资源简介

第5节　幂函数与二次函数
（时间：60分钟，满分：95分）
[备注：单选、填空题5分，多选题6分]
1.探究幂函数f（x）＝xα当α＝2，3，，－1时的性质，若该函数在定义域内为奇函数，且在（0，＋∞）上单调递增，则α＝（　　）
A.2 B.3
C. D.－1
2.已知a＝，b＝，c＝1，则（　　）
A.a＜b＜c B.b＜c＜a
C.b＜a＜c D.c＜a＜b
3.若二次函数g（x）满足g（1）＝1，g（－1）＝5，且图象过原点，则g（x）的解析式为（　　）
A.g（x）＝2x2－3x B.g（x）＝3x2－2x
C.g（x）＝3x2＋2x D.g（x）＝－3x2－2x
4.已知函数f（x）＝ax2＋bx＋c，若a＞b＞c，且a＋b＋c＝0，则函数f（x）的图象可能是（　　）
5.已知m＞1，点（1－m，y1），（m，y2），（m＋1，y3）都在二次函数y＝x2－2x的图象上，则（　　）
A.y1＜y2＜y3 B.y3＜y2＜y1
C.y1＝y3＜y2 D.y2＜y1＝y3
6.〔多选〕已知幂函数f（x）＝（2m2＋m－2）xm－3，m∈N*，则下列结论正确的有（　　）
A.m＝1
B.函数f（x）在定义域内单调递减
C.f（－2）＜f（3）
D.函数f（x）的值域为（0，＋∞）
7.已知函数f（x）＝x2－2（a－1）x＋a，若对于区间[－1，2]上的任意两个不相等的实数x1，x2，都有f（x1）≠f（x2），则实数a的取值范围为　　　　.
8.（2026·广东东莞七校联考）已知A＝{α，β} {－1，，2，3}，若函数f（x）＝xα与g（x）＝xβ的图象只有1个交点，则写出一个符合条件的集合A＝　　　　；若有两个交点，则满足条件的不同集合A有　　　　个.
9.（13分）已知幂函数f（x）＝（2k－1）（m∈N*）为偶函数，且在（0，＋∞）上单调递减.
（1）求m和k的值；
（2）求满足（2a＋1）－m＜（3－2a）－m的实数a的取值范围.
10.直线y＝1，y＝x，x＝1及幂函数y＝x－1的图象将直角坐标系第一象限分为8个部分（如图所示），那么幂函数y＝的图象在第一象限中经过（　　）
A.③⑦　　B.③⑧　　C.④⑦　　D.①⑤
11.函数f（x）＝x2－4x＋2在区间[a，b]上的值域为[－2，2]，则b－a的取值范围是（　　）
A.[0，2] B.[2，4] C.[0，4] D.[4，＋∞）
12.〔多选〕（2025·山东青岛一模）已知函数f（x）＝x2－2x＋a有两个零点x1，x2，以下结论正确的是（　　）
A.a＜1
B.若x1x2≠0，则＋＝
C.f（－1）＝f（3）
D.函数y＝f（｜x｜）有四个零点
13.已知关于x的方程ax2＋x＋2＝0的两个实根一个小于0，另一个大于1，则实数a的取值范围是　　　　.
14.（15分）（2026·福建福州模拟）已知二次函数f（x）＝ax2－x＋2a－1.
（1）若f（x）在区间[1，2]上单调递减，求a的取值范围；
（2）若a＞0，设函数f（x）在区间[1，2]上的最小值为g（a），求g（a）的表达式.
15.〔创新设问〕设函数f（x）＝，g（x）＝ax2＋bx（a，b∈R，a≠0），若y＝f（x）的图象与y＝g（x）的图象有且仅有两个不同的公共点A（x1，y1），B（x2，y2），则下列判断正确的是（　　）
A.当a＜0时，x1＋x2＜0，y1＋y2＞0　　　　　
B.当a＜0时，x1＋x2＞0，y1＋y2＜0
C.当a＞0时，x1＋x2＜0，y1＋y2＜0
D.当a＞0时，x1＋x2＞0，y1＋y2＞0
第5节　幂函数与二次函数
1.B　2.A　3.B　4.D　5.D　
6.AD　由f（x）＝（2m2＋m－2）xm－3为幂函数可得2m2＋m－2＝1，解得m＝1或m＝－，又m∈N*，所以m＝1，所以f（x）＝x－2＝，故A正确；因为函数f（x）的定义域为（－∞，0）∪（0，＋∞），关于原点对称，由f（－x）＝＝＝f（x），知函数f（x）为偶函数，由于－2＜0，故f（x）＝x－2在区间（0，＋∞）上单调递减，根据偶函数性质知f（x）＝x－2在区间（－∞，0）上单调递增，故B错误；f（－2）＝＝＞＝＝f（3），故C错误；因为f（x）的定义域为（－∞，0）∪（0，＋∞），则x2＞0，所以f（x）＝的值域为（0，＋∞），故D正确.
7.（－∞，0]∪[3，＋∞）
8.{－1，}（答案不唯一）　4　解析：函数y＝x－1的图象与y＝，y＝x2，y＝x3的图象分别有1个，1个，2个交点；函数y＝的图象与y＝x2，y＝x3的图象都有2个交点；函数y＝x2的图象与y＝x3的图象有2个交点.若函数f（x）＝xα与g（x）＝xβ的图象只有1个交点，则A＝{－1，}或A＝{－1，2}.若函数f（x）＝xα与g（x）＝xβ的图象有2个交点，则A＝{－1，3}或{，2}或{，3}或{2，3}.
9.解：（1）由函数f（x）＝（2k－1）为幂函数，则2k－1＝1，解得k＝1.
由f（x）＝（m∈N*）在（0，＋∞）上单调递减，得m2－2m－3＜0，解得－1＜m＜3，
而m∈N*，故m＝1或2，
当m＝1时，f（x）＝x－4，定义域为{x｜x≠0}，且f（x）为偶函数，符合题意；
当m＝2时，f（x）＝x－3，定义域为{x｜x≠0}，函数为奇函数，不符合题意，故m＝1，k＝1.
（2）由（1）得m＝1，则（2a＋1）－1＜（3－2a）－1，
即＜，故2a＋1＞3－2a＞0或0＞2a＋1＞3－2a或2a＋1＜0＜3－2a，
解得＜a＜或a∈ 或a＜－.
故实数a的取值范围为（ －∞，－）∪（ ，）.
10.D　在第一象限内，直线x＝1的左侧，幂函数的指数越大图象越接近于x轴，∵－＞－1，∴在直线x＝1的左侧，y＝的图象位于y＝x－1图象的下方，直线y＝1的上方，故经过⑤；在第一象限内，直线x＝1的右侧，幂函数的指数越小图象越接近于x轴，∴在直线x＝1的右侧y＝的图象位于y＝x－1图象的上方，直线y＝1的下方，故经过①.故选D.
11.B　解方程x2－4x＋2＝2，得x＝0或x＝4，解方程x2－4x＋2＝－2，得x＝2，由于函数f（x）在区间[a，b]上的值域为[－2，2].若函数f（x）在区间[a，b]上单调，则[a，b]＝[0，2]或[a，b]＝[2，4]，此时b－a取得最小值2；若函数f（x）在区间[a，b]上不单调，且当b－a取最大值时，[a，b]＝[0，4]，所以b－a的最大值为4，所以b－a的取值范围是[2，4].
12.ABC　二次函数对应二次方程根的判别式Δ＝（－2）2－4a＝4－4a＞0，a＜1，故A正确；由根与系数的关系得，x1＋x2＝2，x1x2＝a，＋＝＝，故B正确；因为f（x）的对称轴为x＝1，点（－1，f（－1）），（3，f（3））关于对称轴对称，故C正确；当a＝0时，y＝f（｜x｜）＝｜x｜2－2｜x｜＝｜x｜（｜x｜－2）＝0有三个零点，故D不正确.
13.（－3，0）　解析：关于x的方程ax2＋x＋2＝0对应的二次函数为f（x）＝ax2＋x＋2，若a＞0，则图象开口向上，ax2＋x＋2＝0的两个实根一个小于0，另一个大于1，只需f（0）＜0，且f（1）＜0，即2＜0且a＋3＜0，则a∈ ；若a＜0，则函数图象开口向下，ax2＋x＋2＝0的两个实根一个小于0，另一个大于1，只需f（0）＞0，且f（1）＞0，即2＞0且a＋3＞0，则－3＜a＜0.综上可得a的取值范围是（－3，0）.
14.解：（1）由题意知a≠0.
当a＞0时，f（x）＝ax2－x＋2a－1的图象开口向上，对称轴方程为x＝，
所以f（x）在区间[1，2]上单调递减需满足≥2，
又a＞0，所以0＜a≤；
当a＜0时，f（x）＝ax2－x＋2a－1的图象开口向下，对称轴方程为x＝＜0，
所以f（x）在区间[1，2]上单调递减恒成立.
综上，a的取值范围是（－∞，0）∪（ 0，］.
（2）①当0＜≤1，即a≥时，
f（x）在区间[1，2]上单调递增，
此时g（a）＝f（1）＝3a－2；
②当1＜＜2，即＜a＜时，
f（x）在区间［1，］上单调递减，在区间［，2］上单调递增，此时g（a）＝f（ ）＝2a－－1；
③当≥2，即0＜a≤时，
f（x）在区间[1，2]上单调递减，
此时g（a）＝f（2）＝6a－3.
综上所述，g（a）＝
15.B　令f（x）＝g（x），可得＝ax＋b.设F（x）＝，G（x）＝ax＋b，根据题意，F（x）＝的图象与G（x）＝ax＋b的图象只有两个交点，
不妨设x1＜x2，结合图形可知，当a＞0时（如图1），G（x）＝ax＋b的图象与F（x）＝图象的左支相切，与右支有一个交点，根据对称性可得｜x1｜＞x2，即－x1＞x2＞0，此时x1＋x2＜0，y2＝＞＝－y1，∴y1＋y2＞0；同理可得，当a＜0时（如图2），x1＋x2＞0，y1＋y2＜0.
1 / 1第5节　幂函数与二次函数
1.通过具体实例，了解幂函数及其图象的变化规律. 2.掌握二次函数的图象与性质（单调性、对称性、顶点、最值等），能用二次函数、方程、不等式之间的关系解决简单问题.
知识梳理
1.幂函数
（1）幂函数的定义
一般地，函数　　　　叫做幂函数，其中x是自变量，α是常数；
（2）常见的五种幂函数的图象
（3）幂函数的性质
①幂函数在（0，＋∞）上都有定义；
②当α＞0时，幂函数的图象都过点　　　和　　　　，且在（0，＋∞）上单调递增；
③当α＜0时，幂函数的图象都过点　　　，且在（0，＋∞）上单调递减；
④当α为奇数时，y＝xα为　　　　，当α为偶数时，y＝xα为　　　　.
2.二次函数解析式的三种形式
（1）一般式：f（x）＝　　　　　　　　（a≠0）；
（2）顶点式：f（x）＝a（x－h）2＋k（a≠0），顶点坐标为　　　　；
（3）零点式：f（x）＝a（x－x1）（x－x2）（a≠0），x1，x2为f（x）的　　　　.
3.二次函数的图象和性质
解析式 f（x）＝ax2＋bx＋c（a＞0） f（x）＝ax2＋bx＋c（a＜0）
图象
定义域 R R
值域
单调性 在x∈（ －∞，－］ 上单调递减； 在x∈　　　　　上单调递增 在x∈（ －∞，－］ 上单调递增； 在x∈　　　　　上单调递减
对称性 函数的图象关于直线x＝　　　　对称
提醒：注意二次项系数对函数性质的影响，经常分二次项系数大于零与小于零两种情况讨论.
1.幂函数的性质 （1）当x∈（0，1）时，α越大，函数值越小，其图象越接近x轴（简记为“指大图低”）；当x∈（1，＋∞）时，α越大，函数值越大，其图象越远离x轴（简记为“指大图高”）； （2）任何幂函数的图象与坐标轴仅相交于原点，或不相交，任何幂函数的图象都不过第四象限； （3）任何两个幂函数的图象最多有三个公共点.除（1，1），（0，0），（－1，1），（－1，－1）外，其他任何一点都不是两个幂函数的公共点； （4）幂函数f（x）＝（m，n互质），当m为偶数时，函数为偶函数；当m为奇数，n为偶数时，函数为非奇非偶函数. 2.二次函数的单调性、最值与抛物线的开口方向和对称轴及给定区间的范围有关. 3.若f（x）＝ax2＋bx＋c（a≠0），则当时，恒有f（x）＞0；当时，恒有f（x）＜0.
诊断自测
1.判断正误.（正确的画“√”，错误的画“×”）
（1）函数y＝2是幂函数.（　　）
（2）幂函数y＝xn（n＞0）在（0，＋∞）上单调递增.（　　）
（3）二次函数y＝ax2＋bx＋c（x∈R）不可能是偶函数.（　　）
（4）若幂函数的图象与坐标轴相交，则交点一定是原点.（　　）
2.已知幂函数y＝f（x）的图象过点，则f（4）＝（　　）
A. B.4
C. D.
3.若函数f（x）＝4x2－kx－8在［－，］上单调递减，则实数k的取值范围是（　　）
A.[2，＋∞） B.[－2，＋∞）
C.（－∞，2] D.（－∞，－2]
4.若幂函数y＝x－1，y＝xm与y＝xn在第一象限内的图象如图所示，则m与n的取值情况为（　　）
A.－1＜m＜0＜n＜1
B.－1＜n＜0＜m＜
C.－1＜m＜0＜n＜
D.－1＜n＜0＜m＜1
5.已知y＝f（x）为二次函数，若y＝f（x）在x＝2处取得最小值－4，且y＝f（x）的图象经过原点，则函数解析式为　　　　.
幂函数的图象与性质
（基础自学过关）
1.（2026·福建福州模拟）已知函数y＝f（x）的图象如图所示，则y＝f（x）的解析式可能是（　　）
A.y＝ B.y＝
C.y＝x3 D.y＝
2.〔多选〕（2026·辽宁葫芦岛质检）已知函数f（x）＝xα（α为常数），则下列说法正确的是（　　）
A.函数f（x）的图象恒过定点（0，0）
B.当α＝－1时，函数f（x）是减函数
C.当α＝3时，函数f（x）是奇函数
D.当α＝时，函数f（x）的值域为[0，＋∞）
3.已知幂函数f（x）＝（3m2＋m－1）xm为偶函数，且a＝f（－2），b＝f（e），c＝f（1），则（　　）
A.b＜c＜a B.c＜b＜a
C.a＜b＜c D.c＜a＜b
4.（2025·广东广州模拟预测）若（m＋1）－1＜（3－2m）－1，则实数m的取值范围为　　　　.
1.对于幂函数的图象，只要抓住在第一象限内三条线分第一象限为六个区域，即x＝1，y＝1，y＝x所分区域.根据α＜0，0＜α＜1，α＝1，α＞1的取值确定位置后，其余象限部分由奇偶性决定. 2.在比较幂值的大小时，必须结合幂值的特点，选择适当的函数，借助其单调性进行比较.
二次函数的解析式
（师生共研过关）
〔一题多解〕已知二次函数f（x）满足f（2）＝－1，f（－1）＝－1，且f（x）的最大值是8，求二次函数f（x）的解析式.
求二次函数解析式的方法
训练1 （1）已知f（x）为二次函数，且f（x）＝x2＋f'（x）－1，则f（x）＝（　　）
A.x2－2x＋1 B.x2＋2x＋1
C.2x2－2x＋1 D.2x2＋2x－1
（2）已知二次函数f（x）的图象经过点（4，3），在x轴上截得的线段长为2，并且对任意x∈R，都有f（2－x）＝f（2＋x），则f（x）＝　　　　.
二次函数的图象与性质
（定向精析突破）
考向1　二次函数的图象
（1）设函数f（x）＝x2＋x＋a（a＞0），若f（m）＜0，则（　　）
A.f（m＋1）≥0 B.f（m＋1）≤0
C.f（m＋1）＞0 D.f（m＋1）＜0
（2）〔多选〕如图是二次函数y＝ax2＋bx＋c（a≠0）图象的一部分，图象的对称轴为x＝－1.则下面四个结论中正确的为（　　）
A.b2＞4ac B.2a－b＝1
C.a－b＋c＝0 D.5a＜b
听课记录
识别二次函数图象应学会“三看”
考向2　二次函数的单调性与最值
已知函数f（x）＝x2－tx－1，若x∈[－1，2]，求f（x）的最小值g（t）.
　　二次函数在闭区间上的最值主要有三种类型：轴定区间定、轴动区间定、轴定区间动.无论哪种类型，解题的关键都是图象的对称轴与区间的位置关系，当含有参数时，要依据图象的对称轴与区间的位置关系进行分类讨论.
训练2 （1）设abc＞0，二次函数f（x）＝ax2＋bx＋c的图象可能是（　　）
（2）（2026·浙江宁波模拟）已知二次函数f（x）满足f（2＋x）＝f（2－x），且f（x）在[0，2]上单调递增，若f（a）≥f（0），则实数a的取值范围是（　　）
A.[0，＋∞）　　　　B.（－∞，0]
C.[0，4] D.（－∞，0]∪[4，＋∞）
（3）已知函数y＝x2－3x－4的定义域是[－1，m]，值域为［－，0］，则m的取值范围是（　　）
A.（0，4] B.［，4］
C.［，3］ D.［，＋∞）
一元二次方程根的分布
　　解决由一个一元二次方程根的分布情况，确定方程中系数的取值范围问题，主要从以下三个方面建立关于系数的不等式（组）进行求解：
（1）判别式Δ的符号；
（2）对称轴x＝－与所给区间的位置关系；
（3）区间端点处函数值的符号.
关于x的方程x2＋（m－3）x＋m＝0满足下列条件，求m的取值范围.
（1）一个根小于2，一个根大于4；
（2）有两个不相等的正根；
（3）一个根在（－2，0）内，另一个根在（0，4）内；
（4）两个不相等的根都在（0，2）内.
第5节　幂函数与二次函数
【夯实必备知识】
知识梳理
1.（1）y＝xα　（3）②（1，1）　（0，0）　③（1，1）　④奇函数　偶函数
2.（1）ax2＋bx＋c　（2）（h，k）　（3）零点
3.（ －，＋∞）　（ －，＋∞）　－
诊断自测
1.（1）×　（2）√　（3）×　（4）√
2.A　3.A　4.D　5.f（x）＝x2－4x
【研透核心考点】
考点1
1.D　2.CD　3.D　
4.（－∞，－1）∪（ ，）
考点2
【例1】　解：法一（利用二次函数的一般式） 设f（x）＝ax2＋bx＋c（a≠0）.
由题意得解得
故所求二次函数解析式为f（x）＝－4x2＋4x＋7.
法二（利用二次函数的顶点式） 设f（x）＝a（x－m）2＋n（a≠0）.
∵f（2）＝f（－1），
∴二次函数图象的对称轴为x＝＝.
∴m＝，又根据题意函数有最大值8，∴n＝8，
∴f（x）＝a＋8.
∵f（2）＝－1，∴a＋8＝－1，解得a＝－4，
∴f（x）＝－4＋8＝－4x2＋4x＋7.
法三（利用二次函数的零点式）　由已知f（x）＋1＝0的两根为x1＝2，x2＝－1，
故可设f（x）＋1＝a（x－2）（x＋1）（a≠0），
即f（x）＝ax2－ax－2a－1.
又函数有最大值8，即＝8.
解得a＝－4或a＝0（舍去），
故所求函数解析式为f（x）＝－4x2＋4x＋7.
训练1　（1）B　（2）x2－4x＋3
解析：（1）（一般式）　设f（x）＝ax2＋bx＋c（a≠0），则f'（x）＝2ax＋b，由f（x）＝x2＋f'（x）－1可得ax2＋bx＋c＝x2＋2ax＋（b－1），所以解得因此f（x）＝x2＋2x＋1.故选B.
（2）（零点式）　因为f（2－x）＝f（2＋x）对x∈R恒成立，所以f（x）的对称轴为x＝2.又因为f（x）的图象在x轴上截得的线段长为2，所以f（x）＝0的两根为1和3.设f（x）＝a（x－1）（x－3）（a≠0）.又因为f（x）的图象经过点（4，3），所以3a＝3，a＝1.所以所求二次函数的解析式为f（x）＝（x－1）（x－3），即f（x）＝x2－4x＋3.
考点3
【例2】　（1）C　（2）AD
解析：（1）因为f（x）的对称轴为x＝－，f（0）＝a＞0，所以f（x）的大致图象如图所示，由f（m）＜0，得－1＜m＜0，所以m＋1＞0，所以f（m＋1）＞f（0）＞0.
（2）因为图象与x 轴交于两点，所以b2－4ac＞0，即b2＞4ac，A正确；对称轴为x＝－1，即－＝－1，2a－b＝0，B错误；结合图象，当x＝－1时，y＞0，即a－b＋c＞0，C错误；由对称轴为x＝－1知，b＝2a.根据抛物线开口向下，知a＜0，所以5a＜2a，即5a＜b，D正确.
【例3】　解：f（x）的对称轴为x＝，
①当≥2，即t≥4时，f（x）在[－1，2]上单调递减，所以f（x）min＝f（2）＝3－2t；
②当－1＜＜2，即－2＜t＜4时，f（x）min＝f（ ）＝－1－；
③当≤－1，即t≤－2时，f（x）在[－1，2]上单调递增，所以f（x）min＝f（－1）＝t.
综上，g（t）＝
训练2　（1）D　（2）C　（3）B
解析：（1）A中，a＜0，b＜0，c＜0，不符合题意；B中，a＜0，b＞0，c＞0，不符合题意；C中，a＞0，b＞0，c＜0，不符合题意；D中，a＞0，b＜0，c＜0，符合题意，故选D.
（2）由f（2＋x）＝f（2－x）可知，函数f（x）图象的对称轴为直线x＝2，又函数f（x）在[0，2]上单调递增，所以由f（a）≥f（0）可得0≤a≤4.
（3）
设f（x）＝x2－3x－4＝（ x－）2－，x∈R，所以f（x）的图象是开口向上的抛物线，其对称轴方程为x＝，如图所示，所以f（ ）＝－，易知f（－1）＝f（4）＝0，由图可知，要使函数y＝x2－3x－4的定义域是[－1，m]，值域为［－，0］，则m的取值范围是［，4］.
衔接教材
【例】　解：令f（x）＝x2＋（m－3）x＋m.
（1）若方程x2＋（m－3）x＋m＝0的一个根小于2，一个根大于4，则
解得m＜－.
故m的取值范围为（ －∞，－）.
（2）由题意得解得0＜m＜1.
故m的取值范围为（0，1）.
（3）若方程x2＋（m－3）x＋m＝0的一个根在（－2，0）内，另一个根在（0，4）内，
则解得－＜m＜0.
故m的取值范围为（ －，0）.
（4）若方程x2＋（m－3）x＋m＝0的两个根都在（0，2）内，
则
解得＜m＜1.
故m的取值范围为（ ，1）.
1 / 1(共70张PPT)
第5节　幂函数与二次函数
课标要求
1. 通过具体实例，了解幂函数及其图象的变化规律.
2. 掌握二次函数的图象与性质（单调性、对称性、顶点、最值等），能用二次函数、方程、不等式之间的关系解决简单问题.
目录/
CONTENTS
夯实必备知识
01
研透核心考点
02
课时跟踪检测
03
01
PART
夯实必备知识
知识梳理
1. 幂函数
（1）幂函数的定义
一般地，函数 叫做幂函数，其中x是自变量，α是常数；
（2）常见的五种幂函数的图象
y＝xα　
①幂函数在（0，＋∞）上都有定义；
②当α＞0时，幂函数的图象都过点 和 ，且在
（0，＋∞）上单调递增；
③当α＜0时，幂函数的图象都过点 ，且在（0，＋∞）上单
调递减；
④当α为奇数时，y＝xα为 ，当α为偶数时，y＝xα为
.
（3）幂函数的性质
（1，1）　
（0，0）　
（1，1）　
奇函数　
偶函
数　
2. 二次函数解析式的三种形式
（1）一般式：f（x）＝ （a≠0）；
（2）顶点式：f（x）＝a（x－h）2＋k（a≠0），顶点坐标为
；
（3）零点式：f（x）＝a（x－x1）（x－x2）（a≠0），x1，x2为f
（x）的 .
ax2＋bx＋c　
（h，
k）　
零点　
3. 二次函数的图象和性质
解析式 f（x）＝ax2＋bx＋c（a
＞0） f（x）＝ax2＋bx＋c（a＜0）
图象
定义域 R R
值域
解析式 f（x）＝ax2＋bx＋c（a
＞0） f（x）＝ax2＋bx＋c（a＜0）
单调性 在x∈（－∞，－ ］上
单调递减； 在x∈
上单调递增 在x∈（－∞，－ ］上单调递
增；
在x∈ 上单调
递减
对称性 函数的图象关于直线x＝ 对称
（－ ，＋
∞）　
（－ ，＋∞）　
－ 　
提醒：注意二次项系数对函数性质的影响，经常分二次项系数大于零与小
于零两种情况讨论.
1. 幂函数的性质
（1）当x∈（0，1）时，α越大，函数值越小，其图象越接近x轴（简记
为“指大图低”）；当x∈（1，＋∞）时，α越大，函数值越大，其图象
越远离x轴（简记为“指大图高”）；
（2）任何幂函数的图象与坐标轴仅相交于原点，或不相交，任何幂函数
的图象都不过第四象限；
（3）任何两个幂函数的图象最多有三个公共点.除（1，1），（0，
0），（－1，1），（－1，－1）外，其他任何一点都不是两个幂函数
的公共点；
（4）幂函数f（x）＝ （m，n互质），当m为偶数时，函数为偶函
数；当m为奇数，n为偶数时，函数为非奇非偶函数.
2. 二次函数的单调性、最值与抛物线的开口方向和对称轴及给定区间的范
围有关.
3. 若f（x）＝ax2＋bx＋c（a≠0），则当 时，恒有f（x）＞
0；当 时，恒有f（x）＜0.
诊断自测
1. 判断正误.（正确的画“√”，错误的画“×”）
（1）函数y＝2 是幂函数. （　×　）
（2）幂函数y＝xn（n＞0）在（0，＋∞）上单调递增. （　√　）
（3）二次函数y＝ax2＋bx＋c（x∈R）不可能是偶函数. （　×　）
（4）若幂函数的图象与坐标轴相交，则交点一定是原点. （　√　）
×
√
×
√
2. 已知幂函数y＝f（x）的图象过点 ，则f（4）＝（　　）
A. B. 4
C. D.
√
解析： 　设f（x）＝xα，∵图象过点 ，∴f（2）＝2α＝ ，解
得α＝－1，∴f（4）＝4－1＝ .
3. 若函数f（x）＝4x2－kx－8在［－ ， ］上单调递减，则实数k的取
值范围是（　　）
A. [2，＋∞） B. [－2，＋∞）
C. （－∞，2] D. （－∞，－2]
√
解析： 　函数f（x）＝4x2－kx－8图象的对称轴为直线x＝ ，由于f
（x）在［－ ， ］上单调递减，所以 ≥ k≥2.
4. 若幂函数y＝x－1，y＝xm与y＝xn在第一象限内的图象如图所示，则m
与n的取值情况为（　　）
A. －1＜m＜0＜n＜1 B. －1＜n＜0＜m＜
C. －1＜m＜0＜n＜ D. －1＜n＜0＜m＜1
√
解析： 　幂函数y＝xα，当α＞0时，y＝xα在（0，＋∞）上单调递
增，且0＜α＜1时，图象上凸，所以0＜m＜1；当α＜0时，y＝xα在
（0，＋∞）上单调递减.不妨令x＝2，由图象得2－1＜2n，则－1＜n＜
0，综上可知，－1＜n＜0＜m＜1.故选D.
5. 已知y＝f（x）为二次函数，若y＝f（x）在x＝2处取得最小值－4，
且y＝f（x）的图象经过原点，则函数解析式为 .
解析：由题意，可设f（x）＝a（x－2）2－4（a＞0），又图象过原点，
所以f（0）＝4a－4＝0，a＝1，所以f（x）＝（x－2）2－4＝x2－4x.
f（x）＝x2－4x　
02
PART
研透核心考点
幂函数的图象与性质（基础自学过关）
1. （2026·福建福州模拟）已知函数y＝f（x）的图象如图所示，则y＝f
（x）的解析式可能是（　　）
A. y＝ B. y＝
C. y＝x3 D. y＝
√
解析： 对于A，函数y＝ ＝ 的定义域为[0，＋∞），显然不符合
题意，故A错误；对于B，函数y＝ ＝ 的定义域为（0，＋∞），显
然不符合题意，故B错误；对于C，函数y＝x3的定义域为R，又y＝x3为奇
函数，且在（0，＋∞）上函数y＝x3的图象下凸递增，故不符合题意，故
C错误；对于D，函数y＝ ＝ 的定义域为R，又y＝ 为奇函数，且
在（0，＋∞）上函数y＝ 的图象上凸递增，故D正确.
2. 〔多选〕（2026·辽宁葫芦岛质检）已知函数f（x）＝xα（α为常
数），则下列说法正确的是（　　）
A. 函数f（x）的图象恒过定点（0，0）
B. 当α＝－1时，函数f（x）是减函数
C. 当α＝3时，函数f（x）是奇函数
D. 当α＝ 时，函数f（x）的值域为[0，＋∞）
√
√
解析： 　当α＝－1时，f（x）＝ 不过点（0，0），A错误；当α＝
－1时，f（x）＝ 分别在（－∞，0），（0，＋∞）上单调递减，在定
义域上不单调，B错误；当α＝3时，f（x）＝x3的定义域为R，且f（－
x）＝（－x）3＝－x3＝－f（x），所以函数f（x）是奇函数，C正确；
当α＝ 时，f（x）＝ 的值域为[0，＋∞），D正确.
3. 已知幂函数f（x）＝（3m2＋m－1）xm为偶函数，且a＝f（－2），b
＝f（e），c＝f（1），则（　　）
A. b＜c＜a B. c＜b＜a
C. a＜b＜c D. c＜a＜b
√
解析： 　因为f（x）＝（3m2＋m－1）xm是幂函数，所以3m2＋m－1
＝1，解得m＝－1或m＝ ，又因为f（x）是偶函数，所以m＝ ，故f
（x）＝ ，因为 ＞0，所以f（x）在（0，＋∞）上单调递增，又a＝f
（－2）＝f（2），且1＜2＜e，所以f（1）＜f（2）＜f（e），即c＜a
＜b.
4. （2025·广东广州模拟预测）若（m＋1）－1＜（3－2m）－1，则实数m
的取值范围为 .
解析：分三种情况考虑：① 解得 ＜m＜ ；②
此时无解；③ 解得m＜－1.综上可
得，m∈（－∞，－1）∪（ ， ）.
（－∞，－1）∪（ ， ）　
1. 对于幂函数的图象，只要抓住在第一象限内三条线分第一象限为六个区
域，即x＝1，y＝1，y＝x所分区域.根据α＜0，0＜α＜1，α＝1，α＞
1的取值确定位置后，其余象限部分由奇偶性决定.
2. 在比较幂值的大小时，必须结合幂值的特点，选择适当的函数，借助其
单调性进行比较.
二次函数的解析式（师生共研过关）
〔一题多解〕已知二次函数f（x）满足f（2）＝－1，f（－1）＝－
1，且f（x）的最大值是8，求二次函数f（x）的解析式.
解：法一（利用二次函数的一般式） 设f（x）＝ax2＋bx＋c（a≠0）.
由题意得 解得
故所求二次函数解析式为f（x）＝－4x2＋4x＋7.
法二（利用二次函数的顶点式） 设f（x）＝a（x－m）2＋n（a≠0）.
∵f（2）＝f（－1），
∴二次函数图象的对称轴为x＝ ＝ .
∴m＝ ，又根据题意函数有最大值8，∴n＝8，
∴f（x）＝a ＋8.
∵f（2）＝－1，∴a ＋8＝－1，解得a＝－4，
∴f（x）＝－4 ＋8＝－4x2＋4x＋7.
法三（利用二次函数的零点式）　由已知f（x）＋1＝0的两根为x1＝2，
x2＝－1，
故可设f（x）＋1＝a（x－2）（x＋1）（a≠0），
即f（x）＝ax2－ax－2a－1.
又函数有最大值8，即 ＝8.
解得a＝－4或a＝0（舍去），
故所求函数解析式为f（x）＝－4x2＋4x＋7.
求二次函数解析式的方法
训练1 （1）已知f（x）为二次函数，且f（x）＝x2＋f'（x）－1，则f
（x）＝（　B　）
A. x2－2x＋1 B. x2＋2x＋1
C. 2x2－2x＋1 D. 2x2＋2x－1
解析： （一般式）　设f（x）＝ax2＋bx＋c（a≠0），则f'（x）
＝2ax＋b，由f（x）＝x2＋f'（x）－1可得ax2＋bx＋c＝x2＋2ax＋（b
－1），所以 解得 因此f（x）＝x2＋2x＋1.故选B.
B
（2）已知二次函数f（x）的图象经过点（4，3），在x轴上截得的线段
长为2，并且对任意x∈R，都有f（2－x）＝f（2＋x），则f（x）
＝ 　x2－4x＋3 　.
解析： （零点式）　因为f（2－x）＝f（2＋x）对x∈R恒成立，所
以f（x）的对称轴为x＝2.又因为f（x）的图象在x轴上截得的线段长为
2，所以f（x）＝0的两根为1和3.设f（x）＝a（x－1）（x－3）
（a≠0）.又因为f（x）的图象经过点（4，3），所以3a＝3，a＝1.所
以所求二次函数的解析式为f（x）＝（x－1）（x－3），即f（x）＝x2
－4x＋3.
x2－4x＋3
二次函数的图象与性质（定向精析突破）
考向1　二次函数的图象
（1）设函数f（x）＝x2＋x＋a（a＞0），若f（m）＜0，则
（　C　）
A. f（m＋1）≥0 B. f（m＋1）≤0
C. f（m＋1）＞0 D. f（m＋1）＜0
解析： 因为f（x）的对称轴为x＝－ ，f（0）＝a＞
0，所以f（x）的大致图象如图所示，由f（m）＜0，得
－1＜m＜0，所以m＋1＞0，所以f（m＋1）＞f（0）＞0.
C
（2）〔多选〕如图是二次函数y＝ax2＋bx＋c（a≠0）图象的一部分，
图象的对称轴为x＝－1.则下面四个结论中正确的为（　AD　）
A. b2＞4ac
B. 2a－b＝1
C. a－b＋c＝0
D. 5a＜b
AD
解析：因为图象与x 轴交于两点，所以b2－4ac＞0，即b2＞4ac，A正确；
对称轴为x＝－1，即－ ＝－1，2a－b＝0，B错误；结合图象，当x＝
－1时，y＞0，即a－b＋c＞0，C错误；由对称轴为x＝－1知，b＝2a.
根据抛物线开口向下，知a＜0，所以5a＜2a，即5a＜b，D正确.
识别二次函数图象应学会“三看”
考向2　二次函数的单调性与最值
已知函数f（x）＝x2－tx－1，若x∈[－1，2]，求f（x）的最小值g
（t）.
解：f（x）的对称轴为x＝ ，
①当 ≥2，即t≥4时，f（x）在[－1，2]上单调递减，所以f（x）min＝f
（2）＝3－2t；
②当－1＜ ＜2，即－2＜t＜4时，f（x）min＝f（ ）＝－1－ ；
③当 ≤－1，即t≤－2时，f（x）在[－1，2]上单调递增，所以f（x）
min＝f（－1）＝t.
综上，g（t）＝
　　二次函数在闭区间上的最值主要有三种类型：轴定区间定、轴动区间
定、轴定区间动.无论哪种类型，解题的关键都是图象的对称轴与区间的
位置关系，当含有参数时，要依据图象的对称轴与区间的位置关系进行分
类讨论.
训练2 （1）设abc＞0，二次函数f（x）＝ax2＋bx＋c的图象可能是
（　D　）
D
解析： A中，a＜0，b＜0，c＜0，不符合题意；B中，a＜0，b＞
0，c＞0，不符合题意；C中，a＞0，b＞0，c＜0，不符合题意；D中，
a＞0，b＜0，c＜0，符合题意，故选D.
（2）（2026·浙江宁波模拟）已知二次函数f（x）满足f（2＋x）＝f（2
－x），且f（x）在[0，2]上单调递增，若f（a）≥f（0），则实数a的
取值范围是（　C　）
A. [0，＋∞） B. （－∞，0]
C. [0，4] D. （－∞，0]∪[4，＋∞）
C
解析：由f（2＋x）＝f（2－x）可知，函数f（x）图象的对称轴为直线
x＝2，又函数f（x）在[0，2]上单调递增，所以由f（a）≥f（0）可得
0≤a≤4.
（3）已知函数y＝x2－3x－4的定义域是[－1，m]，值域为［－ ，
0］，则m的取值范围是（　B　）
A. （0，4] B. ［ ，4］
C. ［ ，3］ D. ［ ，＋∞）
B
解析：设f（x）＝x2－3x－4＝（x－ ）2－ ，x∈R，所
以f（x）的图象是开口向上的抛物线，其对称轴方程为x＝
，如图所示，所以f（ ）＝－ ，易知f（－1）＝f（4）
＝0，由图可知，要使函数y＝x2－3x－4的定义域是[－1，m]，值域为［－ ，0］，则m的取值范围是［ ，4］.
一元二次方程根的分布
　　解决由一个一元二次方程根的分布情况，确定方程中系数的取值范围
问题，主要从以下三个方面建立关于系数的不等式（组）进行求解：
（1）判别式Δ的符号；
（2）对称轴x＝－ 与所给区间的位置关系；
（3）区间端点处函数值的符号.
关于x的方程x2＋（m－3）x＋m＝0满足下列条件，求m的取值范围.
（1）一个根小于2，一个根大于4；
解：令f（x）＝x2＋（m－3）x＋m.
（1）若方程x2＋（m－3）x＋m＝0的一个根小于2，一个根大于4，则
解得m＜－ .
故m的取值范围为（－∞，－ ）.
（2）有两个不相等的正根；
解：由题意得 解得0＜m＜1.
故m的取值范围为（0，1）.
（3）一个根在（－2，0）内，另一个根在（0，4）内；
解：若方程x2＋（m－3）x＋m＝0的一个根在（－2，0）内，另一个根
在（0，4）内，
则 解得－ ＜m＜0.
故m的取值范围为（－ ，0）.
（4）两个不相等的根都在（0，2）内.
解：若方程x2＋（m－3）x＋m＝0的两个根都在（0，2）内，则
解得 ＜m＜1.
故m的取值范围为（ ，1）.
03
PART
课时跟踪检测
（时间：60分钟，满分：95分）
[备注：单选、填空题5分，多选题6分]
1. 探究幂函数f（x）＝xα当α＝2，3， ，－1时的性质，若该函数在定
义域内为奇函数，且在（0，＋∞）上单调递增，则α＝（　　）
A. 2 B. 3
C. D. －1
解析： 　由题意可得α＞0且α为奇数，所以α＝3，故选B.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
√
2. 已知a＝ ，b＝ ，c＝1 ，则（　　）
A. a＜b＜c B. b＜c＜a
C. b＜a＜c D. c＜a＜b
解析： 　b＝ ＝ ，而函数y＝ 在（0，＋∞）上单调递增，2＜9＜
17，因此 ＜ ＜1 ，所以a＜b＜c.
√
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
3. 若二次函数g（x）满足g（1）＝1，g（－1）＝5，且图象过原点，则
g（x）的解析式为（　　）
A. g（x）＝2x2－3x B. g（x）＝3x2－2x
C. g（x）＝3x2＋2x D. g（x）＝－3x2－2x
解析： 　二次函数g（x）满足g（1）＝1，g（－1）＝5，且图象过原
点，设二次函数为g（x）＝ax2＋bx（a≠0），可得 则
所求的二次函数为g（x）＝3x2－2x.
√
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
4. 已知函数f（x）＝ax2＋bx＋c，若a＞b＞c，且a＋b＋c＝0，则函
数f（x）的图象可能是（　　）
解析： 由a＞b＞c且a＋b＋c＝0，得a＞0，c＜0，所以函数图象开
口向上，排除A、C；又f（0）＝c＜0，排除B. 故选D.
√
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
5. 已知m＞1，点（1－m，y1），（m，y2），（m＋1，y3）都在二次函
数y＝x2－2x的图象上，则（　　）
A. y1＜y2＜y3 B. y3＜y2＜y1
C. y1＝y3＜y2 D. y2＜y1＝y3
解析： 　二次函数y＝x2－2x＝（x－1）2－1，其图象的对称轴方程为x
＝1，而（1－m）＋（1＋m）＝2，所以y1＝y3，当x＞1时，函数单调递
增，因为m＞1，所以m＋1＞m＞1，所以y2＜y3，综上，y2＜y1＝y3.
√
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
6. 〔多选〕已知幂函数f（x）＝（2m2＋m－2）xm－3，m∈N*，则下列
结论正确的有（　　）
A. m＝1
B. 函数f（x）在定义域内单调递减
C. f（－2）＜f（3）
D. 函数f（x）的值域为（0，＋∞）
√
√
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
解析： 　由f（x）＝（2m2＋m－2）xm－3为幂函数可得2m2＋m－2＝
1，解得m＝1或m＝－ ，又m∈N*，所以m＝1，所以f（x）＝x－2＝
，故A正确；因为函数f（x）的定义域为（－∞，0）∪（0，＋∞），
关于原点对称，由f（－x）＝ ＝ ＝f（x），知函数f（x）为
偶函数，由于－2＜0，故f（x）＝x－2在区间（0，＋∞）上单调递减，根
据偶函数性质知f（x）＝x－2在区间（－∞，0）上单调递增，故B错误；
f（－2）＝ ＝ ＞ ＝ ＝f（3），故C错误；因为f（x）的定义
域为（－∞，0）∪（0，＋∞），则x2＞0，所以f（x）＝ 的值域为
（0，＋∞），故D正确.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
7. 已知函数f（x）＝x2－2（a－1）x＋a，若对于区间[－1，2]上的任
意两个不相等的实数x1，x2，都有f（x1）≠f（x2），则实数a的取值范
围为 .
解析：二次函数f（x）＝x2－2（a－1）x＋a图象的对称轴为直线x＝a
－1，∵对于任意x1，x2∈[－1，2]且x1≠x2，都有f（x1）≠f（x2），即
f（x）在区间[－1，2]上是单调函数，∴a－1≤－1或a－1≥2，∴a≤0
或a≥3，即实数a的取值范围为（－∞，0]∪[3，＋∞）.
（－∞，0]∪[3，＋∞）　
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
8. （2026·广东东莞七校联考）已知A＝{α，β} {－1， ，2，3}，若
函数f（x）＝xα与g（x）＝xβ的图象只有1个交点，则写出一个符合条
件的集合A＝ ；若有两个交点，则满足条件
的不同集合A有 个.
{－1， }（答案不唯一）　
4　
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
解析：函数y＝x－1的图象与y＝ ，y＝x2，y＝x3的图象分别有1个，1
个，2个交点；函数y＝ 的图象与y＝x2，y＝x3的图象都有2个交点；函
数y＝x2的图象与y＝x3的图象有2个交点.若函数f（x）＝xα与g（x）＝
xβ的图象只有1个交点，则A＝{－1， }或A＝{－1，2}.若函数f（x）＝
xα与g（x）＝xβ的图象有2个交点，则A＝{－1，3}或{ ，2}或{ ，3}
或{2，3}.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
9. （13分）已知幂函数f（x）＝（2k－1） （m∈N*）为偶函
数，且在（0，＋∞）上单调递减.
（1）求m和k的值；
解： 由函数f（x）＝（2k－1） 为幂函数，则2k－1＝1，
解得k＝1.
由f（x）＝ （m∈N*）在（0，＋∞）上单调递减，得m2－2m
－3＜0，解得－1＜m＜3，
而m∈N*，故m＝1或2，
当m＝1时，f（x）＝x－4，定义域为{x｜x≠0}，且f（x）为偶函数，
符合题意；
当m＝2时，f（x）＝x－3，定义域为{x｜x≠0}，函数为奇函数，不符合
题意，故m＝1，k＝1.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
（2）求满足（2a＋1）－m＜（3－2a）－m的实数a的取值范围.
解： 由（1）得m＝1，则（2a＋1）－1＜（3－2a）－1，
即 ＜ ，故2a＋1＞3－2a＞0或0＞2a＋1＞3－2a或2a＋1＜0＜3
－2a，
解得 ＜a＜ 或a∈ 或a＜－ .
故实数a的取值范围为（－∞，－ ）∪（ ， ）.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
10. 直线y＝1，y＝x，x＝1及幂函数y＝x－1的图象将直角坐标系第一象
限分为8个部分（如图所示），那么幂函数y＝ 的图象在第一象限中经
过（　　）
A. ③⑦ B. ③⑧
C. ④⑦ D. ①⑤
√
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
解析： 　在第一象限内，直线x＝1的左侧，幂函数的指数越大图象越接
近于x轴，∵－ ＞－1，∴在直线x＝1的左侧，y＝ 的图象位于y＝x
－1图象的下方，直线y＝1的上方，故经过⑤；在第一象限内，直线x＝1的
右侧，幂函数的指数越小图象越接近于x轴，∴在直线x＝1的右侧y＝
的图象位于y＝x－1图象的上方，直线y＝1的下方，故经过①.故选D.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
11. 函数f（x）＝x2－4x＋2在区间[a，b]上的值域为[－2，2]，则b－a
的取值范围是（　　）
A. [0，2] B. [2，4]
C. [0，4] D. [4，＋∞）
解析： 解方程x2－4x＋2＝2，得x＝0或x＝4，解方程x2－4x＋2＝－
2，得x＝2，由于函数f（x）在区间[a，b]上的值域为[－2，2].若函数f
（x）在区间[a，b]上单调，则[a，b]＝[0，2]或[a，b]＝[2，4]，此
时b－a取得最小值2；若函数f（x）在区间[a，b]上不单调，且当b－a
取最大值时，[a，b]＝[0，4]，所以b－a的最大值为4，所以b－a的取
值范围是[2，4].
√
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
12. 〔多选〕（2025·山东青岛一模）已知函数f（x）＝x2－2x＋a有两个
零点x1，x2，以下结论正确的是（　　）
A. a＜1
B. 若x1x2≠0，则 ＋ ＝
C. f（－1）＝f（3）
D. 函数y＝f（｜x｜）有四个零点
√
√
√
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
解析： 　二次函数对应二次方程根的判别式Δ＝（－2）2－4a＝4－
4a＞0，a＜1，故A正确；由根与系数的关系得，x1＋x2＝2，x1x2＝a，
＋ ＝ ＝ ，故B正确；因为f（x）的对称轴为x＝1，点（－1，
f（－1）），（3，f（3））关于对称轴对称，故C正确；当a＝0时，y＝
f（｜x｜）＝｜x｜2－2｜x｜＝｜x｜（｜x｜－2）＝0有三个零点，故
D不正确.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
13. 已知关于x的方程ax2＋x＋2＝0的两个实根一个小于0，另一个大于
1，则实数a的取值范围是 .
解析：关于x的方程ax2＋x＋2＝0对应的二次函数为f（x）＝ax2＋x＋
2，若a＞0，则图象开口向上，ax2＋x＋2＝0的两个实根一个小于0，另一
个大于1，只需f（0）＜0，且f（1）＜0，即2＜0且a＋3＜0，则a∈ ；
若a＜0，则函数图象开口向下，ax2＋x＋2＝0的两个实根一个小于0，另
一个大于1，只需f（0）＞0，且f（1）＞0，即2＞0且a＋3＞0，则－3＜
a＜0.综上可得a的取值范围是（－3，0）.
（－3，0）　
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
14. （15分）（2026·福建福州模拟）已知二次函数f（x）＝ax2－x＋2a
－1.
（1）若f（x）在区间[1，2]上单调递减，求a的取值范围；
解： 由题意知a≠0.
当a＞0时，f（x）＝ax2－x＋2a－1的图象开口向上，对称轴方程为x＝
，
所以f（x）在区间[1，2]上单调递减需满足 ≥2，
又a＞0，所以0＜a≤ ；
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
当a＜0时，f（x）＝ax2－x＋2a－1的图象开口向下，对称轴方程为x＝
＜0，
所以f（x）在区间[1，2]上单调递减恒成立.
综上，a的取值范围是（－∞，0）∪（0， ］.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
（2）若a＞0，设函数f（x）在区间[1，2]上的最小值为g（a），求g
（a）的表达式.
解： ①当0＜ ≤1，即a≥ 时，f（x）在区间[1，2]上单调递增，
此时g（a）＝f（1）＝3a－2；
②当1＜ ＜2，即 ＜a＜ 时，
f（x）在区间［1， ］上单调递减，在区间［ ，2］上单调递增，此
时g（a）＝f（ ）＝2a－ －1；
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
③当 ≥2，即0＜a≤ 时，
f（x）在区间[1，2]上单调递减，
此时g（a）＝f（2）＝6a－3.
综上所述，g（a）＝
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
15. 〔创新设问〕设函数f（x）＝ ，g（x）＝ax2＋bx（a，b∈R，
a≠0），若y＝f（x）的图象与y＝g（x）的图象有且仅有两个不同的公
共点A（x1，y1），B（x2，y2），则下列判断正确的是（　　）
A. 当a＜0时，x1＋x2＜0，y1＋y2＞0
B. 当a＜0时，x1＋x2＞0，y1＋y2＜0
C. 当a＞0时，x1＋x2＜0，y1＋y2＜0
D. 当a＞0时，x1＋x2＞0，y1＋y2＞0
√
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
解析： 　令f（x）＝g（x），可得 ＝ax＋
b.设F（x）＝ ，G（x）＝ax＋b，根据题
意，F（x）＝ 的图象与G（x）＝ax＋b的
图象只有两个交点，不妨设x1＜x2，结合图形可
知，当a＞0时（如图1），
G（x）＝ax＋b的图象与F（x）＝ 图象的
左支相切，与右支有一个交点，根据对称性可得｜x1｜＞x2，即－x1＞x2＞0，此时x1＋x2＜0，y2＝ ＞ ＝－y1，∴y1＋y2＞0；同理可得，当a＜0时（如图2），x1＋x2＞0，y1＋y2＜0.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
THANKS
演示完毕 感谢观看

展开更多......

收起↑