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第二章简谐运动的回复力和能量分层练习题
基础练习
1．（24-25高一下·四川遂宁·期末）如图甲所示，弹簧振子以O点为平衡位置，在A、B两点之间做简谐运动，以O点为坐标原点，取向右为正方向，振子的位移x随时间t的变化如图乙所示，下列说法正确的是（　　）
A．振子的振幅为4cm
B．振子从1s至3s弹簧弹力一直做负功
C．3s至4s振子从A点向O振动，速度增大，加速度减小
D．2s至3s振子从O点向B振动，速度减小，加速度增大
2．（23-24高一下·北京·期末）劲度系数为20N/cm的弹簧振子，它的振动图像如图所示，在图中点对应的时刻，下列说法错误的是（　　）
A．振子所受的弹力大小为5N，方向指向轴的负方向
B．振子的速度方向指向轴的正方向
C．从时刻到该时刻，振子一共振动了3.75s
D．从时刻到该时刻，振子运动的路程为3.75cm
3．（24-25高一下·四川内江·期末）如图甲所示，水平的光滑杆上有一弹簧振子，振子以点为平衡位置，在两点之间做简谐运动，取向右为正方向，其振动图像如图乙所示。由振动图像可以得知（　　）
A．振子的振动周期等于
B．在时刻，振子的位置在点
C．在时刻，振子的加速度为零，速度最大
D．从到，振子从O点向b点运动，加速度为正
4．（广东省佛山市普通高中2024-2025学年高二下学期6月期末统考物理试题）如图甲所示，轻质弹簧与小球组成弹簧振子，在竖直方向上做简谐振动，其中O点为静止时小球的位置，B、C分别为最低点和最高点，取竖直向下为正方向，其振动图像如图乙所示，下列说法正确的是（　　）
A．小球在O点时弹簧处于原长状态
B．t=0.2s时，弹簧振子的加速度为正向最大
C．t=0.2s到t=0.4s内，弹簧振子做加速度减小的变加速直线运动
D．在t=0.1s与t=0.7s时，弹簧振子的速度大小相等、方向相反
5．（24-25高二下·北京延庆·期末）如图所示，在光滑杆下面铺一张可沿垂直杆方向匀速移动的白纸，一带有铅笔的弹簧振子在A、B两点间做机械振动，可以在白纸上留下痕迹。已知弹簧的劲度系数为，振子的质量为0.1kg，白纸移动速度为，弹簧弹性势能的表达式，不计一切摩擦。在一次弹簧振子实验中得到如图所示的图线，则下列说法中正确的是（　　）
A．图线为铅笔的运动轨迹
B．该弹簧振子的周期为0.25s
C．该弹簧振子的最大加速度为
D．该弹簧振子的最大速度为1.6m/s
6．（天津市滨海新区2024-2025学年高一下学期期末联考模拟（二）物理试卷）如图（甲）所示，质量不计的弹簧竖直固定在水平面上，时刻，将一金属小球从弹簧正上方某一高度处由静止释放，小球落到弹簧上压缩弹簧到最低点，然后又被弹起离开弹簧，上升到一定高度后再下落，如此反复。通过安装在弹簧下端的压力传感器，测出这一过程弹簧弹力随时间变化的图像如图（乙）（　　）
A．时刻小球动能最大
B．时刻小球动能最大
C．这段时间内，小球的动能先增大后减小
D．这段时间内，小球增加的重力势能等于弹簧减少的弹性势能
7．（24-25高二下·北京西城·期末）如图为某水平弹簧振子中的小球做简谐运动的振动图像。下列说法正确的是（　　）
A．t=1s时，弹簧振子的弹性势能最大
B．t=2s时，小球的加速度最大
C．1~2s的过程中，小球的速度与加速度方向相同
D．t=2.5s时和t=3.5s时，小球的位移相同
8．（24-25高二下·北京昌平·期末）如图1所示，小球悬挂在轻弹簧的下端，弹簧上端连接传感器。小球上下振动时，传感器记录弹力随时间变化的规律如图2所示。已知重力加速度。下列说法正确的是（　　）
A．t=0时，小球处于平衡位置
B．小球在最低点时的加速度大小为20m/s
C．0-2s内，弹力对小球做的功为0
D．0-2s内，小球受弹力的冲量大小为4
9．（24-25高一下·湖北·期末）轻弹簧上端连接在箱子顶部中点，下端固定一小球，整个装置静止在水平地面上方。现将箱子和小球由静止释放，箱子竖直下落后落地，箱子落地后瞬间速度减为零且不会反弹。此后小球做简谐运动过程中，箱子对地面的压力最小值恰好为零。整个过程小球未碰到箱底，弹簧劲度系数为，箱子和小球的质量均为，重力加速度为。忽略空气阻力，弹簧的形变始终在弹性限度内，下列说法正确的是（　　）
A．箱子落地后，小球简谐运动的加速度最大值为3g
B．箱子落地后，弹簧弹力的最大值为2mg
C．箱子落地后，小球运动的最大速度为
D．箱子与地面碰撞损失的机械能为
10．（2025·江苏南京·模拟预测）如图甲所示，某同学将手机挂在轻弹簧下端制作了一个振动装置。在某次实验中手机加速度传感器记录了手机在竖直方向的振动情况，以向上为正方向，得到手机振动过程中加速度a随时间t变化的曲线为正弦曲线，如图乙所示。下列说法正确的是（　　）
A．t=0时，弹簧弹力为0 B．t=0.2s时，手机位于平衡位置下方且速度为0
拓展练习
11．（24-25高二下·湖北黄冈·期末）钓鱼人的漂露出水面几格就叫几目。如图所示，当漂静止时露出水面3目，鱼儿咬钩至1目时迅速松开，该时刻可认为漂的速度为零，随后漂在竖直方向上做简谐运动。当漂露出水面5目时（　　）
A．漂的浮力小于重力 B．漂的速度不为零
C．漂的动能最大 D．漂的加速度为零
12．（24-25高一下·江西南昌·期末）竖直放置的轻质弹簧原长为，在其上端由静止释放一质量为的物体后开始做简谐运动，如图甲所示，弹簧被压缩到最短时其长度为。把该弹簧水平放置在水平轨道上，一端固定在O点，另一端与质量为的物块P拴接放在A位置，如图乙所示。质量为的物块Q以某速度向左运动与P发生弹性碰撞后撤除，物块P向左运动速度减为零时弹簧长度恰好为，已知P与水平轨道的动摩擦因数为，重力加速度大小为。求：
(1)该弹簧的劲度系数k;
(2)Q与P碰前的速度；
(3)此后P与O的最大距离。
13．（24-25高一下·上海·期末）弹簧振子模型简谐振动是最简单、最基本的振动，一切复杂的振动都可以看作是由若干个不同的简谐振动合成的。一端固定的理想轻质弹簧连接一个可以视作质点的物体所构成的弹簧振子模型就可以用来演示简谐振动。以下模型中弹簧均未超过弹性限度。
(1)如图，弹簧振子B在光滑水平面上做简谐振动，不考虑阻力。振子向平衡位置运动的过程中，振子的动能________，弹簧振子系统的机械能________。（均选填“变大”、“变小”或“不变”）
(2)接第（1）问，若在物体B运动到最大位移处时，无初速度地落上去一小块黏土，则此时包含黏土在内的整个弹簧振子系统的机械能E1________；若在物体B经过平衡位置时，无初速度地落上去一小块黏土，则此时包含黏土在内的整个弹簧振子系统的机械能E2________。（均选填“变大”、“变小”或“不变”）
(3)接第（2）问，两种情况下，弹簧振子的振幅分别为A1和A2，振子从左边最大位移处运动到右边最大位移处的过程中所用的最短时间分别为t1和t2，平均速度的大小分别为v1和v2，则（　　）
A．A1v2 B．A1C．A1>A2，t1>t2，v1A2，t1=t2，v1>v2
(4)如图，劲度系数为k的竖直轻弹簧下端固定在水平地面上，上端拴接一质量为m的物体B，构成的弹簧振子系统初始时处于静止状态，若把物体B缓慢向下按压到某位置处后由静止释放，物体B会上下运动，不考虑阻力，已知重力加速度大小为g，请证明物体B的运动为简谐振动。
14．（24-25高二下·天津滨海新·期中）一个水平弹簧振子的振动图像如图所示，下列说法正确的是（　　）
A．小球位移随时间变化的关系式为
B．该小球在0~5s内的位移为0，路程为25 cm
C．在1~2s内，小球的动能增加，弹簧的弹性势能减少
D．在2~3s内，小球的振幅越来越大
15．（24-25高二下·云南玉溪·期中）如图，水平弹簧振子沿x轴在M、N间做简谐运动，坐标原点O为振子的平衡位置，其振动方程为，下列说法正确的是（　　）
A．振子的运动周期是0.2s
B．时，振子位于M点
C．时，振子具有最小速度
D．从运动过程中，振子的加速度减小，振子的动能减小
真题练习
16．（2025·湖北·高考真题）质量均为m的小球a和b由劲度系数为k的轻质弹簧连接，小球a由不可伸长的细线悬挂在O点，系统处于静止状态，如图所示。将小球b竖直下拉长度l后由静止释放。重力加速度大小为g，忽略空气阻力，弹簧始终在弹性限度内。释放小球b后（　　）
A．小球a可能会运动
B．若小球b做简谐运动，则其振幅为
C．当且仅当时，小球b才能始终做简谐运动
D．当且仅当时，小球b才能始终做简谐运动
17．（2025·江苏·高考真题）如图所示，弹簧一端固定，另一端与光滑水平面上的木箱相连，箱内放置一小物块，物块与木箱之间有摩擦。压缩弹簧并由静止释放，释放后物块在木箱上有滑动，滑动过程中不与木箱前后壁发生碰撞，不计空气阻力，则（ ）
A．释放瞬间，物块加速度为零
B．物块和木箱最终仍有相对运动
C．木箱第一次到达最右端时，物块速度为零
D．物块和木箱的速度第一次相同前，物块受到的摩擦力不变
18．（2024·贵州·高考真题）如图，一玻璃瓶的瓶塞中竖直插有一根两端开口的细长玻璃管，管中一光滑小球将瓶中气体密封，且小球处于静止状态，装置的密封性、绝热性良好。对小球施加向下的力使其偏离平衡位置，在时由静止释放，小球的运动可视为简谐运动，周期为T。规定竖直向上为正方向，则小球在时刻（　　）

A．位移最大，方向为正 B．速度最大，方向为正
C．加速度最大，方向为负 D．受到的回复力大小为零
19．（2024·海南·高考真题）真空中有两个点电荷，电荷量均为 q（q ≥ 0），固定于相距为2r的P1、P2两点，O是P1P2连线的中点，M点在P1P2连线的中垂线上，距离O点为r，N点在P1P2连线上，距离O点为x（x << r），已知静电力常量为k，则下列说法正确的是（ ）
A．P1P2中垂线上电场强度最大的点到O点的距离为
B．P1P2中垂线上电场强度的最大值为
C．在M点放入一电子，从静止释放，电子的加速度一直减小
D．在N点放入一电子，从静止释放，电子的运动可视为简谐运动
20．（2024·辽宁·高考真题）如图（a），将一弹簧振子竖直悬挂，以小球的平衡位置为坐标原点O，竖直向上为正方向建立x轴。若将小球从弹簧原长处由静止释放，其在地球与某球状天体表面做简谐运动的图像如（b）所示（不考虑自转影响），设地球、该天体的平均密度分别为和，地球半径是该天体半径的n倍。的值为（　　）
A． B． C． D．
21．（2025·湖北襄阳·三模）某同学找来粗细均匀的圆柱形木棒，下端绕上铁丝，将其竖直浮在装有水的杯子中，如图所示。竖直向下按压后静止释放，木棒开始在液体中上下振动（不计液体粘滞阻力），其运动可视为简谐运动，测得其振动周期为，以竖直向上为正方向，某时刻开始计时，其振动图像如图所示。其中A为振幅。则木棒在振动过程中，下列说法正确的是（　　）
A．时，木棒的重力大于其所受的浮力
B．振动过程中木棒的机械能不守恒
C．开始计时内木棒所经过的路程是
D．木棒的位移函数表达式是
22．（2025·辽宁·模拟预测）简谐运动是最基本的机械振动，质量为m的物体在形如的回复力作用下，其位移—时间关系遵循的规律，其中称为角频率。采用不同的研究方法以及在不同的情境下分析简谐运动，可以使我们加深对相关知识的理解。如图所示，以O为原点（此时弹簧处于原长状态），以水平向右的方向为x轴的正方向建立坐标系，物体质量为m，弹簧劲度系数为k，物体初始位置为x=x0，（x0>0），试求：
(1)若地面光滑，求此弹簧振子的周期T；
(2)若地面粗糙，地面与物体间动摩擦因数为μ（），当物体向左运动时：
a.试写出物体平衡位置的坐标；
b.并以为新的坐标原点，水平向右为正方向建立坐标系，证明物体向左运动过程中所受合力符合方程
c.求物体从开始运动至停止所需的时间t。
23．（2025·重庆北碚·模拟预测）物理实验室研究物体在弹簧弹力作用下的运动规律。如图甲所示，弹簧竖直放置，下端固定在地面上，当弹簧处于自然长度时，将一盒子无初速度地放在与弹簧上端相连的薄板上，测出物体的速度与弹簧长度l的关系如图乙，图线与横轴交点坐标为已知薄板与弹簧的质量可忽略，盒子的质量为，弹簧一直处在弹性限度内，重力加速度大小为，空气阻力不计，则（　　）
A．盒子做匀变速直线运动
B．当弹簧长度为时，盒子的加速度大小等于
C．弹簧的劲度系数为
D．盒子的最大速度为
24．（2025·江苏宿迁·模拟预测）如图所示，光滑斜面体固定在地面上。先后用原长相同、劲度系数不同的轻质弹簧将小球与斜面顶端的挡板相连接，让小球从弹簧原长处自由释放。整个过程弹簧均在弹性限度内，则（　　）
A．弹簧劲度系数越大，小球运动到最低点的时间越长
B．弹簧劲度系数越大，小球运动过程中最大速度越大
C．弹簧劲度系数越小，小球运动到最低点时弹簧的弹性势能越大
D．弹簧劲度系数越小，小球运动到最低点时的重力势能越大
25．（2025·广东·模拟预测）如图（a）所示，轻质弹簧上端固定，下端连接质量为m的小球，构成竖直方向的弹簧振子。取小球平衡位置为x轴原点，竖直向下为x轴正方向，设法让小球在竖直方向振动起来后，小球在一个周期内的振动曲线如图（b）所示，若时刻弹簧弹力为0，重力加速度为g，则有（　　）
A．0时刻弹簧弹力大小为
B．弹簧劲度系数为
C．时间段，回复力冲量为0
D．时间段，小球动能与重力势能之和不变
答案解析
1．（24-25高一下·四川遂宁·期末）如图甲所示，弹簧振子以O点为平衡位置，在A、B两点之间做简谐运动，以O点为坐标原点，取向右为正方向，振子的位移x随时间t的变化如图乙所示，下列说法正确的是（　　）
A．振子的振幅为4cm
B．振子从1s至3s弹簧弹力一直做负功
C．3s至4s振子从A点向O振动，速度增大，加速度减小
D．2s至3s振子从O点向B振动，速度减小，加速度增大
【答案】D
【详解】A．由图乙可知，振子的振幅为，故A错误；
B．振子在运动过程中，只有弹簧弹力做功，由图乙可知，从1s至3s振子的位移大小先减小后增大，则振子的速度先增大后减小，即振子的动能先增大后减小，所以弹簧弹力先做正功后做负功，故B错误；
C．3s至4s振子位移为正且在减小，所以振子从B点向O振动，速度增大，加速度减小，故C错误；
D．2s至3s振子位移为正且在增大，所以振子从O点向B振动，速度减小，加速度增大，故D正确。
故选D。
2．（23-24高一下·北京·期末）劲度系数为20N/cm的弹簧振子，它的振动图像如图所示，在图中点对应的时刻，下列说法错误的是（　　）
A．振子所受的弹力大小为5N，方向指向轴的负方向
B．振子的速度方向指向轴的正方向
C．从时刻到该时刻，振子一共振动了3.75s
D．从时刻到该时刻，振子运动的路程为3.75cm
【答案】C
【详解】A．根据胡克定律可知，弹簧弹力大小为
方向与位移方向相反，即方向指向x轴的负方向，故A正确；
B．由图可知过A点作图线的切线，该切线与x轴的正方向的夹角小于90°，切线斜率为正值，即振子的速度方向指向x轴的正方向，故B正确；
C．由图可知振子的周期
振子的振幅
所以圆频率
则振子的位移—时间表达式为
在A位置振子的位移为0.25cm且在沿x轴正方向运动，结合题意可知解得，故C错误；
D．从时刻到该时刻，振子运动的路程为，故D正确。
本题选择错误的，故选C。
3．（24-25高一下·四川内江·期末）如图甲所示，水平的光滑杆上有一弹簧振子，振子以点为平衡位置，在两点之间做简谐运动，取向右为正方向，其振动图像如图乙所示。由振动图像可以得知（　　）
A．振子的振动周期等于
B．在时刻，振子的位置在点
C．在时刻，振子的加速度为零，速度最大
D．从到，振子从O点向b点运动，加速度为正
【答案】BC
【详解】A．从振动图像可以看出振子的振动周期为2t1，故A错误；
B．在t＝0时刻，振子的位移为零，所以振子应该在平衡位置O，故B正确；
C．在时刻，振子在平衡位置，位移为零，速度最大，故C正确；
D．从到，振子从O点向b点运动，位移为正，回复力为负，加速度为负，故D错误。
故选BC。
4．（广东省佛山市普通高中2024-2025学年高二下学期6月期末统考物理试题）如图甲所示，轻质弹簧与小球组成弹簧振子，在竖直方向上做简谐振动，其中O点为静止时小球的位置，B、C分别为最低点和最高点，取竖直向下为正方向，其振动图像如图乙所示，下列说法正确的是（　　）
A．小球在O点时弹簧处于原长状态
B．t=0.2s时，弹簧振子的加速度为正向最大
C．t=0.2s到t=0.4s内，弹簧振子做加速度减小的变加速直线运动
D．在t=0.1s与t=0.7s时，弹簧振子的速度大小相等、方向相反
【答案】C
【详解】A．O点为静止时小球的位置，小球在O点时弹簧处于伸长状态，故A错误；
B．t=0.2s时，弹簧振子处于下方振幅处，可知加速度为负向最大，故B错；
C．t=0.2s到t=0.4s内，弹簧振子的位移减小、速度变大、加速度减小，所以，振子做加速度减小的变加速直线运动，故C正确;
D．根据图乙可知，在t=0.1s与t=0.7s时弹簧振子的速度大小相等、方向相同，故D错误。
故选C。
5．（24-25高二下·北京延庆·期末）如图所示，在光滑杆下面铺一张可沿垂直杆方向匀速移动的白纸，一带有铅笔的弹簧振子在A、B两点间做机械振动，可以在白纸上留下痕迹。已知弹簧的劲度系数为，振子的质量为0.1kg，白纸移动速度为，弹簧弹性势能的表达式，不计一切摩擦。在一次弹簧振子实验中得到如图所示的图线，则下列说法中正确的是（　　）
A．图线为铅笔的运动轨迹
B．该弹簧振子的周期为0.25s
C．该弹簧振子的最大加速度为
D．该弹簧振子的最大速度为1.6m/s
【答案】C
【详解】A．一带有铅笔的弹簧振子在A、B两点间做机械振动，铅笔的运动轨迹与光滑杆平行，故A错误；
B．一个周期内白纸移动距离，白纸移动速度为，该弹簧振子的周期为，故B错误；
C．该弹簧振子的振幅，则其最大加速度为，故C正确；
D．由能量关系可得
可得弹簧振子的最大速度为，故D错误。
故选C。
6．（天津市滨海新区2024-2025学年高一下学期期末联考模拟（二）物理试卷）如图（甲）所示，质量不计的弹簧竖直固定在水平面上，时刻，将一金属小球从弹簧正上方某一高度处由静止释放，小球落到弹簧上压缩弹簧到最低点，然后又被弹起离开弹簧，上升到一定高度后再下落，如此反复。通过安装在弹簧下端的压力传感器，测出这一过程弹簧弹力随时间变化的图像如图（乙）（　　）
A．时刻小球动能最大
B．时刻小球动能最大
C．这段时间内，小球的动能先增大后减小
D．这段时间内，小球增加的重力势能等于弹簧减少的弹性势能
【答案】C
【详解】A．时刻小球小球刚与弹簧接触，与弹簧接触后，弹力先小于重力，小球做加速度运动，当弹力增大到与重力平衡，即加速度减为零时，速度达到最大，动能达到最大，故A错误；
B．时刻，弹力最大，故弹簧的压缩量最大，小球运动到最低点，速度等于零，故B错误；
C．这段时间内，小球处于上升过程，先做加速度不断减小的加速运动，后做加速度不断增大的减速运动，动能先增大后减小，故C正确；
D．段时间内，小球和弹簧系统机械能守恒，故小球增加的动能和重力势能之和等于弹簧减少的弹性势能，故D错误。
故选C。
7．（24-25高二下·北京西城·期末）如图为某水平弹簧振子中的小球做简谐运动的振动图像。下列说法正确的是（　　）
A．t=1s时，弹簧振子的弹性势能最大
B．t=2s时，小球的加速度最大
C．1~2s的过程中，小球的速度与加速度方向相同
D．t=2.5s时和t=3.5s时，小球的位移相同
【答案】ACD
【详解】A．t=1s时，弹簧振子处在位移最大处，弹簧的形变量最大，弹性势能最大，故A正确；
B．t=2s时，小球处在平衡位置，小球的速度最大，加速度为零，故B错误；
C．1~2s的过程中，小球回到平衡位置，速度方向沿y轴负方向，此过程中，弹簧由伸长状态回到原长，弹力方向沿y轴负方向，加速度沿y轴负方向，速度与加速度方向相同，故C正确；
D．根据弹簧振子运动的对称性，如图所示，t=2.5s时和t=3.5s时，小球的位移相同，故D正确。
故选ACD。
8．（24-25高二下·北京昌平·期末）如图1所示，小球悬挂在轻弹簧的下端，弹簧上端连接传感器。小球上下振动时，传感器记录弹力随时间变化的规律如图2所示。已知重力加速度。下列说法正确的是（　　）
A．t=0时，小球处于平衡位置
B．小球在最低点时的加速度大小为20m/s
C．0-2s内，弹力对小球做的功为0
D．0-2s内，小球受弹力的冲量大小为4
【答案】D
【详解】A． t=0时，弹簧弹力最大；小球处于平衡位置时弹簧弹力的大小与小球的重力相等，故A错误；
B．弹簧与小球组成的系统，静止时弹簧处于伸长状态，伸长量为x，此时弹簧弹力等于小球重力，根据题中信息可知，小球运动到最上端时，弹簧的弹力为0，弹簧处于原长，根据弹簧运动的对称性可知，弹簧位于最下端时，弹簧的伸长量为2x，此时弹簧的弹力为4N，因此当弹簧伸长量为x时，弹力大小为2N，此时弹力等于小球的重力，因此小球的质量为
小球在最低点时
解得，故B错误；
C．0-2s内，小球从最低点到最高点，弹力对小球做的功不为0，故C错误；
D．根据动量定理可知，外力的冲量之和等于动量的变化量，即
零时刻小球位于最低点，速度为零，第2s末时刻小球位于最高点，速度也是零，因此可知
所以弹簧弹力的冲量大小是，故D正确。
故选D。
9．（24-25高一下·湖北·期末）轻弹簧上端连接在箱子顶部中点，下端固定一小球，整个装置静止在水平地面上方。现将箱子和小球由静止释放，箱子竖直下落后落地，箱子落地后瞬间速度减为零且不会反弹。此后小球做简谐运动过程中，箱子对地面的压力最小值恰好为零。整个过程小球未碰到箱底，弹簧劲度系数为，箱子和小球的质量均为，重力加速度为。忽略空气阻力，弹簧的形变始终在弹性限度内，下列说法正确的是（　　）
A．箱子落地后，小球简谐运动的加速度最大值为3g
B．箱子落地后，弹簧弹力的最大值为2mg
C．箱子落地后，小球运动的最大速度为
D．箱子与地面碰撞损失的机械能为
【答案】D
【详解】AB．根据题意，此后小球运动过程中，箱子对地面的压力最小值恰好为零，则对箱子有
弹簧处于压缩状态，且为压缩最短位置处，可知小球做简谐振动，此时弹簧的压缩量与小球合力为零时弹簧的伸长量之和即为小球做简谐振动的振幅，根据简谐振动的对称性可知，在最低点
在最高点
联立解得
而当小球运动至最低点时弹簧弹力有最大值，即为3mg，此时加速度最大为2g，故AB错误；
C．小球做简谐振动，在平衡位置时有，解得
即弹簧被拉伸时小球受力平衡，处于简谐振动的平衡位置，此处小球的速度有最大值，而根据以上分析可知，小球在最高点时弹簧的弹力和在平衡位置时弹簧的弹力大小相同，只不过在最高位置时弹簧处于被压缩状态，在平衡位置时弹簧处于被拉伸状态，显然压缩量和伸长量相同，则小球从最高点到达平衡位置下落的高度
而弹簧压缩量和伸长量相同时所具有的弹性势能相同，即小球在最高点和在平衡位置时弹簧的弹性势能相同，则对小球由最高点到平衡位置根据动能定理可得
解得，故C错误；
D．箱子损失的机械能即为箱子、弹簧、小球所构成的系统损失的机械能，小球在平衡位置时弹簧所具有的弹性势能和在箱子未落下时弹簧所具有的弹性势能相同，由能量守恒可得
解得箱子损失的机械能，故D正确。
故选D。
10．（2025·江苏南京·模拟预测）如图甲所示，某同学将手机挂在轻弹簧下端制作了一个振动装置。在某次实验中手机加速度传感器记录了手机在竖直方向的振动情况，以向上为正方向，得到手机振动过程中加速度a随时间t变化的曲线为正弦曲线，如图乙所示。下列说法正确的是（　　）
A．t=0时，弹簧弹力为0 B．t=0.2s时，手机位于平衡位置下方且速度为0
C．从t=0至t=0.2s，手机的动能增大 D．从t=0.2s至t=0.6s，手机的机械能守恒
【答案】B
【详解】A．由题图乙知，时，手机加速度为0，由牛顿第二定律可知，此时弹簧弹力大小为，故A错误。
B．由题图乙知，时，手机的加速度为正，则手机位于平衡位置下方，此时手机加速度最大，所以偏离平衡位置位移最大，速度为0，故B正确。
C．结合图甲、图乙知，时，加速度为0，速度最大，物体在平衡位置处。时，加速度最大，速度为0，物体在偏离平衡位置最大处。所以从至，手机速度减小，动能减小，故C错误。
D．结合前面分析，由图乙知时，手机位于最低点，动能为零；时，手机位于最高点，动能也为零，但重力势能增加，显然手机的机械能增加，不守恒，故D错误。
故选B。
拓展练习
11．（24-25高二下·湖北黄冈·期末）钓鱼人的漂露出水面几格就叫几目。如图所示，当漂静止时露出水面3目，鱼儿咬钩至1目时迅速松开，该时刻可认为漂的速度为零，随后漂在竖直方向上做简谐运动。当漂露出水面5目时（　　）
A．漂的浮力小于重力 B．漂的速度不为零
C．漂的动能最大 D．漂的加速度为零
【答案】A
【详解】由图可知在最低点时漂露出水面1目，根据简谐运动的对称性可知，漂露出水面5目时，其速度为零，动能为零，加速度竖直向下，此时浮力小于重力。
故选A。
12．（24-25高一下·江西南昌·期末）竖直放置的轻质弹簧原长为，在其上端由静止释放一质量为的物体后开始做简谐运动，如图甲所示，弹簧被压缩到最短时其长度为。把该弹簧水平放置在水平轨道上，一端固定在O点，另一端与质量为的物块P拴接放在A位置，如图乙所示。质量为的物块Q以某速度向左运动与P发生弹性碰撞后撤除，物块P向左运动速度减为零时弹簧长度恰好为，已知P与水平轨道的动摩擦因数为，重力加速度大小为。求：
(1)该弹簧的劲度系数k;
(2)Q与P碰前的速度；
(3)此后P与O的最大距离。
【答案】(1)
(2)
(3)
【详解】（1）由简谐运动可知振幅
平衡位置受力分析
解得
（2）Q与P发生弹性碰撞后，P获得速度v1，根据动量守恒
根据动能守恒mv2=mv22+2mv12
解得，
P压缩弹簧到最短时弹簧的弹性势能为，根据能量守恒
3m的物体压缩弹簧到最短的过程
解得
（3）P此后做阻尼振动，第一次向右弹回滑行最远，可看作单方向的简谐运动，平衡位置处有
解得
P第一次向右运动的振幅
压缩至最短后P向右滑行的距离为
P向右第一次减速到零时P与Q有最小距离
解得=x
13．（24-25高一下·上海·期末）弹簧振子模型简谐振动是最简单、最基本的振动，一切复杂的振动都可以看作是由若干个不同的简谐振动合成的。一端固定的理想轻质弹簧连接一个可以视作质点的物体所构成的弹簧振子模型就可以用来演示简谐振动。以下模型中弹簧均未超过弹性限度。
(1)如图，弹簧振子B在光滑水平面上做简谐振动，不考虑阻力。振子向平衡位置运动的过程中，振子的动能________，弹簧振子系统的机械能________。（均选填“变大”、“变小”或“不变”）
(2)接第（1）问，若在物体B运动到最大位移处时，无初速度地落上去一小块黏土，则此时包含黏土在内的整个弹簧振子系统的机械能E1________；若在物体B经过平衡位置时，无初速度地落上去一小块黏土，则此时包含黏土在内的整个弹簧振子系统的机械能E2________。（均选填“变大”、“变小”或“不变”）
(3)接第（2）问，两种情况下，弹簧振子的振幅分别为A1和A2，振子从左边最大位移处运动到右边最大位移处的过程中所用的最短时间分别为t1和t2，平均速度的大小分别为v1和v2，则（　　）
A．A1v2 B．A1C．A1>A2，t1>t2，v1A2，t1=t2，v1>v2
(4)如图，劲度系数为k的竖直轻弹簧下端固定在水平地面上，上端拴接一质量为m的物体B，构成的弹簧振子系统初始时处于静止状态，若把物体B缓慢向下按压到某位置处后由静止释放，物体B会上下运动，不考虑阻力，已知重力加速度大小为g，请证明物体B的运动为简谐振动。
【答案】(1) 变大 不变
(2) 不变 变小
(3)D
(4)见解析
【详解】（1）[1][2]振子向平衡位置运动的过程中，振子的动能变大，弹簧振子系统的机械能不变。
（2）[1]若在物体B运动到最大位移处时，无初速度地落上去一小块黏土，则此时包含黏土在内的整个弹簧振子系统的机械能E1不变；因为物体B运动到最大位移处速度等于0，黏土不滑动，没有机械能损失。
[2]若在物体B经过平衡位置时，速度最大。无初速度地落上去一小块黏土，粘土与物体之间发生相对滑动，摩擦产生热量，损失机械能。则此时包含黏土在内的整个弹簧振子系统的机械能E2变小。
（3）根据，，
解得
根据，m相等，k不变，两种情况下的周期相等。
所以。
平均速度，
解得。
故选D。
（4）物体B静止时弹簧缩短的长度为x0，根据平衡条件得
把物体B缓慢向下x后由禁止释放，取位移的方向（向下）为正方向物体B受到的合力为
解得F= kx，所以物体B的运动为简谐振动。
14．（24-25高二下·天津滨海新·期中）一个水平弹簧振子的振动图像如图所示，下列说法正确的是（　　）
A．小球位移随时间变化的关系式为
B．该小球在0~5s内的位移为0，路程为25 cm
C．在1~2s内，小球的动能增加，弹簧的弹性势能减少
D．在2~3s内，小球的振幅越来越大
【答案】C
【详解】A．由图可知，简谐运动的周期为，则角速度为
故小球位移随时间变化的关系式为
故A错误；
B．由图可知，该小球在内的位移为5cm，路程为，故B错误；
C．由图可知，在内，小球的位移减小，弹簧弹力做正功，动能增加，弹簧的弹性势能减少，故C正确；
D．由图可知，在内，小球的位移增大，小球的振幅不变，故D错误。
故选C。
15．（24-25高二下·云南玉溪·期中）如图，水平弹簧振子沿x轴在M、N间做简谐运动，坐标原点O为振子的平衡位置，其振动方程为，下列说法正确的是（　　）
A．振子的运动周期是0.2s
B．时，振子位于M点
C．时，振子具有最小速度
D．从运动过程中，振子的加速度减小，振子的动能减小
【答案】A
【详解】A．因，可知振子的运动周期是，故A正确；
B．由，可知时，，即振子位于N点，故B错误；
C．由可知s时，，此时振子在O点，振子速度最大，故C错误；
D．从M→O，形变量减小，振子加速度减小，弹力做正功，振子的动能增加，故D错误。
故选A。
真题练习
16．（2025·湖北·高考真题）质量均为m的小球a和b由劲度系数为k的轻质弹簧连接，小球a由不可伸长的细线悬挂在O点，系统处于静止状态，如图所示。将小球b竖直下拉长度l后由静止释放。重力加速度大小为g，忽略空气阻力，弹簧始终在弹性限度内。释放小球b后（　　）
A．小球a可能会运动 B．若小球b做简谐运动，则其振幅为
C．当且仅当时，小球b才能始终做简谐运动 D．当且仅当时，小球b才能始终做简谐运动
【答案】AD
【详解】B．如果A球不动而B球单独振动则B球做简谐振动，简谐振动的平衡位置合力为零，即B球初始时刻位置，则可知B的振幅为，B错误；
ACD．A球发生运动的临界条件为弹簧对A球向上的弹力大于A球的重力，则此时对A球有
对B球有此时加速度
由简谐振动的对称性可得向下拉到最低点松手释放的加速度也为，则有
解得
即，否则A球会发生运动，AD正确，C错误。
故选AD。
17．（2025·江苏·高考真题）如图所示，弹簧一端固定，另一端与光滑水平面上的木箱相连，箱内放置一小物块，物块与木箱之间有摩擦。压缩弹簧并由静止释放，释放后物块在木箱上有滑动，滑动过程中不与木箱前后壁发生碰撞，不计空气阻力，则（ ）
A．释放瞬间，物块加速度为零
B．物块和木箱最终仍有相对运动
C．木箱第一次到达最右端时，物块速度为零
D．物块和木箱的速度第一次相同前，物块受到的摩擦力不变
【答案】D
【详解】A．根据题意可知，释放时，物块与木箱发生相对滑动，且有摩擦力，根据牛顿第二定律可知释放时物块加速度不为0，故A错误；
B．由于物块与木箱间有摩擦力且发生相对滑动，所以弹簧的弹性势能会减少，直到弹簧的最大弹力满足以下分析的：设物块与木箱之间的最大静摩擦力为，物块质量为，对物块根据牛顿第二定律
设木箱质量为，对物块与木箱整体，根据牛顿第二定律
可得
即弹簧的最大弹力减小到后，二者一起做简谐运动，故B错误；
C．根据AB选项分析可知只有当二者一起做简谐运动前，有相对滑动，木箱第一次到达最右端时，物块速度不为零，故C错误；
D．开始滑块的加速度向右，物块与滑块第一次共速前，物块相对滑块向左运动，受到向右的摩擦力，共速前二者有相对滑动，摩擦力恒为二者之间的滑动摩擦力，保持不变，故D正确。
故选D。
18．（2024·贵州·高考真题）如图，一玻璃瓶的瓶塞中竖直插有一根两端开口的细长玻璃管，管中一光滑小球将瓶中气体密封，且小球处于静止状态，装置的密封性、绝热性良好。对小球施加向下的力使其偏离平衡位置，在时由静止释放，小球的运动可视为简谐运动，周期为T。规定竖直向上为正方向，则小球在时刻（　　）

A．位移最大，方向为正 B．速度最大，方向为正
C．加速度最大，方向为负 D．受到的回复力大小为零
【答案】AC
【详解】对小球施加向下的力使其偏离平衡位置，在时由静止释放，可知此时小球位于最低点，且小球的运动可视为简谐运动，周期为T。则小球在时刻处于最高点位置，此时位移最大，方向向上（正方向）；小球受到的回复力最大，方向向下，则小球的加速度最大，方向向下（负方向）；此时小球的速度为0。
故选AC。
19．（2024·海南·高考真题）真空中有两个点电荷，电荷量均为 q（q ≥ 0），固定于相距为2r的P1、P2两点，O是P1P2连线的中点，M点在P1P2连线的中垂线上，距离O点为r，N点在P1P2连线上，距离O点为x（x << r），已知静电力常量为k，则下列说法正确的是（ ）
A．P1P2中垂线上电场强度最大的点到O点的距离为
B．P1P2中垂线上电场强度的最大值为
C．在M点放入一电子，从静止释放，电子的加速度一直减小
D．在N点放入一电子，从静止释放，电子的运动可视为简谐运动
【答案】BCD
【详解】AB．设P1处的点电荷在P1P2中垂线上某点A处产生的场强与竖直向下的夹角为θ，则根据场强的叠加原理可知，A点的合场强为
根据均值不等式可知当时E有最大值，且最大值为
再根据几何关系可知A点到O点的距离为
故A错误，B正确；
C．在M点放入一电子，从静止释放，由于
可知电子向上运动的过程中电场力一直减小，则电子的加速度一直减小，故C正确；
D．根据等量同种电荷的电场线分布可知，电子运动过程中，O点为平衡位置，可知当发生位移x时，粒子受到的电场力为
由于x << r，整理后有
在N点放入一电子，从静止释放，电子将以O点为平衡位置做简谐运动，故D正确。
故选BCD。
20．（2024·辽宁·高考真题）如图（a），将一弹簧振子竖直悬挂，以小球的平衡位置为坐标原点O，竖直向上为正方向建立x轴。若将小球从弹簧原长处由静止释放，其在地球与某球状天体表面做简谐运动的图像如（b）所示（不考虑自转影响），设地球、该天体的平均密度分别为和，地球半径是该天体半径的n倍。的值为（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】设地球表面的重力加速度为，某球体天体表面的重力加速度为，弹簧的劲度系数为，根据简谐运动的对称性有
可得
可得
设某球体天体的半径为，在星球表面，有
联立可得
故选C。
21．（2025·湖北襄阳·三模）某同学找来粗细均匀的圆柱形木棒，下端绕上铁丝，将其竖直浮在装有水的杯子中，如图所示。竖直向下按压后静止释放，木棒开始在液体中上下振动（不计液体粘滞阻力），其运动可视为简谐运动，测得其振动周期为，以竖直向上为正方向，某时刻开始计时，其振动图像如图所示。其中A为振幅。则木棒在振动过程中，下列说法正确的是（　　）
A．时，木棒的重力大于其所受的浮力
B．振动过程中木棒的机械能不守恒
C．开始计时内木棒所经过的路程是
D．木棒的位移函数表达式是
【答案】B
【详解】A．时，木棒在最低点，合力向上，木棒的重力小于其所受的浮力，故A错误；
B．由于木棒振动过程中除重力外浮力做功，振动过程中木棒的机械能不守恒，故B正确；
C．振幅，由
开始计时内木棒所经过的路程是，故C错误；
D．圆频率
振动方程为
由时，解得
木棒的位移函数表达式是，故D错误。
故选B。
22．（2025·辽宁·模拟预测）简谐运动是最基本的机械振动，质量为m的物体在形如的回复力作用下，其位移—时间关系遵循的规律，其中称为角频率。采用不同的研究方法以及在不同的情境下分析简谐运动，可以使我们加深对相关知识的理解。如图所示，以O为原点（此时弹簧处于原长状态），以水平向右的方向为x轴的正方向建立坐标系，物体质量为m，弹簧劲度系数为k，物体初始位置为x=x0，（x0>0），试求：
(1)若地面光滑，求此弹簧振子的周期T；
(2)若地面粗糙，地面与物体间动摩擦因数为μ（），当物体向左运动时：
a.试写出物体平衡位置的坐标；
b.并以为新的坐标原点，水平向右为正方向建立坐标系，证明物体向左运动过程中所受合力符合方程
c.求物体从开始运动至停止所需的时间t。
【答案】(1)
(2)a.，b.见解析，c.
【详解】（1）根据题意有
解得
（2）a.若地面粗糙，物体向左运动时，对物体进行分析，如图所示
在平衡位置，根据平衡条件有
根据题意有
解得平衡位置坐标为
b.当物体向左运动时，平衡位置坐标为
令为相对于上述平衡位置的位移，则物体所受合力为
结合上述有
解得
c.结合上述可知，物体向左运动时可看做平衡位置在处的简谐运动，由于解得
根据简谐运动的对称性可知，物体将停在原点O处，因此物体运动时间为解得
23．（2025·重庆北碚·模拟预测）物理实验室研究物体在弹簧弹力作用下的运动规律。如图甲所示，弹簧竖直放置，下端固定在地面上，当弹簧处于自然长度时，将一盒子无初速度地放在与弹簧上端相连的薄板上，测出物体的速度与弹簧长度l的关系如图乙，图线与横轴交点坐标为已知薄板与弹簧的质量可忽略，盒子的质量为，弹簧一直处在弹性限度内，重力加速度大小为，空气阻力不计，则（　　）
A．盒子做匀变速直线运动
B．当弹簧长度为时，盒子的加速度大小等于
C．弹簧的劲度系数为
D．盒子的最大速度为
【答案】BCD
【详解】A．盒子在运动过程中受到重力和弹簧的弹力，弹簧的弹力不断变化，其合力不断变化，加速度不断变化，所以盒子做的是非匀变速直线运动，故A错误；
BCD．根据题意可知，将一盒子无初速度地放在与弹簧上端相连的薄板上，盒子将做简谐运动，开始弹簧处于自然长度，弹簧的弹力为0，只受重力，则盒子的加速度大小等于，之后盒子开始压缩弹簧，盒子速度先增大，当弹力等于重力时，盒子的速度最大，之后开始减速，运动到最低点时，速度为0，弹簧长度最短，结合图像可知，弹簧原长为，当弹簧长度为时，盒子运动到最低点，由对称性可知，此时盒子的加速度大小等于，方向向上，由牛顿第二定律有
解得
当盒子速度最大时，弹簧弹力等于重力，此时弹簧的形变量为
由能量守恒定律有
解得，故BCD正确。
故选BCD。
24．（2025·江苏宿迁·模拟预测）如图所示，光滑斜面体固定在地面上。先后用原长相同、劲度系数不同的轻质弹簧将小球与斜面顶端的挡板相连接，让小球从弹簧原长处自由释放。整个过程弹簧均在弹性限度内，则（　　）
A．弹簧劲度系数越大，小球运动到最低点的时间越长
B．弹簧劲度系数越大，小球运动过程中最大速度越大
C．弹簧劲度系数越小，小球运动到最低点时弹簧的弹性势能越大
D．弹簧劲度系数越小，小球运动到最低点时的重力势能越大
【答案】C
【详解】A．可以判断倾斜弹簧振子做的是简谐运动，根据
可知弹簧劲度系数越大，周期越短，可知小球运动到最低点的时间越短，故A错误；
B．小球合力为0时，速度最大，则有（为斜面倾角）
整理得
可知弹簧劲度系数越大，振子的振幅越小，振子与弹簧构成的系统的能量越小，故小球运动过程中最大速度越小，故B错误；
C．根据
弹簧劲度系数越小，振子的振幅越大，系统的能量越大，小球运动到最低点时弹簧的弹性势能越大，故C正确；
D．由C选项可知，弹簧劲度系数越小，振子的振幅越大，则小球运动到最低点时的重力势能越小，故D错误。
故选C。
25．（2025·广东·模拟预测）如图（a）所示，轻质弹簧上端固定，下端连接质量为m的小球，构成竖直方向的弹簧振子。取小球平衡位置为x轴原点，竖直向下为x轴正方向，设法让小球在竖直方向振动起来后，小球在一个周期内的振动曲线如图（b）所示，若时刻弹簧弹力为0，重力加速度为g，则有（　　）
A．0时刻弹簧弹力大小为
B．弹簧劲度系数为
C．时间段，回复力冲量为0
D．时间段，小球动能与重力势能之和不变
【答案】AC
【详解】B．小球平衡位置为x轴原点，竖直向下为x轴正方向，时刻弹簧弹力为0，位移大小为A，有
可得劲度系数为
故B错误；
A．0时刻在正的最大位移处，弹簧的伸长量为2A，则弹力大小为
故A正确；
C．时间段，小球从从最高点振动到达最低点，回复力在前时间沿正方向，在后时间沿负方向，两段时间的回复力平均值大小相等，则由
可知回复力冲量为0，故C正确；
D．时间段，小球从最高点振动到达最低点，根据能量守恒定律可知弹簧的弹性势能和小球的机械能相互转化，因弹簧的弹性势能一直增大，则小球动能与重力势能之和减小，故D错误。
故选AC。

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