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第9节　函数的零点与方程的解
（时间：60分钟，满分：96分）
[备注：单选、填空题5分，多选题6分]
1.函数y＝（x－2）（2x＋1）的零点是（　　）
A.2 B.（2，0）
C.－2 D.2或－1
2.（2026·河北辛集中学考试）函数f（x）＝ln（x＋1）－（x＞0）的零点所在的区间是（　　）
A.（0，1） B.（3，4）
C.（2，3） D.（1，2）
3.（2026·重庆检测）已知函数f（x）＝x－e－x的部分函数值如表所示，那么函数f（x）的零点的一个近似值（精确度为0.1）为（　　）
x 1 0.5 0.75 0.625 0.562 5
f（x） 0.632 1 －0.106 5 0.277 6 0.089 7 －0.007
A.0.55 B.0.57
C.0.65 D.0.7
4.“a≤0”是“函数f（x）＝有且只有一个零点”的（　　）
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
5.（2026·江苏连云港联考）设函数f（x）＝log3－a在区间（1，2）内有零点，则实数a的取值范围是（　　）
A.（－1，－log32） B.（0，log32）
C.（log32，1） D.（1，log34）
6.〔多选〕（2026·广东湛江调研）已知函数f（x）＝｜2x－1｜－a，g（x）＝x2－4｜x｜＋2－a，则（　　）
A.当g（x）有2个零点时，f（x）只有1个零点
B.当g（x）有3个零点时，f（x）只有1个零点
C.当f（x）有2个零点时，g（x）有2个零点
D.当f（x）有2个零点时，g（x）有4个零点
7.用二分法求方程－＋1＝0在区间（2，3）内的根的近似值，至少经过　　　　次二分后精确度达到0.1.
8.若x1是方程xex＝1的解，x2是方程xln x＝1的解，则x1x2＝　　　　.
9.（13分）函数f（x）＝x2＋bx＋c的两个零点为2，3.
（1）求b，c的值；
（2）若函数g（x）＝f（x）＋mx的两个零点分别在区间（1，2），（2，4）内，求m的取值范围.
10.设f（x）＝ex＋ln x，满足f（a）f（b）f（c）＜0（0＜a＜b＜c）.设函数f（x）的零点为x0，则（　　）
A.x0＜a B.x0＞a
C.x0＜c D.x0＞c
11.定义在R上的奇函数f（x）满足f（x＋1）＝f（x），则f（x）在[－3，3]上的零点个数至少为（　　）
A.6 B.7
C.12 D.13
12.〔多选〕（2025·湖南怀化一模）已知函数y＝x＋ex的零点为x1，y＝x＋ln x的零点为x2，则（　　）
A.x1＋x2＞0
B.x1x2＜0
C.＋ln x2＝0
D.x1x2－x1＋x2＞1
13.（2026·浙江杭州质检）若函数f（x）＝e－x－ln（x＋a）在（0，＋∞）上存在零点，则实数a的取值范围为　　　　.
14.（15分）（2025·甘肃天水模拟）已知函数f（x）＝log2（2＋x）－log2（2－x）.
（1）判断f（x）的奇偶性；
（2）若关于x的方程f（x）＝log2（a＋x）有两个不同的实数根，求实数a的取值范围.
15.〔创新设问〕〔多选〕已知函数f（x）＝若在区间（1，＋∞）内存在n（n≥2）个不同的数x1，x2，…，xn，使得＝＝…＝，则n的取值是（　　）
A.2　　　　　　　　　　　B.3　　　　　　　　　　　C.4　　　　　　　　　　　D.5
第9节　函数的零点与方程的解
1.A　2.D　3.B　4.A　
5.C　令f（x）＝0得a＝log3，令h（x）＝log3＝log3（ 1＋），由复合函数单调性可知，当x∈（1，2）时，h（x）单调递减，h（2）＝log32，h（1）＝log33＝1，故h（x）∈（log32，1），要使f（x）＝log3－a在区间（1，2）内有零点，即a∈（log32，1）.故选C.
6.BD　作出y＝｜2x－1｜，y＝x2－4｜x｜＋2的大致图象，如图所示.由图可知，当g（x）有2个零点时，f（x）无零点或只有1个零点；当g（x）有3个零点时，f（x）只有1个零点；当f（x）有2个零点时，g（x）有4个零点.
7.4　8.1
9.解：（1）由题意知2，3为方程x2＋bx＋c＝0的两根，∴∴
（2）由（1）知f（x）＝x2－5x＋6.
∴g（x）＝x2＋（m－5）x＋6，
依题意得解得－＜m＜0，
故实数m的取值范围是.
10.B　因为f（x）＝ex＋ln x在（0，＋∞）上单调递增，且0＜a＜b＜c，所以f（a）＜f（b）＜f（c）.因为f（a）f（b）f（c）＜0，所以f（a）＜0，f（b）＞0，f（c）＞0或f（a）＜0，f（b）＜0，f（c）＜0.若f（a）＜0，f（b）＞0，f（c）＞0，由函数零点存在定理可知x0∈（a，b）；若f（a）＜0，f（b）＜0，f（c）＜0，由函数零点存在定理可知x0∈（c，＋∞）.综上所述，x0＞a，故选B.
11.D　因为f（x）是定义在R上的奇函数，所以f（0）＝0，又由f（x＋1）＝f（x）得f（x）的周期为1，所以f（－3）＝f（－2）＝f（－1）＝f（0）＝f（1）＝f（2）＝f（3）＝0.又f（ ）＝f（ －），f（ ）＝－f（ －），因此f（ ）＝f（ －）＝0，则f（ －）＝f（ －）＝f（ －）＝f（ ）＝f（ ）＝f（ ）＝0，故f（x）在[－3，3]上至少有13个零点.故选D.
12.BC　依题意，x1＋＝0 ＝－x1，x2＋ln x2＝0 ln x2＝－x2，则x1，x2分别是直线y＝－x与函数y＝ex，y＝ln x的图象交点的横坐标，而函数y＝ex与y＝ln x互为反函数，它们的图象关于直线y＝x对称，又直线y＝－x垂直于直线y＝x，则点（x1，）与点（x2，ln x2）关于直线y＝x对称，则x2＝＝－x1＞0，于是x1＋x2＝0，x1x2＜0，＋ln x2＝0，B、C正确，A错误；易知－1＜x1＜0，0＜x2＜1，则x1x2－x1＋x2－1＝（x1＋1）（x2－1）＜0，即x1x2－x1＋x2＜1，D错误.故选B、C.
13.（－∞，e）
解析：由题意，函数y＝e－x与g（x）＝ln（x＋a）的图象在（0，＋∞）上有交点，当a＞0时，g（x）＝ln（x＋a）的图象是由函数y＝ln x的图象向左平移a个单位长度得到的，根据图象可得只需要g（0）＝ln a＜1，即0＜a＜e；当a≤0时，g（x）＝ln（x＋a）的图象是由函数y＝ln x的图象向右平移｜a｜个单位长度得到的，此时在（0，＋∞）上恒有交点，满足条件，综上可得：a＜e，即实数a的取值范围是（－∞，e）.
14.解：（1）f（x）为奇函数，理由如下：
由题意得解得－2＜x＜2，即函数f（x）的定义域为（－2，2），故定义域关于原点对称.
又f（－x）＝log2（2－x）－log2（2＋x）＝－f（x），
故f（x）为奇函数.
（2）由f（x）＝log2（a＋x），
得log2（2＋x）－log2（2－x）＝log2（a＋x），
所以＝a＋x，所以a＝－x＝－x＝＋（2－x）－3，
故方程f（x）＝log2（a＋x）有两个不同的实数根可转化为方程a＝＋（2－x）－3在区间（－2，2）上有两个不同的实数根，
即函数y＝a与y＝＋（2－x）－3在区间（－2，2）上的图象有两个交点.
令t＝2－x，x∈（－2，2），则y＝＋t－3，t∈（0，4）.
作出函数y＝＋t－3，t∈（0，4）的图象，如图所示.
由图可得当1＜a＜2时，函数y＝a与y＝＋t－3，t∈（0，4）的图象有两个交点，即关于x的方程f（x）＝log2（a＋x）有两个不同的实数根，
故实数a的取值范围是（1，2）.
15.AB　的几何意义为点（xn，f（xn））与原点连线的斜率，＝＝…＝
的几何意义为这n个点与原点连线的斜率相等，作出f（x）＝
的大致图象，如图所示，在区间（1，＋∞）上与y＝kx的交点个数为0或1或2或3，又n≥2，故选A、B.
1 / 1第9节　函数的零点与方程的解
1.了解函数零点与方程的解的联系. 2.了解函数零点存在定理，并能简单应用. 3.了解用二分法求方程的近似解.
知识梳理
1.函数的零点
（1）定义：对于一般函数y＝f（x），我们把使　　　　　　的实数x叫做函数y＝f（x）的零点；
（2）等价关系：方程f（x）＝0有实数解 函数y＝f（x）有　　　　 函数y＝f（x）的图象与　　　　　　.　
提醒：函数f（x）的零点不是一个点，而是一个实数，是方程f（x）＝0的根，也是函数y＝f（x）的图象与x轴交点的横坐标.
2.函数零点存在定理
（1）条件：①函数y＝f（x）在区间[a，b]上的图象是一条连续不断的曲线；②　　　　＜0.
（2）结论：函数y＝f（x）在区间（a，b）内至少有一个零点，即存在c∈（a，b），使得　　　　，这个c也就是方程f（x）＝0的解.
提醒：函数零点存在定理只能判断变号零点存在，不能确定零点的个数.
3.二分法
（1）定义：对于在区间[a，b]上图象连续不断且f（a）f（b）＜0的函数y＝f（x），通过不断地把它的零点所在区间　　　　　　，使所得区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点近似值的方法叫做二分法；
（2）用二分法求函数y＝f（x）零点x0的近似值的一般步骤
①确定零点x0的初始区间[a，b]，验证f（a）f（b）＜0；
②求区间（a，b）的中点c；
③计算f（c），并进一步确定零点所在的区间：
（ⅰ）若f（c）＝0（此时x0＝c），则c就是函数的零点；
（ⅱ）若f（a）f（c）＜0（此时x0∈（a，c）），则令b＝c；
（ⅲ）若f（c）f（b）＜0（此时x0∈（c，b）），则令a＝c；
④判断是否达到精确度ε：若｜a－b｜＜ε，则得到零点近似值a（或b）；否则重复步骤②～④.
1.若连续不断的函数f（x）在定义域上是单调函数，则f（x）至多有一个零点. 2.连续不断的函数，其相邻两个零点之间的所有函数值保持同号. 3.周期函数如果存在零点，则必有无穷个零点. 4.由函数y＝f（x）（图象是连续不断的） 在闭区间[a，b]上有零点不一定能推出f（a）·f（b）＜0，如图所示，所以f（a）·f（b）＜0是y＝f（x）在闭区间[a，b]上有零点的充分不必要条件.
诊断自测
1.判断正误.（正确的画“√”，错误的画“×”）
（1）函数f（x）＝2x的零点为0.（　　）
（2）函数的零点就是函数的图象与x轴的交点.（　　）
（3）函数y＝f（x）在区间（a，b）内有零点（函数图象连续不断），则f（a）·f（b）＜0.（　　）
（4）只要函数有零点，我们就可以用二分法求出零点的近似值.（　　）
2.下列函数图象与x轴均有交点，则不能用二分法求图中函数零点近似值的是（　　）
3.函数f（x）＝的零点是（　　）
A.（－1，0），（1，0） B.－1，1
C.（－1，0） D.－1
4.函数f（x）＝ln x－的零点所在的区间是（　　）
A.（0，1） B.（1，2）
C.（2，e） D.（e，3）
5.若函数f（x）＝3ax＋1－2a在区间（－1，1）内存在一个零点，则a的取值范围是（　　）
A.（ ，＋∞）
B.（ －1，）
C.（－∞，－1）
D.（－∞，－1）∪（ ，＋∞）
函数零点所在区间的判定
（师生共研过关）
（1）（2025·天津高考7题）函数f（x）＝0.3x－的零点所在区间是（　　）
A.（0，0.3） B.（0.3，0.5）
C.（0.5，1） D.（1，2）
（2）已知函数f（x）＝logax＋x－b（a＞0，且a≠1）.当2＜a＜3＜b＜4时，函数f（x）的零点x0∈（n，n＋1），n∈N*，则n＝　　　　.
听课记录
函数零点所在区间的判断方法 （1）定理法：利用函数零点存在定理进行判断，适用于容易判断区间端点值所对应函数值的正负的情形； （2）图象法：画出函数图象，通过观察图象与x轴在给定区间上是否有交点来判断，适用于容易画出函数图象的情形.
训练1 （1）（2026·陕西商洛模拟）设a是函数f（x）＝2x－lox的零点.若x0＞a，则f（x0）的值满足（　　）
A.f（x0）＝0 B.f（x0）＜0
C.f（x0）＞0 D.f（x0）的符号不确定
（2）若a＜b＜c，则函数f（x）＝（x－a）（x－b）＋（x－b）（x－c）＋（x－c）（x－a）的两个零点分别位于区间（　　）
A.（a，b）和（b，c）内
B.（－∞，a）和（a，b）内
C.（b，c）和（c，＋∞）内
D.（－∞，a）和（c，＋∞）内
函数零点个数的判定
（师生共研过关）
（1）函数f（x）＝（x2－x）ln｜2x－3｜在区间[－2，2]上的零点个数是（　　）
A.3 B.4
C.5 D.6
（2）〔一题多解〕函数f（x）＝2x＋x3－2在区间（0，1）内的零点个数是　　　　.
听课记录
判断函数零点个数的3种方法 （1）直接法：令f（x）＝0，方程有多少个解，f（x）就有多少个零点； （2）定理法：利用定理时往往还要结合函数的单调性、奇偶性等； （3）图象法：一般是把函数拆分为两个简单函数，依据两函数图象的交点个数得出函数的零点个数.
训练2 （1）函数f（x）是R上最小正周期为2的周期函数，当0≤x＜2时，f（x）＝x2－x，则函数y＝f（x）的图象在区间[－3，3]上与x轴的交点个数为（　　）
A.6 B.7
C.8 D.9
（2）已知定义在R上的奇函数f（x）满足f（2－x）＝f（x），当x∈[0，1]时，f（x）＝2x－1，则方程f（x）＝｜log9x｜的实根的个数为（　　）
A.3 B.4
C.5 D.6
函数零点的应用
（定向精析突破）
考向1　根据函数零点个数求参数
（1）（2025·湖南长沙二模）若函数f（x）＝（ ）｜x｜＋m－1至少有一个零点，则m的取值范围为（　　）
A.m＜1 B.m≥1
C.0≤m＜1 D.0≤m≤1
（2）（2024·新高考Ⅱ卷6题）设函数f（x）＝a（x＋1）2－1，g（x）＝cos x＋2ax.当x∈（－1，1）时，曲线y＝f（x）与y＝g（x）恰有一个交点.则a＝（　　）
A.－1 B.
C.1 D.2
听课记录
考向2　根据函数零点所在区间求参数
（2026·北京模拟）已知函数f（x）＝3x－.若存在x0∈（－∞，－1），使得f（x0）＝0，则实数a的取值范围是（　　）
A.（ －∞，） B.（ 0，）
C.（－∞，0） D.（ ，＋∞）
听课记录
利用函数零点求参数的方法
训练3 （1）已知函数f（x）＝log2（x＋1）－＋m在区间（1，3]上有零点，则实数m的取值范围为（　　）
A.（ －，0） B.（ －∞，－）∪（0，＋∞）
C.（ －∞，－］∪（0，＋∞） D.
（2）〔多选〕已知函数f（x）＝令h（x）＝f（x）－k，则下列说法正确的是（　　）
A.函数f（x）的单调递增区间为（0，＋∞）
B.当h（x）有3个零点时，k∈（－4，－3]
C.当k＝－2时，h（x）的所有零点之和为－1
D.当k∈（－∞，－4）时，h（x）有1个零点
第9节　函数的零点与方程的解
【夯实必备知识】
知识梳理
1.（1）f（x）＝0　（2）零点　x轴有公共点
2.（1）②f（a）f（b）　（2）f（c）＝0
3.（1）一分为二　
诊断自测
1.（1）√　（2）×　（3）×　（4）×
2.C　3.B　4.C　5.D　
【研透核心考点】
考点1
【例1】　（1）B　（2）2　解析：（1）易知f（x）单调递减，又f（0）＝1＞0，f（0.3）＝0.30.3－＝0.30.3－0.30.5＞0，f（0.5）＝0.30.5－＝－＜0，所以f（x）的零点所在区间是（0.3，0.5），故选B.
（2）对于函数y＝logax，当x＝2时，可得y＜1，当x＝3时，可得y＞1，如图，在同一坐标系中画出函数y＝logax，y＝－x＋b的图象，可以判断两个函数图象的交点的横坐标在（2，3）内，故n＝2.
训练1　（1）C　（2）A　解析：（1）∵函数y＝2x和y＝log2x在（0，＋∞）上均单调递增，∴f（x）＝2x－lox＝2x＋log2x在（0，＋∞）上单调递增.又∵a是函数f（x）＝2x＋log2x的零点，∴f（a）＝0，∴当x0＞a时，f（x0）＞f（a）＝0.故选C.
（2）函数y＝f（x）是图象开口向上的二次函数，最多有两个零点，由于a＜b＜c，则a－b＜0，a－c＜0，b－c＜0，因此f（a）＝（a－b）（a－c）＞0，f（b）＝（b－c）（b－a）＜0，f（c）＝（c－a）（c－b）＞0.所以f（a）f（b）＜0，f（b）f（c）＜0，即f（x）在区间（a，b）和区间（b，c）内各有一个零点.
考点2
【例2】　（1）A　（2）1　解析：（1）令f（x）＝（x2－x）ln｜2x－3｜＝0，得x2－x＝0或ln｜2x－3｜＝0，解得x＝0或x＝1或x＝2，所以函数f（x）在区间[－2，2]上的零点个数为3，故选A.
（2）法一 ∵f（0）f（1）＝（－1）×1＝－1＜0，且函数在定义域上单调递增且连续，∴函数f（x）在区间（0，1）内有且只有1个零点.
法二 设y1＝2x，y2＝2－x3，在同一坐标系中画出两函数的图象如图所示，在区间（0，1）内，两图象的交点个数即为f（x）的零点个数.故函数f（x）在区间（0，1）内有且只有1个零点.
训练2　（1）B　（2）C　解析：（1）令f（x）＝x2－x＝0，即x＝0或x＝1，所以f（0）＝0，f（1）＝0，因为函数的最小正周期为2，所以f（2）＝0，f（3）＝0，f（－2）＝0，f（－1）＝0，f（－3）＝0，所以函数y＝f（x）的图象在区间[－3，3]上与x轴的交点个数为7.
（2）由奇函数可知f（2－x）＝f（x）＝－f（－x），即f（x＋2）＝－f（x），f（x＋4）＝－f（x＋2）＝f（x），则f（x）是周期为4的周期函数，又由f（2－x）＝f（x），得f（x）的图象关于直线x＝1对称，作出函数y＝｜log9x｜与函数y＝f（x）的大致图象如图所示，结合图象可知，共有5个交点，即方程实根的个数为5.
考点3
【例3】　（1）C　（2）D　解析：（1）函数f（x）＝（ ）｜x｜＋m－1有零点，则方程（ ）｜x｜＋m－1＝0有根，即（ ）｜x｜＝1－m有根，因此函数y＝（ ）｜x｜的图象与直线y＝1－m有交点，而函数y＝（ ）｜x｜是R上的偶函数，在[0，＋∞）上单调递减，函数y＝（ ）｜x｜的值域为（0，1]，在同一坐标系内作出函数y＝（ ）｜x｜的图象与直线y＝1－m，如图，观察图象知，当且仅当0＜1－m≤1，即0≤m＜1时，函数y＝（ ）｜x｜的图象与直线y＝1－m有交点，所以m的取值范围为0≤m＜1.故选C.
（2）令h（x）＝f（x）－g（x）＝ax2＋a－1－cos x，x∈（－1，1），原题意等价于h（x）有且仅有一个零点，因为h（－x）＝a（－x）2＋a－1－cos（－x）＝ax2＋a－1－cos x＝h（x），则h（x）为偶函数，根据偶函数的对称性可知h（x）的零点只能为0，即h（0）＝a－2＝0，解得a＝2，故选D.
【例4】　B　由f（x）＝3x－＝0，可得a＝3x－，令g（x）＝3x－，其中x∈（－∞，－1），由于存在x0∈（－∞，－1），使得f（x0）＝0，则实数a的取值范围即为函数g（x）在（－∞，－1）上的值域.由于函数y＝3x，y＝－在区间（－∞，－1）上均单调递增，所以函数g（x）在（－∞，－1）上单调递增.当x∈（－∞，－1）时，g（x）＝3x－＜g（－1）＝3－1＋1＝，又g（x）＝3x－＞0，所以函数g（x）在（－∞，－1）上的值域为（ 0，）.因此，实数a的取值范围是（ 0，）.
训练3　（1）D　（2）BD　解析：（1）由于函数y＝log2（x＋1），y＝m－在区间（1，3]上单调递增，所以函数f（x）在（1，3]上单调递增，由于函数f（x）＝log2（x＋1）－＋m在区间（1，3]上有零点，则即解得－≤m＜0.因此实数m的取值范围是.故选D.
（2）函数f（x）＝结合二次函数和对数函数的图象和性质，作函数f（x）的图象如图所示，由图象可知，函数f（x）的单调递增区间为（－1，0）和（0，＋∞），A选项错误；h（x）的零点即函数y＝f（x）的图象和直线y＝k交点的横坐标，由图象可知，当h（x）有3个零点时，k∈（－4，－3]，B选项正确；解方程可知，当k＝－2时，h（x）有两个零点－1－和1，所有零点之和为－，C选项错误；当k∈（－∞，－4）时，函数y＝f（x）的图象和直线y＝k有1个交点，即h（x）有1个零点，D选项正确.
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第9节　函数的零点与方程的解
课标要求
1. 了解函数零点与方程的解的联系.
2. 了解函数零点存在定理，并能简单应用.
3. 了解用二分法求方程的近似解.
目录/
CONTENTS
夯实必备知识
01
研透核心考点
02
课时跟踪检测
03
01
PART
夯实必备知识
知识梳理
1. 函数的零点
（1）定义：对于一般函数y＝f（x），我们把使 的实数x
叫做函数y＝f（x）的零点；
（2）等价关系：方程f（x）＝0有实数解 函数y＝f（x）有
函数y＝f（x）的图象与 .　
提醒：函数f（x）的零点不是一个点，而是一个实数，是方程f（x）＝0
的根，也是函数y＝f（x）的图象与x轴交点的横坐标.
f（x）＝0　
零点　
x轴有公共点　
2. 函数零点存在定理
（1）条件：①函数y＝f（x）在区间[a，b]上的图象是一条连续不断的
曲线；② ＜0.
（2）结论：函数y＝f（x）在区间（a，b）内至少有一个零点，即存在
c∈（a，b），使得 ，这个c也就是方程f（x）＝0的解.
提醒：函数零点存在定理只能判断变号零点存在，不能确定零点的个数.
f（a）f（b）　
f（c）＝0　
（1）定义：对于在区间[a，b]如图象连续不断且f（a）f（b）＜0的函
数y＝f（x），通过不断地把它的零点所在区间 ，使所得区
间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点近似值的方法叫做二分法；
（2）用二分法求函数y＝f（x）零点x0的近似值的一般步骤
①确定零点x0的初始区间[a，b]，验证f（a）f（b）＜0；
②求区间（a，b）的中点c；
③计算f（c），并进一步确定零点所在的区间：
一分为二　
3. 二分法
（ⅰ）若f（c）＝0（此时x0＝c），则c就是函数的零点；
（ⅱ）若f（a）f（c）＜0（此时x0∈（a，c）），则令b＝c；
（ⅲ）若f（c）f（b）＜0（此时x0∈（c，b）），则令a＝c；
④判断是否达到精确度ε：若｜a－b｜＜ε，则得到零点近似值a（或
b）；否则重复步骤②～④.
1. 若连续不断的函数f（x）在定义域上是单调函数，则f（x）至多有一
个零点.
2. 连续不断的函数，其相邻两个零点之间的所有函数值保持同号.
3. 周期函数如果存在零点，则必有无穷个零点.
4. 由函数y＝f（x）（图象是连续不断的）
在闭区间[a，b]上有零点不一定能推出f（a）·f（b）＜0，如图所示，
所以f（a）·f（b）＜0是y＝f（x）在闭区间[a，b]上有零点的充分不
必要条件.
诊断自测
1. 判断正误.（正确的画“√”，错误的画“×”）
（1）函数f（x）＝2x的零点为0. （　√　）
（2）函数的零点就是函数的图象与x轴的交点. （　×　）
（3）函数y＝f（x）在区间（a，b）内有零点（函数图象连续不断），
则f（a）·f（b）＜0. （　×　）
（4）只要函数有零点，我们就可以用二分法求出零点的近似值.
（　×　）
√
×
×
×
2. 下列函数图象与x轴均有交点，则不能用二分法求图中函数零点近似值
的是（　　）
√
解析： 　根据二分法的概念知，选项C不能用二分法求零点.
3. 函数f（x）＝ 的零点是（　　）
A. （－1，0），（1，0） B. －1，1
C. （－1，0） D. －1
√
解析： 　由题意可得 解得x＝－1；由 解得x＝
1.综上，x＝±1.
4. 函数f（x）＝ln x－ 的零点所在的区间是（　　）
A. （0，1） B. （1，2）
C. （2，e） D. （e，3）
√
解析： 　因为函数f（x）＝ln x－ 在定义域（0，＋∞）内是一条连续
不断的曲线，且f（2）＝ln 2－1＜0，f（e）＝ln e－ ＝1－ ＞0，所以必
存在x0∈（2，e），使得f（x0）＝0.所以函数f（x）＝ln x－ 的零点所
在的区间是（2，e），故选C.
5. 若函数f（x）＝3ax＋1－2a在区间（－1，1）内存在一个零点，则a
的取值范围是（　　）
A. （ ，＋∞）
B. （－1， ）
C. （－∞，－1）
D. （－∞，－1）∪（ ，＋∞）
√
解析： 　当a＝0时，f（x）＝1，函数y＝f（x）的图象与x轴无交点，
不符合题意，所以a≠0，所以函数f（x）＝3ax＋1－2a在区间（－1，
1）上单调，所以f（－1）·f（1）＜0，即（5a－1）（a＋1）＞0，解得
a＜－1或a＞ .
02
PART
研透核心考点
函数零点所在区间的判定（师生共研过关）
（1）（2025·天津高考7题）函数f（x）＝0.3x－ 的零点所在区间
是（　B　）
A. （0，0.3） B. （0.3，0.5）
C. （0.5，1） D. （1，2）
解析： 易知f（x）单调递减，又f（0）＝1＞0，f（0.3）＝0.30.3－
＝0.30.3－0.30.5＞0，f（0.5）＝0.30.5－ ＝ － ＜0，所以f
（x）的零点所在区间是（0.3，0.5），故选B.
B
（2）已知函数f（x）＝logax＋x－b（a＞0，且a≠1）.当2＜a＜3＜b
＜4时，函数f（x）的零点x0∈（n，n＋1），n∈N*，则n＝ 　2 　.
解析：对于函数y＝logax，当x＝2时，可得y
＜1，当x＝3时，可得y＞1，如图，在同一坐
标系中画出函数y＝logax，y＝－x＋b的图
象，可以判断两个函数图象的交点的横坐标在
（2，3）内，故n＝2.
2
函数零点所在区间的判断方法
（1）定理法：利用函数零点存在定理进行判断，适用于容易判断区间端
点值所对应函数值的正负的情形；
（2）图象法：画出函数图象，通过观察图象与x轴在给定区间上是否有交
点来判断，适用于容易画出函数图象的情形.
训练1 （1）（2026·陕西商洛模拟）设a是函数f（x）＝2x－lo x的零
点.若x0＞a，则f（x0）的值满足（　C　）
A. f（x0）＝0 B. f（x0）＜0
C. f（x0）＞0 D. f（x0）的符号不确定
解析： ∵函数y＝2x和y＝log2x在（0，＋∞）上均单调递增，∴f
（x）＝2x－lo x＝2x＋log2x在（0，＋∞）上单调递增.又∵a是函数f
（x）＝2x＋log2x的零点，∴f（a）＝0，∴当x0＞a时，f（x0）＞f
（a）＝0.故选C.
C
（2）若a＜b＜c，则函数f（x）＝（x－a）（x－b）＋（x－b）（x
－c）＋（x－c）（x－a）的两个零点分别位于区间（　A　）
A. （a，b）和（b，c）内
B. （－∞，a）和（a，b）内
C. （b，c）和（c，＋∞）内
D. （－∞，a）和（c，＋∞）内
A
解析： 函数y＝f（x）是图象开口向上的二次函数，最多有两个零
点，由于a＜b＜c，则a－b＜0，a－c＜0，b－c＜0，因此f（a）＝
（a－b）（a－c）＞0，f（b）＝（b－c）（b－a）＜0，f（c）＝
（c－a）（c－b）＞0.所以f（a）f（b）＜0，f（b）f（c）＜0，即
f（x）在区间（a，b）和区间（b，c）内各有一个零点.
函数零点个数的判定（师生共研过关）
（1）函数f（x）＝（x2－x）ln｜2x－3｜在区间[－2，2]上的零点
个数是（　A　）
A. 3 B. 4
C. 5 D. 6
解析： 令f（x）＝（x2－x）ln｜2x－3｜＝0，得x2－x＝0或ln｜2x－
3｜＝0，解得x＝0或x＝1或x＝2，所以函数f（x）在区间[－2，2]上的
零点个数为3，故选A.
A
（2）〔一题多解〕函数f（x）＝2x＋x3－2在区间（0，1）内的零点个数
是 .
解析：法一 ∵f（0）f（1）＝（－1）×1＝－1＜0，且
函数在定义域上单调递增且连续，∴函数f（x）在区间
（0，1）内有且只有1个零点.
法二 设y1＝2x，y2＝2－x3，在同一坐标系中画出两函数的图象如图所示，在区间（0，1）内，两图象的交点个数即为f（x）的零点个数.故函数f（x）在区间（0，1）内有且只有1个零点.
1　
判断函数零点个数的3种方法
（1）直接法：令f（x）＝0，方程有多少个解，f（x）就有多少个零
点；
（2）定理法：利用定理时往往还要结合函数的单调性、奇偶性等；
（3）图象法：一般是把函数拆分为两个简单函数，依据两函数图象的交
点个数得出函数的零点个数.
训练2 （1）函数f（x）是R上最小正周期为2的周期函数，当0≤x＜2
时，f（x）＝x2－x，则函数y＝f（x）的图象在区间[－3，3]上与x轴
的交点个数为（　B　）
A. 6 B. 7
C. 8 D. 9
解析： 令f（x）＝x2－x＝0，即x＝0或x＝1，所以f（0）＝0，f
（1）＝0，因为函数的最小正周期为2，所以f（2）＝0，f（3）＝0，f
（－2）＝0，f（－1）＝0，f（－3）＝0，所以函数y＝f（x）的图象在
区间[－3，3]上与x轴的交点个数为7.
B
（2）已知定义在R上的奇函数f（x）满足f（2－x）＝f（x），当
x∈[0，1]时，f（x）＝2x－1，则方程f（x）＝｜log9x｜的实根的个数
为（　C　）
A. 3 B. 4
解析： 由奇函数可知f（2－x）＝f
（x）＝－f（－x），即f（x＋2）＝
－f（x），f（x＋4）＝－f（x＋2）
＝f（x），则f（x）是周期为4的周期函数，又由f（2－x）＝f（x），得f（x）的图象关于直线x＝1对称，作出函数y＝｜log9x｜与函数y＝f（x）的大致图象如图所示，结合图象可知，共有5个交点，即方程实根的个数为5.
C
C. 5 D. 6
函数零点的应用（定向精析突破）
考向1　根据函数零点个数求参数
（1）（2025·湖南长沙二模）若函数f（x）＝（ ）｜x｜＋m－1至少
有一个零点，则m的取值范围为（　C　）
A. m＜1 B. m≥1
C. 0≤m＜1 D. 0≤m≤1
C
解析： 函数f（x）＝（ ）｜x｜＋m－1有零点，则方
程（ ）｜x｜＋m－1＝0有根，即（ ）｜x｜＝1－m有
根，因此函数y＝（ ）｜x｜的图象与直线y＝1－m有交点，而函数y＝（ ）｜x｜是R上的偶函数，在[0，＋∞）上单调递减，函数y＝（ ）｜x｜的值域为（0，1]，在同一坐标系内作出函数y＝（ ）｜x｜的图象与
直线y＝1－m，如图，观察图象知，当且仅当0＜1－m≤1，即0≤m＜1时，函数y＝（ ）｜x｜的图象与直线y＝1－m有交点，所以m的取值范围为0≤m＜1.故选C.
（2）（2024·新高考Ⅱ卷6题）设函数f（x）＝a（x＋1）2－1，g（x）
＝ cos x＋2ax.当x∈（－1，1）时，曲线y＝f（x）与y＝g（x）恰有一
个交点.则a＝（　D　）
A. －1 B.
C. 1 D. 2
解析：令h（x）＝f（x）－g（x）＝ax2＋a－1－ cos x，x∈（－1，
1），原题意等价于h（x）有且仅有一个零点，因为h（－x）＝a（－
x）2＋a－1－ cos （－x）＝ax2＋a－1－ cos x＝h（x），则h（x）为
偶函数，根据偶函数的对称性可知h（x）的零点只能为0，即h（0）＝a
－2＝0，解得a＝2，故选D.
D
考向2　根据函数零点所在区间求参数
（2026·北京模拟）已知函数f（x）＝3x－ .若存在x0∈（－∞，
－1），使得f（x0）＝0，则实数a的取值范围是（　　）
A. （－∞， ） B. （0， ）
C. （－∞，0） D. （ ，＋∞）
√
解析： 　由f（x）＝3x－ ＝0，可得a＝3x－ ，令g（x）＝3x－
，其中x∈（－∞，－1），由于存在x0∈（－∞，－1），使得f（x0）
＝0，则实数a的取值范围即为函数g（x）在（－∞，－1）上的值域.由
于函数y＝3x，y＝－ 在区间（－∞，－1）上均单调递增，所以函数g
（x）在（－∞，－1）上单调递增.当x∈（－∞，－1）时，g（x）＝3x
－ ＜g（－1）＝3－1＋1＝ ，又g（x）＝3x－ ＞0，所以函数g（x）
在（－∞，－1）上的值域为（0， ）.因此，实数a的取值范围是（0， ）.
利用函数零点求参数的方法
训练3 （1）已知函数f（x）＝log2（x＋1）－ ＋m在区间（1，3]上有
零点，则实数m的取值范围为（　D　）
A. （－ ，0）
B. （－∞，－ ）∪（0，＋∞）
C. （－∞，－ ］∪（0，＋∞）
D.
D
解析： 由于函数y＝log2（x＋1），y＝m－ 在区间（1，3]上单调递
增，所以函数f（x）在（1，3]上单调递增，由于函数f（x）＝log2（x＋
1）－ ＋m在区间（1，3]上有零点，则 即 解
得－ ≤m＜0.因此实数m的取值范围是 .故选D.
（2）〔多选〕已知函数f（x）＝ 令h（x）＝f
（x）－k，则下列说法正确的是（　BD　）
A. 函数f（x）的单调递增区间为（0，＋∞）
B. 当h（x）有3个零点时，k∈（－4，－3]
C. 当k＝－2时，h（x）的所有零点之和为－1
D. 当k∈（－∞，－4）时，h（x）有1个零点
BD
解析：函数f（x）＝ 结
合二次函数和对数函数的图象和性质，作函数f
（x）的图象如图所示，由图象可知，函数f
（x）的单调递增区间为（－1，0）和（0，＋
∞），A选项错误；h（x）的零点即函数y＝f（x）的图象和直线y＝k交点的横坐标，由图象可知，当h（x）有3个零点时，k∈（－4，－3]，B选项正确；解方程可知，当k＝－2时，h（x）有两个零点－1－ 和1，所有零点之和为－ ，C选项错误；当k∈（－∞，－4）时，函数y＝f（x）的图象和直线y＝k有1个交点，即h（x）有1个零点，D选项正确.
03
PART
课时跟踪检测
（时间：60分钟，满分：96分）
[备注：单选、填空题5分，多选题6分]
1. 函数y＝（x－2）（2x＋1）的零点是（　　）
A. 2 B. （2，0）
C. －2 D. 2或－1
1
2
3
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5
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13
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15
√
解析： 　由题意令y＝（x－2）（2x＋1）＝0，因为2x＋1＞1＞0，所以
x－2＝0，即x＝2.故选A.
2. （2026·河北辛集中学考试）函数f（x）＝ln（x＋1）－ （x＞0）的
零点所在的区间是（　　）
A. （0，1） B. （3，4）
C. （2，3） D. （1，2）
√
解析： 　由题意，f（1）＝ln（1＋1）－ ＝ln 2－2＜0，f（2）＝ln（2
＋1）－1＝ln 3－1＞0，所以由函数零点存在定理可知，f（x）在区间
（1，2）上有零点，且f（x）＝ln（x＋1）－ 在区间（0，＋∞）上单
调递增，所以f（x）的零点所在的区间为（1，2）.故选D.
1
2
3
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15
3. （2026·重庆检测）已知函数f（x）＝x－e－x的部分函数值如表所示，
那么函数f（x）的零点的一个近似值（精确度为0.1）为（　　）
x 1 0.5 0.75 0.625 0.562 5
f（x） 0.632 1 －0.106 5 0.277 6 0.089 7 －0.007
A. 0.55 B. 0.57
C. 0.65 D. 0.7
√
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3
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5
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15
解析： 　易知f（x）在[0，1]上单调递增，由表格得f（0.562 5）f
（0.625）＜0，且｜0.625－0.562 5｜＝0.062 5＜0.1，∴函数零点在
（0.562 5，0.625）内，∴根据选项可知，函数f（x）的零点的一个近似
值为0.57.
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4. “a≤0”是“函数f（x）＝ 有且只有一个零点”的
（　　）
A. 充分不必要条件
B. 必要不充分条件
C. 充要条件
D. 既不充分也不必要条件
√
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15
解析： 　当x＞0时，令f（x）＝0，则ln x＝0，∴x＝1，∴当x＞0时，
f（x）有一个零点为1，∵函数f（x）只有一个零点，∴当x≤0时，f
（x）＝－2x＋a无零点，即a＞2x或a＜2x，∵当x≤0时，2x∈（0，
1]，∴a＞1或a≤0，∴“a≤0”是“函数f（x）＝ 有
且只有一个零点”的充分不必要条件.故选A.
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5. （2026·江苏连云港联考）设函数f（x）＝log3 －a在区间（1，2）
内有零点，则实数a的取值范围是（　　）
A. （－1，－log32） B. （0，log32）
C. （log32，1） D. （1，log34）
√
解析： 令f（x）＝0得a＝log3 ，令h（x）＝log3 ＝log3（1＋
），由复合函数单调性可知，当x∈（1，2）时，h（x）单调递减，h
（2）＝log32，h（1）＝log33＝1，故h（x）∈（log32，1），要使f
（x）＝log3 －a在区间（1，2）内有零点，即a∈（log32，1）.故
选C.
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6. 〔多选〕（2026·广东湛江调研）已知函数f（x）＝｜2x－1｜－a，g
（x）＝x2－4｜x｜＋2－a，则（　　）
A. 当g（x）有2个零点时，f（x）只有1个零点
B. 当g（x）有3个零点时，f（x）只有1个零点
C. 当f（x）有2个零点时，g（x）有2个零点
D. 当f（x）有2个零点时，g（x）有4个零点
√
√
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解析： 　作出y＝｜2x－1｜，y＝x2－4｜x｜＋2的
大致图象，如图所示.由图可知，当g（x）有2个零点
时，f（x）无零点或只有1个零点；当g（x）有3个零
点时，f（x）只有1个零点；当f（x）有2个零点时，g（x）有4个零点.
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7. 用二分法求方程 － ＋1＝0在区间（2，3）内的根的近似值，至少经
过 次二分后精确度达到0.1.
解析：∵区间（2，3）的长度等于1，每经过一次二分，区间长度变为原
来的一半，∴经过n次二分后，区间长度变为 ，故有 ＜0.1，解得
n≥4，∴至少经过4次二分后精确度达到0.1.
4　
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8. 若x1是方程xex＝1的解，x2是方程xln x＝1的解，则x1x2＝ .
解析：x1，x2分别是函数y＝ex，y＝ln x与函数y＝ 的图象的交点A，B
的横坐标，所以A（x1， ），B（x2， ）两点关于y＝x对称，则x1＝
，因此x1x2＝1.
1　
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9. （13分）函数f（x）＝x2＋bx＋c的两个零点为2，3.
（1）求b，c的值；
解： 由题意知2，3为方程x2＋bx＋c＝0的两根，∴
∴
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（2）若函数g（x）＝f（x）＋mx的两个零点分别在区间（1，2），
（2，4）内，求m的取值范围.
解： 由（1）知f（x）＝x2－5x＋6.
∴g（x）＝x2＋（m－5）x＋6，
依题意得 解得－ ＜m＜0，
故实数m的取值范围是 .
1
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10. 设f（x）＝ex＋ln x，满足f（a）f（b）f（c）＜0（0＜a＜b＜
c）.设函数f（x）的零点为x0，则（　　）
A. x0＜a B. x0＞a
C. x0＜c D. x0＞c
√
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2
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解析： 　因为f（x）＝ex＋ln x在（0，＋∞）上单调递增，且0＜a＜b
＜c，所以f（a）＜f（b）＜f（c）.因为f（a）f（b）f（c）＜0，
所以f（a）＜0，f（b）＞0，f（c）＞0或f（a）＜0，f（b）＜0，f
（c）＜0.若f（a）＜0，f（b）＞0，f（c）＞0，由函数零点存在定理
可知x0∈（a，b）；若f（a）＜0，f（b）＜0，f（c）＜0，由函数零
点存在定理可知x0∈（c，＋∞）.综上所述，x0＞a，故选B.
1
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11. 定义在R上的奇函数f（x）满足f（x＋1）＝f（x），则f（x）在[－
3，3]上的零点个数至少为（　　）
A. 6 B. 7
C. 12 D. 13
√
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3
4
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解析： 　因为f（x）是定义在R上的奇函数，所以f（0）＝0，又由f
（x＋1）＝f（x）得f（x）的周期为1，所以f（－3）＝f（－2）＝f
（－1）＝f（0）＝f（1）＝f（2）＝f（3）＝0.又f（ ）＝f（－ ），
f（ ）＝－f（－ ），因此f（ ）＝f（－ ）＝0，则f（－ ）＝f（－
）＝f（－ ）＝f（ ）＝f（ ）＝f（ ）＝0，故f（x）在[－3，3]上
至少有13个零点.故选D.
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12. 〔多选〕（2025·湖南怀化一模）已知函数y＝x＋ex的零点为x1，y＝
x＋ln x的零点为x2，则（　　）
A. x1＋x2＞0 B. x1x2＜0
C. ＋ln x2＝0 D. x1x2－x1＋x2＞1
√
√
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解析： 　依题意，x1＋ ＝0 ＝－x1，x2＋ln x2＝
0 ln x2＝－x2，则x1，x2分别是直线y＝－x与函数y＝
ex，y＝ln x的图象交点的横坐标，而函数y＝ex与y＝
ln x互为反函数，它们的图象关于直线y＝x对称，又直
线y＝－x垂直于直线y＝x，则点（x1， ）与点（x2，ln x2）关于
直线y＝x对称，则x2＝ ＝－x1＞0，于是x1＋x2＝0，x1x2＜0， ＋ln
x2＝0，B、C正确，A错误；易知－1＜x1＜0，0＜x2＜1，则x1x2－x1＋x2
－1＝（x1＋1）（x2－1）＜0，即x1x2－x1＋x2＜1，D错误.故选B、C.
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13. （2026·浙江杭州质检）若函数f（x）＝e－x－ln（x＋a）在（0，＋
∞）上存在零点，则实数a的取值范围为 .
解析：由题意，函数y＝e－x与g（x）＝ln（x＋a）的
图象在（0，＋∞）上有交点，当a＞0时，g（x）＝
ln（x＋a）的图象是由函数y＝ln x的图象向左平移a
个单位长度得到的，根据图象可得只需要g（0）＝ln a＜1，即0＜a＜e；当a≤0时，g（x）＝ln（x＋a）的图象是由函数y＝ln x的图象向右平移｜a｜个单位长度得到的，此时在（0，＋∞）上恒有交点，满足条件，综上可得：a＜e，即实数a的取值范围是（－∞，e）.
（－∞，e）　
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14. （15分）（2025·甘肃天水模拟）已知函数f（x）＝log2（2＋x）－
log2（2－x）.
（1）判断f（x）的奇偶性；
解： f（x）为奇函数，理由如下：
由题意得 解得－2＜x＜2，即函数f（x）的定义域为（－2，
2），故定义域关于原点对称.
又f（－x）＝log2（2－x）－log2（2＋x）＝－f（x），
故f（x）为奇函数.
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（2）若关于x的方程f（x）＝log2（a＋x）有两个不同的实数根，求实
数a的取值范围.
解： 由f（x）＝log2（a＋x），
得log2（2＋x）－log2（2－x）＝log2（a＋x），
所以 ＝a＋x，所以a＝ －x＝ －x
＝ ＋（2－x）－3，
故方程f（x）＝log2（a＋x）有两个不同的实数根可转化为方程a＝ ＋（2－x）－3在区间（－2，2）上有两个不同的实数根，
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即函数y＝a与y＝ ＋（2－x）－3在区间（－2，
2）上的图象有两个交点.
令t＝2－x，x∈（－2，2），则y＝ ＋t－3，t∈
（0，4）.
作出函数y＝ ＋t－3，t∈（0，4）的图象，如图所示.
由图可得当1＜a＜2时，函数y＝a与y＝ ＋t－3，t∈（0，4）的图象有
两个交点，即关于x的方程f（x）＝log2（a＋x）有两个不同的实数根，
故实数a的取值范围是（1，2）.
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15. 〔创新设问〕〔多选〕已知函数f（x）＝ 若在区间（1，＋∞）内存在n（n≥2）
个不同的数x1，x2，…，xn，使得 ＝ ＝…＝ ，则n
的取值是（　　）
A. 2 B. 3
C. 4 D. 5
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解析： 　 的几何意义为点（xn，f（xn））
与原点连线的斜率， ＝ ＝…＝
的几何意义为这n个点与原点连线的斜率相等，作出f
（x）＝ 的大致图象，如图所示，在区间（1，＋∞）上与y＝kx的交点个数为0或1或2或3，又n≥2，故选A、B.
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