资源简介

微专题　嵌套函数的零点问题
　　嵌套函数的零点问题是高考命题的热点，常与函数的性质等相关问题交汇.对于嵌套函数的零点，通常先“换元解套”，设中间函数为t，通过换元将嵌套函数拆解为两个相对简单的函数，再借助函数图象、性质求解.
嵌套函数零点个数的判定
（2026·陕西西安模拟）已知f（x）＝则函数y＝2[f（x）]2－3f（x）＋1的零点个数是（　　）
A.3 B.5
C.7 D.8
听课记录
判断嵌套函数零点个数的主要步骤 （1）换元解套，转化为t＝g（x）与y＝f（t）的零点； （2）依次解方程，令f（t）＝0，求t，代入t＝g（x）求出x的值或判断图象交点个数. 提醒：抓住两点：（1）转化换元；（2）充分利用函数的图象与性质.
根据嵌套函数零点情况求参数
函数f（x）＝若函数g（x）＝f[f（x）]－a有三个不同的零点，试求实数a的取值范围.
　　求解本题的关键是抓住分段函数图象的性质，由y＝a与y＝f（t）的图象，确定t1，t2的取值范围，进而由t＝f（x）的图象确定零点的个数.处理含参数的嵌套函数，还应注意让参数的取值“动起来”，抓临界位置，动静结合.
1.已知函数f（x）＝则函数g（x）＝f（f（x））－2的零点个数为（　　）
A.3　　　　B.4 C.2　　　　D.1
2.设函数f（x）＝则满足f（f（a））＝2f（a）的a的取值范围是（　　）
A. B.[0，1]
C. D.[1，＋∞）
3.（2026·浙江稽阳模拟）已知函数f（x）＝若函数g（x）＝[f（x）]2＋2f（x）＋m（m∈R）有三个零点，则m的取值范围为　　　　.
4.（2026·黑龙江哈尔滨模拟）已知函数f（x）＝若方程f（f（x））－2＝0恰有三个实数根，则实数k的取值范围为　　　　.
微专题　嵌套函数的零点问题
【例1】　B　函数y＝2[f（x）]2－3f（x）＋1＝[2f（x）－1][f（x）－1]的零点，即方程f（x）＝和f（x）＝1的根，函数f（x）＝的图象如图所示，由图可得方程f（x）＝和f（x）＝1共有5个根，即函数y＝2[f（x）]2－3f（x）＋1有5个零点，故选B.
【例2】　解：设t＝f（x），令g（x）＝f[f（x）]－a＝0，则a＝f（t）.
在同一平面直角坐标系内作y＝a，y＝f（t）的图象（如图）.　
易知当a＜－1时只有一个零点；
当a≥－1时，y＝a与y＝f（t）的图象有两个交点，设交点的横坐标为t1，t2（不妨设t2＞t1），
则t1＜－1，t2≥－1.
当t1＜－1时，t1＝f（x）有一解；
当t2≥－1时，t2＝f（x）有两解.
综上，当a≥－1时，函数g（x）＝f[f（x）]－a有三个不同的零点.
故实数a的取值范围为[－1，＋∞）.
强化训练
1.A　设μ＝f（x），令g（x）＝0，则f（μ）－2＝0，当μ＞1时，则f（μ）＝ln（μ－1），所以ln（μ－1）－2＝0，μ＝e2＋1，当μ≤1时，f（μ）＝－μ＋1，所以－μ＋1－2＝0，则μ＝－1，作出函数μ＝f（x）的图象如图所示，直线μ＝－1与函数μ＝f（x）的图象只有1个交点，直线μ＝e2＋1与函数μ＝f（x）的图象有2个交点，因此函数g（x）有3个零点.故选A.
2.C　由题意知，当x＜1时，f（x）＝3x－1单调递增，当x≥1时，f（x）＝2x也单调递增，且21＝3×1－1，因此f（x）在（－∞，＋∞）内是增函数.令f（a）＝t，则有f（t）＝2t.因为函数f（x）为增函数，所以有t＝f（a）≥1.当a＜1时，由f（a）＝3a－1≥1，解得≤a＜1；当a≥1时，有f（a）＝2a≥2＞1恒成立.综上所述，a≥.
3.（－∞，－24]
解析：画出f（x）的函数图象如图，令t＝f（x），则由图可知要使g（x）有三个零点，则关于t的方程t2＋2t＋m＝0有两个根，且一个根小于4，一个根大于等于4，所以解得m≤－24.
4.（ －1，－］　解析：因为f（f（x））－2＝0，所以f（f（x））＝2，所以f（x）＝－1或f（x）＝－（k≠0）.①当k＝0时，作出函数f（x）的图象如图1所示，由图象可知f（x）＝－1无解，所以k＝0不符合题意；②当k＞0时，作出函数f（x）的图象如图2所示，由图象可知f（x）＝－1无解且f（x）＝－无解，即f（f（x））－2＝0无解，不符合题意；③当k＜0时，作出函数f（x）的图象如图3所示，由图象可知f（x）＝－1有1个实根，因为f（f（x））－2＝0有3个实根，所以f（x）＝－有2个实根，所以1＜－≤3，解得－1＜k≤－.综上，k的取值范围是（ －1，－］.
1 / 1(共16张PPT)
微专题　嵌套函数的零点问题
　　嵌套函数的零点问题是高考命题的热点，常与函数的性质等相关
问题交汇.对于嵌套函数的零点，通常先“换元解套”，设中间函数为
t，通过换元将嵌套函数拆解为两个相对简单的函数，再借助函数图
象、性质求解.
嵌套函数零点个数的判定
（2026·陕西西安模拟）已知f（x）＝ 则函数y＝
2[f（x）]2－3f（x）＋1的零点个数是（　　）
A. 3 B. 5
C. 7 D. 8
√
解析： 函数y＝2[f（x）]2－3f（x）＋
1＝[2f（x）－1][f（x）－1]的零点，即
方程f（x）＝ 和f（x）＝1的根，函数f
（x）＝ 的图象如图所示，由图可得方程f（x）＝ 和f（x）＝1共有5个根，即函数y＝2[f（x）]2－3f（x）＋1有5个零点，故选B.
判断嵌套函数零点个数的主要步骤
（1）换元解套，转化为t＝g（x）与y＝f（t）的零点；
（2）依次解方程，令f（t）＝0，求t，代入t＝g（x）求出x的值或判断
图象交点个数.
提醒：抓住两点：（1）转化换元；（2）充分利用函数的图象与性质.
根据嵌套函数零点情况求参数
函数f（x）＝ 若函数g（x）＝f[f（x）]－
a有三个不同的零点，试求实数a的取值范围.
解：设t＝f（x），令g（x）＝f[f（x）]－a＝0，
则a＝f（t）.
在同一平面直角坐标系内作y＝a，y＝f（t）的图象
（如图）.
易知当a＜－1时只有一个零点；
当a≥－1时，y＝a与y＝f（t）的图象有两个交点，
设交点的横坐标为t1，t2（不妨设t2＞t1），
则t1＜－1，t2≥－1.
当t1＜－1时，t1＝f（x）有一解；
当t2≥－1时，t2＝f（x）有两解.
综上，当a≥－1时，函数g（x）＝f[f（x）]－a有
三个不同的零点.
故实数a的取值范围为[－1，＋∞）.
　　求解本题的关键是抓住分段函数图象的性质，由y＝a与y＝f（t）的
图象，确定t1，t2的取值范围，进而由t＝f（x）的图象确定零点的个数.
处理含参数的嵌套函数，还应注意让参数的取值“动起来”，抓临界位
置，动静结合.
1. 已知函数f（x）＝ 则函数g（x）＝f（f（x））
－2的零点个数为（　　）
A. 3 B. 4
C. 2 D. 1
√
解析： 　设μ＝f（x），令g（x）＝0，则f（μ）－2
＝0，当μ＞1时，则f（μ）＝ln（μ－1），所以ln（μ
－1）－2＝0，μ＝e2＋1，当μ≤1时，f（μ）＝－μ＋
1，所以－μ＋1－2＝0，则μ＝－1，作出函数μ＝f（x）的图象如图所示，直线μ＝－1与函数μ＝f（x）的图象只有1个交点，直线μ＝e2＋1与函数μ＝f（x）的图象有2个交点，因此函数g（x）有3个零点.故选A.
2. 设函数f（x）＝ 则满足f（f（a））＝2f（a）的a的
取值范围是（　　）
A. B. [0，1]
C. D. [1，＋∞）
√
解析： 　由题意知，当x＜1时，f（x）＝3x－1单调递增，当x≥1时，
f（x）＝2x也单调递增，且21＝3×1－1，因此f（x）在（－∞，＋∞）
内是增函数.令f（a）＝t，则有f（t）＝2t.因为函数f（x）为增函数，
所以有t＝f（a）≥1.当a＜1时，由f（a）＝3a－1≥1，解得 ≤a＜
1；当a≥1时，有f（a）＝2a≥2＞1恒成立.综上所述，a≥ .
3. （2026·浙江稽阳模拟）已知函数f（x）＝ 若函
数g（x）＝[f（x）]2＋2f（x）＋m（m∈R）有三个零点，则m的取值
范围为 .
（－∞，－24]　
解析：画出f（x）的函数图象如图，令t＝f（x），则由图可知要使g
（x）有三个零点，则关于t的方程t2＋2t＋m＝0有两个根，且一个根小
于4，一个根大于等于4，所以 解得m≤－24.
4. （2026·黑龙江哈尔滨模拟）已知函数f（x）＝ 若方
程f（f（x））－2＝0恰有三个实数根，则实数k的取值范围为
.
（－1，
－ ］　
解析：因为f（f（x））－2＝
0，所以f（f（x））＝2，所以
f（x）＝－1或f（x）＝－
（k≠0）.①当k＝0时，作出函
数f（x）的图象如图1所示，由图象可知f（x）＝－1无解，所以k＝0不符合题意；②当k＞0时，作出函数f（x）的图象如图2所示，由图象可知f（x）＝－1无解且f（x）＝－ 无解，即f（f（x））－2＝0无解，不符合题意；③当k＜0时，作出函数f（x）的图象如图3所示，由图象可知f（x）＝－1有1个实根，因为f（f（x））－2＝0有3个实根，所以f（x）＝－ 有2个实根，所以1＜－ ≤3，解得－1＜k≤－ .综上，k的取值范围是（－1，－ ］.
THANKS
演示完毕 感谢观看

展开更多......

收起↑