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微专题　指、对、幂的大小比较
　　指数、对数及幂的大小比较是高考的热点题型，主要考查指数、对数的互化、运算性质以及指数函数、对数函数、幂函数的图象与性质.比较大小时，既有常规方法，也有一些灵活巧妙的方法，一般以选择题或填空题的形式出现.
特殊值法比较大小
已知a＞b＞1，0＜c＜，则下列结论正确的是（　　）
A.ac＜bc B.abc＜bac
C.alogbc＜blogac D.logac＜logbc
听课记录
　　特殊值法是“小题小做”的重要策略，这种方法既能提高做题速度和效率，又能提高准确性.
中间值法比较大小
（1）若a＝（ ，b＝（ ，c＝log3，则a，b，c的大小顺序是（　　）
A.b＜a＜c B.c＜a＜b
C.b＜c＜a D.c＜b＜a
（2）（2025·广西高三开学考试）已知a＝sin，b＝20.1，c＝log2，则（　　）
A.b＞c＞a B.b＞a＞c
C.a＞c＞b D.a＞b＞c
听课记录
　　在指数、对数中通常可优先选择“－1，0，，1”对所比较的数进行划分，然后再进行比较，有时可以简化比较的步骤，也有一些题目需要选择特殊的常数对所比较的数的值进行估计.
单调性法比较大小
（1）已知a＝0.30.6，b＝0.30.5，c＝0.40.5，则a，b，c的大小关系为（　　）
A.a＜b＜c B.c＜a＜b
C.b＜c＜a D.c＜b＜a
（2）设a＝log0.42，b＝log0.32，c＝0.30.4，则（　　）
A.a＜c＜b B.b＜a＜c
C.c＜b＜a D.a＜b＜c
听课记录
单调性法比较大小的应用技巧 （1）底数相同，指数不同，如和，利用指数函数y＝ax的单调性比较大小； （2）指数相同，底数不同，如和，利用幂函数y＝xa的单调性比较大小； （3）底数相同，真数不同，如logax1和logax2，利用对数函数y＝logax的单调性比较大小.
构造函数法比较大小
〔多选〕若4m－4n＜5－m－5－n，则下列关系正确的是（　　）
A.m＜n B.n－3＞m－3
C.＜ D.3－n＜3－m
听课记录
构造函数法比较大小的常见构造方法 （1）同形构造：根据结构构造统一函数，通过导数判断单调性，再根据单调性来比较大小； （2）不同形构造：可以两两做差构造新函数，再通过导数判断单调性，根据单调性来比较大小.
放缩法比较大小
若a＝0.8－0.4，b＝log53，c＝log85，则（　　）
A.a＜b＜c B.b＜c＜a
C.c＜b＜a D.a＜c＜b
听课记录
放缩法比较大小常见的放缩技巧 （1）利用平方法等寻找接近已知数的数进行放缩； （2）利用基本不等式进行放缩.
图象法比较大小
〔多选〕〔人A必修一P118练习2（1）改编〕若M＝2t，N＝3t，则M，N的大小关系可能为（　　）
A.M＝N B.M＜N
C.M＞N D.无法确定
听课记录
变式1 〔苏教必修一P145例3改编〕若M＝2t，N＝3t－1，当N＞M时t的取值范围为　　　　.
变式2 〔多选〕若M＝2t，N＝3t－3，P＝5t－5，则M，N，P的大小关系可能为（　　）
A.M＞N＞P B.M＞P＞N
C.N＞M＞P D.N＞P＞M
变式3 〔链接高考〕〔一题多解〕（2025·全国Ⅰ卷8题）已知2＋log2x＝3＋log3y＝5＋log5z，则x，y，z的大小关系不可能为（　　）
A.x＞y＞z B.x＞z＞y
C.y＞x＞z D.y＞z＞x
1.已知a＝2x，b＝ln x，c＝x3，若x∈（0，1），则a，b，c的大小关系是（　　）
A.a＞b＞c B.a＞c＞b
C.c＞b＞a D.c＞a＞b
2.记a＝30.2，b＝0.3－0.2，c＝log0.20.3，则（　　）
A.a＞b＞c B.b＞c＞a
C.c＞b＞a D.b＞a＞c
3.〔一题多解〕已知a＝3log83，b＝－lo16，c＝log45，则a，b，c的大小关系为（　　）
A.a＞b＞c B.c＞a＞b
C.a＞c＞b D.c＞b＞a
4.已知a，b，c均为正实数，满足a＋5a＝5，b＋log2b＝5，c＋c3＝5，则（　　）
A.a＞b＞c B.a＞c＞b
C.b＞a＞c D.b＞c＞a
5.若a＝log43，b＝log54，c＝2－0.03，则a，b，c的大小关系为（　　 ）
A.c＜b＜a B.a＜c＜b
C.b＜a＜c D.a＜b＜c
6.〔多选〕若实数a，b，c满足loga2＜logb2＜logc2，则下列关系中可能成立的是（　　）
A.a＜b＜c B.b＜a＜c
C.c＜b＜a D.a＜c＜b
微专题　指、对、幂的大小比较
【例1】　C　取特殊值，令a＝4，b＝2，c＝，则ac＝＝，bc＝，∴ac＞bc，故A错误；abc＝4×＝，bac＝2×＝，∴abc＞bac，故B错误；logac＝log4＝－1，logbc＝log2＝－2，alogbc＝－8，blogac＝－2，∴alogbc＜blogac，logac＞logbc，故C正确，D错误.
【例2】　（1）D　（2）A　解析：（1）a＝（ ＝（ ＞b＝（ ＞1＝log3＞c＝log3，所以c＜b＜a，故选D.
（2）a＝sin＝，因为20＜20.1＜21，所以1＜b＜2，因为log2＜log2＜log22，所以＜c＜1，所以b＞c＞a，故选A.
【例3】　（1）A　（2）D　解析：（1）根据函数y＝0.3x在R上单调递减可知a＝0.30.6＜b＝0.30.5，根据函数y＝x0.5在[0，＋∞）上单调递增可知b＝0.30.5＜c＝0.40.5，故a＜b＜c，故选A.
（2）a＝log0.42＝，b＝log0.32＝，由y＝log2x在（0，＋∞）上单调递增，得log20.3＜log20.4＜0，所以＜＜0，所以a＜b＜0，由c＝0.30.4＞0，得a＜b＜c.
【例4】　ACD　由4m－4n＜5－m－5－n得4m－5－m＜4n－5－n，令f（x）＝4x－5－x，则f（m）＜f（n）.因为函数y＝4x，y＝－5－x在R上都是增函数，所以f（x）在R上是增函数，所以m＜n，故A正确.当m＝1，n＝2时，＝n－3＜m－3＝1，故B错误.因为函数y＝在R上单调递增，所以由m＜n得＜，故C正确.因为函数y＝3－x在R上单调递减，所以由m＜n得3－n＜3－m，故D正确.故选A、C、D.
【例5】　B　由题意知0＜b＜1，0＜c＜1，由＝＝＜＝＜1，得b＜c，又∵c＜1＜a＝0.8－0.4，∴b＜c＜a.
【例6】　ABC　在同一坐标系中画出函数y＝2t，y＝3t的大致图象如图所示，由图象可知，当t＝0时，M＝N＝1，当t＜0时函数y＝2t的图象在y＝3t图象的上方，故M＞N，同理易得当t＞0时，M＜N.故选A、B、C.
变式1　（ ，＋∞）
解析：函数y＝3t的图象向右平移1个单位长度得到函数y＝3t－1的图象，在同一坐标系中画出函数y＝2t，y＝3t－1的大致图象，显然两函数图象的交点与例6相比同样向右平移，由N＞M，得t的取值在交点右侧.令2t＝3t－1，得tln 2＝（t－1）ln 3，得t＝.即t的取值范围为（ ，＋∞）.
变式2　ACD　在同一坐标系中画出函数y＝2t，y＝3t－3，y＝5t－5的大致图象如图所示，由图易知M，N，P的关系不可能为M＞P＞N.故选A、C、D.
变式3　B　法一　令2＋log2x＝3＋log3y＝5＋log5z＝0，得x＝，y＝，z＝，此时x＞y＞z；令2＋log2x＝3＋log3y＝5＋log5z＝5，得x＝8，y＝9，z＝1，此时y＞x＞z；令2＋log2x＝3＋log3y＝5＋log5z＝8，得x＝26＝64，y＝35＝243，z＝53＝125，此时y＞z＞x.故选B.
法二　设2＋log2x＝3＋log3y＝5＋log5z＝t，则x＝2t－2＝f（t），y＝3t－3＝g（t），z＝5t－5＝h（t），在同一平面直角坐标系中画出函数f（t），g（t），h（t）的大致图象，由图可知x，y，z的关系不可能为x＞z＞y，故选B.
强化训练
1.B　2.D　
3.A　a＝3log83＝log827＝lo33＝log23，b＝－lo16＝log316＝log34.
法一（比差法）　log23－log34＝，∵ln 2ln 4＜＝（ln ）2＜（ln 3）2，∴log23－log34＞0.log34－log45＝，∵ln 3ln 5＜＝（ln ）2＜（ln 4）2，∴log34－log45＞0.综上有：log23＞log34＞log45，即a＞b＞c.
法二（比商法）　＝＝＝＞1，＝＝＝＞1，综上有：log23＞log34＞log45，即a＞b＞c.
4.D　函数f（x）＝x＋5x在（0，＋∞）上单调递增，且f（0）＝1，f（1）＝6，可得0＜a＜1；函数g（x）＝x＋log2x在（0，＋∞）上单调递增，且g（3）＝3＋log23＜5，g（4）＝4＋log24＝6，可得3＜b＜4；函数h（x）＝x＋x3在（0，＋∞）上单调递增，且h（1）＝2，h（2）＝2＋23＝10，可得1＜c＜2，所以b＞c＞a.
5.D　∵＝＝log43×log45＜（ ）2＝（ ）2＜1，a＝log43＞0，b＝log54＞0，∴a＜b，∵410＜59，∴4＜，∴b＝log54＜＝0.9，∵c＝2－0.03＞＝＞＝＞＝＞0.9，∴b＜c，∴a＜b＜c，故选D.
6.BCD　由loga2＜logb2＜logc2，可知a，b，c有如下四种可能：①1＜c＜b＜a；②0＜a＜1＜c＜b；③0＜b＜a＜1＜c；④0＜c＜b＜a＜1.作出函数的图象（如图所示）.
由图象可知B、C、D可能成立.
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微专题　指、对、幂的大小比较
　　指数、对数及幂的大小比较是高考的热点题型，主要考查指数、对数
的互化、运算性质以及指数函数、对数函数、幂函数的图象与性质.比较
大小时，既有常规方法，也有一些灵活巧妙的方法，一般以选择题或填空
题的形式出现.
特殊值法比较大小
已知a＞b＞1，0＜c＜ ，则下列结论正确的是（　　）
A. ac＜bc B. abc＜bac
C. alogbc＜blogac D. logac＜logbc
√
解析： 　取特殊值，令a＝4，b＝2，c＝ ，则ac＝ ＝ ，bc＝ ，
∴ac＞bc，故A错误；abc＝4× ＝ ，bac＝2× ＝ ，∴abc＞
bac，故B错误；logac＝log4 ＝－1，logbc＝log2 ＝－2，alogbc＝－8，
blogac＝－2，∴alogbc＜blogac，logac＞logbc，故C正确，D错误.
　　特殊值法是“小题小做”的重要策略，这种方法既能提高做题速度和
效率，又能提高准确性.
中间值法比较大小
（1）若a＝（ ，b＝（ ，c＝log3 ，则a，b，c的大小
顺序是（　D　）
A. b＜a＜c B. c＜a＜b
C. b＜c＜a D. c＜b＜a
D
解析： a＝（ ＝（ ＞b＝（ ＞1＝log3 ＞c＝
log3 ，所以c＜b＜a，故选D.
（2）（2025·广西高三开学考试）已知a＝ sin ，b＝20.1，c＝log2 ，
则（　A　）
A. b＞c＞a B. b＞a＞c
C. a＞c＞b D. a＞b＞c
A
解析： a＝ sin ＝ ，因为20＜20.1＜21，所以1＜b＜2，因为log2
＜log2 ＜log22，所以 ＜c＜1，所以b＞c＞a，故选A.
　　在指数、对数中通常可优先选择“－1，0， ，1”对所比较的数进行
划分，然后再进行比较，有时可以简化比较的步骤，也有一些题目需要选
择特殊的常数对所比较的数的值进行估计.
单调性法比较大小
（1）已知a＝0.30.6，b＝0.30.5，c＝0.40.5，则a，b，c的大小关
系为（　A　）
A. a＜b＜c B. c＜a＜b
C. b＜c＜a D. c＜b＜a
A
解析： 根据函数y＝0.3x在R上单调递减可知a＝0.30.6＜b＝0.30.5，根
据函数y＝x0.5在[0，＋∞）上单调递增可知b＝0.30.5＜c＝0.40.5，故a
＜b＜c，故选A.
（2）设a＝log0.42，b＝log0.32，c＝0.30.4，则（　D　）
A. a＜c＜b B. b＜a＜c
C. c＜b＜a D. a＜b＜c
解析： a＝log0.42＝ ，b＝log0.32＝ ，由y＝log2x在（0，＋
∞）上单调递增，得log20.3＜log20.4＜0，所以 ＜ ＜0，所以
a＜b＜0，由c＝0.30.4＞0，得a＜b＜c.
D
单调性法比较大小的应用技巧
（1）底数相同，指数不同，如 和 ，利用指数函数y＝ax的单调性比
较大小；
（2）指数相同，底数不同，如 和 ，利用幂函数y＝xa的单调性比较
大小；
（3）底数相同，真数不同，如logax1和logax2，利用对数函数y＝logax的
单调性比较大小.
构造函数法比较大小
〔多选〕若4m－4n＜5－m－5－n，则下列关系正确的是（　　）
A. m＜n B. n－3＞m－3
C. ＜ D. 3－n＜3－m
√
√
√
解析： 　由4m－4n＜5－m－5－n得4m－5－m＜4n－5－n，令f（x）＝
4x－5－x，则f（m）＜f（n）.因为函数y＝4x，y＝－5－x在R上都是增
函数，所以f（x）在R上是增函数，所以m＜n，故A正确.当m＝1，n＝
2时， ＝n－3＜m－3＝1，故B错误.因为函数y＝ 在R上单调递增，所以
由m＜n得 ＜ ，故C正确.因为函数y＝3－x在R上单调递减，所以
由m＜n得3－n＜3－m，故D正确.故选A、C、D.
构造函数法比较大小的常见构造方法
（1）同形构造：根据结构构造统一函数，通过导数判断单调性，再根据
单调性来比较大小；
（2）不同形构造：可以两两做差构造新函数，再通过导数判断单调性，
根据单调性来比较大小.
放缩法比较大小
若a＝0.8－0.4，b＝log53，c＝log85，则（　　）
A. a＜b＜c B. b＜c＜a
C. c＜b＜a D. a＜c＜b
√
解析： 　由题意知0＜b＜1，0＜c＜1，由 ＝ ＝ ＜
＝ ＜1，得b＜c，又∵c＜1＜a＝0.8－0.4，∴b＜
c＜a.
放缩法比较大小常见的放缩技巧
（1）利用平方法等寻找接近已知数的数进行放缩；
（2）利用基本不等式进行放缩.
图象法比较大小
〔多选〕〔人A必修一P118练习2（1）改编〕若M＝2t，N＝3t，则
M，N的大小关系可能为（　　）
A. M＝N B. M＜N
C. M＞N D. 无法确定
√
√
√
解析： 　在同一坐标系中画出函数y＝2t，y＝3t的大
致图象如图所示，由图象可知，当t＝0时，M＝N＝1，当
t＜0时函数y＝2t的图象在y＝3t图象的上方，故M＞N，
同理易得当t＞0时，M＜N. 故选A、B、C.
变式1 〔苏教必修一P145例3改编〕若M＝2t，N＝3t－1，当N＞M时t的
取值范围为 .
解析：函数y＝3t的图象向右平移1个单位长度得到函数y
＝3t－1的图象，在同一坐标系中画出函数y＝2t，y＝3t－1
的大致图象，显然两函数图象的交点与例6相比同样向右
平移，由N＞M，得t的取值在交点右侧.令2t＝3t－1，得
tln 2＝（t－1）ln 3，得t＝ .即t的取值范围为（ ，＋∞）.
（ ，＋∞）　
变式2 〔多选〕若M＝2t，N＝3t－3，P＝5t－5，则M，N，P的大小关系
可能为（　　）
A. M＞N＞P B. M＞P＞N
C. N＞M＞P D. N＞P＞M
√
√
√
解析： 　在同一坐标系中画出函数y＝2t，y＝
3t－3，y＝5t－5的大致图象如图所示，由图易知
M，N，P的关系不可能为M＞P＞N. 故选A、
C、D.
变式3 〔链接高考〕〔一题多解〕（2025·全国Ⅰ卷8题）已知2＋log2x＝3＋
log3y＝5＋log5z，则x，y，z的大小关系不可能为（　　）
A. x＞y＞z B. x＞z＞y
C. y＞x＞z D. y＞z＞x
√
解析： 　法一　令2＋log2x＝3＋log3y＝5＋log5z＝0，
得x＝ ，y＝ ，z＝ ，此时x＞y＞z；令2＋log2x
＝3＋log3y＝5＋log5z＝5，得x＝8，y＝9，z＝1，此时
y＞x＞z；令2＋log2x＝3＋log3y＝5＋log5z＝8，得x＝
26＝64，y＝35＝243，z＝53＝125，此时y＞z＞x.故选B.
法二　设2＋log2x＝3＋log3y＝5＋log5z＝t，则x＝2t－2＝f（t），y＝3t
－3＝g（t），z＝5t－5＝h（t），在同一平面直角坐标系中画出函数f
（t），g（t），h（t）的大致图象，由图可知x，y，z的关系不可能为
x＞z＞y，故选B.
1. 已知a＝2x，b＝ln x，c＝x3，若x∈（0，1），则a，b，c的大小关
系是（　　）
A. a＞b＞c B. a＞c＞b
C. c＞b＞a D. c＞a＞b
√
解析： 　取x＝ ，则a＝ ＞1，b＝ln ＜0，0＜c＝（ ）3＜1，所以
a＞c＞b.故选B.
2. 记a＝30.2，b＝0.3－0.2，c＝log0.20.3，则（　　）
A. a＞b＞c B. b＞c＞a
C. c＞b＞a D. b＞a＞c
√
解析： 　因为b＝0.3－0.2＝（ ）0.2，幂函数y＝x0.2在（0，＋∞）上
单调递增，又 ＞3，所以（ ）0.2＞30.2＞30＝1，所以b＞a＞1，又对
数函数y＝log0.2x在（0，＋∞）上单调递减，所以c＝log0.20.3＜log0.20.2
＝1，故b＞a＞1＞c.故选D.
3. 〔一题多解〕已知a＝3log83，b＝－ lo 16，c＝log45，则a，b，c
的大小关系为（　　）
A. a＞b＞c B. c＞a＞b
C. a＞c＞b D. c＞b＞a
√
解析： a＝3log83＝log827＝lo 33＝log23，b＝－ lo 16＝ log316
＝log34.
法一（比差法）　log23－log34＝ ，∵ln 2ln 4＜
＝（ln ）2＜（ln 3）2，∴log23－log34＞0.log34－log45＝
，∵ln 3ln 5＜ ＝（ln ）2＜（ln 4）2，
∴log34－log45＞0.综上有：log23＞log34＞log45，即a＞b＞c.
法二（比商法）　 ＝ ＝ ＝ ＞1， ＝ ＝
＝ ＞1，综上有：log23＞log34＞log45，即a＞b＞c.
4. 已知a，b，c均为正实数，满足a＋5a＝5，b＋log2b＝5，c＋c3＝
5，则（　　）
A. a＞b＞c B. a＞c＞b
C. b＞a＞c D. b＞c＞a
√
解析： 　函数f（x）＝x＋5x在（0，＋∞）上单调递增，且f（0）＝
1，f（1）＝6，可得0＜a＜1；函数g（x）＝x＋log2x在（0，＋∞）上
单调递增，且g（3）＝3＋log23＜5，g（4）＝4＋log24＝6，可得3＜b＜
4；函数h（x）＝x＋x3在（0，＋∞）上单调递增，且h（1）＝2，h
（2）＝2＋23＝10，可得1＜c＜2，所以b＞c＞a.
5. 若a＝log43，b＝log54，c＝2－0.03，则a，b，c的大小关系为
（　　 ）
A. c＜b＜a B. a＜c＜b
C. b＜a＜c D. a＜b＜c
√
解析： 　∵ ＝ ＝log43×log45＜（ ）2＝（ ）2＜1，
a＝log43＞0，b＝log54＞0，∴a＜b，∵410＜59，∴4＜ ，∴b＝log54
＜ ＝0.9，∵c＝2－0.03＞ ＝ ＞ ＝ ＞
＝ ＞0.9，∴b＜c，∴a＜b＜c，故选D.
6. 〔多选〕若实数a，b，c满足loga2＜logb2＜logc2，则下列关系中可能
成立的是（　　）
A. a＜b＜c B. b＜a＜c
C. c＜b＜a D. a＜c＜b
√
√
√
解析： 　由loga2＜logb2＜logc2，可知a，b，c有如下四种可能：①
1＜c＜b＜a；②0＜a＜1＜c＜b；③0＜b＜a＜1＜c；④0＜c＜b＜a
＜1.作出函数的图象（如图所示）.
由图象可知B、C、D可能成立.
THANKS
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