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第6节　指数与指数函数
（时间：60分钟，满分：96分）
[备注：单选、填空题5分，多选题6分]
1.若＋（a－4）0有意义，则a的取值范围是（　　）
A.[2，＋∞）
B.[2，4）∪（4，＋∞）
C.（－∞，2）∪（2，＋∞）
D.（－∞，4）∪（4，＋∞）
2.已知a＝31.2，b＝1.20，c＝（ ）－0.9，则a，b，c的大小关系是（　　）
A.a＜c＜b B.c＜b＜a
C.c＜a＜b D.b＜c＜a
3.设函数f（x）＝则使得f（x）≤2成立的x的取值范围为（　　）
A.（－∞，－4] B.（－∞，－2]
C.（－∞，2] D.（－∞，4]
4.（2025·广东佛山二模）已知函数f（x）＝（a∈R），命题p：f（x）是奇函数，命题q：f（x）在（0，＋∞）上单调递减，则p是q的（　　）
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
5.〔多选〕下列各式正确的是（　　）
A.（ ）7＝n7
B.（ ＝16
C.2a3·（ －5）÷（4）＝－
D.＝
6.〔多选〕已知函数f（x）＝ax－b（a＞0，且a≠1，b≠0）的图象不经过第三象限，则a，b的取值范围可能为（　　）
A.0＜a＜1，b＜0 B.0＜a＜1，0＜b≤1
C.a＞1，b＜0 D.a＞1，0＜b≤1
7.写出一个值域为（－∞，1），在区间（－∞，＋∞）上是增函数的函数f（x）＝　　　　.
8.（2025·广东韶关一模）当0＜x＜时，方程ax＝（a＞0且a≠1）有解，则实数a的取值范围是　　　　.
9.（13分）已知函数f（x）＝（ .
（1）若a＝－1，求f（x）的单调区间；
（2）若f（x）有最大值3，求实数a的值.
10.（2026·安徽江淮十校联考）已知x，y∈R，且9x＋（x－2）·3x＝1，9y－1＋y·3y＝9，则x＋y＝（　　）
A.1　　　　B.2　　　　C.3　　　　D.4
11.已知函数f（x）＝＋x3，且f（m）＋f（m＋1）＞1，则实数m的取值范围为（　　）
A.（ －，＋∞） B.（1，＋∞）
C.（1，2） D.（ ，1）
12.〔多选〕已知函数f（x）＝m－是定义域为R的奇函数，则下列说法正确的是（　　）
A.m＝
B.函数f（x）在R上的最大值为
C.函数f（x）是减函数
D.存在实数n，使得关于x的方程f（x）－n＝0有两个不相等的实数根
13.对任意实数a＞1，函数y＝（a－1）x－1＋1的图象过定点A（m，n），f（x）＝（ ）x的定义域为[0，2]，g（x）＝f（2x）＋f（x），则g（x）的值域为　　　　.　　
14.（15分）（2026·江苏常州调研）已知定义域为R的函数f（x）＝是奇函数.
（1）求a，b的值；
（2）若存在t∈[0，4]，使f（k＋t2）＋f（4t－2t2）＜0成立，求k的取值范围.
15.〔创新交汇〕（2026·江苏徐州模拟）正实数m，n满足e1－2m＋2－2m＝en－1＋n，则＋的最小值为　　　　.
第6节　指数与指数函数
1.B　2.D　3.D　4.A　5.BCD　
6.ABC　若0＜a＜1，则函数y＝ax的图象如图1所示，要想f（x）＝ax－b的图象不经过第三象限，则需要向上平移，或向下平移不超过1个单位长度，故－b＞0或－1≤－b＜0，解得b＜0或0＜b≤1，故A、B正确；若a＞1，则函数y＝ax的图象如图2所示，要想f（x）＝ax－b的图象不经过第三象限，则需要向上平移，故－b＞0，解得b＜0，故C正确，D错误.
7.1－（答案不唯一）　8.（4，＋∞）
9.解：（1）当a＝－1时，f（x）＝（ ，
令u＝－x2－4x＋3＝－（x＋2）2＋7.
则u＝－（x＋2）2＋7在（－∞，－2）上单调递增，在（－2，＋∞）上单调递减，
而y＝（ ）u在R上单调递减，
所以f（x）在（－∞，－2）上单调递减，在（－2，＋∞）上单调递增，即函数f（x）的单调递增区间是（－2，＋∞），单调递减区间是（－∞，－2）.
（2）令h（x）＝ax2－4x＋3，则f（x）＝（ ）h（x），因为f（x）有最大值3，所以h（x）应有最小值－1，
因此必有
解得a＝1，即当f（x）有最大值3时，a的值为1.
10.B　因为9x＋（x－2）·3x＝1，两边同除以3x，得3x＋x－2＝3－x，即3x－3－x＋x－2＝0　①，因为9y－1＋y·3y＝9，两边同除以3y，得3y－2＋y＝32－y，即32－y－3y－2－y＝0，整理得32－y－3y－2＋（2－y）－2＝0　②，由①②可构造函数f（x）＝3x－3－x＋x－2，显然该函数是R上的增函数，于是根据①②知f（x）＝f（2－y），所以x＝2－y，因此x＋y＝2.故选B.
11.A　看见联想到构造，因为f（0）＝，所以考虑f（x）－＝·＋x3，令g（x）＝f（x）－，可知函数g（x）为奇函数且单调递增，则f（m）＋f（m＋1）＞1 f（m）－＋f（m＋1）－＞0 g（m）＋g（m＋1）＞0，由奇函数性质可得g（m）＞g（－1－m），因为g（x）单调递增，所以m＞－1－m，解得m＞－，故选A.
12.AC　因为函数f（x）＝m－是定义域为R的奇函数，所以f（0）＝m－＝0，解得m＝，故A正确；又f（x）＝－＝－＝－，因为ex＞0，所以ex＋1＞1，则0＜＜1，所以－＜f（x）＜，即f（x）∈（ －，），故B错误；因为y＝ex是增函数，y＝ex＞0，且y＝在（0，＋∞）上单调递减，所以f（x）＝－是减函数，故C正确；因为f（x）是减函数，所以y＝f（x）与y＝n最多有1个交点，故f（x）－n＝0最多有一个实数根，即不存在实数n，使得关于x的方程f（x）－n＝0有两个不相等的实数根，故D错误.
13.[2，6]　解析：令x－1＝0，得x＝1，此时y＝（a－1）0＋1＝2，所以函数y＝（a－1）x－1＋1的图象过定点A（1，2），即m＝1，n＝2，所以f（x）＝（ ）x＝2x，x∈[0，2]，所以g（x）＝f（2x）＋f（x）＝22x＋2x，所以得0≤x≤1，所以g（x）的定义域为[0，1].又y＝22x，y＝2x均是增函数，所以g（x）是增函数，所以g（x）的值域为[2，6].
14.解：（1）因为函数f（x）是定义在R上的奇函数，所以f（0）＝0，即＝0，所以a＝1，
又因为f（－x）＝－f（x），所以＝－，将a＝1代入，整理得＝，
当x≠0时，有b·2x＋1＝b＋2x，即（b－1）·（2x－1）＝0，
又因为当x≠0时，2x－1≠0，所以b－1＝0，所以b＝1.
经检验符合题意，所以a＝1，b＝1.
（2）由（1）知，函数f（x）＝＝＝－1＋，
因为y＝1＋2x为R上的增函数，且1＋2x＞0，则函数f（x）在R上是减函数.
因为存在t∈[0，4]，使f（k＋t2）＋f（4t－2t2）＜0成立，
所以不等式可转化为f（k＋t2）＜f（2t2－4t），
所以k＋t2＞2t2－4t，所以k＞t2－4t，
令g（t）＝t2－4t＝（t－2）2－4，t∈[0，4]，
故问题等价转化为k＞g（t）min，又因为g（t）min＝g（2）＝－4，所以k＞－4，
故k的取值范围为（－4，＋∞）.
15.　解析：由e1－2m＋2－2m＝en－1＋n，得e1－2m＋（1－2m）＝en－1＋（n－1），令f（x）＝ex＋x，则原等式为f（1－2m）＝f（n－1），显然函数f（x）为增函数，于是1－2m＝n－1，即2m＋n＝2，而m＞0，n＞0，因此＋＝＋＝＋＋≥2＋＝，当且仅当＝，即m＝n＝时取等号，所以当m＝n＝时，＋取得最小值.
1 / 1第6节　指数与指数函数
1.理解有理数指数幂的含义，了解实数指数幂的意义，掌握指数幂的运算性质. 2.通过具体实例，了解指数函数的实际意义，会画指数函数的图象. 3.理解指数函数的单调性、特殊点等性质，并能简单应用.
知识梳理
1.根式与有理数指数幂
（1）根式
①如果xn＝a，那么　　　叫做a的n次方根；
②式子叫做　　　　，这里n叫做根指数，a叫做被开方数；
③（）n＝　 　.当n为奇数时，＝　 　；当n为偶数时，＝｜a｜＝
（2）有理数指数幂
概 念 正分数指数幂：＝　　　 a＞0，m，n∈N*，n＞1
负分数指数幂：＝＝　　　
0的正分数指数幂等于0，0的负分数指数幂没有意义
运算 性质 aras＝ar＋s a＞0，b＞0，r，s∈Q
（ar）s＝ars
（ab）r＝arbr
2.指数函数的概念
函数y＝　　　　（a＞0，且a≠1）叫做指数函数，其中指数x是自变量，定义域是R，a是底数.
提醒：形如y＝kax，y＝ax＋k（k∈R且k≠0，a＞0且a≠1）的函数叫做指数型函数，不是指数函数.　
3.指数函数的图象与性质
底数 a＞1 0＜a＜1
图象
性质 定义域为　　　　，值域为　　　　
图象过定点　　　
当x＞0时，恒有y＞1；当x＜0时，恒有0＜y＜1 当x＞0时，恒有0＜y＜1；当x＜0时，恒有y＞1
　　　　函数 　　　　函数
提醒：指数函数y＝ax（a＞0，且a≠1）的图象和性质跟a的取值有关，应分a＞1与0＜a＜1来研究.
1.函数y＝ax与y＝（ ）x（a＞0，且a≠1）的图象关于y轴对称. 2.作指数函数y＝ax（a＞0，且a≠1）的图象，应抓住三个关键点：（1，a），（0，1），（ －1，）.　 3.底数a的大小决定了指数函数图象相对位置的高低，不论是a＞1，还是0＜a＜1，在第一象限内底数越大，函数图象越高，即“底大图高”.
诊断自测
1.判断正误.（正确的画“√”，错误的画“×”）
（1）＝－4.（　　）
（2）分数指数幂可以理解为个a相乘.（　　）
（3）函数y＝3·2x与y＝2x＋1都不是指数函数.（　　）
（4）函数y＝ax＋2（a＞0，且a≠1）过定点（0，2）.（　　）
（5）若am＜an（a＞0，且a≠1），则m＜n.（　　）
2.若函数f（x）＝ax（a＞0，且a≠1）满足f（2）＝81，则f（ －）＝（　　）
A.± B.±3
C. D.3
3.下列各式正确的是（式中字母均是正数）（　　）
A.＝－
B.（＝36
C.若m8＝2，则m＝
D.＝2－π
4.（2026·黑龙江绥化高一月考）已知两个指数函数y＝ax，y＝bx的部分图象如图所示，则（　　）
A.0＜b＜a＜1 B.0＜a＜b＜1
C.a＞b＞1 D.b＞a＞1
5.若函数f（x）＝ax在[－1，1]上的最大值为2，则a＝　　　　.
指数幂的运算
（基础自学过关）
1.已知3a＝2，9b＝36，则a－b＝（　　）
A. B.－
C.1 D.－1
2.已知ab＝－5，则a＋b＝（　　）
A.2 B.0
C.－2 D.±2
3.〔多选〕已知a＋a－1＝3，则下列选项正确的是（　　）
A.a2＋a－2＝7 B.－＝±1
C.＋＝± D.＋＝2
4.化简与求值：
（1）（ －（ 2）0.5＋（0.027；
（2）（a＞0，b＞0）；
（3）（ ×（ －）0＋×－；
（4）＋（a＜b＜0，n＞1，n∈N*）.
指数幂的运算
指数函数的图象及应用
（师生共研过关）
（1）函数f（x）＝ax－b的图象如图所示，其中a，b为常数，则下列结论正确的是（　　）
A.a＞1，b＜0 B.a＞1，b＞0
C.0＜a＜1，b＞0 D.0＜a＜1，b＜0
（2）函数y＝｜3x－1｜与直线y＝m有两个不同的交点，则实数m的取值范围是　　　　.
听课记录
1.对于有关指数型函数的图象问题，一般是从最基本的指数函数的图象入手，通过平移、伸缩、对称变换得到.特别地，当底数a与1的大小关系不确定时应注意分类讨论. 2.有关指数方程、不等式问题的求解，往往利用指数型函数的图象，数形结合求解.
训练1 （1）函数y＝e－｜x｜（e是自然对数的底数）的大致图象是（　　）
（2）〔多选〕（2026·江苏海门模拟）已知实数a，b满足等式2a＝3b，下列关系式中可能成立的是（　　）
A.0＜b＜a B.a＜b＜0
C.b＜a＜0 D.a＝b
指数函数的性质及应用
（定向精析突破）
考向1　比较指数式的大小
（2023·天津高考3题）若a＝1.010.5，b＝1.010.6，c＝0.60.5，则a，b，c的大小关系为（　　）
A.c＞a＞b B.c＞b＞a
C.a＞b＞c D.b＞a＞c
听课记录
比较指数式大小的方法 （1）能化成同底数的先化成同底数幂，再利用单调性比较大小； （2）不能化成同底数的，一般引入“0”“1”等中间量比较大小.
考向2　解简单的指数方程或不等式
（1）已知不等式≤（ ）x－2的解集为A，则A＝　　　　；
（2）若函数f（x）＝4x－a·2x－1＋4的一个零点是0，那么它的另一个零点为　　　　.
听课记录
解指数方程或不等式的依据及方法 （1）解指数方程或不等式的依据：①af（x）＝ag（x） f（x）＝g（x）；②af（x）＞ag（x），当a＞1时，等价于f（x）＞g（x）；当0＜a＜1时，等价于f（x）＜g（x）； （2）解指数方程或不等式的方法：先利用幂的运算性质化为同底数幂，再利用函数单调性转化为一般不等式求解.
训练2 （1）（2023·全国甲卷11题）已知函数f（x）＝，记a＝f（ ），b＝f（ ），c＝f（ ），则（　　）
A.b＞c＞a B.b＞a＞c
C.c＞b＞a D.c＞a＞b
（2）（2025·湖北武汉质检）已知p：ax＜1（a＞1），q：2x＋1－x＜2，则p是q的（　　）
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
指数型函数性质的综合应用
（师生共研过关）
教材母题：〔人A必修一P161复习参考题12题〕对于函数f（x）＝a－（a∈R），
（1）探索函数f（x）的单调性；
（2）是否存在实数a使函数f（x）为奇函数？
细研教材：由教材母题知，指数型函数的单调性及奇偶性可利用定义来进行分析判断，一般地，指数型函数f（x）＝是单调的奇函数.
变式1 若f（x）＝是奇函数，则a＝（　　）
A.－1 B.0
C.1 D.±1
变式2 已知函数f（x）＝a－是R上的奇函数，则f（x）的值域为　　　　.
变式3 已知函数f（x）＝，且满足f（m2）＋f（m－2）＞0，则实数m的取值范围是　　　　.
　　涉及指数型函数性质的综合问题时，首先要掌握指数函数的相关性质，其次要明确复合函数的构成，涉及值域、单调区间、最值等问题时，都要借助“同增异减”这一性质分析判断.
训练3 （1）（2023·新高考Ⅰ卷4题）设函数f（x）＝2x（x－a）在区间（0，1）上单调递减，则实数a的取值范围是（　　）
A.（－∞，－2] B.[－2，0）
C.（0，2] D.[2，＋∞）
（2）〔多选〕（2026·山东临沂模拟）已知函数f（x）＝＋a（a∈R），则（　　）
A.f（x）的定义域为（－∞，0）∪（0，＋∞）
B.f（x）的值域为R
C.当a＝1时，f（x）为奇函数
D.当a＝2时，f（－x）＋f（x）＝2
（3）若f（x）＝ex－e－x＋x3且f（a－1）＋f（2a2）≤0，则a的取值范围为　　　　.
第6节　指数与指数函数
【夯实必备知识】
知识梳理
1.（1）①x　②根式　③a　a　（2）　
2.ax　3.R　（0，＋∞）　（0，1）　增　减
诊断自测
1.（1）×　（2）×　（3）√　（4）×　（5）×
2.C　3.B　4.D　5.2或
【研透核心考点】
考点1
1.D　2.B　3.ABD　
4.解：（1）原式＝（ －（ ＋＝－＋0.09＝－0.16.
（2）原式＝＝·＝.
（3）原式＝（ ×1＋×－（ ＝2.
（4）∵a＜b＜0，∴a－b＜0，a＋b＜0.
∵n＞1，n∈N*，∴当n是奇数时，原式＝（a－b）＋（a＋b）＝2a；
当n是偶数时，原式＝｜a－b｜＋｜a＋b｜＝（b－a）＋（－a－b）＝－2a.
∴＋
＝
考点2
【例1】　（1）D　（2）（0，1）　解析：（1）由题中f（x）＝ax－b的图象可以观察出，函数f（x）＝ax－b为减函数，所以0＜a＜1.函数f（x）＝ax－b的图象是将f（x）＝ax的图象向左平移得到的，所以b＜0.
（2）函数y＝｜3x－1｜的图象是由函数y＝3x的图象向下平移一个单位长度后，再把位于x轴下方的图象沿x轴翻折到x轴上方得到的，而直线y＝m的图象是平行于x轴的一条直线，图象如图所示，由图象可得，如果函数y＝｜3x－1｜与直线y＝m有两个不同的交点，则m的取值范围是（0，1）.
训练1　（1）C　（2）ABD　解析：（1）因为y＝e－｜x｜＝所以函数图象关于y轴对称，且过点（0，1），y＝e－｜x｜＞0，函数在（－∞，0）上单调递增，在（0，＋∞）上单调递减，故C符合.故选C.
（2）作出函数y＝2x与函数y＝3x的图象（如图），当2a＝3b＞1时，根据图象得0＜b＜a，故A选项正确；当2a＝3b＝1时，根据图象得a＝b＝0，故D选项正确；当2a＝3b＜1时，根据图象得a＜b＜0，故B选项正确；b＜a＜0不可能成立，故选A、B、D.
考点3
【例2】　D　∵指数函数y＝1.01x是增函数，又0.6＞0.5，∴1.010.6＞1.010.5，故b＞a.∵幂函数y＝x0.5是增函数，又1.01＞0.6，∴1.010.5＞0.60.5，故a＞c.故选D.
【例3】　（1）[－3，1]　（2）2
解析：（1）∵（ ）x－2＝（2－2）x－2＝2－2x＋4，∴≤2－2x＋4，即x2＋1≤－2x＋4，即x2＋2x－3≤0，∴－3≤x≤1，故A＝[－3，1].
（2）依题意有f（0）＝40－a·2－1＋4＝0，解得a＝10，于是f（x）＝4x－10·2x－1＋4＝（2x）2－5·2x＋4，令2x＝t（t＞0），则函数化为y＝t2－5t＋4，令y＝0，解得t＝1或t＝4，当t＝1时，得x＝0；当t＝4时，得x＝2，所以函数f（x）的另一个零点为2.
训练2　（1）A　（2）B　解析：（1）函数f（x）＝是由函数y＝eu和u＝－（x－1）2复合而成的复合函数，y＝eu为R上的增函数，u＝－（x－1）2在（－∞，1）上单调递增，在（1，＋∞）上单调递减，所以由复合函数的单调性可知，f（x）在（－∞，1）上单调递增，在（1，＋∞）上单调递减.易知f（x）的图象关于直线x＝1对称，所以c＝f（ ）＝f（ 2－），又＜2－＜＜1，所以f（ ）＜f（ 2－）＜f（ ），所以b＞c＞a，故选A.
（2）∵ax＜1，当a＞1时，y＝ax是增函数，∴p：{x｜x＜0}.对于不等式2x＋1＜x＋2，作出函数y＝2x＋1与y＝x＋2的图象，如图所示.由图象可知，不等式2x＋1＜x＋2的解集为{x｜－1＜x＜0}，∴q：{x｜－1＜x＜0}.又∵{x｜－1＜x＜0} {x｜x＜0}，∴p是q的必要不充分条件.
考点4
教材母题　解：（1）法一（直接判断法）　因为函数y＝2x＋1在R上是增函数，又2x＋1＞0，所以y1＝在R上是减函数，所以y2＝－在R上是增函数，所以函数f（x）＝a－在R上单调递增.
法二（定义法）　f（x）＝a－（a∈R）的定义域为R，设x1，x2∈R，且x1＜x2，则f（x1）－f（x2）＝.因为x1＜x2，所以＜，即－＜0.又＋1＞0，＋1＞0，所以f（x1）－f（x2）＜0，即f（x1）＜f（x2），所以f（x）在R上单调递增.
（2）法一（定义法）　因为f（x）＝a－（a∈R）的定义域为R，要使f（x）为奇函数，则f（－x）＝－f（x）在R上恒成立，即a－＝－a＋，所以2a＝＋＝2，所以a＝1，所以存在实数a＝1，使函数f（x）为奇函数.
法二（特殊值法）　由于f（x）是奇函数，且定义域为R，故f（0）＝a－＝0，解得a＝1，则f（x）＝1－，经验证符合题意，故存在实数a＝1，使函数f（x）为奇函数.
变式1　D　因为f（x）为奇函数，所以f（x）＋f（－x）＝0，即＋＝0，解得a＝±1.
变式2　（－1，1）　解析：易知a＝1，则f（x）＝1－，因为2x＋1＞1，所以0＜＜2，则－1＜1－＜1，即f（x）的值域为（－1，1）.
变式3　（－∞，－2）∪（1，＋∞）
解析：因为f（x）的定义域为R，f（－x）＝＝＝－f（x），所以f（x）为奇函数.因为f（x）＝＝1－，所以f（x）为R上的增函数.因为f（m2）＋f（m－2）＞0，所以f（m2）＞－f（m－2）＝f（2－m），所以m2＞2－m，即m2＋m－2＞0，解得m＜－2或m＞1，所以实数m的取值范围为（－∞，－2）∪（1，＋∞）.
训练3　（1）D　（2）ACD　（3）［－1，］
解析：（1）设t＝x（x－a），易知函数y＝2t是增函数.因为f（x）＝2x（x－a）在（0，1）上单调递减，所以由复合函数的单调性可知函数t＝x（x－a）在（0，1）上单调递减.因为函数t＝x（x－a）在（ －∞，）上单调递减，所以≥1，即a≥2.故选D.
（2）对于函数f（x）＝＋a（a∈R），令2x－1≠0，解得x≠0，所以f（x）的定义域为（－∞，0）∪（0，＋∞），故A正确；当x＞0时，2x＞1，2x－1＞0，＞0，所以＋a＞a；当x＜0时，0＜2x＜1，－1＜2x－1＜0，＜－2，所以＋a＜－2＋a，综上可得，f（x）的值域为（－∞，－2＋a）∪（a，＋∞），故B错误；当a＝1时，f（x）＝＋1＝，定义域为（－∞，0）∪（0，＋∞），f（－x）＝＝－＝－f（x），所以f（x）＝＋1为奇函数，故C正确；当a＝2时，f（x）＝＋2＝＋1，则f（x）＋f（－x）＝＋1＋＋1＝2，故D正确.
（3）显然f（x）为奇函数且单调递增，则f（a－1）＋f（2a2）≤0等价于f（a－1）≤f（－2a2），即2a2＋a－1≤0，解得－1≤a≤，故a的取值范围为［－1，］.
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第6节　指数与指数函数
课标要求
1. 理解有理数指数幂的含义，了解实数指数幂的意义，掌握指数幂的运算
性质.
2. 通过具体实例，了解指数函数的实际意义，会画指数函数的图象.
3. 理解指数函数的单调性、特殊点等性质，并能简单应用.
目录/
CONTENTS
夯实必备知识
01
研透核心考点
02
课时跟踪检测
03
01
PART
夯实必备知识
知识梳理
1. 根式与有理数指数幂
（1）根式
①如果xn＝a，那么 叫做a的n次方根；
②式子 叫做 ，这里n叫做根指数，a叫做被开方数；
③（ ）n＝ .当n为奇数时， ＝ ；当n为偶数时，
＝｜a｜＝
x　
根式　
a　
a　
（2）有理数指数幂
概念 正分数指数幂： ＝ 　 　 a＞0，m，n∈N*，
n＞1
负分数指数幂： ＝ ＝ 　 　
0的正分数指数幂等于0，0的负分数指数幂
没有意义
运算 性质 aras＝ar＋s a＞0，b＞0，r，
s∈Q
（ar）s＝ars
（ab）r＝arbr
　
　
2. 指数函数的概念
函数y＝ （a＞0，且a≠1）叫做指数函数，其中指数x是自变量，
定义域是R，a是底数.
提醒：形如y＝kax，y＝ax＋k（k∈R且k≠0，a＞0且a≠1）的函数叫做
指数型函数，不是指数函数.
ax　
3. 指数函数的图象与性质
底数 a＞1 0＜a＜1
图象
底数 a＞1 0＜a＜1
性质 定义域为 ，值域为
图象过定点
当x＞0时，恒有y＞1；当x
＜0时，恒有0＜y＜1 当x＞0时，恒有0＜y＜1；当x＜
0时，恒有y＞1
函数 函数
提醒：指数函数y＝ax（a＞0，且a≠1）的图象和性质跟a的取值有关，
应分a＞1与0＜a＜1来研究.
R　
（0，＋∞）　
（0，1）　
增　
减　
1. 函数y＝ax与y＝（ ）x（a＞0，且a≠1）的图象关于y轴对称.
2. 作指数函数y＝ax（a＞0，且a≠1）的图象，应抓住三个关键点：
（1，a），（0，1），（－1， ）.
3. 底数a的大小决定了指数函数图象相对位置的
高低，不论是a＞1，还是0＜a＜1，在第一象限
内底数越大，函数图象越高，即“底大图高”.
诊断自测
1. 判断正误.（正确的画“√”，错误的画“×”）
（1） ＝－4. （　×　）
（2）分数指数幂 可以理解为 个a相乘. （　×　）
（3）函数y＝3·2x与y＝2x＋1都不是指数函数. （　√　）
（4）函数y＝ax＋2（a＞0，且a≠1）过定点（0，2）. （　×　）
（5）若am＜an（a＞0，且a≠1），则m＜n. （　×　）
×
×
√
×
×
2. 若函数f（x）＝ax（a＞0，且a≠1）满足f（2）＝81，则f（－ ）＝
（　　）
A. ± B. ±3
C. D. 3
√
解析： 　因为f（2）＝a2＝81，又a＞0，所以a＝9，从而f（x）＝
9x，f（－ ）＝ ＝ ＝ .
3. 下列各式正确的是（式中字母均是正数）（　　）
A. ＝－ B. （ ＝36
C. 若m8＝2，则m＝ D. ＝2－π
√
解析： 　对于A， ＝ ＝ ，故A错误；对于B，（ ＝
＝62＝36，故B正确；对于C，m8＝2，故m＝± ，故C错误；对
于D， ＝｜2－π｜＝π－2，故D错误.
4. （2026·黑龙江绥化高一月考）已知两个指数函数y＝ax，y＝bx的部分
图象如图所示，则（　　）
A. 0＜b＜a＜1
B. 0＜a＜b＜1
C. a＞b＞1
D. b＞a＞1
√
解析： 　画出函数y＝ax与y＝bx在第一象限内的图象（图略），可知1
＜a＜b.
5. 若函数f（x）＝ax在[－1，1]上的最大值为2，则a＝ .
解析：若a＞1，则f（x）max＝f（1）＝a＝2；若0＜a＜1，则f（x）max
＝f（－1）＝a－1＝2，得a＝ .
2或 　
02
PART
研透核心考点
指数幂的运算（基础自学过关）
1. 已知3a＝2，9b＝36，则a－b＝（　　）
A. B. －
C. 1 D. －1
√
解析： 　由9b＝36，得3b＝6，而3a＝2，则3a－b＝ ＝ ＝3－1，所以a
－b＝－1.故选D.
2. 已知ab＝－5，则a ＋b ＝（　　）
A. 2 B. 0
C. －2 D. ±2
解析： 　由题意知ab＜0，a ＋b ＝a ＋b ＝a
＋b ＝a ＋b ，由于ab＜0，故 ＝－ ，则原式
＝0.
√
3. 〔多选〕已知a＋a－1＝3，则下列选项正确的是（　　）
A. a2＋a－2＝7 B. － ＝±1
C. ＋ ＝± D. ＋ ＝2
√
√
√
解析： 　将a＋a－1＝3两边平方，得（a＋a－1）2＝a2＋2＋a－2＝9，
所以a2＋a－2＝7，故A正确；因为（ － ）2＝a－2＋a－1＝3－2＝
1， ， 的大小不确定，所以 － ＝±1，故B正确；因为（ ＋
）2＝a＋2＋a－1＝3＋2＝5， ＞0， ＞0，所以 ＋ ＝ ，
故C错误；由立方和公式，可得 ＋ ＝（ ）3＋（ ）3＝（ ＋
）（a－1＋a－1）＝ ×（3－1）＝2 ，故D正确.
4. 化简与求值：
（1）（ －（2 ）0.5＋（0.027 ；
解： 原式＝（ －（ ＋（0.3 ＝ － ＋0.09＝－
0.16.
（2） （a＞0，b＞0）；
解：原式＝ ＝ · ＝ .
（3）（ ×（－ ）0＋ × － ；
解：原式＝（ ×1＋ × －（ ＝2.
解： ∵a＜b＜0，∴a－b＜0，a＋b＜0.
∵n＞1，n∈N*，∴当n是奇数时，原式＝（a－b）＋（a＋b）＝2a；
当n是偶数时，原式＝｜a－b｜＋｜a＋b｜＝（b－a）＋（－a－b）
＝－2a.
∴ ＋ ＝
（4） ＋ （a＜b＜0，n＞1，n∈N*）.
指数幂的运算
指数函数的图象及应用（师生共研过关）
（1）函数f（x）＝ax－b的图象如图所示，其中a，b为常数，则下列
结论正确的是（　D　）
D
A. a＞1，b＜0
B. a＞1，b＞0
C. 0＜a＜1，b＞0
D. 0＜a＜1，b＜0
解析： 由题中f（x）＝ax－b的图象可以观察出，函数f（x）＝ax－b为减
函数，所以0＜a＜1.函数f（x）＝ax－b的图象是将f（x）＝ax的图象向
左平移得到的，所以b＜0.
（2）函数y＝｜3x－1｜与直线y＝m有两个不同的交点，则实数m的取值
范围是 .
解析： 函数y＝｜3x－1｜的图象是由函数y＝3x的图象向
下平移一个单位长度后，再把位于x轴下方的图象沿x轴翻
折到x轴上方得到的，而直线y＝m的图象是平行于x轴的一
条直线，图象如图所示，由图象可得，如果函数y＝｜3x－1｜与直线y＝m有两个不同的交点，则m的取值范围是（0，1）.
（0，1）　
1. 对于有关指数型函数的图象问题，一般是从最基本的指数函数的图象入
手，通过平移、伸缩、对称变换得到.特别地，当底数a与1的大小关系不
确定时应注意分类讨论.
2. 有关指数方程、不等式问题的求解，往往利用指数型函数的图象，数形
结合求解.
训练1 （1）函数y＝e－｜x｜（e是自然对数的底数）的大致图象是（　C　）
解析： 因为y＝e－｜x｜＝ 所以函数图象关于y轴对
称，且过点（0，1），y＝e－｜x｜＞0，函数在（－∞，0）上单调递增，
在（0，＋∞）上单调递减，故C符合.故选C.
C
（2）〔多选〕（2026·江苏海门模拟）已知实数a，b满足等式2a＝3b，
下列关系式中可能成立的是（　ABD　）
A. 0＜b＜a B. a＜b＜0
C. b＜a＜0 D. a＝b
解析： 作出函数y＝2x与函数y＝3x的图象（如
图），当2a＝3b＞1时，根据图象得0＜b＜a，故A选项
正确；当2a＝3b＝1时，根据图象得a＝b＝0，故D选项
正确；当2a＝3b＜1时，根据图象得a＜b＜0，故B选项
正确；b＜a＜0不可能成立，故选A、B、D.
ABD
指数函数的性质及应用（定向精析突破）
考向1　比较指数式的大小
（2023·天津高考3题）若a＝1.010.5，b＝1.010.6，c＝0.60.5，则
a，b，c的大小关系为（　　）
A. c＞a＞b B. c＞b＞a
C. a＞b＞c D. b＞a＞c
√
解析： 　∵指数函数y＝1.01x是增函数，又0.6＞0.5，∴1.010.6＞
1.010.5，故b＞a.∵幂函数y＝x0.5是增函数，又1.01＞0.6，∴1.010.5＞
0.60.5，故a＞c.∴b＞a＞c.故选D.
比较指数式大小的方法
（1）能化成同底数的先化成同底数幂，再利用单调性比较大小；
（2）不能化成同底数的，一般引入“0”“1”等中间量比较大小.
考向2　解简单的指数方程或不等式
（1）已知不等式 ≤（ ）x－2的解集为A，则A＝
；
解析： ∵（ ）x－2＝（2－2）x－2＝2－2x＋4，∴ ≤2－2x＋4，即x2
＋1≤－2x＋4，即x2＋2x－3≤0，∴－3≤x≤1，故A＝[－3，1].
[－3，
1]　
（2）若函数f（x）＝4x－a·2x－1＋4的一个零点是0，那么它的另一个零
点为 .
解析： 依题意有f（0）＝40－a·2－1＋4＝0，解得a＝10，于是f
（x）＝4x－10·2x－1＋4＝（2x）2－5·2x＋4，令2x＝t（t＞0），则函数
化为y＝t2－5t＋4，令y＝0，解得t＝1或t＝4，当t＝1时，得x＝0；当t
＝4时，得x＝2，所以函数f（x）的另一个零点为2.
2
解指数方程或不等式的依据及方法
（1）解指数方程或不等式的依据：①af（x）＝ag（x） f（x）＝g
（x）；②af（x）＞ag（x），当a＞1时，等价于f（x）＞g（x）；当0＜a
＜1时，等价于f（x）＜g（x）；
（2）解指数方程或不等式的方法：先利用幂的运算性质化为同底数幂，
再利用函数单调性转化为一般不等式求解.
训练2 （1）（2023·全国甲卷11题）已知函数f（x）＝ ，记a
＝f（ ），b＝f（ ），c＝f（ ），则（　A　）
A. b＞c＞a B. b＞a＞c
C. c＞b＞a D. c＞a＞b
A
解析： 函数f（x）＝ 是由函数y＝eu和u＝－（x－1）2复合
而成的复合函数，y＝eu为R上的增函数，u＝－（x－1）2在（－∞，1）
上单调递增，在（1，＋∞）上单调递减，所以由复合函数的单调性可
知，f（x）在（－∞，1）上单调递增，在（1，＋∞）上单调递减.易知f
（x）的图象关于直线x＝1对称，所以c＝f（ ）＝f（2－ ），又
＜2－ ＜ ＜1，所以f（ ）＜f（2－ ）＜f（ ），所以b＞c＞
a，故选A.
（2）（2025·湖北武汉质检）已知p：ax＜1（a＞1），q：2x＋1－x＜2，
则p是q的（　B　）
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
解析： ∵ax＜1，当a＞1时，y＝ax是增函数，∴p：
{x｜x＜0}.对于不等式2x＋1＜x＋2，作出函数y＝2x＋1
与y＝x＋2的图象，如图所示.由图象可知，不等式2x＋1
＜x＋2的解集为{x｜－1＜x＜0}，∴q：{x｜－1＜x＜
0}.又∵{x｜－1＜x＜0} {x｜x＜0}，∴p是q的必要
不充分条件.
B
指数型函数性质的综合应用（师生共研过关）
教材母题：〔人A必修一P161复习参考题12题〕对于函数f（x）＝a－
（a∈R），
（1）探索函数f（x）的单调性；
解： 法一（直接判断法）　因为函数y＝2x＋1在R上是增函数，又2x＋1
＞0，所以y1＝ 在R上是减函数，所以y2＝－ 在R上是增函数，所
以函数f（x）＝a－ 在R上单调递增.
法二（定义法）　f（x）＝a－ （a∈R）的定义域为R，设x1，
x2∈R，且x1＜x2，则f（x1）－f（x2）＝ .因为x1＜x2，
所以 ＜ ，即 － ＜0.又 ＋1＞0， ＋1＞0，所以f
（x1）－f（x2）＜0，即f（x1）＜f（x2），所以f（x）在R上单调递增.
（2）是否存在实数a使函数f（x）为奇函数？
解：法一（定义法）　因为f（x）＝a－ （a∈R）的定义域为R，要
使f（x）为奇函数，则f（－x）＝－f（x）在R上恒成立，即a－
＝－a＋ ，所以2a＝ ＋ ＝2，所以a＝1，所以存在实数a＝
1，使函数f（x）为奇函数.
法二（特殊值法）　由于f（x）是奇函数，且定义域为R，故f（0）＝a
－ ＝0，解得a＝1，则f（x）＝1－ ，经验证符合题意，故存在
实数a＝1，使函数f（x）为奇函数.
细研教材：由教材母题知，指数型函数的单调性及奇偶性可利用定义来进
行分析判断，一般地，指数型函数f（x）＝ 是单调的奇函数.
变式1 若f（x）＝ 是奇函数，则a＝（　　）
A. －1 B. 0
C. 1 D. ±1
√
解析： 　因为f（x）为奇函数，所以f（x）＋f（－x）＝0，即
＋ ＝0，解得a＝±1.
变式2 已知函数f（x）＝a－ 是R上的奇函数，则f（x）的值域
为 .
解析：易知a＝1，则f（x）＝1－ ，因为2x＋1＞1，所以0＜ ＜
2，则－1＜1－ ＜1，即f（x）的值域为（－1，1）.
（－1，1）　
变式3 已知函数f（x）＝ ，且满足f（m2）＋f（m－2）＞0，则实数
m的取值范围是 .
解析：因为f（x）的定义域为R，f（－x）＝ ＝ ＝－f（x），
所以f（x）为奇函数.因为f（x）＝ ＝1－ ，所以f（x）为R
上的增函数.因为f（m2）＋f（m－2）＞0，所以f（m2）＞－f（m－
2）＝f（2－m），所以m2＞2－m，即m2＋m－2＞0，解得m＜－2或m
＞1，所以实数m的取值范围为（－∞，－2）∪（1，＋∞）.
（－∞，－2）∪（1，＋∞）　
　　涉及指数型函数性质的综合问题时，首先要掌握指数函数的相关性
质，其次要明确复合函数的构成，涉及值域、单调区间、最值等问题时，
都要借助“同增异减”这一性质分析判断.
训练3 （1）（2023·新高考Ⅰ卷4题）设函数f（x）＝2x（x－a）在区间（0，
1）上单调递减，则实数a的取值范围是（　D　）
A. （－∞，－2] B. [－2，0）
C. （0，2] D. [2，＋∞）
D
√
解析： 设t＝x（x－a），易知函数y＝2t是增函数.因为f（x）＝2x（x－
a）在（0，1）上单调递减，所以由复合函数的单调性可知函数t＝x（x－
a）在（0，1）上单调递减.因为函数t＝x（x－a）在（－∞， ）上单
调递减，所以 ≥1，即a≥2.故选D.
（2）〔多选〕（2026·山东临沂模拟）已知函数f（x）＝ ＋a
（a∈R），则（　ACD　）
A. f（x）的定义域为（－∞，0）∪（0，＋∞）
B. f（x）的值域为R
C. 当a＝1时，f（x）为奇函数
D. 当a＝2时，f（－x）＋f（x）＝2
ACD
解析：对于函数f（x）＝ ＋a（a∈R），令2x－1≠0，解得x≠0，
所以f（x）的定义域为（－∞，0）∪（0，＋∞），故A正确；当x＞0
时，2x＞1，2x－1＞0， ＞0，所以 ＋a＞a；当x＜0时，0＜2x＜
1，－1＜2x－1＜0， ＜－2，所以 ＋a＜－2＋a，综上可得，f
（x）的值域为（－∞，－2＋a）∪（a，＋∞），故B错误；当a＝1时，f（x）＝ ＋1＝ ，定义域为（－∞，0）∪（0，＋∞），f（－x）＝ ＝－ ＝－f（x），所以f（x）＝ ＋1为奇函数，故C正确；当a＝2时，f（x）＝ ＋2＝ ＋1，则f（x）＋f（－x）＝ ＋1＋ ＋1＝2，故D正确.
（3）若f（x）＝ex－e－x＋x3且f（a－1）＋f（2a2）≤0，则a的取值范
围是 .
解析：显然f（x）为奇函数且单调递增，则f（a－1）＋f（2a2）≤0等
价于f（a－1）≤f（－2a2），即2a2＋a－1≤0，解得－1≤a≤ ，故a
的取值范围为［－1， ］.
［－1， ］　
03
PART
课时跟踪检测
（时间：60分钟，满分：96分）
[备注：单选、填空题5分，多选题6分]
1. 若 ＋（a－4）0有意义，则a的取值范围是（　　）
A. [2，＋∞）
B. [2，4）∪（4，＋∞）
C. （－∞，2）∪（2，＋∞）
D. （－∞，4）∪（4，＋∞）
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√
解析： 　由题意可知，a－2≥0且a－4≠0，∴a≥2且a≠4.故选B.
2. 已知a＝31.2，b＝1.20，c＝（ ）－0.9，则a，b，c的大小关系是
（　　）
A. a＜c＜b B. c＜b＜a
C. c＜a＜b D. b＜c＜a
√
解析： 　因为b＝1.20＝1，c＝（ ）－0.9＝30.9，且y＝3x为增函数，
1.2＞0.9＞0，所以31.2＞30.9＞30＝1，即a＞c＞b.
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3. 设函数f（x）＝ 则使得f（x）≤2成立的x的取值范围
为（　　）
A. （－∞，－4] B. （－∞，－2]
C. （－∞，2] D. （－∞，4]
√
解析： 　当x＜1时，由2x－1≤2，得x＜1；当x≥1时，由 ≤2，得
1≤x≤4.所以使得f（x）≤2成立的x的取值范围为（－∞，4].
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4. （2025·广东佛山二模）已知函数f（x）＝ （a∈R），命题p：f
（x）是奇函数，命题q：f（x）在（0，＋∞）上单调递减，则p是q的
（　　）
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
√
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解析： 　若f（x）是奇函数，则f（－x）＝－f（x），即 ＝
＝ 恒成立，所以a＝1，则f（x）＝ ＝1＋ ，y＝2x－
1在（0，＋∞）上单调递增，所以f（x）在（0，＋∞）上单调递减，充
分性成立；若f（x）＝ ＝1＋ 在（0，＋∞）上单调递减，又y
＝2x－1在（0，＋∞）上单调递增，所以1＋a＞0，故a＞－1，此时不一
定有a＝1，必要性不成立，所以p是q的充分不必要条件.故选A.
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5. 〔多选〕下列各式正确的是（　　）
A. （ ）7＝n7
B. （ ＝16
C. 2a3 ·（－5 ）÷（4 ）＝－
D. ＝
√
√
√
1
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15
解析： 　对于A，（ ）7＝n7m－7，A不正确；对于B，由
（ ＝（ ＝ ＝24＝16，B正确；对于C，
原式＝[2×（－5）÷4] ＝－ ，C正确；对于D，
＝[a2·（a· ＝[a2·（ ＝（a2· ＝（ ＝
，故D正确.
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6. 〔多选〕已知函数f（x）＝ax－b（a＞0，且a≠1，b≠0）的图象不
经过第三象限，则a，b的取值范围可能为（　　）
A. 0＜a＜1，b＜0 B. 0＜a＜1，0＜b≤1
C. a＞1，b＜0 D. a＞1，0＜b≤1
√
√
√
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解析： 　若0＜a＜1，则函数y＝ax的图象如图1所示，要想f（x）＝
ax－b的图象不经过第三象限，则需要向上平移，或向下平移不超过1个单
位长度，故－b＞0或－1≤－b＜0，解得b＜0或0＜b≤1，故A、B正确；
若a＞1，则函数y＝ax的图象如图2所示，要想f（x）＝ax－b的图象不
经过第三象限，则需要向上平移，故－b＞0，解得b＜0，故C正确，D错
误.
　　
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7. 写出一个值域为（－∞，1），在区间（－∞，＋∞）上是增函数的函
数f（x）＝ .
解析：f（x）＝1－ ，理由如下：∵y＝ 为R上的减函数，且
＞0，∴f（x）＝1－ 为R上的增函数，且f（x）＝1－ ＜
1，∴f（x）＝1－ 符合题意.
1－ （答案不唯一）　
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8. （2025·广东韶关一模）当0＜x＜ 时，方程ax＝ （a＞0且a≠1）有
解，则实数a的取值范围是 .
解析：依题意，当x∈（0， ）时，y＝ax与y＝ 有交
点，作出y＝ ，x∈（0， ）的图象，如图，所以
解得a＞4.
（4，＋∞）　
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9. （13分）已知函数f（x）＝（ .
（1）若a＝－1，求f（x）的单调区间；
解： 当a＝－1时，f（x）＝（ ，
令u＝－x2－4x＋3＝－（x＋2）2＋7.
则u＝－（x＋2）2＋7在（－∞，－2）上单调递增，在（－2，＋∞）上
单调递减，
而y＝（ ）u在R上单调递减，
所以f（x）在（－∞，－2）上单调递减，在（－2，＋∞）上单调递增，
即函数f（x）的单调递增区间是（－2，＋∞），单调递减区间是（－
∞，－2）.
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（2）若f（x）有最大值3，求实数a的值.
解： 令h（x）＝ax2－4x＋3，则f（x）＝（ ）h（x），因为f
（x）有最大值3，所以h（x）应有最小值－1，
因此必有
解得a＝1，即当f（x）有最大值3时，a的值为1.
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10. （2026·安徽江淮十校联考）已知x，y∈R，且9x＋（x－2）·3x＝1，
9y－1＋y·3y＝9，则x＋y＝（　　）
A. 1 B. 2
√
C. 3 D. 4
解析： 　因为9x＋（x－2）·3x＝1，两边同除以3x，得3x＋x－2＝3－
x，即3x－3－x＋x－2＝0　①，因为9y－1＋y·3y＝9，两边同除以3y，得3y
－2＋y＝32－y，即32－y－3y－2－y＝0，整理得32－y－3y－2＋（2－y）－2＝
0　②，由①②可构造函数f（x）＝3x－3－x＋x－2，显然该函数是R上的
增函数，于是根据①②知f（x）＝f（2－y），所以x＝2－y，因此x＋y
＝2.故选B.
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11. 已知函数f（x）＝ ＋x3，且f（m）＋f（m＋1）＞1，则实数m
的取值范围为（　　）
A. （－ ，＋∞） B. （1，＋∞）
C. （1，2） D. （ ，1）
√
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解析： 　看见 联想到构造 ，因为f（0）＝ ，所以考虑f（x）
－ ＝ · ＋x3，令g（x）＝f（x）－ ，可知函数g（x）为奇函数
且单调递增，则f（m）＋f（m＋1）＞1 f（m）－ ＋f（m＋1）－
＞0 g（m）＋g（m＋1）＞0，由奇函数性质可得g（m）＞g（－1－
m），因为g（x）单调递增，所以m＞－1－m，解得m＞－ ，故选A.
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12. 〔多选〕已知函数f（x）＝m－ 是定义域为R的奇函数，则下列
说法正确的是（　　）
A. m＝
B. 函数f（x）在R上的最大值为
C. 函数f（x）是减函数
D. 存在实数n，使得关于x的方程f（x）－n＝0有两个不相等的实数根
√
√
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解析： 　因为函数f（x）＝m－ 是定义域为R的奇函数，所以f
（0）＝m－ ＝0，解得m＝ ，故A正确；又f（x）＝ － ＝ －
＝ － ，因为ex＞0，所以ex＋1＞1，则0＜ ＜1，所以－
＜f（x）＜ ，即f（x）∈（－ ， ），故B错误；因为y＝ex是增函
数，y＝ex＞0，且y＝ 在（0，＋∞）上单调递减，所以f（x）＝
－ 是减函数，故C正确；因为f（x）是减函数，所以y＝f（x）与y＝n
最多有1个交点，故f（x）－n＝0最多有一个实数根，即不存在实数n，
使得关于x的方程f（x）－n＝0有两个不相等的实数根，故D错误.
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13. 对任意实数a＞1，函数y＝（a－1）x－1＋1的图象过定点A（m，
n），f（x）＝（ ）x的定义域为[0，2]，g（x）＝f（2x）＋f
（x），则g（x）的值域为 .　　
解析：令x－1＝0，得x＝1，此时y＝（a－1）0＋1＝2，所以函数y＝
（a－1）x－1＋1的图象过定点A（1，2），即m＝1，n＝2，所以f（x）
＝（ ）x＝2x，x∈[0，2]，所以g（x）＝f（2x）＋f（x）＝22x＋
2x，所以 得0≤x≤1，所以g（x）的定义域为[0，1].又y
＝22x，y＝2x均是增函数，所以g（x）是增函数，所以g（x）的值域为
[2，6].
[2，6]　
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14. （15分）（2026·江苏常州调研）已知定义域为R的函数f（x）＝
是奇函数.
（1）求a，b的值；
解： 因为函数f（x）是定义在R上的奇函数，所以f（0）＝0，即
＝0，所以a＝1，
又因为f（－x）＝－f（x），所以 ＝－ ，将a＝1代入，整理
得 ＝ ，
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当x≠0时，有b·2x＋1＝b＋2x，即（b－1）·（2x－1）＝0，
又因为当x≠0时，2x－1≠0，所以b－1＝0，所以b＝1.
经检验符合题意，所以a＝1，b＝1.
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（2）若存在t∈[0，4]，使f（k＋t2）＋f（4t－2t2）＜0成立，求k的取
值范围.
解：由（1）知，函数f（x）＝ ＝ ＝－1＋ ，
因为y＝1＋2x为R上的增函数，且1＋2x＞0，则函数f（x）在R上是减
函数.
因为存在t∈[0，4]，使f（k＋t2）＋f（4t－2t2）＜0成立，
所以不等式可转化为f（k＋t2）＜f（2t2－4t），
所以k＋t2＞2t2－4t，所以k＞t2－4t，
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令g（t）＝t2－4t＝（t－2）2－4，t∈[0，4]，
故问题等价转化为k＞g（t）min，又因为g（t）min＝g（2）＝－4，所
以k＞－4，
故k的取值范围为（－4，＋∞）.
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15. 〔创新交汇〕（2026·江苏徐州模拟）正实数m，n满足e1－2m＋2－2m
＝en－1＋n，则 ＋ 的最小值为 　 　.
解析：由e1－2m＋2－2m＝en－1＋n，得e1－2m＋（1－2m）＝en－1＋（n－
1），令f（x）＝ex＋x，则原等式为f（1－2m）＝f（n－1），显然函
数f（x）为增函数，于是1－2m＝n－1，即2m＋n＝2，而m＞0，n＞
0，因此 ＋ ＝ ＋ ＝ ＋ ＋ ≥2 ＋ ＝ ，当且仅当
＝ ，即m＝n＝ 时取等号，所以当m＝n＝ 时， ＋ 取得最小值 .
　
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