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第7节　对数与对数函数
（时间：60分钟，满分：95分）
[备注：单选、填空题5分，多选题6分]
1.若函数y＝f（x）是函数y＝ax（a＞0，且a≠1）的反函数，且f（2）＝1，则f（x）＝（　　）
A.log2x B.
C.lox D.2x－2
2.（2026·江苏无锡天一中学月考）下列各式运算正确的是（　　）
A.＋＝7
B.ln e2＋ln（ln e）＝1
C.log23·log34＝1
D.lg 25＋lg 8－lg 200＋lg 2＝0
3.（2025·江苏南京二模）已知a＝log23，b＝log43，c＝，则a，b，c的大小关系为（　　）
A.a＜b＜c B.c＜a＜b
C.c＜b＜a D.b＜c＜a
4.（2025·湖南长沙市一中模拟）已知函数f（x）＝lo（x2＋3），且f（log2m）＜f（2），则实数m的取值范围为（　　）
A.（4，＋∞） B.（ 0，）
C.（ ，4） D.（ 0，）∪（4，＋∞）
5.在同一平面直角坐标系中，函数y＝loga（－x），y＝（a＞0且a≠1）的图象可能是（　　）
6.〔多选〕已知函数f（x）＝log2（1－｜x｜），则关于函数f（x）有下列说法，其中正确的为（　　）
A.f（x）的图象关于原点对称
B.f（x）的图象关于y轴对称
C.f（x）的最大值为0
D.f（x）在区间（－1，1）上单调递增
7.（2026·山东乳山模拟）若函数f（x）＝在（－∞，a]上的最大值为4，则a的取值范围为　　　　.
8.（2025·广东深圳一模改编）已知a＞0，且a≠1，则函数y＝loga（ x＋）的图象一定经过第　　　象限.
9.（13分）已知a＞0，a≠1且loga3＜loga2，函数y＝logax在区间[a，3a]上的最大值与最小值之差为1.
（1）求a的值；
（2）若1≤x≤3，求函数y＝（logax）2＋loga－2的最小值.
10.已知函数f（x）＝log2（x＋2），若a＞b＞c＞0，则（　　）
A.＜＜
B.＜＜
C.＜＜
D.＜＜
11.若不等式（x－1）2＜logax（a＞0且a≠1）在x∈（1，2]内恒成立，则实数a的取值范围为（　　）
A.（ 0，） B.（0，1）
C.（ ，1） D.（1，2）
12.〔多选〕已知函数f（x）＝若x1＜x2＜x3＜x4，且f（x1）＝f（x2）＝f（x3）＝f（x4），则下列结论正确的是（　　）
A.x1＋x2＝－4 B.x3x4＝1
C.1＜x4＜4 D.0＜x1x2x3x4≤2
13.〔一题多解〕（2024·新高考Ⅱ卷8题改编）设函数f（x）＝（x＋a）·ln（x＋b）.若f（x）≥0，则a2＋b2的最小值为　　　　.
14.（15分）已知函数f（x）＝loga（ax2－x）（a＞0，且a≠1）.
（1）若a＝，求f（x）的单调区间；
（2）若f（x）在区间[2，4]上单调递增，求实数a的取值范围.
15.〔创新交汇〕设平行于y轴的直线分别与函数y1＝log2x及y2＝log2x＋2的图象交于B，C两点，点A（m，n）位于函数y2的图象上，如图所示.若△ABC为正三角形，则m·2n＝　　　　.
第7节　对数与对数函数
1.A　2.D　3.D　4.D　
5.C　因为函数y＝loga（－x）的图象与函数y＝logax的图象关于y轴对称，所以函数y＝loga（－x）的图象恒过定点（－1，0），故A、B错误；当a＞1时，函数y＝logax在（0，＋∞）上单调递增，所以函数y＝loga（－x）在（－∞，0）上单调递减，而y＝（a＞1）在（－∞，0）和（0，＋∞）上单调递减，故D错误，C正确.
6.BC　7.[1，17]　8.三、四
9.解：（1）因为loga3＜loga2，所以0＜a＜1，
所以y＝logax在[a，3a]上为减函数，
因为函数y＝logax在区间[a，3a]上的最大值与最小值之差为1，
所以logaa－loga（3a）＝1，即loga＝1，解得a＝.
（2）由（1）得a＝，因为1≤x≤3，
所以－1≤lox≤0，
所以y＝（logax）2＋loga－2＝（lox）2＋lox－2，　
令lox＝t，则t∈[－1，0]，y＝t2＋t－2＝（ t＋）2－，所以当t＝－，即x＝时，y取得最小值，且最小值为－.
10.A　，，可分别看作函数f（x）图象上的点（a，f（a）），（b，f（b）），（c，f（c））与坐标原点O（0，0）连线的斜率.作出函数f（x）的图象如图所示，由图象可知，当a＞b＞c＞0时，＜＜.故选A.
11.D　若0＜a＜1，此时x∈（1，2]，logax＜0，而（x－1）2＞0，故（x－1）2＜logax无解；若a＞1，此时x∈（1，2]，logax＞0，而（x－1）2＞0，令f（x）＝logax，g（x）＝（x－1）2，画出函数f（x）与g（x）的图象，如图，由不等式（x－1）2＜logax在x∈（1，2]内恒成立，则loga2＞1，解得a∈（1，2）.
12.AB　函数f（x）＝的图象如图所示，设f（x1）＝f（x2）＝f（x3）＝f（x4）＝t，则0＜t＜4，则直线y＝t与函数y＝f（x）图象的4个交点的横坐标分别为x1，x2，x3，x4.对于A，函数y＝－x2－4x的图象关于直线x＝－2对称，则x1＋x2＝－4，故A正确；对于B，由图象可知｜log2x3｜＝｜log2x4｜，且0＜x3＜1＜x4，所以－log2x3＝log2x4，即log2（x3x4）＝0，所以x3x4＝1，故B正确；对于C，由图象可知log2x4∈（0，4），则1＜x4＜16，故C错误；对于D，由图象可知－4＜x1＜－2，当x≤0时，f（x）＝－x2－4x，所以x1x2x3x4＝x1（－4－x1）＝－－4x1＝f（x1）∈（0，4），故D错误.
13.　解析：法一　由题意可知：f（x）的定义域为（－b，＋∞），令x＋a＝0，解得x＝－a；令ln（x＋b）＝0，解得x＝1－b，则当x∈（－b，1－b）时，ln（x＋b）＜0，故x＋a≤0，所以1－b＋a≤0；当x∈（1－b，＋∞）时，ln（x＋b）＞0，故x＋a≥0，所以1－b＋a≥0，故1－b＋a＝0，则a2＋b2＝a2＋（a＋1）2＝2（ a＋）2＋≥，当且仅当a＝－，b＝时，等号成立，所以a2＋b2的最小值为.
法二　令f（x）＝0，解得x＝－a或x＝1－b.易知y1＝x＋a，y2＝ln（x＋b）均为增函数.若f（x）≥0恒成立，则－a＝1－b，即b＝1＋a.所以a2＋b2＝a2＋（1＋a）2＝2（ a＋）2＋≥，当a＝－，b＝时，等号成立，所以（a2＋b2）min＝.
14.解：（1）当a＝时，f（x）＝lo（ x2－x）.由x2－x＞0，得x2－2x＞0，解得x＜0或x＞2，
所以函数f（x）的定义域为（－∞，0）∪（2，＋∞），
利用复合函数的单调性可得函数f（x）的单调递增区间为（－∞，0），单调递减区间为（2，＋∞）.
（2）令g（x）＝ax2－x，因为a＞0且a≠1，所以函数g（x）的图象开口向上，对称轴为直线x＝.
①当0＜a＜1时，要使函数f（x）在区间[2，4]上单调递增，则g（x）＝ax2－x在[2，4]上单调递减，且g（x）min＝g（4）＞0，
即此不等式组无解；
②当a＞1时，要使函数f（x）在区间[2，4]上单调递增，则g（x）＝ax2－x在[2，4]上单调递增，且g（x）min＝g（2）＞0，即解得a＞，又a＞1，所以a＞1.
综上，实数a的取值范围为（1，＋∞）.
15.12　解析：由题意可得BC＝2，则正三角形ABC边长为2，点A到BC距离为，BC中点纵坐标与点A纵坐标相等且等于点B纵坐标加1，所以点C的坐标为（m＋，n＋1）.将A，C两点的坐标代入函数y2＝log2x＋2，可得log2m＋2＝n，log2（m＋）＋2＝n＋1，两式相减得log2（m＋）－log2m＝1，所以log2＝1，所以＝2，解得m＝，所以n＝log2m＋2＝log2＋2＝log24，所以m·2n＝×＝×4＝12.
1 / 1第7节　对数与对数函数
1.理解对数的概念和运算性质，知道用换底公式能将一般对数转化成自然对数或常用对数. 2.通过具体实例，了解对数函数的概念，会画对数函数的图象，了解对数函数的单调性与特殊点. 3.知道对数函数y＝logax与指数函数y＝ax互为反函数（a＞0，且a≠1）.
知识梳理
1.对数式的运算
概念 如果　　　　（a＞0，且a≠1），那么数x叫做以a为底N的对数，记作x＝　　，其中a叫做对数的　　　，N叫做　　　　
性质 对数式与指数式的互化：ax＝N 　　　
负数和0没有对数
1的对数是　　　　：loga1＝　　　　
底数的对数是　　　　：logaa＝　　　　
对数恒等式：＝　　　
运算性质 loga（MN）＝　　　　　 a＞0，且a≠1，M＞0，N＞0
loga＝　　　　　
logaMn＝　　　　（n∈R）
换底公式 logab＝（a＞0，且a≠1；b＞0；c＞0，且c≠1）
2.对数函数及其性质
（1）定义：函数y＝　　　（a＞0，且a≠1）叫做对数函数，其中x是自变量，定义域是　　　；
提醒：对数函数y＝logax的3个特征：①底数a＞0，且a≠1；②自变量x＞0；③系数为1.（2）图象与性质
底数 a＞1 0＜a＜1
图象
性质 定义域：　　　
值域：R
图象过定点　　　　，即恒有loga1＝0
当x＞1时，恒有y＞0； 当0＜x＜1时，恒有y＜0 当x＞1时，恒有y＜0； 当0＜x＜1时，恒有y＞0
在（0，＋∞）上是　　　　　 在（0，＋∞）上是　　　　
提醒：当对数函数的底数a的大小不确定时，需分a＞1和0＜a＜1两种情况进行讨论.
3.反函数
指数函数y＝ax（a＞0，且a≠1）与对数函数y＝logax（a＞0，且a≠1）互为反函数，它们的定义域与值域正好互换.
1.换底公式的变形 （1）logab·logba＝1，即logab＝（a，b均大于0且不等于1）； （2）lobn＝logab（a，b均大于0且不等于1，m≠0，n∈R）. 2.对数函数y＝logax（a＞0，且a≠1）的图象过定点（1，0），且过点（a，1），（ ，－1），函数图象只在第一、四象限. 3.对数函数的图象与底数大小的比较 如图，作直线y＝1，则该直线与四个函数图象交点的横坐标为相应的底数.故0＜c＜d＜1＜a＜b.由此我们可得到以下规律：在第一象限内从左到右底数逐渐增大.
诊断自测
1.判断正误.（正确的画“√”，错误的画“×”）
（1）log2x2＝2log2x.（　　）
（2）函数y＝log2（x＋1）是对数函数.（　　）
（3）对数函数y＝logax（a＞0，且a≠1）在（0，＋∞）上是增函数.（　　）
（4）函数y＝loga（x－1）＋2（a＞0，且a≠1）的图象过定点（1，2）.（　　）
（5）函数y＝logax与y＝lox（a＞0，且a≠1）的图象关于x轴对称.（　　）
2.函数f（x）＝＋ln（x－1）的定义域为（　　）
A.（1，＋∞） B.（1，2）∪（2，＋∞）
C.（－∞，1） D.（0，2）∪（2，＋∞）
3.下列运算正确的是（　　）
A.lg 2＋lg 3＝lg 5
B.log34·log43＝0
C.2lg －lg ＝2
D.lg 1－ln e2＋＝4
4.设a＝log0.26，b＝log0.36，c＝log0.46，则a，b，c的大小关系为（　　）
A.a＞b＞c B.c＞b＞a
C.b＞c＞a D.a＞c＞b
5.已知log0.7（2m）＜log0.7（m－1），则m的取值范围是　　　　.
对数的运算
（基础自学过关）
1.若2a＝3，3b＝5，5c＝4，则log4（abc）＝（　　）
A.－2 B.
C. D.1
2.（2025·山东临沂二模）已知实数x，y满足log2（log3x）＝log3（log2y）＝1，则x＋y＝（　　）
A.11 B.12
C.16 D.17
3.（2024·全国甲卷15题）已知a＞1且－＝－，则a＝　　　　.
4.计算下列各式：
（1）log535＋2log2－log5－log514；
（2）log23·log38＋（；
（3）.
对数运算的一般思路 （1）在对数运算中，先利用幂的运算把底数或真数进行变形，化成分数指数幂的形式，使幂的底数最简，然后用对数运算法则化简合并； （2）先将对数式化为同底数对数的和、差、倍数运算，然后逆用对数的运算法则，转化为同底对数真数的积、商、幂再运算； （3）ab＝N b＝logaN（a＞0，且a≠1）是解决有关指数、对数问题的有效方法，在运算中应注意互化.
对数函数的图象及应用
（师生共研过关）
（1）函数f（x）＝ax与g（x）＝lox（a＞0且a≠1）在同一坐标系中的大致图象是（　　）
（2）已知函数f（x）＝｜log3x｜，若a＜b，且f（a）＝f（b），则a＋4b的取值范围是（　　）
A.[2，＋∞） B.（2，＋∞）
C.[5，＋∞） D.（5，＋∞）
听课记录
对数函数图象的识别及应用 （1）在识别函数图象时，要善于利用已知函数的性质、函数图象上的特殊点（与坐标轴的交点、最高点、最低点等）排除不符合要求的选项； （2）一些对数型方程、不等式问题常转化为相应的函数图象问题，利用数形结合法求解.
训练1 （1）已知函数f（x）＝loga（x－b）（a＞0且a≠1，a，b为常数）的图象如图所示，则下列结论正确的是（　　）
A.a＞0，b＜－1 B.a＞0，－1＜b＜0
C.0＜a＜1，b＜－1 D.0＜a＜1，－1＜b＜0
（2）若方程4x＝logax在（ 0，］上有解，则实数a的取值范围为　　　　.
对数函数的性质及应用
（定向精析突破）
考向1　比较对数值的大小
（1）（2025·湖南长沙部分学校月考）设a＝log43，b＝log53，c＝log45，则（　　）
A.a＞c＞b B.b＞c＞a
C.c＞b＞a D.c＞a＞b
（2）〔多选〕（2026·黑龙江龙东联盟联考）已知2a＝3b＝6，则a，b满足（　　）
A.a＝log26 B.a＜b
C.＋＜1 D.a＋b＞4
听课记录
比较对数式大小的方法 （1）当底数为同一数字时，可由对数函数的单调性比较大小； （2）当底数为同一字母时，需对底数进行分类讨论； （3）当底数不同，真数相同时，先用换底公式化为同底后，再进行比较； （4）当底数与真数都不同时，可借助1，0等中间值比较大小.
考向2　解简单的对数方程或不等式
（1）方程log2（x－1）＝2－log2（x＋1）的解为　　　　；
（2）已知函数f（x）是定义在R上的偶函数，当x≤0时，f（x）单调递减，则不等式f（lo（2x－5））＞f（log38）的解集为　　　　.
听课记录
求解对数不等式的两种类型及方法 （1）logax＞logab：借助y＝logax的单调性求解，如果a的取值不确定，需分a＞1与0＜a＜1两种情况讨论； （2）logax＞b：需先将b化为以a为底的对数式的形式，再借助y＝logax的单调性求解.
训练2 （1）（2025·浙江金华十校二模）已知a＝log32，b＝log54，c＝log98，则（　　）
A.c＜b＜a B.a＜c＜b
C.b＜a＜c D.a＜b＜c
（2）不等式logx（x＋2）＞1的解集是（　　）
A.（2，＋∞） B.（1，＋∞）
C.（0，1） D.（0，1）∪（1，＋∞）
（3）已知函数f（x）＝则不等式f（（log2x）2－3）＜4f（log2x）的解集为　　　　.
对数型函数性质的综合问题
（师生共研过关）
教材母题：〔人A必修一P161复习参考题11题〕已知函数f（x）＝loga（x＋1），g（x）＝loga（1－x）（a＞0，且a≠1）.
（1）求函数f（x）＋g（x）的定义域；
（2）判断函数f（x）＋g（x）的奇偶性，并说明理由.
细研教材：对数函数y＝logax（a＞0，且a≠1）不具有奇偶性，但其复合函数却可能具有奇偶性，其判断方法一般是利用函数奇偶性的定义结合对数函数的运算性质进行判断，一般地函数f（x）＝loga（n＋mx）（n－mx）为偶函数，函数f（x）＝loga为单调的奇函数.
变式1 已知函数f（x）＝loga（x＋1），g（x）＝loga（1－x）（a＞1），则函数f（x）＋g（x）的单调递增区间为　　　　；值域为　　　　.
变式2 〔链接高考〕〔一题多解〕（2023·新高考Ⅱ卷4题）若f（x）＝（x＋a）ln为偶函数，则a＝（　　）
A.－1 B.0
C. D.1
变式3 已知函数f（x）＝lg（ ＋a）是奇函数，则使f（x）＜0的x的取值范围是（　　）
A.（－1，0） B.（0，1）
C.（－∞，0） D.（－1，1）
　　求解与对数型函数有关的综合问题时，必须弄清的三个方面：一是定义域，所有问题都必须在定义域内讨论；二是底数与1的大小关系；三是复合函数的构成，即它是由哪些基本初等函数复合而成的.另外，解题时需注意数形结合、分类讨论、转化与化归思想的应用.
训练3 （1）（2025·江西一模）若函数f（x）＝log0.1（12－ax）在区间（3，6）上单调递增.则a的取值范围是（　　）
A.（－∞，0） B.（－2，0）
C.（0，2） D.（0，2]
（2）已知函数f（x）＝ln（－3x）＋1，则f（lg 2）＋f（ lg ）＝（　　）
A.－1 B.0
C.1 D.2
（3）〔多选〕对于函数f（x）＝lg ，下列说法正确的有（　　）
A.函数f（x）的图象关于y轴对称
B.当x＞0时，f（x）单调递增，当x＜0时，f（x）单调递减　
C.函数f（x）的最小值是lg 2
D.当－1＜x＜0或x＞1时，f（x）单调递增
互为反函数的两个函数图象间的关系
　　通过人A必修一P135探究与发现我们知道指数函数y＝ax（a＞0，且a≠1）与对数函数y＝logax（a＞0，且a≠1）互为反函数，它们的图象关于直线y＝x对称.也就是说，指数函数y＝ax（a＞0，且a≠1）的图象上任意一点P（x0，y0）关于直线y＝x的对称点Q（y0，x0）在对数函数y＝logax（a＞0，且a≠1）的图象上.
（1）若关于x的方程x＋log5x＝4与x＋5x＝4的根分别为m，n，则m＋n＝（　　）
A.1 B.2
C.3 D.4
（2）已知方程ax＝logax（a＞1）有且仅有一个实数根，则实数a＝　　　　.
听课记录
第7节　对数与对数函数
【夯实必备知识】
知识梳理
1.ax＝N　logaN　底数　真数　x＝logaN　0　0　1　1　N　logaM＋logaN　logaM－logaN　nlogaM
2.（1）logax　（0，＋∞）　（2）（0，＋∞）　（1，0）　增函数　减函数
诊断自测
1.（1）×　（2）×　（3）×　（4）×　（5）√
2.B　3.D　4.A　5.（1，＋∞）
【研透核心考点】
考点1
1.B　2.D　3.64
4.解：（1）原式＝log5＋log22＝log553＋1＝4.
（2）原式＝·＋＝3＋＝3＋2＝5.
（3）原式＝
＝＝＝＝＝1.
考点2
【例1】　（1）C　（2）D　解析：（1）对于A、C、D，由指数函数的图象，可得a＞1，则0＜＜1，即函数g（x）在（0，＋∞）上单调递减，故A、D错误，C正确；对于B，由指数函数的图象，可得0＜a＜1，则＞1，即函数g（x）在（0，＋∞）上单调递增，故B错误.
（2）画出f（x）＝｜log3x｜的图象如图所示，因为a＜b，且f（a）＝f（b），所以－log3a＝log3b，故＝b，且0＜a＜1，令y＝a＋4b，所以y＝a＋，由对勾函数的性质可知y＝a＋在（0，1）上单调递减，故y＝a＋＞1＋＝5，故a＋4b的取值范围是（5，＋∞）.
训练1　（1）D　（2）（ 0，］
解析：（1）因为函数f（x）＝loga（x－b）为减函数，所以0＜a＜1，又因为函数图象与x轴的交点在正半轴，所以1＋b＞0，即b＞－1，又因为函数图象与y轴有交点，所以b＜0，所以－1＜b＜0.故选D.
（2）若方程4x＝logax在（ 0，］上有解，则函数y＝4x和函数y＝logax的图象在（ 0，］上有交点，由图象知解得0＜a≤.
考点3
【例2】　（1）D　（2）AD　解析：（1）因为a＝log43＜1，b＝log53＜1，c＝log45＞1，其中a＝，b＝，所以a－b＝－＝＞0，所以c＞a＞b，故选D.
（2）A选项，由2a＝6，得a＝log26，故A正确；B选项，由3b＝6，得b＝log36，∵a＝log26＞2，b＝log36＜2，∴a＞b，故B错误；C选项，∵＋＝＋＝log62＋log63＝1，故C错误；D选项，∵a≠b且a＞0，b＞0，∴由基本不等式得a＋b＝（a＋b）（ ＋）＝2＋＋＞4，故D正确.
【例3】　（1）　（2）（ ，）∪（ ，＋∞）　解析：（1）原方程变形为log2（x－1）＋log2（x＋1）＝log2（x2－1）＝2，即x2－1＝4，解得x＝±.又x＞1，所以x＝.
（2）因为函数f（x）是定义在R上的偶函数，且在（－∞，0]上单调递减，所以可将f（lo（2x－5））＞f（log38）化为｜lo（2x－5）｜＞｜log38｜，即log3（2x－5）＞log38或log3（2x－5）＜－log38＝log3，即2x－5＞8或0＜2x－5＜，解得x＞或＜x＜.
训练2　（1）D　（2）B　（3）（ ，8）
解析：（1）由题意可知，0＜a＜1，0＜b＜1，0＜c＜1.则＝＝×＝×＝＝＜1，所以a＜b.＝＝×＝×＝＝＜1，所以b＜c.所以a＜b＜c.故选D.
（2）logx（x＋2）＞1 ①或②，①无解，②的解为x＞1，∴x＞1，故选B.
（3）当x≥0时，f（x）＝2x2≥0，4f（x）＝8x2＝f（2x），且f（x）在[0，＋∞）上单调递增；当x＜0时，f（x）＝－2x2＜0，4f（x）＝－8x2＝f（2x），且f（x）在（－∞，0）上单调递增，所以f（x）在R上是增函数，且4f（x）＝f（2x），于是原不等式可化为（log2x）2－3＜2log2x，即（log2x）2－2log2x－3＜0，即（log2x＋1）（log2x－3）＜0，得－1＜log2x＜3，解得＜x＜8.
考点4
教材母题　解：（1）由f（x）＋g（x）＝loga（x＋1）＋loga（1－x），
则有得－1＜x＜1，
则函数f（x）＋g（x）的定义域为（－1，1）.
（2）函数f（x）＋g（x）为定义域（－1，1）上的偶函数，理由如下：
令h（x）＝f（x）＋g（x）＝loga（x＋1）＋loga（1－x）.
又h（－x）＝f（－x）＋g（－x）
＝loga（－x＋1）＋loga（1＋x）
＝loga（x＋1）＋loga（1－x）
＝f（x）＋g（x）＝h（x），
则 x∈（－1，1），有h（－x）＝h（x）成立，
故函数f（x）＋g（x）为定义域（－1，1）上的偶函数.
变式1　（－1，0）　（－∞，0]
解析：令h（x）＝f（x）＋g（x）＝loga（x＋1）＋loga（1－x）＝loga（1－x2），定义域为（－1，1）.设t＝1－x2，x∈（－1，1），则h（x）＝logat.函数t＝1－x2的图象是开口向下的抛物线，对称轴为x＝0，所以t＝1－x2在（－1，0）上单调递增，在（0，1）上单调递减.当a＞1时，对数函数y＝logat在（0，＋∞）上单调递增.
根据复合函数“同增异减”的原则，h（x）＝loga（1－x2）在（－1，0）上单调递增，在（0，1）上单调递减.画出函数h（x）＝loga（1－x2）的大致图象，如图，由图易知h（x）的值域为（－∞，0].
变式2　B　法一　∵f（x）为偶函数，∴f（1）＝f（－1），又f（1）＝（a＋1）ln＝－（a＋1）ln 3，f（－1）＝（a－1）ln 3，∴－（a＋1）＝a－1，∴a＝0.
法二　f（－x）＝（－x＋a）ln ＝（－x＋a）ln＝（x－a）ln ，∵f（x）为偶函数，∴f（x）＝f（－x），∴x＋a＝x－a，即a＝0.
法三　易知函数g（x）＝ln 为奇函数，要使函数f（x）＝（x＋a）ln为偶函数，则h（x）＝x＋a为奇函数，即a＝0.
变式3　A　函数f（x）为奇函数，但并不确定定义域是否包含0，所以不能利用f（0）＝0确定a的取值范围.利用定义可得f（x）＋f（－x）＝0 （ ＋a）·（ ＋a）＝1 （2＋a）2－a2x2＝1－x2，通过比较系数可得解得a＝－1.再由lg（ －1）＜0可得0＜－1＜1，解得－1＜x＜0，故选A.
训练3　（1）D　（2）D　（3）ACD
解析：（1）f（x）＝log0.1（12－ax）在区间（3，6）上单调递增，令t＝12－ax，则t＝12－ax在区间（3，6）上单调递减且恒为正，所以a＞0且12－6a≥0，所以0＜a≤2.故选D.
（2）令g（x）＝f（x）－1，则g（x）＝ln（－3x），由g（－x）＝ln（＋3x）＝ln＝－ln（－3x）＝－g（x），所以g（x）为奇函数，故g（x）＋g（－x）＝0，即f（－x）＋f（x）＝2，则f（lg 2）＋f（ lg ）＝2，故选D.
（3）f（x）的定义域为（－∞，0）∪（0，＋∞），关于原点对称，且f（－x）＝f（x），所以f（x）是偶函数，所以f（x）的图象关于y轴对称，故A正确；当x＞0时，f（x）＝lg＝lg（ x＋），由对勾函数的性质可知，y＝x＋在（0，1]上单调递减，在[1，＋∞）上单调递增，所以由复合函数的单调性可知，f（x）在（0，1]上单调递减，在[1，＋∞）上单调递增，又f（x）是偶函数，其图象关于y轴对称，故f（x）在－1＜x＜0或x＞1时单调递增，故B不正确，D正确；当x＞0时，x＋≥2（当且仅当x＝1时取等号），又f（x）是偶函数，所以f（x）的最小值是lg 2，故C正确.故选A、C、D.
衔接教材
【例】　（1）D　（2）
解析：（1）由题意，可知log5x＝－x＋4，5x＝－x＋4，且函数y＝log5x与y＝5x互为反函数，对应的图象关于直线y＝x对称，如图，直线y＝x与y＝－x＋4垂直，所以两函数图象与直线y＝－x＋4的交点A，B关于直线y＝x对称，设直线y＝x与y＝－x＋4的交点为C，则C（2，2），A，B两点的横坐标分别为m，n，因此m＋n＝4.
（2）由于函数f（x）＝ax（a＞1）的图象与函数g（x）＝logax（a＞1）的图象关于直线y＝x对称，则方程ax＝logax（a＞1）有且仅有一个实数根等价于直线y＝x是曲线f（x）与g（x）的公切线.设直线y＝x与曲线f（x）＝ax相切于点P（x0，）.由f（x）＝ax得f'（x）＝axln a，所以解得
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第7节　对数与对数函数
课标要求
1. 理解对数的概念和运算性质，知道用换底公式能将一般对数转化成自然对数或常用对数.
2. 通过具体实例，了解对数函数的概念，会画对数函数的图象，了解对数函数的单调性与特殊点.
3. 知道对数函数y＝logax与指数函数y＝ax互为反函数（a＞0，且
a≠1）.
目录/
CONTENTS
夯实必备知识
01
研透核心考点
02
课时跟踪检测
03
01
PART
夯实必备知识
知识梳理
1. 对数式的运算
概念 如果 （a＞0，且a≠1），那么数x叫做以a为底
N的对数，记作x＝ ，其中a叫做对数的
，N叫做
性质 对数式与指数式的互化：ax＝N
负数和0没有对数
1的对数是 ：loga1＝
底数的对数是 ：logaa＝
对数恒等式： ＝
ax＝N　
logaN　
底
数　
真数　
x＝logaN　
0　
0　
1　
1　
N
运算 性质 loga（MN）＝ a＞0，且a≠1，M＞
0，N＞0
loga ＝
logaMn＝ （n∈R）
换底 公式 logab＝ （a＞0，且a≠1；b＞0；c＞0，且c≠1）
logaM＋logaN　
logaM－logaN　
nlogaM　
2. 对数函数及其性质
（1）定义：函数y＝ （a＞0，且a≠1）叫做对数函数，其中x
是自变量，定义域是 ；
提醒：对数函数y＝logax的3个特征：①底数a＞0，且a≠1；②自变量x
＞0；③系数为1.
底数 a＞1 0＜a＜1
图象
logax　
（0，＋∞）　
（2）图象与性质
性质 定义域：
值域：R
图象过定点 ，即恒有loga1＝0
当x＞1时，恒有y＞0； 当0＜x＜1时，恒有y＜0 当x＞1时，恒有y＜0；
当0＜x＜1时，恒有y＞0
在（0，＋∞）上是 在（0，＋∞）上是
（0，＋∞）　
（1，0）　
增函数　
减函数　
提醒：当对数函数的底数a的大小不确定时，需分a＞1和0＜a＜1两种情
况进行讨论.
3. 反函数
指数函数y＝ax（a＞0，且a≠1）与对数函数y＝logax（a＞0，且
a≠1）互为反函数，它们的定义域与值域正好互换.
1. 换底公式的变形
（1）logab·logba＝1，即logab＝ （a，b均大于0且不等于1）；
（2）lo bn＝ logab（a，b均大于0且不等于1，m≠0，n∈R）.
2. 对数函数y＝logax（a＞0，且a≠1）的图象过定点（1，0），且过点
（a，1），（ ，－1），函数图象只在第一、四象限.
3. 对数函数的图象与底数大小的比较如图，作直线y
＝1，则该直线与四个函数图象交点的横坐标为相应的
底数.故0＜c＜d＜1＜a＜b.由此我们可得到以下规
律：在第一象限内从左到右底数逐渐增大.
诊断自测
1. 判断正误.（正确的画“√”，错误的画“×”）
（1）log2x2＝2log2x. （　×　）
（2）函数y＝log2（x＋1）是对数函数. （　×　）
（3）对数函数y＝logax（a＞0，且a≠1）在（0，＋∞）上是增函数.
（　×　）
（4）函数y＝loga（x－1）＋2（a＞0，且a≠1）的图象过定点（1，
2）. （　×　）
（5）函数y＝logax与y＝lo x（a＞0，且a≠1）的图象关于x轴对称.
（　√　）
×
×
×
×
√
2. 函数f（x）＝ ＋ln（x－1）的定义域为（　　）
A. （1，＋∞） B. （1，2）∪（2，＋∞）
C. （－∞，1） D. （0，2）∪（2，＋∞）
√
解析： 　因为f（x）＝ ＋ln（x－1），所以要使函数有意义，则
解得x＞1且x≠2，所以f（x）的定义域为（1，2）∪（2，
＋∞）.
3. 下列运算正确的是（　　）
A. lg 2＋lg 3＝lg 5 B. log34·log43＝0
C. 2lg －lg ＝2 D. lg 1－ln e2＋ ＝4
√
解析： 　对于A，lg 2＋lg 3＝lg 6，故A错误；对于B，log34·log43＝1，
故B错误；对于C，原式＝lg （ ）2＋lg ＝lg 5＋lg 2＝lg 10＝1，故C
错误；对于D，原式＝0－2＋ ＝－2＋ ＝－2＋6＝
4，故D正确，故选D.
4. 设a＝log0.26，b＝log0.36，c＝log0.46，则a，b，c的大小关系为
（　　）
A. a＞b＞c B. c＞b＞a
C. b＞c＞a D. a＞c＞b
√
解析： 　如图，作出函数y1＝log0.2x，y2＝log0.3x，
y3＝log0.4x的大致图象，由图可知，当x＝6时，log0.26
＞log0.36＞log0.46，即a＞b＞c.
5. 已知log0.7（2m）＜log0.7（m－1），则m的取值范围是
.
解析：因为y＝log0.7x的定义域为（0，＋∞），且是减函数，故2m＞m
－1＞0，解得m＞1.
（1，＋
∞）　
02
PART
研透核心考点
对数的运算（基础自学过关）
1. 若2a＝3，3b＝5，5c＝4，则log4（abc）＝（　　）
A. －2 B.
C. D. 1
√
解析： 　由2a＝3，3b＝5，5c＝4，可得a＝log23，b＝log35，c＝
log54，所以abc＝log23×log35×log54＝ × × ＝2，则log4（abc）
＝log42＝ .
2. （2025·山东临沂二模）已知实数x，y满足log2（log3x）＝log3
（log2y）＝1，则x＋y＝（　　）
A. 11 B. 12
C. 16 D. 17
√
解析： 　因为log2（log3x）＝log3（log2y）＝1，所以x＋y＝ ＋
＝9＋8＝17.故选D.
3. （2024·全国甲卷15题）已知a＞1且 － ＝－ ，则a＝ .
解析：根据题意有 － ＝－ ，即3loga2－ ＝－ ，设t＝
loga2（a＞1），则t＞0，故3t－ ＝－ ，得t＝ （t＝－1舍去），所
以loga2＝ ，所以 ＝2，所以a＝64.
64　
4. 计算下列各式：
（1）log535＋2log2 －log5 －log514；
（2）log23·log38＋（ ；
（3） .
解：（1）原式＝log5 ＋log22＝log553＋1＝4.
（2）原式＝ · ＋ ＝3＋ ＝3＋2＝5.
（3）原式＝ ＝
＝ ＝ ＝ ＝1.
对数运算的一般思路
（1）在对数运算中，先利用幂的运算把底数或真数进行变形，化成分数
指数幂的形式，使幂的底数最简，然后用对数运算法则化简合并；
（2）先将对数式化为同底数对数的和、差、倍数运算，然后逆用对数的
运算法则，转化为同底对数真数的积、商、幂再运算；
（3）ab＝N b＝logaN（a＞0，且a≠1）是解决有关指数、对数问题的
有效方法，在运算中应注意互化.
对数函数的图象及应用（师生共研过关）
（1）函数f（x）＝ax与g（x）＝lo x（a＞0且a≠1）在同一坐标
系中的大致图象是（　C　）
C
解析： 对于A、C、D，由指数函数的图象，可得a＞1，则0＜ ＜1，即
函数g（x）在（0，＋∞）上单调递减，故A、D错误，C正确；对于B，
由指数函数的图象，可得0＜a＜1，则 ＞1，即函数g（x）在（0，＋
∞）上单调递增，故B错误.
（2）已知函数f（x）＝｜log3x｜，若a＜b，且f（a）＝f（b），则a
＋4b的取值范围是（　D　）
A. [2 ，＋∞） B. （2 ，＋∞）
C. [5，＋∞） D. （5，＋∞）
D
解析： 画出f（x）＝｜log3x｜的图象如图所示，
因为a＜b，且f（a）＝f（b），所以－log3a＝log3b，
故 ＝b，且0＜a＜1，令y＝a＋4b，所以y＝a＋ ，
由对勾函数的性质可知y＝a＋ 在（0，1）上单调递减，故y＝a＋ ＞1＋ ＝5，故a＋4b的取值范围是（5，＋∞）.
对数函数图象的识别及应用
（1）在识别函数图象时，要善于利用已知函数的性质、函数图象上的特
殊点（与坐标轴的交点、最高点、最低点等）排除不符合要求的选项；
（2）一些对数型方程、不等式问题常转化为相应的函数图象问题，利用
数形结合法求解.
训练1 （1）已知函数f（x）＝loga（x－b）（a＞0且a≠1，a，b为常
数）的图象如图所示，则下列结论正确的是（　D　）
A. a＞0，b＜－1
B. a＞0，－1＜b＜0
C. 0＜a＜1，b＜－1
D. 0＜a＜1，－1＜b＜0
D
解析： 因为函数f（x）＝loga（x－b）为减函数，所以0＜a＜1，又因
为函数图象与x轴的交点在正半轴，所以1＋b＞0，即b＞－1，又因为函
数图象与y轴有交点，所以b＜0，所以－1＜b＜0.故选D.
（2）若方程4x＝logax在（0， ］上有解，则实数a的取值范围为
.
解析： 若方程4x＝logax在（0， ］上有解，
则函数y＝4x和函数y＝logax的图象在（0， ］
上有交点，由图象知 解得0＜
a≤ .
（0，
］　
对数函数的性质及应用（定向精析突破）
考向1　比较对数值的大小
（1）（2025·湖南长沙部分学校月考）设a＝log43，b＝log53，c＝
log45，则（　D　）
A. a＞c＞b B. b＞c＞a
解析： 因为a＝log43＜1，b＝log53＜1，c＝log45＞1，其中a＝ ，b
＝ ，所以a－b＝ － ＝ ＞0，所以c＞a＞b，故
选D.
D
C. c＞b＞a D. c＞a＞b
（2）〔多选〕（2026·黑龙江龙东联盟联考）已知2a＝3b＝6，则a，b满
足（　AD　）
A. a＝log26 B. a＜b
C. ＋ ＜1 D. a＋b＞4
AD
解析： A选项，由2a＝6，得a＝log26，故A正确；B选项，由3b＝6，得b
＝log36，∵a＝log26＞2，b＝log36＜2，∴a＞b，故B错误；C选项，∵
＋ ＝ ＋ ＝log62＋log63＝1，故C错误；D选项，∵a≠b且a＞
0，b＞0，∴由基本不等式得a＋b＝（a＋b）（ ＋ ）＝2＋ ＋ ＞
4，故D正确.
比较对数式大小的方法
（1）当底数为同一数字时，可由对数函数的单调性比较大小；
（2）当底数为同一字母时，需对底数进行分类讨论；
（3）当底数不同，真数相同时，先用换底公式化为同底后，再进行比较；
（4）当底数与真数都不同时，可借助1，0等中间值比较大小.
考向2　解简单的对数方程或不等式
（1）方程log2（x－1）＝2－log2（x＋1）的解为 ；
解析： 原方程变形为log2（x－1）＋log2（x＋1）＝log2（x2－1）＝2，
即x2－1＝4，解得x＝± .又x＞1，所以x＝ .
　
（2）已知函数f（x）是定义在R上的偶函数，当x≤0时，f（x）单调递
减，则不等式f（lo （2x－5））＞f（log38）的解集为 　（ ， ）∪
.
解析： 因为函数f（x）是定义在R上的偶函数，且在（－∞，0]上单调
递减，所以可将f（lo （2x－5））＞f（log38）化为｜lo （2x－
5）｜＞｜log38｜，即log3（2x－5）＞log38或log3（2x－5）＜－log38＝
log3 ，即2x－5＞8或0＜2x－5＜ ，解得x＞ 或 ＜x＜ .
（ ， ）∪
（ ，＋∞）　
求解对数不等式的两种类型及方法
（1）logax＞logab：借助y＝logax的单调性求解，如果a的取值不确定，
需分a＞1与0＜a＜1两种情况讨论；
（2）logax＞b：需先将b化为以a为底的对数式的形式，再借助y＝logax
的单调性求解.
训练2 （1）（2025·浙江金华十校二模）已知a＝log32，b＝log54，c＝
log98，则（　D　）
A. c＜b＜a B. a＜c＜b
C. b＜a＜c D. a＜b＜c
解析： 由题意可知，0＜a＜1，0＜b＜1，0＜c＜1.则 ＝ ＝
× ＝ × ＝ ＝ ＜1，所以a＜b. ＝ ＝ × ＝
× ＝ ＝ ＜1，所以b＜c.所以a＜b＜c.故选D.
D
（2）不等式logx（x＋2）＞1的解集是（　B　）
A. （2，＋∞） B. （1，＋∞）
C. （0，1） D. （0，1）∪（1，＋∞）
解析： logx（x＋2）＞1 ①或 ②，①无解，②
的解为x＞1，∴x＞1，故选B.
B
（3）已知函数f（x）＝ 则不等式f（（log2x）2－3）＜
4f（log2x）的解集为 .
解析： 当x≥0时，f（x）＝2x2≥0，4f（x）＝8x2＝f（2x），且f
（x）在[0，＋∞）上单调递增；当x＜0时，f（x）＝－2x2＜0，4f
（x）＝－8x2＝f（2x），且f（x）在（－∞，0）上单调递增，所以f
（x）在R上是增函数，且4f（x）＝f（2x），于是原不等式可化为
（log2x）2－3＜2log2x，即（log2x）2－2log2x－3＜0，即（log2x＋1）
（log2x－3）＜0，得－1＜log2x＜3，解得 ＜x＜8.
（ ，8）　
对数型函数性质的综合问题（师生共研过关）
教材母题：〔人A必修一P161复习参考题11题〕已知函数f（x）＝loga
（x＋1），g（x）＝loga（1－x）（a＞0，且a≠1）.
（1）求函数f（x）＋g（x）的定义域；
解： 由f（x）＋g（x）＝loga（x＋1）＋loga（1－x），
则有 得－1＜x＜1，
则函数f（x）＋g（x）的定义域为（－1，1）.
（2）判断函数f（x）＋g（x）的奇偶性，并说明理由.
解：函数f（x）＋g（x）为定义域（－1，1）上的偶函数，理由如下：
令h（x）＝f（x）＋g（x）＝loga（x＋1）＋loga（1－x）.
又h（－x）＝f（－x）＋g（－x）
＝loga（－x＋1）＋loga（1＋x）
＝loga（x＋1）＋loga（1－x）
＝f（x）＋g（x）＝h（x），
则 x∈（－1，1），有h（－x）＝h（x）成立，
故函数f（x）＋g（x）为定义域（－1，1）上的偶函数.
细研教材：对数函数y＝logax（a＞0，且a≠1）不具有奇偶性，但其复
合函数却可能具有奇偶性，其判断方法一般是利用函数奇偶性的定义结合
对数函数的运算性质进行判断，一般地函数f（x）＝loga（n＋mx）（n
－mx）为偶函数，函数f（x）＝loga 为单调的奇函数.
变式1 已知函数f（x）＝loga（x＋1），g（x）＝loga（1－x）（a＞
1），则函数f（x）＋g（x）的单调递增区间为 ；值域
为 .
解析：令h（x）＝f（x）＋g（x）＝loga（x＋1）＋loga
（1－x）＝loga（1－x2），定义域为（－1，1）.设t＝1
－x2，x∈（－1，1），则h（x）＝logat.函数t＝1－x2的
图象是开口向下的抛物线，对称轴为x＝0，所以t＝1－x2在（－1，0）上单调递增，在（0，1）上单调递减.当a＞1时，对数函数y＝logat在（0，＋∞）上单调递增.根据复合函数“同增异减”的原则，h（x）＝loga（1－x2）在（－1，0）上单调递增，在（0，1）上单调递减.画出函数h（x）＝loga（1－x2）的大致图象，如图，由图易知h（x）的值域为（－∞，0].
（－1，0）　
（－∞，0]　
变式2 〔链接高考〕〔一题多解〕（2023·新高考Ⅱ卷4题）若f（x）＝（x
＋a）ln 为偶函数，则a＝（　　）
A. －1 B. 0
C. D. 1
√
解析： 　法一　∵f（x）为偶函数，∴f（1）＝f（－1），又f（1）＝
（a＋1）ln ＝－（a＋1）ln 3，f（－1）＝（a－1）ln 3，∴－（a＋
1）＝a－1，∴a＝0.
法二　f（－x）＝（－x＋a）ln ＝（－x＋a）ln ＝（x－a）
ln ，∵f（x）为偶函数，∴f（x）＝f（－x），∴x＋a＝x－a，
即a＝0.
法三　易知函数g（x）＝ln 为奇函数，要使函数f（x）＝（x＋a）
ln 为偶函数，则h（x）＝x＋a为奇函数，即a＝0.
变式3 已知函数f（x）＝lg（ ＋a）是奇函数，则使f（x）＜0的x的
取值范围是（　　）
A. （－1，0） B. （0，1）
C. （－∞，0） D. （－1，1）
√
解析： 　函数f（x）为奇函数，但并不确定定义域是否包含0，所以不
能利用f（0）＝0确定a的取值范围.利用定义可得f（x）＋f（－x）＝
0 （ ＋a）·（ ＋a）＝1 （2＋a）2－a2x2＝1－x2，通过比较系
数可得 解得a＝－1.再由lg（ －1）＜0可得0＜
－1＜1，解得－1＜x＜0，故选A.
　　求解与对数型函数有关的综合问题时，必须弄清的三个方面：一是定
义域，所有问题都必须在定义域内讨论；二是底数与1的大小关系；三是
复合函数的构成，即它是由哪些基本初等函数复合而成的.另外，解题时
需注意数形结合、分类讨论、转化与化归思想的应用.
训练3 （1）（2025·江西一模）若函数f（x）＝log0.1（12－ax）在区间
（3，6）上单调递增.则a的取值范围是（　D　）
A. （－∞，0） B. （－2，0）
C. （0，2） D. （0，2]
解析： f（x）＝log0.1（12－ax）在区间（3，6）上单调递增，令t＝12－
ax，则t＝12－ax在区间（3，6）上单调递减且恒为正，所以a＞0且12－
6a≥0，所以0＜a≤2.故选D.
D
（2）已知函数f（x）＝ln（ －3x）＋1，则f（lg 2）＋f（lg
）＝（　D　）
A. －1 B. 0
C. 1 D. 2
解析： 令g（x）＝f（x）－1，则g（x）＝ln（ －3x），由g
（－x）＝ln（ ＋3x）＝ln ＝－ln（ －3x）＝
－g（x），所以g（x）为奇函数，故g（x）＋g（－x）＝0，即f（－
x）＋f（x）＝2，则f（lg 2）＋f（lg ）＝2，故选D.
D
（3）〔多选〕对于函数f（x）＝lg ，下列说法正确的有
（　ACD　）
A. 函数f（x）的图象关于y轴对称
B. 当x＞0时，f（x）单调递增，当x＜0时，f（x）单调递减
C. 函数f（x）的最小值是lg 2
D. 当－1＜x＜0或x＞1时，f（x）单调递增
ACD
解析：f（x）的定义域为（－∞，0）∪（0，＋∞），关于原点对称，且
f（－x）＝f（x），所以f（x）是偶函数，所以f（x）的图象关于y轴
对称，故A正确；当x＞0时，f（x）＝lg ＝lg（x＋ ），由对勾函
数的性质可知，y＝x＋ 在（0，1]上单调递减，在[1，＋∞）上单调递
增，所以由复合函数的单调性可知，f（x）在（0，1]上单调递减，在
[1，＋∞）上单调递增，又f（x）是偶函数，其图象关于y轴对称，故f
（x）在－1＜x＜0或x＞1时单调递增，故B不正确，D正确；当x＞0时，
x＋ ≥2（当且仅当x＝1时取等号），又f（x）是偶函数，所以f（x）
的最小值是lg 2，故C正确.故选A、C、D.
互为反函数的两个函数图象间的关系
　　通过人A必修一P135探究与发现我们知道指数函数y＝ax（a＞0，且
a≠1）与对数函数y＝logax（a＞0，且a≠1）互为反函数，它们的图象
关于直线y＝x对称.也就是说，指数函数y＝ax（a＞0，且a≠1）的图象
上任意一点P（x0，y0）关于直线y＝x的对称点Q（y0，x0）在对数函数
y＝logax（a＞0，且a≠1）的图象上.
（1）若关于x的方程x＋log5x＝4与x＋5x＝4的根分别为m，n，则m
＋n＝（　D　）
A. 1 B. 2
C. 3 D. 4
解析： 由题意，可知log5x＝－x＋4，5x＝－x＋4，
且函数y＝log5x与y＝5x互为反函数，对应的图象关于
直线y＝x对称，如图，直线y＝x与y＝－x＋4垂直，
所以两函数图象与直线y＝－x＋4的交点A，
B关于直线y＝x对称，设直线y＝x与y＝－x＋4的交点为C，则C（2，2），A，B两点的横坐标分别为m，n，因此m＋n＝4.
D
（2）已知方程ax＝logax（a＞1）有且仅有一个实数根，则实数a
＝ .
解析：由于函数f（x）＝ax（a＞1）的图象与函数
g（x）＝logax（a＞1）的图象关于直线y＝x对称，
则方程ax＝logax（a＞1）有且仅有一个实数根等价
于直线y＝x是曲线f（x）与g（x）的公切线.设直
线y＝x与曲线f（x）＝ax相切于点P（x0， ）.由f（x）＝ax得f'（x）＝axln a，所以 解得
　
03
PART
课时跟踪检测
（时间：60分钟，满分：95分）
[备注：单选、填空题5分，多选题6分]
1. 若函数y＝f（x）是函数y＝ax（a＞0，且a≠1）的反函数，且f
（2）＝1，则f（x）＝（　　）
A. log2x B.
C. lo x D. 2x－2
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√
解析： 　由题意得，f（x）＝logax（a＞0，且a≠1），因为f（2）＝
1，所以loga2＝1，所以a＝2，所以f（x）＝log2x.
2. （2026·江苏无锡天一中学月考）下列各式运算正确的是（　　）
A. ＋ ＝7 B. ln e2＋ln（ln e）＝1
C. log23·log34＝1 D. lg 25＋ lg 8－lg 200＋lg 2＝0
√
解析： 　 ＋ ＝（23 ＋ ＝4＋27＝31，A错误；ln e2＋ln
（ln e）＝2＋ln 1＝2，B错误；log23·log34＝log24＝2，C错误；对于D，原
式＝lg 52＋ lg 23－lg 200＋lg 2＝2（lg 5＋lg 2）－lg 100＝0，D正确，故
选D.
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3. （2025·江苏南京二模）已知a＝log23，b＝log43，c＝ ，则a，b，c
的大小关系为（　　）
A. a＜b＜c B. c＜a＜b
C. c＜b＜a D. b＜c＜a
√
解析： 　a＝log23＞log22＝1，由32＞23，得3＞ ，则log23＞log2 ＝
，即a＞c＞1；b＝log43＜log44＝1，所以b＜c＜a.故选D.
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4. （2025·湖南长沙市一中模拟）已知函数f（x）＝lo （x2＋3），且f
（log2m）＜f（2），则实数m的取值范围为（　　）
A. （4，＋∞） B. （0， ）
C. （ ，4） D. （0， ）∪（4，＋∞）
√
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解析： 　因为x2＋3≥3，所以函数f（x）＝lo （x2＋3）的定义域为
R，则定义域关于原点对称，且f（－x）＝lo （x2＋3）＝f（x），所
以f（x）为偶函数.又x≥0时，u＝x2＋3单调递增，而y＝lo u单调递
减，所以f（x）＝lo （x2＋3）在[0，＋∞）上单调递减，根据对称性
知x＜0时，f（x）＝lo （x2＋3）单调递增.函数y＝log2m中，m＞0，
由f（log2m）＜f（2）得｜log2m｜＞2，解得0＜m＜ 或m＞4.故选D.
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5. 在同一平面直角坐标系中，函数y＝loga（－x），y＝ （a＞0且
a≠1）的图象可能是（　　）
√
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解析： 　因为函数y＝loga（－x）的图象与函数y＝logax的图象关于y
轴对称，所以函数y＝loga（－x）的图象恒过定点（－1，0），故A、B
错误；当a＞1时，函数y＝logax在（0，＋∞）上单调递增，所以函数y
＝loga（－x）在（－∞，0）上单调递减，而y＝ （a＞1）在（－
∞，0）和（0，＋∞）上单调递减，故D错误，C正确.
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6. 〔多选〕已知函数f（x）＝log2（1－｜x｜），则关于函数f（x）有
下列说法，其中正确的为（　　）
A. f（x）的图象关于原点对称
B. f（x）的图象关于y轴对称
C. f（x）的最大值为0
D. f（x）在区间（－1，1）上单调递增
√
√
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解析： 　函数f（x）的定义域为（－1，1），关于原点对称，由f（－
x）＝log2（1－｜－x｜）＝log2（1－｜x｜）＝f（x），得f（x）＝log2
（1－｜x｜）为偶函数，图象关于y轴对称，所以A错误，B正确；根据f
（x）的图象（图略）可知D错误；因为1－｜x｜≤1，所以f（x）
≤log21＝0，故C正确.
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7. （2026·山东乳山模拟）若函数f（x）＝ 在（－
∞，a]上的最大值为4，则a的取值范围为 .
解析：因为f（x）＝
当x∈（－∞，
1]时，易知f（x）＝2x＋2在（－
∞，1]上单调递增，当x∈（1，＋∞）时，f（x）＝log2（x－1）在（1，＋∞）上单调递增.作出f（x）的大致图象，如图所示.由图可知，f（1）＝4，f（17）＝log2（17－1）＝4，因为f（x）在（－∞，a]上的最大值为4，所以a的取值范围为[1，17].
[1，17]　
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8. （2025·广东深圳一模改编）已知a＞0，且a≠1，则函数y＝loga（x
＋ ）的图象一定经过第 象限.
解析：当x＝0时，y＝loga ＝－1.当0＜a＜1时，函数图象经过第二、
三、四象限；当a＞1时，函数图象经过第一、三、四象限.所以函数y＝
loga（x＋ ）的图象一定经过第三、四象限.
三、四　
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9. （13分）已知a＞0，a≠1且loga3＜loga2，函数y＝logax在区间[a，
3a]上的最大值与最小值之差为1.
（1）求a的值；
解： 因为loga3＜loga2，所以0＜a＜1，
所以y＝logax在[a，3a]上为减函数，
因为函数y＝logax在区间[a，3a]上的最大值与最小值之差为1，
所以logaa－loga（3a）＝1，即loga ＝1，解得a＝ .
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（2）若1≤x≤3，求函数y＝（logax）2＋loga －2的最小值.
解： 由（1）得a＝ ，因为1≤x≤3，
所以－1≤lo x≤0，
所以y＝（logax）2＋loga －2＝（lo x）2＋ lo x－2，
令lo x＝t，则t∈[－1，0]，y＝t2＋ t－2＝（t＋ ）2－ ，所以当t
＝－ ，即x＝ 时，y取得最小值，且最小值为－ .
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10. 已知函数f（x）＝log2（x＋2），若a＞b＞c＞0，则（　　）
A. ＜ ＜
B. ＜ ＜
C. ＜ ＜
D. ＜ ＜
√
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解析： 　 ， ， 可分别看作函数f
（x）图象上的点（a，f（a）），（b，f（b）），
（c，f（c））与坐标原点O（0，0）连线的斜率.作出
函数f（x）的图象如图所示，由图象可知，当a＞b＞c＞0时， ＜ ＜ .故选A.
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11. 若不等式（x－1）2＜logax（a＞0且a≠1）在x∈（1，2]内恒成立，
则实数a的取值范围为（　　）
A. （0， ） B. （0，1）
解析： 　若0＜a＜1，此时x∈（1，2]，logax＜0，而
（x－1）2＞0，故（x－1）2＜logax无解；若a＞1，此
时x∈（1，2]，logax＞0，而（x－1）2＞0，令f（x）
＝logax，g（x）＝（x－1）2，画出函数f（x）与g
（x）的图象，如图，由不等式（x－1）2＜logax在x∈（1，2]内恒成立，则loga2＞1，解得a∈（1，2）.
√
C. （ ，1） D. （1，2）
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12. 〔多选〕已知函数f（x）＝ 若x1＜x2＜x3＜x4，
且f（x1）＝f（x2）＝f（x3）＝f（x4），则下列结论正确的是（　　）
A. x1＋x2＝－4 B. x3x4＝1
C. 1＜x4＜4 D. 0＜x1x2x3x4≤2
√
√
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解析： 　函数f（x）＝ 的图象如图所示，设f（x1）＝f（x2）＝f（x3）＝f（x4）＝t，则
0＜t＜4，则直线y＝t与函数y＝f（x）图象
的4个交点的横坐标分别为x1，x2，x3，x4.对
于A，函数y＝－x2－4x的图象关于直线x＝
－2对称，则x1＋x2＝－4，故A正确；对于
B，由图象可知｜log2x3｜＝｜log2x4｜，且0＜x3＜1＜x4，所以－log2x3＝log2x4，即log2（x3x4）＝0，所以x3x4＝1，故B正确；对于C，由图象可知log2x4∈（0，4），则1＜x4＜16，故C错误；对于D，由图象可知－4＜x1＜
－2，当x≤0时，f（x）＝－x2－4x，所以x1x2x3x4＝x1（－4－x1）＝－ －4x1＝f（x1）∈（0，4），故D错误.
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13. 〔一题多解〕（2024·新高考Ⅱ卷8题改编）设函数f（x）＝（x＋
a）·ln（x＋b）.若f（x）≥0，则a2＋b2的最小值为 .
解析：法一　由题意可知：f（x）的定义域为（－b，＋∞），令x＋a
＝0解得x＝－a；令ln（x＋b）＝0解得x＝1－b，则当x∈（－b，1－
b）时，ln（x＋b）＜0，故x＋a≤0，所以1－b＋a≤0；当x∈（1－
b，＋∞）时，ln（x＋b）＞0，故x＋a≥0，所以1－b＋a≥0，故1－b
＋a＝0，则a2＋b2＝a2＋（a＋1）2＝2（a＋ ）2＋ ≥ ，当且仅当a＝
－ ，b＝ 时，等号成立，所以a2＋b2的最小值为 .
　
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法二　令f（x）＝0，解得x＝－a或x＝1－b.易知y1＝x＋a，y2＝ln
（x＋b）均为增函数.若f（x）≥0恒成立，则－a＝1－b，即b＝1＋a.
所以a2＋b2＝a2＋（1＋a）2＝2（a＋ ）2＋ ≥ ，当a＝－ ，b＝
时，等号成立，所以（a2＋b2）min＝ .
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解： 当a＝ 时，f（x）＝lo （ x2－x）.
由 x2－x＞0，得x2－2x＞0，解得x＜0或x＞2，
所以函数f（x）的定义域为（－∞，0）∪（2，＋∞），
利用复合函数的单调性可得函数f（x）的单调递增区间为（－∞，0），
单调递减区间为（2，＋∞）.
14. （15分）已知函数f（x）＝loga（ax2－x）（a＞0，且a≠1）.
（1）若a＝ ，求f（x）的单调区间；
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（2）若f（x）在区间[2，4]上单调递增，求实数a的取值范围.
解： 令g（x）＝ax2－x，因为a＞0且a≠1，所以函数g（x）的图
象开口向上，对称轴为直线x＝ .
①当0＜a＜1时，要使函数f（x）在区间[2，4]上单调递增，则g（x）
＝ax2－x在[2，4]上单调递减，且g（x）min＝g（4）＞0，
即 此不等式组无解；
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②当a＞1时，要使函数f（x）在区间[2，4]上单调递增，则g（x）＝ax2
－x在[2，4]上单调递增，且g（x）min＝g（2）＞0，即
解得a＞ ，又a＞1，所以a＞1.
综上，实数a的取值范围为（1，＋∞）.
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15. 〔创新交汇〕设平行于y轴的直线分别与函数y1＝log2x及y2＝log2x＋2
的图象交于B，C两点，点A（m，n）位于函数y2的图象上，如图所示.
若△ABC为正三角形，则m·2n＝ .
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解析：由题意可得BC＝2，则正三角形ABC边长为2，点A到BC距离为
，BC中点纵坐标与点A纵坐标相等且等于点B纵坐标加1，所以点C的
坐标为（m＋ ，n＋1）.将A，C两点的坐标代入函数y2＝log2x＋2，
可得log2m＋2＝n，log2（m＋ ）＋2＝n＋1，两式相减得log2（m＋
）－log2m＝1，所以log2 ＝1，所以 ＝2，解得m＝ ，所
以n＝log2m＋2＝log2 ＋2＝log24 ，所以m·2n＝ × ＝
×4 ＝12.
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