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第二章 机械运动
选择性必修一 人教版
4 单摆
人类生活在运动的世界里，机械运动是最常见的运动，在机械运动中，振动也很常见。琴弦的振动带给人们优美的音乐，地震则可能给人类带来巨大的灾难。本章我们将从最简单的振动开始，学习怎样描述振动，分析振动的特点。
导入新课
摆动的钟摆、荡起的秋千，它们在平衡位置附近做往复运动，这种运动是不是简谐运动呢？
物理观念 掌握回复力的分析，理解单摆动力学特征，运用力与运动的观念、能量观念分析单摆运动的动力学特征。
科学思维 通过对单摆动力学分析，认识简谐运动的多样性和一般性。熟练掌握单摆模型。体会对称思想在单摆模型中的多样表现。
科学探究 尝试用科学探究的方法研究物理问题：能在观察和实践中发现问题、提出假设；经历测量小球振动周期的实验过程，能分析数据、发现特点、形成结论。解释并交流实践成果。
科学态度 与责任 具有学习和研究物理的好奇心与求知欲，形成探索自然的内在动力，严谨认真、实事求是和持之以恒的科学态度。
学习目标
重点难点
重点 单摆的周期公式
难点 单摆的回复力和小角度的近似处理
一、单摆的回复力
曾经有个广东人到瑞士旅游，看到摆钟很漂亮，就买了一个回家，但是回到广东之后发现摆钟计时不准了，而在瑞士买的时候是很准的。后来就打电话投诉，但经过鉴定摆钟的质量是没有问题的。那问题出现在哪里？
一、单摆的回复力
在北京天文馆的老馆正厅中，陈放着一个巨大的科普展品，他的吊线从房顶竖直而下，长约11米，悬挂的摆锤中均匀地注满了铅重约100千克，这个装置已经在这里存在了50多年，它的名字叫做傅科摆。你知道它摆动一个周期的时间吗？它摆动的周期与什么因素有关呢？
一、单摆的回复力
1.定义：细线一端固定在悬点，另一端系一个小球，如果细线的质量与小球相比可以忽略；球的直径与线的长度相比也可以忽略，这样的装置就叫做单摆。
2.特点：
(3)摆线：细而长、不可伸长
(1)悬点：固定
(2)摆球：体积小、质量大（视为质点）
(4)不计一切阻力
单摆是理想化模型。
一、单摆的回复力
①摆线质量m 远小于摆球质量 M，即m << M 。
③摆球所受空气阻力远小于摆球重力及绳的拉力，可忽略不计。
②摆球的直径 d远小于单摆的摆长Ｌ，即 d <<Ｌ。
④摆线的伸长量很小，可以忽略。
一、单摆的回复力
思考与讨论：
1.单摆摆动时，摆球的运动是简谐运动吗？
2.用什么方法探究单摆的振动是否为简谐运动？
方法一：分析单摆的回复力，看其与位移是否成正比并且方向相反；
方法二：分析单摆位移与时间的关系是否满足正弦关系。
一、单摆的回复力
方法一：从图像判断
如图，细线下悬挂一除去柱塞的注射器，其内装上墨汁。注射器摆动时，沿垂直摆动方向匀速拖动木板，观察注射器喷出的墨迹图像。
一、单摆的回复力
第一步：假定图像为正弦曲线，测量振幅与周期，写出正弦函数表达式。
得到图像后，怎么验证单摆的振动图像是否为正弦函数图像？
第二步：表达式计时开始位移为0，随后位移增加并为正；将每一个点的位移时间（测量值）数值代入表达式中，比较测量值与函数值是否相等，若可视相等，则为正弦曲线。
一、单摆的回复力
方法二：从单摆的受力特征判断
思考：单摆平衡位置在哪？哪个力提供回复力？
（1）平衡位置：最低点O
（3）回复力来源：重力沿切线方向的分力G2
切向：
法向：
（向心力）
（回复力）
Fx G2 mgsin
（2）受力分析:如图
O
O'

mg
T
一、单摆的回复力
当 很小时，
4.单摆的回复力：
mg
若考虑回复力和位移的方向，
（1）弧长≈x
F回=mgsinθ
（弧度值）

x

x
T
当 很小时
一、单摆的回复力
O
A
X
B
C
当单摆振动的角度θ很小时，可以认为弧长等于位移的大小
摆角θ 正弦值 弧度值
1° 0.01754 0.01745
2° 0.03490 0.03491
3° 0.05234 0.05236
4° 0.06976 0.06981
5° 0.08716 0.08727
6° 0.10453 0.10472
7° 0.12187 0.12217
8° 0.13917 0.13963
sinθ≈θ（弧度值）
一、单摆的回复力
O
思考：摆球运动到最低点O（平衡位置）时,回复力是否为零？合力是否为零？
平衡位置：
回复力：F回= x ，由于x=0，则回复力为零
合外力：F合=T ，由于v≠0，
则合外力不为零，提供向心力

G
T
l
V
二、单摆的周期
一条短绳系一个小球，它的振动周期较短；
悬绳较长的秋千，周期较长；单摆的周期与哪些因素有关？
猜想：振幅、质量、摆长、重力加速度
实验方法:控制变量法
二、单摆的周期
实验1：摆球质量相同，摆长L相同，观察周期T与振幅的关系？
结论：单摆的振动周期与其振幅无关(等时性)。
二、单摆的周期
实验2：摆长L相同，振幅相同，观察周期T与摆球质量的关系？
结论：单摆的振动周期与摆球质量无关。
二、单摆的周期
实验3：摆球质量相同，振幅相同，观察周期T与摆长L的关系？
结论：单摆的振动周期与其摆长有关。
二、单摆的周期
问题：刚才的实验表明了单摆的周期与摆长的定性关系，那么二者之间有什么定量关系呢？
二、单摆的周期
（3）数据记录：
全振动个数N 平均用时t 周期T 摆长L
30 41.41s 1.38s 51.002cm
30 37.53s 1.25s 40.802cm
30 33.30s 1.11s 31.102cm
30 27.61s 0.92s 21.002cm
30 19.81s 0.66s 10.902cm
（4）数据处理方案
二、单摆的周期
二、单摆的周期
T-L2图像
二、单摆的周期
图像
二、单摆的周期
荷兰物理学家惠更斯（1629-1695）通过实验进一步得到：
单摆做简谐运动的周期T与摆长L的二次方根成正比，与重力加速度g的二次方根成反比，与振幅、摆球质量无关．
实验结论：单摆振动周期T与小球质量m，振幅A无关，
与摆长L有关；摆长L越长，周期T越长。
二、单摆的周期
四、练习与应用
1.同一地点有甲、乙两个单摆,摆球质量之比∶=1∶2, 甲摆动2次时,乙恰好摆动3次,它们都在做简谐运动.可以判断这两个单摆摆长之比∶为 (　　)
A.2∶3　　　B.3∶2　　　C.4∶9　　　D.9∶4
D
四、练习与应用
解析 根据题意,由于甲摆动2次时,乙恰好摆动3次,可知甲、乙两个单摆的周期之比为3∶2,由周期公式T=2π可得摆长为l=,故两个单摆的摆长之比==,故选项D正确.
四、练习与应用
2.如图所示,一摆长为l的单摆,在悬点的正下方的P处有一钉子,P与悬点相距l-l',这个摆做小幅度摆动时的周期为( )
A.2π B.2π C.π(+) D.2π
C
四、练习与应用
解析 碰钉子前摆长为l,周期T1=2π,碰钉子后摆长变为l',则周期T2=2π,所以此摆的周期 T=+=π(+).
四、练习与应用
C
四、练习与应用
四、练习与应用
4.有一单摆,其摆长l=1.02 m,摆球的质量m=0.10 kg,已知单摆做简谐运动,单摆30次全振动所用的时间t=60.8 s.
(1)求当地的重力加速度大小.
(2)如果将这个单摆改为秒摆(周期为2 s),那么摆长应怎样改变 改变多少
四、练习与应用
解析(1)当单摆做简谐运动时,其周期公式,T=2π,
因为T=,n=30,所以g==≈9.80 m/s2.
(2)秒摆的周期是2 s,设其摆长为l0,由于在同一地点自由落体加速度是不变的,根据单摆的周期公式T=2π有=,则摆长l0==≈0.993 m,
其摆长要缩短Δl=l-l0=0.027 m.
五、提升训练
1.（多选）如图所示，A、B分别为单摆做简谐运动时摆球的不同位置。其中，位置A为摆球摆动的最高位置，虚线为过悬点的竖直线．以摆球最低位置为重力势能零点，则摆球在摆动过程中(　　)
A．位于B处时动能最大
B．位于A处时势能最大
C．在位置A的势能大于在位置B的动能
D．在位置B的机械能大于在位置A的机械能
五、提升训练
解析 摆球摆到最低点时势能为零，动能最大，而B并非摆动中的最低位置，其动能并非最大，故A错； A为摆球摆动的最高位置，其势能最大，故B对；摆球在A处的势能等于总的机械能，在B处的动能小于总机械能(其中一部分为势能)，故在位置A的势能大于在位置B的动能，故C对；摆球在摆动的过程中，只有重力做功，机械能守恒，故D错。
五、提升训练
2.一个摆长为2 m的单摆,在地球上某地摆动时,测得完成100次全振动所用的时间为284 s。(结果均保留三位有效数字)
(1)求当地的重力加速度g。
(2)若把该单摆拿到月球上去,已知月球上的重力加速度是1.60 m/s2,则该单摆振动周期是多少
五、提升训练
五、提升训练
3.图甲是一个单摆振动的情形,O是它的平衡位置,B、C是摆球所能到达的最远位置,设向右为正方向,图乙是这个单摆的振动图像,根据图像回答问题.
甲
乙
(1)单摆振动的频率是多大
(2)计时开始时摆球在何位置
(3)若当地的重力加速度为10 m/s2,则这个单摆的摆长约为多少 (计算结果保留两位小数)
五、提升训练
解析(1)由题图乙知周期T=0.8 s
则频率f==1.25 Hz.
(2)由题图乙知,计时开始时摆球在负向最大位移处,因为向右为正方向,所以计时开始时摆球在B点.
(3)由周期公式T=2π得l=≈0.16 m.
五、提升训练
4.如图所示,ACB为光滑弧形槽,弧形槽半径为R,且R .甲球从弧形槽的圆心处自由下落,乙球由A点静止释放.两球第一次到达C点的时间之比是多少
五、提升训练
解析 甲球做自由落体运动,R=g,所以=.对乙球,由于 R,所以可以认为乙球沿圆弧槽做简谐运动,此振动与一个摆长为R的单摆振动模型相同,故此等效摆长为R,所以周期T=2π,因此乙第一次到达C处的时间=T==,所以∶=.

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