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第8节　函数的图象
（时间：60分钟，满分：97分）
[备注：单选、填空题5分，多选题6分]
1.（2026·山东东营模拟）把函数y＝（x－2）2＋2的图象向左平移1个单位长度，再向上平移1个单位长度，所得图象对应的函数解析式是（　　）
A.y＝（x－3）2＋3 B.y＝（x－3）2＋1
C.y＝（x－1）2＋3 D.y＝（x－1）2＋1
2.〔一题多解〕函数y＝（3x－3－x）cos x在区间的图象大致为（　　）
3.（2026·重庆调研）已知函数f（x）的图象如图所示，则函数f（x）的解析式可能为（　　）
A.f（x）＝
B.f（x）＝
C.f（x）＝
D.f（x）＝
4.（2025·山东潍坊一模）已知a＞0且a≠1，ay与x成正比例关系，其图象如图所示，且y＝logax＋1，则a＝（　　）
A.1 B.2
C.3 D.4
5.〔多选〕对于函数f（x）＝lg（｜x－2｜＋1），下列说法正确的是（　　）
A.f（x＋2）是偶函数
B.f（x＋2）是奇函数
C.f（x）在区间（－∞，2）上单调递减，在区间（2，＋∞）上单调递增
D.f（x）没有最小值
6.〔多选〕已知函数f（x）＝则下列图象正确的有（　　）
7.函数f（x）＝的图象与直线y＝kx＋1交于不同的两点（x1，y1），（x2，y2），则y1＋y2＝　　　　.
8.（2025·北京平谷模拟）已知函数f（x）＝log2（x＋1）－｜x｜，则不等式f（x）＞0的解集为　　　　.
9.（13分）已知函数f（x）＝
（1）作出函数f（x）的图象；
（2）讨论方程f（x）－m＝0根的情况.
10.已知函数f（x）＝则f（x）图象上关于原点对称的点有（　　）
A.1对 B.2对
C.3对 D.4对
11.已知函数y＝f（x）的图象如图1所示，则图2对应的函数有可能是（　　）
A.y＝x2f（x） B.y＝
C.y＝xf（x） D.y＝xf2（x）
12.〔多选〕设函数f（x）＝若关于x的方程f（x）＝a有四个不同的解x1，x2，x3，x4，且x1＜x2＜x3＜x4，则（　　）
A.x1x2＞4 B.0＜a≤2
C.x3＋x4＞2 D.1＜x4＜e2
13.（2026·江苏南京外国语学校模拟）设函数f（x）的定义域为R，满足f（x）＝2f（x－2），且当x∈（0，2]时，f（x）＝x（2－x），若对任意x∈（－∞，m]，都有f（x）≤3，则实数m的取值范围是　　　　.
14.（15分）已知函数f（x）＝2x－ax＋1（a∈R）.
（1）若a∈Z，且f（4）＞0，求a的最大值；
（2）若对任意x∈（－∞，1）都有f（x）＞0，求a的取值范围.
15.〔创新情境〕〔多选〕高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的称号，他和阿基米德，牛顿并列为世界三大数学家，用其名字命名的“高斯函数”为：对于实数x，符号[x]表示不超过x的最大整数，则y＝[x]称为高斯函数，例如[π]＝3，[－1.08]＝－2.定义函数f（x）＝x－[x]，则下列命题中正确的是（　　）
A.函数f（x）的最大值为1　　　　　　　　　　　　B.函数f（x）的最小值为0
C.函数y＝f（x）的图象与直线y＝有无数个交点 D.f（x＋1）＝f（x）
第8节　函数的图象
1.C　2.A　3.D　4.B　5.AC　
6.ABC　当－1≤x≤0时，f（x）＝－2x，表示一条线段，且线段经过（－1，2）和（0，0）两点.当0＜x≤1时，f（x）＝，表示一段曲线.函数y＝f（x）的图象如图所示.f（x－1）的图象可由f（x）的图象向右平移1个单位长度得到，故A正确；f（－x）的图象可由f（x）的图象关于y轴对称后得到，故B正确；由于f（x）的值域为[0，2]，故f（x）＝｜f（x）｜，故｜f（x）｜的图象与f（x）的图象完全相同，故C正确；很明显D中f（｜x｜）的图象不正确.
7.2
8.（0，1）　解析：不等式f（x）＞0 log2（x＋1）＞｜x｜，分别画出函数y＝log2（x＋1）和y＝｜x｜的图象，由图象可知y＝log2（x＋1）和y＝｜x｜有两个交点，分别是（0，0）和（1，1），由图象可知log2（x＋1）＞｜x｜的解集是（0，1），即不等式f（x）＞0的解集是（0，1）.
9.解：（1）当x≤0时，0＜2x≤1，则f（x）＝｜2x－2｜＝2－2x∈[1，2），
作出函数f（x）的图象，如图所示.
（2）由f（x）－m＝0可得m＝f（x），则方程f（x）－m＝0的根的个数即为直线y＝m与函数y＝f（x）图象的交点个数.
如图所示，当m≤0时，方程f（x）－m＝0无实根；
当0＜m＜1或m≥2时，方程f（x）－m＝0只有一个实根；
当1≤m＜2时，方程f（x）－m＝0有两个不相等的实根.
10.C　作出f（x）的图象，函数y＝（ ）x，x≥0关于原点对称的图象如图所示.因为函数y＝（ ）x，x≥0关于原点对称的图象与y＝－｜x2＋2x｜，x＜0的图象有三个交点，故f（x）图象上关于原点对称的点有3对.故选C.
11.C　对于A，当x＜0时，f（x）＜0，所以x2f（x）＜0，故A不符合题意；对于B，当x＜0时，f（x）＜0，所以＜0，故B不符合题意；对于C，当x＜0时，f（x）＜0，所以xf（x）＞0，且x→－∞时，f（x）→－∞，xf（x）→＋∞；当x＞0时，f（x）＞0，所以xf（x）＞0，且x→＋∞时，f（x）→0，xf（x）→0，故C符合题意；对于D，当x＜0时，f（x）＜0，则f2（x）＞0，所以xf2（x）＜0，故D不符合题意.
12.BC　如图，作出函数f（x）的图象，由题意，直线y＝a与f（x）的图象有4个交点，由图象可知0＜a≤2，故B正确；且x1＋x2＝－4，－2＜x2≤0，－ln x3＝ln x4，所以ln（x3x4）＝0，即x3x4＝1，则x3＋x4＞2＝2，故C正确；x1x2＝（－4－x2）x2＝－－4x2＝－（x2＋2）2＋4∈[0，4），故A错误；当f（x4）＝f（0）＝2时，ln x4＝2，x4＝e2，又1＜x4，所以1＜x4≤e2，故D错误.
13.（ －∞，］
解析：因为函数f（x）的定义域为R，满足f（x）＝2f（x－2），且当x∈（0，2]时，f（x）＝x（2－x），所以当x∈（2，4]时，f（x）＝2（x－2）[2－（x－2）]＝2（x－2）（4－x），当x∈（4，6]时，f（x）＝4[（x－2）－2]·[4－（x－2）]＝4（x－4）（6－x），函数的部分图象如图所示，由4（x－4）（6－x）＝3，得4x2－40x＋99＝0，解得x＝或x＝，因为对任意x∈（－∞，m]，都有f（x）≤3，所以由图可知m≤.
14.解：（1）因为函数f（x）＝2x－ax＋1，
所以f（4）＝24－4a＋1＞0，即a＜，又a∈Z，所以a的最大值为4.
（2）因为对任意x∈（－∞，1）都有f（x）＞0，
所以2x＞ax－1在（－∞，1）上恒成立，
即x∈（－∞，1）时，函数y＝2x的图象恒在直线y＝ax－1的上方，
作出函数y＝2x，x∈（－∞，1）与y＝ax－1的大致图象，
则a≥0，且a－1≤2，
所以0≤a≤3，
即a的取值范围为[0，3].
15.BCD　由题意得：f（x）＝x－[x]＝由解析式可得函数图象如图所示，对于A，
函数f（x）＜1，A错误；对于B，函数f（x）的最小值为0，B正确；对于C，函数y＝f（x）的图象与直线y＝有无数个交点，C正确；对于D，函数f（x）满足f（x＋1）＝f（x），D正确.故选B、C、D.
1 / 1第8节　函数的图象
1.在实际情境中，会根据不同的需要选择恰当的方法（如图象法、列表法、解析法）表示函数. 2.会画简单的函数图象. 3.会运用函数图象研究函数的性质，解决方程解的个数与不等式解的问题.
知识梳理
1.利用描点法作函数图象的步骤
2.函数图象的变换
提醒：（1）图象的左右平移仅仅是相对于x而言，如果x的系数不是1，常需把系数提出来，再进行变换；（2）图象的上下平移仅仅是相对于y而言的，利用“上加下减”进行.
诊断自测
1.判断正误.（正确的画“√”，错误的画“×”）
（1）函数y＝f（x）＋1的图象可由y＝f（x）的图象向下平移1个单位长度得到.（　　）
（2）当x∈（0，＋∞）时，函数y＝｜f（x）｜与y＝f（｜x｜）的图象相同.（　　）
（3）函数y＝f（x）与y＝－f（x）的图象关于原点对称.（　　）
（4）将函数y＝f（－x）的图象向右平移1个单位长度得到函数y＝f（－x－1）的图象.（　　）
2.函数y＝21－x的大致图象为（　　）
3.〔多选〕（2025·浙江名校协作体适应考）为得到函数y＝ln（ex）的图象，可将函数y＝ln x的图象（　　）
A.向上平移一个单位长度
B.向下平移一个单位长度
C.纵坐标不变，横坐标伸长为原来的e倍
D.纵坐标不变，横坐标缩短为原来的
4.已知图1中的图象是函数y＝f（x）的图象，则图2中的图象对应的函数可能是（　　）
A.y＝f（｜x｜）
B.y＝｜f（x）｜
C.y＝f（－｜x｜）
D.y＝－f（－｜x｜）
5.若关于x的方程｜x｜＝a－x只有一个解，则实数a的取值范围是　　　　.
作函数图象
（师生共研过关）
作出下列函数的图象：
（1）y＝2x＋1－1；
（2）y＝｜lg（x－1）｜.
作函数图象的常用方法 （1）直接法：当函数表达式（或变形后的表达式）是熟悉的基本初等函数时，可根据这些函数的特征直接作出； （2）转化法：含有绝对值符号的，去掉绝对值符号，转化为分段函数来作图； （3）图象变换法：若函数图象可由某个基本初等函数的图象经过平移、翻折、对称得到，可利用图象变换作出. 提醒：（1）画函数的图象时一定要注意定义域；（2）利用图象变换法时要注意变换顺序.
训练1 作出下列函数的图象：
（1）y＝；
（2）y＝（ ）｜x＋2｜.
函数图象的识别
（师生共研过关）
（1）（2026·湖南长沙雅礼中学测试）函数f（x）＝cos x·ln（2x＋2－x）在区间[－3π，3π]上的图象大致为（　　）
（2）函数f（x）＝的图象如图所示，则下列结论成立的是（　　）
A.a＞0，b＞0，c＞0 B.a＜0，b＞0，c＜0
C.a＜0，b＞0，c＞0 D.a＜0，b＜0，c＜0
听课记录
函数图象的辨识可从以下方面入手 （1）从函数的定义域，判断图象的左右位置； （2）从函数的值域，判断图象的上下位置； （3）从函数的单调性，判断图象的变化趋势； （4）从函数的奇偶性，判断图象的对称性； （5）从函数的周期性，判断图象的循环往复； （6）从函数的特殊点，排除不合要求的图象.
训练2 （1）（2025·河北沧州名校联考质量监测）如图是下列选项中某个函数的部分图象，则该函数的解析式为（　　）
A.y＝　　　 　B.y＝
C.y＝ D.y＝
（2）已知函数f（x）＝xln x的图象如图所示，则函数f（1－x）的图象为（　　）
函数图象的应用
（定向精析突破）
考向1　研究函数的性质
〔多选〕对任意两个实数a，b，定义min{a，b}＝若f（x）＝2－x2，g（x）＝x2，则下列关于函数F（x）＝min{f（x），g（x）}的说法正确的是（　　）
A.函数F（x）是偶函数
B.方程F（x）＝0有3个解
C.函数F（x）在区间[－1，1]上单调递增
D.函数F（x）有4个单调区间
听课记录
利用函数的图象研究函数的性质 　　对于已知解析式易画出其在给定区间上图象的函数，其性质常借助图象研究： （1）从图象的最高点、最低点分析函数的最值、极值； （2）从图象的对称性分析函数的奇偶性； （3）从图象的走向趋势分析函数的单调性、周期性.
考向2　解方程（不等式）
已知函数y＝f（x）是定义域为R的奇函数，当x∈（0，3）∪（3，＋∞）时，f（－x）＞2f（x），f（3）＝0，则不等式f（x）＞0的解集为（　　）
A.（－∞，－3）
B.（－2，0）
C.（－∞，－3）∪（－3，0）
D.（－∞，－3）∪（－2，0）
听课记录
利用函数图象研究不等式问题的方法 　　当不等式问题不能用代数法直接求解但其与函数有关时，可将不等式问题转化为两函数图象（图象易得）的上、下关系问题，利用图象法求解.若函数为抽象函数，可根据题目画出大致图象，再结合图象求解.
考向3　求参数范围
已知f（x）＝若存在x1＜x2＜x3使得f（x1）＝f（x2）＝f（x3）＝m，则m的取值范围是　　　　.
听课记录
　　利用函数图象求参数问题，一般先准确地作出函数图象，利用函数图象的直观性，结合其性质，求解参数.
训练3 （1）〔多选〕设函数f（x）是定义在R上的偶函数，且对任意的x∈R恒有f（x＋1）＝f（x－1），已知当x∈[0，1]时，f（x）＝，则下列结论正确的是（　　）
A.2是函数f（x）的周期
B.函数f（x）在（1，2）上单调递减，在（2，3）上单调递增
C.函数f（x）的最大值是1，最小值是0
D.当x∈（3，4）时，f（x）＝
（2）（2026·北京西城区月考）若关于x的不等式4ax－1＜3x－4（a＞0，且a≠1）对于任意的x＞2恒成立，则a的取值范围为　　　　.
第8节　函数的图象
【夯实必备知识】
知识梳理
2.y＝f（x－a）　y＝f（x＋a）　y＝f（x）＋b　y＝f（x）－b　　　A　A　x轴　y轴　原点　x轴下方　右　y轴
诊断自测
1.（1）×　（2）×　（3）×　（4）×
2.A　3.AD　4.C　5.（0，＋∞）
【研透核心考点】
考点1
【例1】　解：（1）将y＝2x的图象向左平移1个单位长度，得到y＝2x＋1的图象，再将所得图象向下平移1个单位长度，得到y＝2x＋1－1的图象，如图1所示.
（2）首先作出y＝lg x的图象，然后将其向右平移1个单位长度，得到y＝lg（x－1）的图象，再把所得图象在x轴下方的部分翻折到x轴上方，即得所求函数y＝｜lg（x－1）｜的图象，如图2所示（实线部分）.
训练1　解：（1）y＝＝2＋，故函数的图象可由y＝的图象向右平移1个单位长度，再向上平移2个单位长度得到，如图1所示.
（2）作出y＝（ ）x的图象，保留y＝（ ）x的图象中x≥0的部分，加上y＝（ ）x的图象中x＞0部分关于y轴的对称部分，即得y＝（ ）｜x｜的图象，再向左平移2个单位长度，即得y＝（ ）｜x＋2｜的图象，如图2所示.
考点2
【例2】　（1）D　（2）B　解析：（1）因为f（x）的定义域为R，关于原点对称，且f（－x）＝cos（－x）·ln（2－x＋2x）＝cos x·ln（2－x＋2x）＝f（x），所以f（x）为偶函数，其函数图象关于y轴对称，故排除A、C.因为f（0）＝ln 2＞0，故排除B.故选D.
（2）函数在点P处无意义，由题图可知，点P在y轴右边，所以－c＞0，则c＜0；f（0）＝＞0，则b＞0；由f（x）＝0得ax＋b＝0，则x＝－，根据题图得－＞0，则a＜0.综上，a＜0，b＞0，c＜0.故选B.
训练2　（1）A　（2）D　解析：（1）由图可知，当x＜0时，f（x）＞0，故排除B、D；设f（x）＝，则f（1）＝e2＞3，故排除C.故选A.
（2）易知函数f（x）的定义域为（0，＋∞）.由1－x＞0，得x＜1，所以函数f（1－x）的定义域为（－∞，1），故排除A、C；又当x＝－1时，f（1－（－1））＝f（2）＝2ln 2＞0，故排除B.故选D.
考点3
【例3】　ABD　根据函数f（x）＝2－x2与g（x）＝x2，画出函数F（x）＝min{f（x），g（x）}的图象，如图.由图象可知，函数F（x）＝min{f（x），g（x）}的图象关于y轴对称，所以A项正确；函数F（x）的图象与x轴有3个交点，所以方程F（x）＝0有3个解，所以B项正确；函数F（x）在（－∞，－1]上单调递增，在[－1，0]上单调递减，在[0，1]上单调递增，在[1，＋∞）上单调递减，所以C项错误，D项正确.
【例4】　C　依题意知，f（0）＝0，当x∈（0，3）∪（3，＋∞）时，f（－x）＞2f（x），即－f（x）＞2f（x），得f（x）＜0，由f（3）＝0，得f（－3）＝－f（3）＝0，由此画出f（x）的大致图象如图所示，
由图可知，不等式f（x）＞0的解集为（－∞，－3）∪（－3，0）.
【例5】　（2，3]　解析：作出函数f（x）的图象，如图，
因为存在x1＜x2＜x3使得f（x1）＝f（x2）＝f（x3）＝m，所以f（－1）＜m≤f（0），即2＜m≤3.
训练3　（1）ABD　（2）
解析：（1）由已知条件得f（x＋2）＝f（x），则f（x）是以2为周期的周期函数，A正确；画出函数y＝f（x）的部分图象如图所示，由图象知B正确，C不正确；当－1＜x＜0时，0＜－x＜1，又f（x）是定义在R上的偶函数.故f（x）＝f（－x）＝（ ）x＋1，当3＜x＜4时，－1＜x－4＜0，f（x）＝f（x－4）＝，因此D正确.故选A、B、D.
（2）不等式4ax－1＜3x－4等价于ax－1＜x－1.令f（x）＝ax－1，g（x）＝x－1，当a＞1时，在同一坐标系中作出两个函数的图象如图1所示，由图知不满足条件；当0＜a＜1时，在同一坐标系中作出两个函数的图象如图2所示，由题意知，f（2）≤g（2），即a2－1≤×2－1，解得a≤.综上，a的取值范围是.
1 / 1(共63张PPT)
第8节　函数的图象
课标要求
1. 在实际情境中，会根据不同的需要选择恰当的方法（如图象法、列表
法、解析法）表示函数.
2. 会画简单的函数图象.
3. 会运用函数图象研究函数的性质，解决方程解的个数与不等式解的
问题.
目录/
CONTENTS
夯实必备知识
01
研透核心考点
02
课时跟踪检测
03
01
PART
夯实必备知识
知识梳理
1. 利用描点法作函数图象的步骤
2. 函数图象的变换
提醒：（1）图象的左右平移仅仅是相对于x而言，如果x的系数不是1，常
需把系数提出来，再进行变换；（2）图象的上下平移仅仅是相对于y而言
的，利用“上加下减”进行.
诊断自测
1. 判断正误.（正确的画“√”，错误的画“×”）
（1）函数y＝f（x）＋1的图象可由y＝f（x）的图象向下平移1个单位长
度得到. （　×　）
（2）当x∈（0，＋∞）时，函数y＝｜f（x）｜与y＝f（｜x｜）的图
象相同. （　×　）
（3）函数y＝f（x）与y＝－f（x）的图象关于原点对称. （　×　）
（4）将函数y＝f（－x）的图象向右平移1个单位长度得到函数y＝f（－
x－1）的图象. （　×　）
×
×
×
×
2. 函数y＝21－x的大致图象为（　　）
√
解析： 　y＝21－x＝（ ）x－1，故函数为减函数，可排除C、D，又当x
＝0时，y＝2，排除B，故选A.
3. 〔多选〕（2025·浙江名校协作体适应考）为得到函数y＝ln（ex）的图
象，可将函数y＝ln x的图象（　　）
A. 向上平移一个单位长度
B. 向下平移一个单位长度
C. 纵坐标不变，横坐标伸长为原来的e倍
D. 纵坐标不变，横坐标缩短为原来的
√
√
解析： 　由题意可得，函数y＝ln x的图象纵坐标不变，横坐标缩短
为原来的 ，可得到函数y＝ln（ex）的图象，故选项C错误，选项D正
确.∵y＝ln（ex）＝ln x＋1，∴将函数y＝ln x的图象向上平移一个单位
长度可得到函数y＝ln（ex）的图象，故选项A正确，选项B错误.故选
A、D.
4. 已知图1中的图象是函数y＝f（x）的图象，则图2中的图象对应的函数
可能是（　　）
A. y＝f（｜x｜）
B. y＝｜f（x）｜
C. y＝f（－｜x｜）
D. y＝－f（－｜x｜）
√
解析： 　因为题图2中的图象是在题图1的基础上，去掉函数y＝f（x）
图象在y轴右侧的部分，然后将y轴左侧的图象翻折到y轴右侧得到的，所
以题图2中的图象对应的函数可能是y＝f（－｜x｜）.故选C.
5. 若关于x的方程｜x｜＝a－x只有一个解，则实数a的取值范围
是 .
解析：由题意得a＝｜x｜＋x，令y＝｜x｜＋x＝
其图象如图所示，故要使a＝｜x｜＋x只有一个解，则a＞0.
（0，＋∞）　
02
PART
研透核心考点
作函数图象（师生共研过关）
作出下列函数的图象：
（1）y＝2x＋1－1；
解： 将y＝2x的图象向左平移1个单位长度，得到y＝2x＋1的图象，再将所
得图象向下平移1个单位长度，得到y＝2x＋1－1的图象，如图1所示.
（2）y＝｜lg（x－1）｜.
解：首先作出y＝lg x的图象，然后将其向
右平移1个单位长度，得到y＝lg（x－1）
的图象，再把所得图象在x轴下方的部分
翻折到x轴上方，即得所求函数y＝｜lg（x－1）｜的图象，如图2所示（实线部分）.
作函数图象的常用方法
（1）直接法：当函数表达式（或变形后的表达式）是熟悉的基本初等函
数时，可根据这些函数的特征直接作出；
（2）转化法：含有绝对值符号的，去掉绝对值符号，转化为分段函数来
作图；
（3）图象变换法：若函数图象可由某个基本初等函数的图象经过平移、
翻折、对称得到，可利用图象变换作出.
提醒：（1）画函数的图象时一定要注意定义域；（2）利用图象变换法时
要注意变换顺序.
训练1 作出下列函数的图象：
（1）y＝ ；
解： y＝ ＝2＋ ，故函数的图象可由y＝ 的图象
向右平移1个单位长度，再向上平移2个单位长度得到，
如图1所示.
（2）y＝（ ）｜x＋2｜.
解：作出y＝（ ）x的图象，保留y＝（ ）x的图象中
x≥0的部分，加上y＝（ ）x的图象中x＞0部分关于y
轴的对称部分，即得y＝（ ）｜x｜的图象，再向左平
移2个单位长度，即得y＝（ ）｜x＋2｜的图象，如图2所示.
函数图象的识别（师生共研过关）
（1）（2026·湖南长沙雅礼中学测试）函数f（x）＝ cos x·ln（2x＋2
－x）在区间[－3π，3π]上的图象大致为（　D　）
D
解析： 因为f（x）的定义域为R，关于原点对称，且f（－x）＝ cos
（－x）·ln（2－x＋2x）＝ cos x·ln（2－x＋2x）＝f（x），所以f（x）为
偶函数，其函数图象关于y轴对称，故排除A、C. 因为f（0）＝ln 2＞0，
故排除B. 故选D.
A. a＞0，b＞0，c＞0
B. a＜0，b＞0，c＜0
C. a＜0，b＞0，c＞0
D. a＜0，b＜0，c＜0
（2）函数f（x）＝ 的图象如图所示，则下列结论成立的是
（　B　）
B
解析：函数在点P处无意义，由题图可知，点P在y轴右边，所以－c＞
0，则c＜0；f（0）＝ ＞0，则b＞0；由f（x）＝0得ax＋b＝0，则x
＝－ ，根据题图得－ ＞0，则a＜0.综上，a＜0，b＞0，c＜0.故选B.
函数图象的辨识可从以下方面入手
（1）从函数的定义域，判断图象的左右位置；
（2）从函数的值域，判断图象的上下位置；
（3）从函数的单调性，判断图象的变化趋势；
（4）从函数的奇偶性，判断图象的对称性；
（5）从函数的周期性，判断图象的循环往复；
（6）从函数的特殊点，排除不合要求的图象.
训练2 （1）（2025·河北沧州名校联考质量监测）如图是下列选项中某个
函数的部分图象，则该函数的解析式为（　A　）
A. y＝ B. y＝
C. y＝ D. y＝
A
解析： 由图可知，当x＜0时，f（x）＞0，故排除B、D；设f（x）＝
，则f（1）＝e2＞3，故排除C. 故选A.
（2）已知函数f（x）＝xln x的图象如图所示，则函数f（1－x）的图象
为（　D　）
D
解析： 易知函数f（x）的定义域为（0，＋∞）.由1－x＞0，得x＜1，
所以函数f（1－x）的定义域为（－∞，1），故排除A、C；又当x＝－1
时，f（1－（－1））＝f（2）＝2ln 2＞0，故排除B. 故选D.
函数图象的应用（定向精析突破）
考向1　研究函数的性质
〔多选〕对任意两个实数a，b，定义min{a，b}＝ 若f
（x）＝2－x2，g（x）＝x2，则下列关于函数F（x）＝min{f（x），g
（x）}的说法正确的是（　ABD　）
A. 函数F（x）是偶函数
B. 方程F（x）＝0有3个解
C. 函数F（x）在区间[－1，1]上单调递增
D. 函数F（x）有4个单调区间
ABD
解析：　根据函数f（x）＝2－x2与g（x）＝x2，画出函
数F（x）＝min{f（x），g（x）}的图象，如图.由图象
可知，函数F（x）＝min{f（x），g（x）}的图象关于y
轴对称，所以A项正确；函数F（x）的图象与x轴有3个交点，所以方程F（x）＝0有3个解，所以B项正确；函数F（x）在（－∞，－1]上单调递增，在[－1，0]上单调递减，在[0，1]上单调递增，在[1，＋∞）上单调递减，所以C项错误，D项正确.
利用函数的图象研究函数的性质
　　对于已知解析式易画出其在给定区间如图象的函数，其性质常借助图
象研究：
（1）从图象的最高点、最低点分析函数的最值、极值；
（2）从图象的对称性分析函数的奇偶性；
（3）从图象的走向趋势分析函数的单调性、周期性.
考向2　解方程（不等式）
已知函数y＝f（x）是定义域为R的奇函数，当x∈（0，3）∪（3，
＋∞）时，f（－x）＞2f（x），f（3）＝0，则不等式f（x）＞0的解集
为（　　）
A. （－∞，－3）
B. （－2，0）
C. （－∞，－3）∪（－3，0）
D. （－∞，－3）∪（－2，0）
√
解析： 　依题意知，f（0）＝0，当x∈
（0，3）∪（3，＋∞）时，f（－x）＞2f
（x），即－f（x）＞2f（x），得f（x）
＜0，由f（3）＝0，得f（－3）＝－f（3）＝0，由此画出f（x）的大致图象如图所示，由图可知，不等式f（x）＞0的解集为（－∞，－3）∪（－3，0）.
利用函数图象研究不等式问题的方法
　　当不等式问题不能用代数法直接求解但其与函数有关时，可将不等式
问题转化为两函数图象（图象易得）的上、下关系问题，利用图象法求
解.若函数为抽象函数，可根据题目画出大致图象，再结合图象求解.
考向3　求参数范围
已知f（x）＝ 若存在x1＜x2＜x3使得f（x1）
＝f（x2）＝f（x3）＝m，则m的取值范围是 .
解析：作出函数f（x）的图象，如图，
因为存在x1＜x2＜x3使得f（x1）＝f（x2）＝f（x3）＝
m，所以f（－1）＜m≤f（0），即2＜m≤3.
（2，3]　
　　利用函数图象求参数问题，一般先准确地作出函数图象，利用函数图
象的直观性，结合其性质，求解参数.
训练3 （1）〔多选〕设函数f（x）是定义在R上的偶函数，且对任意的
x∈R恒有f（x＋1）＝f（x－1），已知当x∈[0，1]时，f（x）＝
，则下列结论正确的是（　ABD　）
A. 2是函数f（x）的周期
B. 函数f（x）在（1，2）上单调递减，在（2，3）上单调递增
C. 函数f（x）的最大值是1，最小值是0
D. 当x∈（3，4）时，f（x）＝
ABD
解析： 由已知条件得f（x＋2）＝f（x），则f
（x）是以2为周期的周期函数，A正确；画出函数y
＝f（x）的部分图象如图所示，由图象知B正确，C
不正确；当－1＜x＜0时，0＜－x＜1，又f（x）是定义在R上的偶函数.故f（x）＝f（－x）＝（ ）x＋1，当3＜x＜4时，－1＜x－4＜0，f（x）＝f（x－4）＝ ，因此D正确.故选A、B、D.
（2）（2026·北京西城区月考）若关于x的不等式4ax－1＜3x－4（a＞0，
且a≠1）对于任意的x＞2恒成立，则a的取值范围为 .
解析：不等式4ax－1＜3x－4等价于ax－1
＜ x－1.令f（x）＝ax－1，g（x）＝
x－1，当a＞1时，在同一坐标系中作
出两个函数的图象如图1所示，由图知
不满足条件；当0＜a＜1时，在同一坐标系中作出两个函数的图象如图2所
示，由题意知，f（2）≤g（2），即a2－1≤ ×2－1，解得a≤ .综上，a的取值范围是 .
　
03
PART
课时跟踪检测
（时间：60分钟，满分：97分）
[备注：单选、填空题5分，多选题6分]
1. （2026·山东东营模拟）把函数y＝（x－2）2＋2的图象向左平移1个单
位长度，再向上平移1个单位长度，所得图象对应的函数解析式是
（　　）
A. y＝（x－3）2＋3 B. y＝（x－3）2＋1
C. y＝（x－1）2＋3 D. y＝（x－1）2＋1
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√
解析： 　把函数y＝（x－2）2＋2的图象向左平移1个单位长度后得到y
＝[（x＋1）－2]2＋2＝（x－1）2＋2的图象，再将y＝（x－1）2＋2的图
象向上平移1个单位长度后得到y＝（x－1）2＋3的图象.故选C.
2. 〔一题多解〕函数y＝（3x－3－x） cos x在区间 的图象大致为
（　　）
√
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解析： 　法一（特值法）　取x＝1，则y＝ cos 1＝ cos 1＞0；
取x＝－1，则y＝ cos （－1）＝－ cos 1＜0.结合选项知选A.
法二　令y＝f（x），则f（－x）＝（3－x－3x） cos （－x）＝－（3x－
3－x） cos x＝－f（x），所以函数y＝（3x－3－x）· cos x是奇函数，排除
B、D；取x＝1，则y＝ cos 1＝ cos 1＞0，排除C. 故选A.
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3. （2026·重庆调研）已知函数f（x）的图象如图所示，则函数f（x）的
解析式可能为（　　）
A. f（x）＝
B. f（x）＝
C. f（x）＝
D. f（x）＝
√
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解析： 由图知f（x）的定义域为{x｜x≠0}，图象关于原点对称，所
以f（x）是奇函数，且f（1）＜0.A项，f（x）的定义域为R，A错误；B
项，f（1）＝4＋4－1＝ ＞0，B错误；C项，因为f（－x）＝ ＝
＝f（x），所以f（x）是偶函数，C错误.故选D.
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4. （2025·山东潍坊一模）已知a＞0且a≠1，ay与x成正比例关系，其图
象如图所示，且y＝logax＋1，则a＝（　　）
A. 1 B. 2
C. 3 D. 4
√
解析： 因为ay与x成正比例关系，所以可设ay＝kx，由2＝k·1 k＝
2，由ay＝2x y＝loga（2x）＝logax＋loga2，又y＝logax＋1，所以
loga2＝1 a＝2.故选B.
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5. 〔多选〕对于函数f（x）＝lg（｜x－2｜＋1），下列说法正确的是
（　　）
A. f（x＋2）是偶函数
B. f（x＋2）是奇函数
C. f（x）在区间（－∞，2）上单调递减，在区间（2，＋∞）上单调递增
D. f（x）没有最小值
√
√
解析： 　f（x＋2）＝lg（｜x｜＋1）为偶函数，A正确，
B错误.作出f（x）的图象如图所示，可知f（x）在（－∞，
2）上单调递减，在（2，＋∞）上单调递增，C正确；由图象
可知函数存在最小值0，D错误.
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6. 〔多选〕已知函数f（x）＝ 则下列图象正确的有
（　　）
√
√
√
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解析： 　当－1≤x≤0时，f（x）＝－2x，表示一条
线段，且线段经过（－1，2）和（0，0）两点.当0＜x≤1
时，f（x）＝ ，表示一段曲线.函数y＝f（x）的图象
如图所示.f（x－1）的图象可由f（x）的图象向右平移1
个单位长度得到，故A正确；f（－x）的图象可由f（x）的图象关于y轴对称后得到，故B正确；由于f（x）的值域为[0，2]，故f（x）＝｜f（x）｜，故｜f（x）｜的图象与f（x）的图象完全相同，故C正确；很明显D中f（｜x｜）的图象不正确.
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7. 函数f（x）＝ 的图象与直线y＝kx＋1交于不同的两点（x1，y1），
（x2，y2），则y1＋y2＝ .
解析：因为f（x）＝ ＝ ＋1，所以f（x）的图象关于点（0，1）对
称，而直线y＝kx＋1过点（0，1），故两图象的交点（x1，y1），（x2，
y2）关于点（0，1）对称，所以 ＝1，即y1＋y2＝2.
2　
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8. （2025·北京平谷模拟）已知函数f（x）＝log2（x＋1）－｜x｜，则不
等式f（x）＞0的解集为 .
解析：不等式f（x）＞0 log2（x＋1）＞｜x｜，分别画出函数y＝log2
（x＋1）和y＝｜x｜的图象，由图象可知y＝log2（x＋1）和y＝｜x｜
有两个交点，分别是（0，0）和（1，1），由图象可知log2（x＋1）＞｜
x｜的解集是（0，1），即不等式f（x）＞0的解集是（0，1）.
（0，1）　
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9. （13分）已知函数f（x）＝
（1）作出函数f（x）的图象；
解： 当x≤0时，0＜2x≤1，则f（x）
＝｜2x－2｜＝2－2x∈[1，2），作出函数f
（x）的图象，如图所示.
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（2）讨论方程f（x）－m＝0根的情况.
解： 由f（x）－m＝0可得m＝f（x），
则方程f（x）－m＝0的根的个数即为直线y＝
m与函数y＝f（x）图象的交点个数.
如图所示，当m≤0时，方程f（x）－m＝0无
实根；
当0＜m＜1或m≥2时，方程f（x）－m＝0只有一个实根；
当1≤m＜2时，方程f（x）－m＝0有两个不相等的实根.
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10. 已知函数f（x）＝ 则f（x）图象上关于原点对
称的点有（　　）
A. 1对 B. 2对
C. 3对 D. 4对
√
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解析： 　作出f（x）的图象，函数y＝（ ）x，x≥0
关于原点对称的图象如图所示.因为函数y＝（ ）x，
x≥0关于原点对称的图象与y＝－｜x2＋2x｜，x＜0的
图象有三个交点，故f（x）图象上关于原点对称的点有
3对.故选C.
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11. 已知函数y＝f（x）的图象如图1所示，则图2对应的函数有可能是
（　　）
A. y＝x2f（x） B. y＝
C. y＝xf（x） D. y＝xf2（x）
√
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解析： 　对于A，当x＜0时，f（x）＜0，所以x2f（x）＜0，故A不符
合题意；对于B，当x＜0时，f（x）＜0，所以 ＜0，故B不符合题
意；对于C，当x＜0时，f（x）＜0，所以xf（x）＞0，且x→－∞时，f
（x）→－∞，xf（x）→＋∞；当x＞0时，f（x）＞0，所以xf（x）＞
0，且x→＋∞时，f（x）→0，xf（x）→0，故C符合题意；对于D，当x
＜0时，f（x）＜0，则f2（x）＞0，所以xf2（x）＜0，故D不符合题意.
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12. 〔多选〕设函数f（x）＝ 若关于x的方程f
（x）＝a有四个不同的解x1，x2，x3，x4，且x1＜x2＜x3＜x4，则
（　　）
A. x1x2＞4 B. 0＜a≤2
C. x3＋x4＞2 D. 1＜x4＜e2
√
√
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解析： 　如图，作出函数f（x）的图象，由题意，直
线y＝a与f（x）的图象有4个交点，由图象可知0＜
a≤2，故B正确；且x1＋x2＝－4，－2＜x2≤0，－ln x3＝
ln x4，所以ln（x3x4）＝0，即x3x4＝1，则x3＋x4＞2 ＝2，故C正确；x1x2＝（－4－x2）x2＝－ －4x2＝－（x2＋2）2＋4∈[0，4），故A错误；当f（x4）＝f（0）＝2时，ln x4＝2，x4＝e2，又1＜x4，所以1＜
x4≤e2，故D错误.
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13. （2026·江苏南京外国语学校模拟）设函数f（x）的定义域为R，满足
f（x）＝2f（x－2），且当x∈（0，2]时，f（x）＝x（2－x），若对
任意x∈（－∞，m]，都有f（x）≤3，则实数m的取值范围是
.
（－
∞， ］　
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解析：因为函数f（x）的定义域为R，满足f（x）＝2f
（x－2），且当x∈（0，2]时，f（x）＝x（2－
x），所以当x∈（2，4]时，f（x）＝2（x－2）[2－
（x－2）]＝2（x－2）（4－x），当x∈（4，6]时，
f（x）＝4[（x－2）－2][4－（x－2）]＝4（x－4）（6－x），函数的部分图象如图所示，由4（x－4）（6－x）＝3，得4x2－40x＋99＝0，解得x＝ 或x＝ ，因为对任意x∈（－∞，m]，都有f（x）≤3，所以由图可知m≤ .
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14. （15分）已知函数f（x）＝2x－ax＋1（a∈R）.
（1）若a∈Z，且f（4）＞0，求a的最大值；
解： 因为函数f（x）＝2x－ax＋1，
所以f（4）＝24－4a＋1＞0，即a＜ ，又a∈Z，所以a的最大值为4.
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（2）若对任意x∈（－∞，1）都有f（x）＞0，求a的取值范围.
解： 因为对任意x∈（－∞，1）都有f（x）＞0，
所以2x＞ax－1在（－∞，1）上恒成立，
即x∈（－∞，1）时，函数y＝2x的图象恒在直线y＝
ax－1的上方，
作出函数y＝2x，x∈（－∞，1）与y＝ax－1的大致图
象，
则a≥0，且a－1≤2，
所以0≤a≤3，
即a的取值范围为[0，3].
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15. 〔创新情境〕〔多选〕高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之
一，享有“数学王子”的称号，他和阿基米德，牛顿并列为世界三大数学
家，用其名字命名的“高斯函数”为：对于实数x，符号[x]表示
不超过x的最大整数，则y＝[x]称为高斯函数，例如[π]＝3，[－1.08]＝
－2.定义函数f（x）＝x－[x]，则下列命题中正确的是（　　）
A. 函数f（x）的最大值为1
B. 函数f（x）的最小值为0
C. 函数y＝f（x）的图象与直线y＝ 有无数个交点
D. f（x＋1）＝f（x）
√
√
√
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解析： 　由题意得：f（x）＝x－[x]＝
由解析式可得函数图象如图
所示，对于A，函数f（x）＜1，A错误；对于B，函数f（x）的最小值为0，B正确；对于C，函数y＝f（x）的图象与直线y＝ 有无数个交点，C正确；对于D，函数f（x）满足f（x＋1）＝f（x），D正确.故选B、C、D.
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