的奇偶性
偶函数 奇函数
前提 定义域关于原点对称
定义 一般地，设函数f（x）的定义域为D，如果 x∈D，都有　　　　∈D
且f（－x）＝　　　，那么函数f（x）就叫做偶函数 且f（－x）＝　　　，那么函数f（x）就叫做奇函数
图象特征 关于　　　　对称 关于　　　　对称
2.函数的周期性
（1）周期函数：设函数f（x）的定义域为D，如果存在一个非零常数T，使得对每一个x∈D，都有x＋T∈D，且　　　　　，那么函数f（x）就叫做周期函数，非零常数T叫做这个函数的周期；
（2）最小正周期：如果在周期函数f（x）的所有周期中存在一个　　　　的正数，那么这个最小正数就叫做f（x）的最小正周期.
1.函数奇偶性常用结论 （1）如果函数f（x）是奇函数且在x＝0处有定义，则一定有f（0）＝0；如果函数f（x）是偶函数，那么f（x）＝f（｜x｜）； （2）奇函数在两个对称的区间上具有相同的单调性；偶函数在两个对称的区间上具有相反的单调性； （3）灵活应用奇函数的两个特殊性质 ①若f（x）为奇函数，则f（x）＋f（－x）＝0.特别地，若f（x）存在最值，则f（x）min＋f（x）max＝0； ②若F（x）＝f（x）＋c，f（x）为奇函数，则F（－x）＋F（x）＝2c.特别地，若F（x）存在最值，则F（x）min＋F（x）max＝2c. 2.函数周期性常用结论 对f（x）定义域内任一自变量x： （1）若f（x＋a）＝－f（x），则T＝2a（a＞0）； （2）若f（x＋a）＝，则T＝2a（a＞0）； （3）若f（x＋a）＝－，则T＝2a（a＞0）； （4）若f（x＋a）＝f（x＋b），则T＝｜a－b｜（a≠b）； （5）若f（x）＋f（x＋a）＝k（k为常数），则T＝2a（a＞0）； （6）若f（x）·f（x＋a）＝k（k为常数），则T＝2a（a＞0）.
诊断自测
1.判断正误.（正确的画“√”，错误的画“×”）
（1）函数y＝x2在x∈（0，＋∞）上是偶函数.（　　）
（2）若函数f（x）为奇函数，则一定有f（0）＝0.（　　）
（3）若T是函数的一个周期，则nT（n∈Z，n≠0）也是函数的周期.（　　）
（4）对于函数y＝f（x），若存在x，使f（－x）＝－f（x），则函数y＝f（x）一定是奇函数.（　　）
2.〔多选〕给出下列函数，其中是奇函数的有（　　）
A.f（x）＝x4 B.f（x）＝x5
C.f（x）＝x＋ D.f（x）＝
3.已知f（x）＝ax2＋bx是定义在[a－1，2a]上的偶函数，那么a＋b＝（　　）
A.－ B.
C. D.－
4.（2025·浙江台州一模）已知f（x）是定义在R上的奇函数，当x∈（0，＋∞）时，f（x）＝log3x，则f（－9）＝（　　）
A.－3 B.－2
C.2 D.3
5.已知函数f（x）满足f（x＋3）＝f（x），当x∈[0，2]时，f（x）＝x2＋4，则f（2 026）＝　　　　.
函数奇偶性的判断
（师生共研过关）
判断下列函数的奇偶性：
（1）f（x）＝＋；
（2）f（x）＝｜x＋1｜－｜x－1｜；
（3）f（x）＝；
（4）〔一题多解〕f（x）＝
判断函数的奇偶性包括的两个必备条件 （1）定义域关于原点对称，否则为非奇非偶函数； （2）判断f（x）与f（－x）是否具有等量关系，在判断奇偶性的运算中，可以转化为判断奇偶性的等价等量关系式（f（x）＋f（－x）＝0（奇函数）或f（x）－f（－x）＝0（偶函数））是否成立. 提醒：设f（x），g（x）的定义域分别是D1，D2，那么在它们的公共定义域上：奇＋奇＝奇，奇×奇＝偶，偶＋偶＝偶，偶×偶＝偶，奇×偶＝奇.
训练1 （1）〔一题多解〕（2024·天津高考4题）下列函数是偶函数的是（　　）
A.f（x）＝ B.f（x）＝
C.f（x）＝ D.f（x）＝
（2）〔多选〕（2026·广东深圳外国语学校月考）已知函数f（x）＝｜3－x｜，构造函数g（x）＝f（x）－f（－x），则下列关于函数g（x）的说法正确的是（　　）
A.g（x）－g（－x）是偶函数
B.g（x）＋g（－x）是偶函数
C.g（x）｜g（x）｜是奇函数
D.g（x）g（｜x｜）是奇函数
（3）已知函数f（x）对任意x，y∈R，都有f（x＋y）＝f（x）＋f（y）＋2，则函数f（x）＋2为　　　　　　函数.（填“奇”“偶”或“非奇非偶”）
函数奇偶性的应用
（定向精析突破）
考向1　求解析式（参数或值）
（1）已知偶函数f（x），当x∈[0，2）时，f（x）＝2sin x，当x∈[2，＋∞）时，f（x）＝log2x，则f（ －）＋f（4）＝（　　）
A.－＋2 B.1
C.＋2 D.3
（2）已知函数f（x）是定义在R上的奇函数，当x≥0时，f（x）＝2x－2x＋a，则a＝　　　　；当x＜0时，f（x）＝　　　　.
听课记录
函数奇偶性的应用类型及解题策略 （1）求解析式：先将待求区间上的自变量转化到已知区间上，再利用奇偶性求出f（x）的解析式，或充分利用奇偶性构造关于f（x）的方程式（组），从而得到f（x）的解析式； （2）求函数值：将待求函数值利用函数的奇偶性转化为已知区间上的函数值求解； （3）求参数值：利用待定系数法求解，根据f（x）±f（－x）＝0得到关于待求参数的恒等式，由系数的对等性，得出参数的值.对于在x＝0处有定义的奇函数f（x），可考虑列等式f（0）＝0求解.
考向2　奇偶性与单调性
（1）（2025·山东日照一模）定义在R上的函数y＝f（x）满足以下条件：①f（－x）－f（x）＝0；②当x∈[0，＋∞）时，f（x）单调递增.则f（－），f（π），f（－3）的大小关系是（　　）
A.f（π）＞f（－3）＞f（－）
B.f（π）＞f（－）＞f（－3）
C.f（π）＜f（－3）＜f（－）
D.f（π）＜f（－）＜f（－3）
（2）已知偶函数f（x）在（－∞，0]上单调递减，且f（1）＝0，则不等式xf（x－2）＞0的解集为（　　）
A.（1，3）
B.（3，＋∞）
C.（－3，－1）∪（3，＋∞）
D.（0，1）∪（3，＋∞）
听课记录
综合应用奇偶性与单调性解题的技巧 （1）比较大小，利用奇偶性把不在同一单调区间上的两个或多个自变量转化到同一单调区间上，进而利用函数的单调性比较函数值的大小； （2）解抽象函数不等式，先把不等式转化为f（g（x））＞f（h（x）），再利用单调性把不等式的函数符号“f”脱掉，得到具体的不等式（组）.
训练2 （1）已知函数f（x）＝为奇函数，则a＝（　　）
A.－1 B.1
C.0 D.±1
（2）〔多选〕（2026·安徽合肥调研）已知f（x）是定义在R上的偶函数，g（x）是定义在R上的奇函数，且f（x），g（x）在（－∞，0]上单调递减，则（　　）
A.f（f（1））＜f（f（2））
B.f（g（1））＜f（g（2））
C.g（f（1））＜g（f（2））
D.g（g（1））＜g（g（2））
（3）已知f（x），g（x）分别是定义在R上的奇函数和偶函数，且f（x）－g（x）＝x3＋x2－1，则f（x）＝　　　　，g（2）＝　　　　.
函数的周期性
（师生共研过关）
（1）〔一题多解〕（2025·全国Ⅰ卷5题）已知f（x）是定义在R上且周期为2的偶函数，当2≤x≤3时，f（x）＝5－2x，则f（ －）＝（　　）
A.－ B.－
C. D.
（2）已知y＝f（x）是定义在R上周期为4的奇函数，且当0≤x≤2时，f（x）＝x2－2x，则当10≤x≤12时，f（x）＝（　　）
A.x2＋22x－120 B.－x2＋22x－120
C.x2＋11x－60 D.－x2＋11x－60
听课记录
1.求解与函数的周期有关的问题，应根据题目特征及周期的定义，求出函数的周期. 2.利用函数的周期性，可将其他区间上的求值、求零点个数、求解析式等问题，转化到已知区间上，进而解决问题.
训练3 （1）函数f（x）满足f（x）f（x＋2）＝13，且f（3）＝2，则f（2 025）＝（　　）
A.1 B.
C. D.7
（2）已知f（x）是R上最小正周期为2的周期函数，且当0≤x＜2时，f（x）＝x3－x，则函数y＝f（x）的图象在区间[0，4]上与x轴的交点个数为（　　）
A.3 B.4
C.5 D.6
（3）〔多选〕（2025·广东深圳模拟）已知非常数函数f（x）的定义域为R，满足f（x＋2）＋f（x）＝0，f（－x）＝－f（x），则（　　）
A.f（2）＝0
B.f（x＋4）为偶函数
C.f（x）为周期函数
D.f（x）的图象关于点（－4，0）对称
第3节　函数的奇偶性与周期性
【夯实必备知识】
知识梳理
1.－x　f（x）　－f（x）　y轴　原点
2.（1）f（x＋T）＝f（x）　（2）最小　
诊断自测
1.（1）×　（2）×　（3）√　（4）×
2.BC　3.B　4.B　5.5
【研透核心考点】
考点1
【例1】　解：（1）f（x）的定义域为{－1，1}，关于原点对称.
又f（－1）＝f（1）＝0，f（－1）＝－f（1）＝0，
所以f（x）既是奇函数又是偶函数.
（2）f（x）的定义域为R，且f（－x）＝｜－x＋1｜－｜－x－1｜＝｜x－1｜－｜x＋1｜＝－f（x），
所以函数f（x）为奇函数.
（3）由1－x2≥0得－1≤x≤1，所以x＋2＞0，
所以f（x）＝，定义域为[－1，0）∪（0，1]，关于原点对称.
又f（－x）＝＝－＝－f（x），
所以函数f（x）是奇函数.
（4）法一（图象法）
画出函数f（x）＝的图象如图所示，图象关于y轴对称，故f（x）为偶函数.
法二（定义法） 易知函数f（x）的定义域为（－∞，0）∪（0，＋∞），关于原点对称，
当x＞0时，f（x）＝x2－x，则当x＜0时，－x＞0，故f（－x）＝x2＋x＝f（x）；
当x＜0时，f（x）＝x2＋x，则当x＞0时，－x＜0，故f（－x）＝x2－x＝f（x），故原函数是偶函数.
法三（性质法）　f（x）还可以写成f（x）＝x2－｜x｜（x≠0），故f（x）为偶函数.
训练1　（1）B　（2）BCD　（3）奇
解析：（1）法一（特殊值、定义法）　对于A，f（1）＝＝，f（－1）＝＝，f（1）≠f（－1），故f（x）不是偶函数；对于B，f（－x）＝＝＝f（x），故f（x）是偶函数；对于C，f（x）的定义域为{x｜x≠－1}，不关于原点对称，故f（x）不是偶函数；对于D，f（π）＝＝，f（－π）＝＝，f（π）≠f（－π），故f（x）不是偶函数.故选B.
法二（性质法）　易知y＝x2＋1与y＝e｜x｜均为偶函数，且恒为正.对于A，由于y＝ex－x2是非奇非偶函数，所以f（x）也是非奇非偶函数；对于B，y＝cos x＋x2是偶函数，所以f（x）是偶函数；对于C，易知f（x）的定义域不关于原点对称，所以f（x）是非奇非偶函数；对于D，y＝sin x＋4x是奇函数，所以f（x）是奇函数，故选B.
（2）因为f（x）＝｜3－x｜，所以g（x）＝｜3－x｜－｜3＋x｜，显然g（x）的定义域为R，且g（－x）＝｜3＋x｜－｜3－x｜＝－g（x），故g（x）是奇函数.对于A，因为g（1）＝f（1）－f（－1）＝－2，g（－1）＝f（－1）－f（1）＝2，所以g（1）－g（－1）＝－4≠4＝g（－1）－g（1），所以g（x）－g（－x）不是偶函数，A错误；对于B，因为g（－x）＋g（x）＝g（x）＋g（－x），所以g（x）＋g（－x）是偶函数，B正确；对于C，因为g（－x）·｜g（－x）｜＝－g（x）·｜－g（x）｜＝－g（x）｜g（x）｜，所以g（x）｜g（x）｜是奇函数，C正确；对于D，因为g（－x）g（｜－x｜）＝－g（x）g（｜x｜），所以g（x）g（｜x｜）是奇函数，D正确.故选B、C、D.
（3）由题意得函数f（x）的定义域为R，定义域关于原点对称，令x＝y＝0，则f（0）＝f（0）＋f（0）＋2，故f（0）＝－2.令y＝－x，则f（0）＝f（x）＋f（－x）＋2，故f（x）＋2＝－f（－x）－2＝－[f（－x）＋2].故f（x）＋2为奇函数.
考点2
【例2】　（1）C　（2）－1　－2－x－2x＋1　解析：（1）因为函数f（x）是偶函数，当x∈[0，2）时，f（x）＝2sin x，所以f（ －）＝f（ ）＝2sin＝.又因为当x∈[2，＋∞）时，f（x）＝log2x，所以f（4）＝log24＝2，所以f（ －）＋f（4）＝＋2.
（2）因为函数f（x）是定义在R上的奇函数，所以f（0）＝0，即1＋a＝0，所以a＝－1.当x≥0时，f（x）＝2x－2x－1，设x＜0，则－x＞0，所以f（－x）＝2－x－2（－x）－1＝2－x＋2x－1，又f（x）为奇函数，所以f（x）＝－f（－x），所以f（x）＝－2－x－2x＋1.
【例3】　（1）A　（2）D　解析：（1）因为定义在R上的函数y＝f（x）满足条件f（－x）－f（x）＝0，所以函数f（x）是偶函数，所以f（－）＝f（），f（－3）＝f（3），因为x∈[0，＋∞）时，函数f（x）单调递增，所以f（π）＞f（3）＞f（），即f（π）＞f（－3）＞f（－），故选A.
（2）偶函数f（x）在（－∞，0]上单调递减，则在（0，＋∞）上单调递增.因为f（1）＝0，则当x＞0时，xf（x－2）＞0即f（｜x－2｜）＞0＝f（1），所以x－2＞1或x－2＜－1，解得x＞3或x＜1，所以x∈（0，1）∪（3，＋∞）.当x＜0时，xf（x－2）＞0即f（x－2）＜0，f（｜x－2｜）＜0＝f（1），所以－1＜x－2＜1，解得1＜x＜3，所以解集为空集.综上，原不等式的解集为（0，1）∪（3，＋∞）.
训练2　（1）A　（2）BD　（3）x3　－3
解析：（1）∵函数f（x）是奇函数，∴f（－x）＝－f（x），则有f（－1）＝－f（1），即1＋a＝－a－1，得a＝－1（符合题意）.故选A.
（2）因为f（x）是定义在R上的偶函数，g（x）是定义在R上的奇函数，且两函数在（－∞，0]上单调递减，所以f（x）在[0，＋∞）上单调递增，g（x）在[0，＋∞）上单调递减，g（x）在R上单调递减，所以f（1）＜f（2），g（0）＝0＞g（1）＞g（2），所以f（g（1））＜f（g（2）），g（f（1））＞g（f（2）），g（g（1））＜g（g（2）），所以B、D正确，C错误；若｜f（1）｜＞｜f（2）｜，则f（f（1））＞f（f（2）），A错误.
（3）由f（x）－g（x）＝x3＋x2－1　①，得f（－x）－g（－x）＝－x3＋x2－1，因为f（x），g（x）分别是定义在R上的奇函数和偶函数，所以－f（x）－g（x）＝－x3＋x2－1　②，由①－②，化简得f（x）＝x3，代入①得g（x）＝1－x2，故g（2）＝－3.
考点3
【例4】　（1）A　（2）B　解析：（1）法一（通解）　当x∈[－1，0]时，－x＋2∈[2，3]，所以当x∈[－1，0]时，f（x）＝f（－x）＝f（－x＋2）＝5－2（－x＋2）＝1＋2x，所以f（ －）＝1－＝－.故选A.
法二（优解）　f（ －）＝f（ ）＝f（ ＋2）＝5－2×（ ＋2）＝－.
（2）∵f（x）在R上是周期为4的奇函数，∴f（－x）＝－f（x），由f（x＋4）＝f（x），可得f（x－12）＝f（x），设－2≤x≤0，则0≤－x≤2，f（x）＝－f（－x）＝－x2－2x，当10≤x≤12时，－2≤x－12≤0，f（x）＝f（x－12）＝－（x－12）2－2（x－12）＝－x2＋22x－120.
训练3　（1）C　（2）C　（3）ACD
解析：（1）因为f（x）f（x＋2）＝13，所以f（x＋2）＝，所以f（x＋4）＝＝＝f（x），所以f（x）的周期为4，所以f（2 025）＝f（1）＝＝.
（2）当0≤x＜2时，令f（x）＝x3－x＝x（x2－1）＝0，所以y＝f（x）的图象与x轴交点的横坐标分别为x1＝0，x2＝1；当2≤x＜4时，0≤x－2＜2，又f（x）的最小正周期为2，所以f（x－2）＝f（x），所以f（x）＝（x－2）（x－1）（x－3），所以当2≤x＜4时，y＝f（x）的图象与x轴交点的横坐标分别为x3＝2，x4＝3；又f（4）＝f（2）＝f（0）＝0，综上可知，共有5个交点.
（3）因为f（x＋2）＋f（x）＝0，所以f（x）＝－f（x＋2），f（x＋4）＝－f（x＋2）＝f（x），所以f（x）是周期为4的周期函数，故C正确；又f（－x）＝－f（x），所以f（x）为奇函数，f（0）＝0，所以f（2）＋f（0）＝0，即f（2）＝0，故A正确；又f（x）的周期为4，且为奇函数，所以f（x＋4）为奇函数，故B不正确；因为f（x）的图象关于点（0，0）对称，所以f（x）的图象也关于点（－4，0）对称，故D正确.
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第3节　函数的奇偶性与周期性
课标要求
1. 了解函数奇偶性的概念和几何意义，了解函数周期性的概念和几何意义.
2. 会依据函数的性质进行简单的应用.
目录/
CONTENTS
夯实必备知识
01
研透核心考点
02
课时跟踪检测
03
01
PART
夯实必备知识
知识梳理
1. 函数的奇偶性
偶函数 奇函数
前提 定义域关于原点对称
定义 一般地，设函数f（x）的定义域为D，如果 x∈D，都有
∈D
且f（－x）＝
，那么函数f（x）
就叫做偶函数 且f（－x）＝ ，那
么函数f（x）就叫做奇函数
图象 特征 关于 对称 关于 对称
－
x　
f （x）
－f（x）　
y轴　
原点　
2. 函数的周期性
（1）周期函数：设函数f（x）的定义域为D，如果存在一个非零常数
T，使得对每一个x∈D，都有x＋T∈D，且 ，
那么函数f（x）就叫做周期函数，非零常数T叫做这个函数的周期；
（2）最小正周期：如果在周期函数f（x）的所有周期中存在一个
的正数，那么这个最小正数就叫做f（x）的最小正周期.
f（x＋T）＝f（x）　
最
小　
1. 函数奇偶性常用结论
（1）如果函数f（x）是奇函数且在x＝0处有定义，则一定有f（0）＝
0；如果函数f（x）是偶函数，那么f（x）＝f（｜x｜）；
（2）奇函数在两个对称的区间上具有相同的单调性；偶函数在两个对称
的区间上具有相反的单调性；
（3）灵活应用奇函数的两个特殊性质
①若f（x）为奇函数，则f（x）＋f（－x）＝0.特别地，若f（x）存在
最值，则f（x）min＋f（x）max＝0；
②若F（x）＝f（x）＋c，f（x）为奇函数，则F（－x）＋F（x）＝
2c.特别地，若F（x）存在最值，则F（x）min＋F（x）max＝2c.
2. 函数周期性常用结论
对f（x）定义域内任一自变量x：
（1）若f（x＋a）＝－f（x），则T＝2a（a＞0）；
（2）若f（x＋a）＝ ，则T＝2a（a＞0）；
（3）若f（x＋a）＝－ ，则T＝2a（a＞0）；
（4）若f（x＋a）＝f（x＋b），则T＝｜a－b｜（a≠b）；
（5）若f（x）＋f（x＋a）＝k（k为常数），则T＝2a（a＞0）；
（6）若f（x）·f（x＋a）＝k（k为常数），则T＝2a（a＞0）.
诊断自测
1. 判断正误.（正确的画“√”，错误的画“×”）
（1）函数y＝x2在x∈（0，＋∞）上是偶函数. （　×　）
（2）若函数f（x）为奇函数，则一定有f（0）＝0. （　×　）
（3）若T是函数的一个周期，则nT（n∈Z，n≠0）也是函数的周期.
（　√　）
（4）对于函数y＝f（x），若存在x，使f（－x）＝－f（x），则函数y
＝f（x）一定是奇函数. （　×　）
×
×
√
×
2. 〔多选〕给出下列函数，其中是奇函数的有（　　）
A. f（x）＝x4 B. f（x）＝x5
C. f（x）＝x＋ D. f（x）＝
√
√
解析： 　对于f（x）＝x4，f（x）的定义域为R，由f（－x）＝（－
x）4＝x4＝f（x），可知f（x）＝x4是偶函数，同理可知f（x）＝x5，f
（x）＝x＋ 是奇函数，f（x）＝ 是偶函数.
3. 已知f（x）＝ax2＋bx是定义在[a－1，2a]上的偶函数，那么a＋b＝
（　　）
A. － B.
C. D. －
√
解析： 　显然b＝0，a－1＋2a＝0，∴a＝ ，∴a＋b＝ .
4. （2025·浙江台州一模）已知f（x）是定义在R上的奇函数，当x∈
（0，＋∞）时，f（x）＝log3x，则f（－9）＝（　　）
A. －3 B. －2
C. 2 D. 3
√
解析： 　根据题意，f（x）是定义在R上的奇函数，当x∈（0，＋∞）
时，f（x）＝log3x，则f（－9）＝－f（9）＝－log39＝－2.故选B.
5. 已知函数f（x）满足f（x＋3）＝f（x），当x∈[0，2]时，f（x）
＝x2＋4，则f（2 026）＝ .
解析：因为f（x＋3）＝f（x），所以f（x）是以3为周期的周期函数，
所以f（2 026）＝f（675×3＋1）＝f（1）＝5.
5　
02
PART
研透核心考点
函数奇偶性的判断（师生共研过关）
判断下列函数的奇偶性：
（1）f（x）＝ ＋ ；
解： f（x）的定义域为{－1，1}，关于原点对称.
又f（－1）＝f（1）＝0，f（－1）＝－f（1）＝0，
所以f（x）既是奇函数又是偶函数.
（2）f（x）＝｜x＋1｜－｜x－1｜；
解： f（x）的定义域为R，且f（－x）＝｜－x＋1｜－｜－x－1｜＝｜x
－1｜－｜x＋1｜＝－f（x），
所以函数f（x）为奇函数.
（3）f（x）＝ ；
解： 由1－x2≥0得－1≤x≤1，所以x＋2＞0，
所以f（x）＝ ，定义域为[－1，0）∪（0，1]，关于原点对称.
又f（－x）＝ ＝－ ＝－f（x），
所以函数f（x）是奇函数.
（4）〔一题多解〕f（x）＝
解： 法一（图象法） 画出函数f（x）＝
的图象如图所示，图象关于y轴对称，故
f（x）为偶函数.
法二（定义法） 易知函数f（x）的定义域为（－∞，0）
∪（0，＋∞），关于原点对称，
当x＞0时，f（x）＝x2－x，则当x＜0时，－x＞0，故f（－x）＝x2＋x＝f（x）；
当x＜0时，f（x）＝x2＋x，则当x＞0时，－x＜0，故f（－x）＝x2－x＝f（x），故原函数是偶函数.
法三（性质法）　f（x）还可以写成f（x）＝x2－｜x｜（x≠0），故f（x）为偶函数.
判断函数的奇偶性包括的两个必备条件
（1）定义域关于原点对称，否则为非奇非偶函数；
（2）判断f（x）与f（－x）是否具有等量关系，在判断奇偶性的运算
中，可以转化为判断奇偶性的等价等量关系式（f（x）＋f（－x）＝0
（奇函数）或f（x）－f（－x）＝0（偶函数））是否成立.
提醒：设f（x），g（x）的定义域分别是D1，D2，那么在它们的公共
定义域上：奇＋奇＝奇，奇×奇＝偶，偶＋偶＝偶，偶×偶＝偶，奇
×偶＝奇.
训练1 （1）〔一题多解〕（2024·天津高考4题）下列函数是偶函数的是
（　B　）
A. f（x）＝ B. f（x）＝
C. f（x）＝ D. f（x）＝
B
解析： 法一（特殊值、定义法）　对于A，f（1）＝ ＝ ，f（－
1）＝ ＝ ，f（1）≠f（－1），故f（x）不是偶函数；对于
B，f（－x）＝ ＝ ＝f（x），故f（x）是偶函
数；对于C，f（x）的定义域为{x｜x≠－1}，不关于原点对称，故f
（x）不是偶函数；对于D，f（π）＝ ＝ ，f（－π）＝
＝ ，f（π）≠f（－π），故f（x）不是偶函数.故选B.
法二（性质法）　易知y＝x2＋1与y＝e｜x｜均为偶函数，且恒为正.对于A，
由于y＝ex－x2是非奇非偶函数，所以f（x）也是非奇非偶函数；对于B，
y＝ cos x＋x2是偶函数，所以f（x）是偶函数；对于C，易知f（x）的定
义域不关于原点对称，所以f（x）是非奇非偶函数；对于D，y＝ sin x＋
4x是奇函数，所以f（x）是奇函数，故选B.
（2）〔多选〕（2026·广东深圳外国语学校月考）已知函数f（x）＝｜3
－x｜，构造函数g（x）＝f（x）－f（－x），则下列关于函数g（x）
的说法正确的是（　BCD　）
A. g（x）－g（－x）是偶函数
B. g（x）＋g（－x）是偶函数
C. g（x）｜g（x）｜是奇函数
D. g（x）g（｜x｜）是奇函数
BCD
解析： 因为f（x）＝｜3－x｜，所以g（x）＝｜3－x｜－｜3＋x｜，
显然g（x）的定义域为R，且g（－x）＝｜3＋x｜－｜3－x｜＝－g
（x），故g（x）是奇函数.对于A，因为g（1）＝f（1）－f（－1）＝
－2，g（－1）＝f（－1）－f（1）＝2，所以g（1）－g（－1）＝－
4≠4＝g（－1）－g（1），所以g（x）－g（－x）不是偶函数，A错
误；对于B，因为g（－x）＋g（x）＝g（x）＋g（－x），所以g
（x）＋g（－x）是偶函数，B正确；对于C，因为g（－x）｜g（－
x）｜＝－g（x）·｜－g（x）｜＝－g（x）｜g（x）｜，所以g
（x）｜g（x）｜是奇函数，C正确；对于D，因为g（－x）g（｜－
x｜）＝－g（x）g（｜x｜），所以g（x）g（｜x｜）是奇函数，D正
确.故选B、C、D.
（3）已知函数f（x）对任意x，y∈R，都有f（x＋y）＝f（x）＋f
（y）＋2，则函数f（x）＋2为 函数.（填“奇”“偶”或“非奇
非偶”）
解析：由题意得函数f（x）的定义域为R，定义域关于原点对称，令x＝y
＝0，则f（0）＝f（0）＋f（0）＋2，故f（0）＝－2.令y＝－x，则f
（0）＝f（x）＋f（－x）＋2，故f（x）＋2＝－f（－x）－2＝－[f
（－x）＋2].故f（x）＋2为奇函数.
奇　
函数奇偶性的应用（定向精析突破）
考向1　求解析式（参数或值）
（1）已知偶函数f（x），当x∈[0，2）时，f（x）＝2 sin x，当
x∈[2，＋∞）时，f（x）＝log2x，则f（－ ）＋f（4）＝（　C　）
A. － ＋2 B. 1
C. ＋2 D. 3
C
解析： 因为函数f（x）是偶函数，当x∈[0，2）时，f（x）＝2
sin x，所以f（－ ）＝f（ ）＝2 sin ＝ .又因为当x∈[2，＋∞）
时，f（x）＝log2x，所以f（4）＝log24＝2，所以f（－ ）＋f（4）＝
＋2.
（2）已知函数f（x）是定义在R上的奇函数，当x≥0时，f（x）＝2x－
2x＋a，则a＝ ；当x＜0时，f（x）＝ .
解析： 因为函数f（x）是定义在R上的奇函数，所以f（0）＝0，即
1＋a＝0，所以a＝－1.当x≥0时，f（x）＝2x－2x－1，设x＜0，则－
x＞0，所以f（－x）＝2－x－2（－x）－1＝2－x＋2x－1，又f（x）为奇
函数，所以f（x）＝－f（－x），所以f（x）＝－2－x－2x＋1.
－1　
－2－x－2x＋1　
函数奇偶性的应用类型及解题策略
（1）求解析式：先将待求区间上的自变量转化到已知区间上，再利用奇
偶性求出f（x）的解析式，或充分利用奇偶性构造关于f（x）的方程式
（组），从而得到f（x）的解析式；
（2）求函数值：将待求函数值利用函数的奇偶性转化为已知区间上的函
数值求解；
（3）求参数值：利用待定系数法求解，根据f（x）±f（－x）＝0得到
关于待求参数的恒等式，由系数的对等性，得出参数的值.对于在x＝0处
有定义的奇函数f（x），可考虑列等式f（0）＝0求解.
考向2　奇偶性与单调性
（1）（2025·山东日照一模）定义在R上的函数y＝f（x）满足以下
条件：①f（－x）－f（x）＝0；②当x∈[0，＋∞）时，f（x）单调递
增.则f（－ ），f（π），f（－3）的大小关系是（　A　）
A. f（π）＞f（－3）＞f（－ ）
B. f（π）＞f（－ ）＞f（－3）
C. f（π）＜f（－3）＜f（－ ）
D. f（π）＜f（－ ）＜f（－3）
A
解析： 因为定义在R上的函数y＝f（x）满足条件f（－x）－f（x）＝
0，所以函数f（x）是偶函数，所以f（－ ）＝f（ ），f（－3）＝f
（3），因为x∈[0，＋∞）时，函数f（x）单调递增，所以f（π）＞f
（3）＞f（ ），即f（π）＞f（－3）＞f（－ ），故选A.
（2）已知偶函数f（x）在（－∞，0]上单调递减，且f（1）＝0，则不等
式xf（x－2）＞0的解集为（　D　）
A. （1，3） B. （3，＋∞）
C. （－3，－1）∪（3，＋∞） D. （0，1）∪（3，＋∞）
D
解析： 偶函数f（x）在（－∞，0]上单调递减，则在（0，＋∞）上单调
递增.因为f（1）＝0，则当x＞0时，xf（x－2）＞0即f（｜x－2｜）＞0
＝f（1），所以x－2＞1或x－2＜－1，解得x＞3或x＜1，所以x∈（0，
1）∪（3，＋∞）.当x＜0时，xf（x－2）＞0即f（x－2）＜0，f（｜x
－2｜）＜0＝f（1），所以－1＜x－2＜1，解得1＜x＜3，所以解集为空
集.综上，原不等式的解集为（0，1）∪（3，＋∞）.
综合应用奇偶性与单调性解题的技巧
（1）比较大小，利用奇偶性把不在同一单调区间上的两个或多个自变量
转化到同一单调区间上，进而利用函数的单调性比较函数值的大小；
（2）解抽象函数不等式，先把不等式转化为f（g（x））＞f（h
（x）），再利用单调性把不等式的函数符号“f”脱掉，得到具体的不等
式（组）.
训练2 （1）已知函数f（x）＝ 为奇函数，则a＝
（　A　）
A. －1 B. 1
C. 0 D. ±1
解析： ∵函数f（x）是奇函数，∴f（－x）＝－f（x），则有f
（－1）＝－f（1），即1＋a＝－a－1，得a＝－1（符合题意）.故选A.
A
（2）〔多选〕（2026·安徽合肥调研）已知f（x）是定义在R上的偶函
数，g（x）是定义在R上的奇函数，且f（x），g（x）在（－∞，0]上
单调递减，则（　BD　）
A. f（f（1））＜f（f（2））
B. f（g（1））＜f（g（2））
C. g（f（1））＜g（f（2））
D. g（g（1））＜g（g（2））
BD
解析： 因为f（x）是定义在R上的偶函数，g（x）是定义在R上的
奇函数，且两函数在（－∞，0]上单调递减，所以f（x）在[0，＋∞）上
单调递增，g（x）在[0，＋∞）上单调递减，g（x）在R上单调递减，
所以f（1）＜f（2），g（0）＝0＞g（1）＞g（2），所以f（g（1））
＜f（g（2）），g（f（1））＞g（f（2）），g（g（1））＜g（g
（2）），所以B、D正确，C错误；若｜f（1）｜＞｜f（2）｜，则f（f
（1））＞f（f（2）），A错误.
（3）已知f（x），g（x）分别是定义在R上的奇函数和偶函数，且f
（x）－g（x）＝x3＋x2－1，则f（x）＝ ，g（2）＝ .
解析： 由f（x）－g（x）＝x3＋x2－1　①，得f（－x）－g（－
x）＝－x3＋x2－1，因为f（x），g（x）分别是定义在R上的奇函数和偶
函数，所以－f（x）－g（x）＝－x3＋x2－1　②，由①－②，化简得f
（x）＝x3，代入①得g（x）＝1－x2，故g（2）＝－3.
x3　
－3　
函数的周期性（师生共研过关）
（1）〔一题多解〕（2025·全国Ⅰ卷5题）已知f（x）是定义在R上且
周期为2的偶函数，当2≤x≤3时，f（x）＝5－2x，则f（－ ）＝
（　A　）
A. － B. －
C. D.
A
解析： 法一（通解）　当x∈[－1，0]时，－x＋2∈[2，3]，所以
当x∈[－1，0]时，f（x）＝f（－x）＝f（－x＋2）＝5－2（－x＋2）
＝1＋2x，所以f（－ ）＝1－ ＝－ .故选A.
法二（优解）　f（－ ）＝f（ ）＝f（ ＋2）＝5－2×（ ＋2）＝－ .
（2）已知y＝f（x）是定义在R上周期为4的奇函数，且当0≤x≤2时，f
（x）＝x2－2x，则当10≤x≤12时，f（x）＝（　B　）
A. x2＋22x－120 B. －x2＋22x－120
C. x2＋11x－60 D. －x2＋11x－60
解析： ∵f（x）在R上是周期为4的奇函数，∴f（－x）＝－f
（x），由f（x＋4）＝f（x），可得f（x－12）＝f（x），设－
2≤x≤0，则0≤－x≤2，f（x）＝－f（－x）＝－x2－2x，当
10≤x≤12时，－2≤x－12≤0，f（x）＝f（x－12）＝－（x－12）2－
2（x－12）＝－x2＋22x－120.
B
1. 求解与函数的周期有关的问题，应根据题目特征及周期的定义，求出函
数的周期.
2. 利用函数的周期性，可将其他区间上的求值、求零点个数、求解析式等
问题，转化到已知区间上，进而解决问题.
训练3 （1）函数f（x）满足f（x）f（x＋2）＝13，且f（3）＝2，则f
（2 025）＝（　C　）
A. 1 B.
C. D. 7
解析： 因为f（x）f（x＋2）＝13，所以f（x＋2）＝ ，所以f
（x＋4）＝ ＝ ＝f（x），所以f（x）的周期为4，所以f
（2 025）＝f（1）＝ ＝ .
C
（2）已知f（x）是R上最小正周期为2的周期函数，且当0≤x＜2时，f
（x）＝x3－x，则函数y＝f（x）的图象在区间[0，4]上与x轴的交点个
数为（　C　）
A. 3 B. 4
C. 5 D. 6
C
解析： 当0≤x＜2时，令f（x）＝x3－x＝x（x2－1）＝0，所以y＝f
（x）的图象与x轴交点的横坐标分别为x1＝0，x2＝1；当2≤x＜4时，
0≤x－2＜2，又f（x）的最小正周期为2，所以f（x－2）＝f（x），所
以f（x）＝（x－2）（x－1）（x－3），所以当2≤x＜4时，y＝f
（x）的图象与x轴交点的横坐标分别为x3＝2，x4＝3；又f（4）＝f（2）
＝f（0）＝0，综上可知，共有5个交点.
（3）〔多选〕（2025·广东深圳模拟）已知非常数函数f（x）的定义域为
R，满足f（x＋2）＋f（x）＝0，f（－x）＝－f（x），则
（　ACD　）
A. f（2）＝0
B. f（x＋4）为偶函数
C. f（x）为周期函数
D. f（x）的图象关于点（－4，0）对称
ACD
解析： 因为f（x＋2）＋f（x）＝0，所以f（x）＝－f（x＋2），f（x
＋4）＝－f（x＋2）＝f（x），所以f（x）是周期为4的周期函数，故C
正确；又f（－x）＝－f（x），所以f（x）为奇函数，f（0）＝0，所以
f（2）＋f（0）＝0，即f（2）＝0，故A正确；又f（x）的周期为4，且
为奇函数，所以f（x＋4）为奇函数，故B不正确；因为f（x）的图象关
于点（0，0）对称，所以f（x）的图象也关于点（－4，0）对称，故D
正确.
03
PART
课时跟踪检测
（时间：60分钟，满分：96分）
[备注：单选、填空题5分，多选题6分]
1. 已知函数f（x）的图象关于原点对称，且周期为4，若f（－1）＝2，
则f（2 025）＝（　　）
A. 2 B. 0
C. －2 D. －4
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√
解析： 因为函数f（x）的图象关于原点对称，且周期为4，所以f
（x）为奇函数，所以f（2 025）＝f（506×4＋1）＝f（1）＝－f（－
1）＝－2，故选C.
2. （2026·浙江杭州质检）函数f（x）＝ （　　）
A. 是奇函数
B. 是偶函数
C. 是非奇非偶函数
D. 既是奇函数也是偶函数
√
解析： 　函数f（x）＝ 的定义域为R，当x＞0时，－x
＜0，f（x）＝x－1，f（－x）＝－（－x）－1＝x－1＝f（x）；当x
＜0时，－x＞0，f（x）＝－x－1，f（－x）＝－x－1＝f（x）.综上所
述，f（－x）＝f（x）成立，所以函数f（x）为偶函数，故选B.
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3. 若奇函数f（x）的定义域为R，当x∈[0，＋∞）时，f（x）单调递
增，则f（－ ），f（π），f（－3）的大小关系是（　　）
A. f（π）＞f（－3）＞f（－ ）
B. f（π）＞f（－ ）＞f（－3）
C. f（π）＜f（－3）＜f（－ ）
D. f（π）＜f（－ ）＜f（－3）
√
解析： 　因为f（x）是奇函数，且当x∈[0，＋∞）时，f（x）单调递
增，故f（x）在R上单调递增，又－3＜－ ＜π，故f（－3）＜f（－
）＜f（π）.故选B.
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4. 设f（x）为R上的奇函数，当x∈（0，＋∞）时，f（x）＝x2－1，则
使f（x）＞0的x的取值范围是（　　）
A. {x｜x＞1}
B. {x｜－1＜x＜0}
C. {x｜x＜－1或x＞1}
D. {x｜－1＜x＜0或x＞1}
√
解析： 　当x∈（0，＋∞）时，f（x）＝x2－1，又f
（x）为R上的奇函数，作出f（x）的图象如图所示，由图
象可知，若f（x）＞0，则－1＜x＜0或x＞1.
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5. 〔多选〕已知函数f（x），g（x）的定义域均为R，若f（ －2x），
g（2＋x）均为偶函数，则下列结论一定正确的是（　　）
A. f（－1）＝f（2） B. g（2）＝1
C. f（1）＝f（2） D. g（－1）＝g（5）
√
√
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解析： 　因为f（ －2x）为偶函数，所以f（ －2x）＝f（ ＋
2x），即f（ －x）＝f（ ＋x），所以f（3－x）＝f（x）.令x＝2，
可得f（1）＝f（2），故C正确；A无法判断是否正确；因为g（2＋x）为
偶函数，所以g（2＋x）＝g（2－x），所以g（4－x）＝g（x），令x
＝5，可得g（－1）＝g（5），故D正确；因为无法判断g（2）的取值情
况，故B无法判断是否正确.故选C、D.
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6. 〔多选〕已知f（x）是定义在R上的偶函数，其周期为4，当x∈[0，2]
时，f（x）＝2x－2，则（　　）
A. f（2 026）＝2
B. f（x）的值域为[－1，2]
C. f（x）在[4，6]上单调递减
D. f（x）在[－6，6]上有8个零点
√
√
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解析： 　f（2 026）＝f（506×4＋2）＝f（2）＝2，所以A正确；当
x∈[0，2]时，f（x）＝2x－2单调递增，所以当x∈[0，2]时，函数的值
域为[－1，2]，由于函数是偶函数且周期为4，所以函数的值域为[－1，
2]，所以B正确；当x∈[0，2]时，f（x）＝2x－2单调递增，又函数的周
期为4，所以f（x）在[4，6]上单调递增，所以C错误；令f（x）＝2x－2
＝0，所以x＝1，所以f（1）＝f（－1）＝0，由于函数的周期为4，所以f
（5）＝f（－5）＝0，f（3）＝f（－3）＝0，所以f（x）在[－6，6]上
有6个零点，所以D错误.
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7. （2025·广东湛江一模）已知函数f（x）＝（2x－ ）· cos x是偶函
数，则实数a＝ .
解析：∵f（x）的定义域为R，f（－x）＝（2－x－ ）· cos （－x）＝
（－a·2x＋ ） cos x，f（x）为偶函数，∴f（－x）＝f（x），则－a
＝1，解得a＝－1.
－1　
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8. （2026·福建三明四校联考）已知函数f（x）＝ax3＋ ＋2且f（2
026）＝16，则f（－2 026）＝ .
解析：令g（x）＝f（x）－2＝ax3＋ ，则g（x）的定义域为{x｜
x≠0}，关于原点对称.因为g（－x）＝a（－x）3＋ ＝－ax3－
＝－g（x），所以g（x）为奇函数，所以g（2 026）＋g（－2 026）＝
0，所以f（2 026）－2＋f（－2 026）－2＝0，将f（2 026）＝16代入上
式，可得f（－2 026）＝－12.
－12　
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9. （13分）（2026·宁夏银川模拟）已知函数f（x）是偶函数.当x＞0
时，f（x）＝logax的图象过点（3，－1）.
（1）求实数a的值；
解： ∵当x＞0时，f（x）＝logax的图象过点（3，－1），∴loga3
＝－1，解得a＝ .
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（2）求函数f（x）的解析式；
解： 设x＜0，则－x＞0，∴f（－x）＝lo （－x），
又∵f（x）为偶函数，
∴f（x）＝f（－x）＝lo （－x）.
综上所述，f（x）＝
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（3）求不等式f（x）＜1的解集.
解： ∵f（x）为偶函数，且在（0，＋∞）上单调递减，
1＝lo ＝f（ ），
∴f（x）＜1 f（x）＜f（ ），
∴｜x｜＞ ，
解得x＜－ 或x＞ .
故不等式的解集为{x｜x＜－ 或x＞ }.
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10. （2025·湖北武汉二调）函数f（x）满足：f（x＋1）＝f（x）＋f
（x＋2），若f（1）＝2，f（11）＝3，则f（2 025）＝（　　）
A. 1 B. －1
√
C. 5 D. －5
解析： 　由题意可得：f（x＋2）＝f（x＋1）－f（x），用x＋1代替x
可得：f（x＋3）＝f（x＋2）－f（x＋1），两式相加得：f（x＋3）＝
－f（x），所以f（x＋6）＝－f（x＋3）＝f（x），所以函数f（x）是
以6为周期的周期函数.所以f（11）＝f（5）＝3.又f（5）＝－f（2），
所以f（2）＝－3.所以f（3）＝f（2）－f（1）＝－3－2＝－5.所以f（2
025）＝f（337×6＋3）＝f（3）＝－5.故选D.
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11. 已知函数g（x）对任意的x∈R，有g（x）－g（－x）＝2x，设函
数f（x）＝g（x）－x，且f（x）在区间[0，＋∞）上单调递增.若f
（a）－f（2a＋1）＞0，则实数a的取值范围为（　　）
A. （－1，－ ） B. （－∞，－1）
C. （－1，0） D. （－∞，－ ）
√
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解析： 　因为函数g（x）对任意的x∈R，有g（x）－g（－x）＝
2x，f（x）＝g（x）－x（x∈R），则f（－x）＝g（－x）＋x＝g
（x）－2x＋x＝g（x）－x＝f（x），所以函数f（x）为偶函数.又函
数f（x）在区间[0，＋∞）上单调递增，所以由f（a）－f（2a＋1）＞
0，得f（a）＞f（2a＋1），即f（｜a｜）＞f（｜2a＋1｜），则｜
a｜＞｜2a＋1｜，解得－1＜a＜－ ，故实数a的取值范围为（－1，－
）.故选A.
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12. 〔多选〕（2026·江苏苏州调研）定义在R上的函数f（x）满足f（x＋
y）＝f（x）＋f（y），当x＜0时，f（x）＞0，则函数f（x）满足
（　　）
A. f（0）＝0
B. y＝f（x）为奇函数
C. f（x）在R上是增函数
D. f（x－1）＋f（x2－1）＞0的解集为{x｜－2＜x＜1}
√
√
√
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解析： 　由题意，定义在R上的函数f（x）满足f（x＋y）＝f（x）
＋f（y），对于A，令x＝y＝0，则f（0）＝f（0）＋f（0），即f（0）
＝0，故A正确；对于B，令y＝－x，则f（0）＝f（x）＋f（－x）＝0，
即f（－x）＝－f（x），所以y＝f（x）为奇函数，故B正确；对于C，
任取x1，x2∈R，且x1＜x2，则f（x1）－f（x2）＝f（x1－x2＋x2）－f
（x2）＝f（x1－x2）＋f（x2）－f（x2）＝f（x1－x2），因为x1＜x2，所
以x1－x2＜0，所以f（x1－x2）＞0，即f（x1）＞f（x2），所以函数f
（x）在R上是减函数，故C错误；对于D，由f（x－1）＋f（x2－1）＞
0，可得f（x－1）＞－f（x2－1）＝f（1－x2），由C知函数f（x）在R
上是减函数，所以x－1＜1－x2，解得－2＜x＜1，所以f（x－1）＋f
（x2－1）＞0的解集为{x｜－2＜x＜1}，故D正确.
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13. 已知函数f（x）的定义域为R，y＝f（x）＋ex是偶函数，y＝f
（x）－3ex是奇函数，则函数f（x）的最小值为 .
解析：因为函数y＝f（x）＋ex是偶函数，则f（－x）＋e－x＝f（x）＋
ex，即f（x）－f（－x）＝e－x－ex　①，又因为函数y＝f（x）－3ex是
奇函数，则f（－x）－3e－x＝－f（x）＋3ex，即f（x）＋f（－x）＝
3ex＋3e－x　②，联立①②可得f（x）＝ex＋2e－x，由基本不等式可得f
（x）＝ex＋2e－x≥2 ＝2 ，当且仅当ex＝2e－x，即x＝ ln 2
时等号成立，故函数f（x）的最小值为2 .
2 　
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14. （15分）设f（x）是定义在R上的奇函数，且对任意实数x，恒有f
（x＋2）＝－f（x）.当x∈[0，2]时，f（x）＝2x－x2.
（1）求证：f（x）是周期函数；
解： 证明：∵f（x＋2）＝－f（x），
∴f（x＋4）＝－f（x＋2）＝f（x）.
∴f（x）是周期为4的周期函数.
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（2）当x∈[2，4]时，求f（x）的解析式；
解： 当x∈[－2，0]时，－x∈[0，2]，
由已知得f（－x）＝2（－x）－（－x）2＝－2x－x2.
又f（x）是奇函数，∴f（－x）＝－f（x）＝－2x－x2.
∴f（x）＝x2＋2x.
又当x∈[2，4]时，x－4∈[－2，0]，
∴f（x－4）＝（x－4）2＋2（x－4）.
又f（x）是周期为4的周期函数，
∴f（x）＝f（x－4）＝（x－4）2＋2（x－4）＝x2－6x＋8.
∴当x∈[2，4]时，f（x）＝x2－6x＋8.
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（3）计算f（0）＋f（1）＋f（2）＋…＋f（2 026）.
解： f（0）＝0，f（1）＝1，f（2）＝0，f（3）＝－1.
又f（x）是周期为4的周期函数，
∴f（0）＋f（1）＋f（2）＋f（3）＝f（4）＋f（5）＋f（6）＋f（7）
＝…＝f（2 020）＋f（2 021）＋f（2 022）＋f（2 023）＝0，
∴f（0）＋f（1）＋f（2）＋…＋f（2 026）＝506×[f（0）＋f（1）＋f
（2）＋f（3）]＋f（2 024）＋f（2 025）＋f（2 026）
＝0＋f（2 024）＋f（2 025）＋f（2 026）
＝0＋f（0）＋f（1）＋f（2）＝1.
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15. 〔创新设问〕定义在R上的不恒为零的偶函数f（x）满足xf（x＋2）
＝（x＋2）f（x），且f（2）＝4.则 [f（2k）＋f（－2k）]＝
（　　）
A. 30 B. 60
C. 90 D. 120
√
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解析： 由题意可知， ＝ ，且 ＝2，则 ＝
＝ ＝ ＝ ＝2，所以f（2）＋f（4）＋f（6）
＋f（8）＋f（10）＝2（2＋4＋6＋8＋10）＝60，因为函数f（x）为偶函
数，所以f（－2）＋f（－4）＋f（－6）＋f（－8）＋f（－10）＝60，
则 [f（2k）＋f（－2k）]＝60＋60＝120.
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