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习题1.3
1
北师版九年级上册
1. 一个矩形的对角线长为 6 ，对角线与一边的夹角是 45°，
求这个矩形的各边长。
解：∵四边形 ABCD 是矩形，
∴ ∠A = 90°，
又∵∠ABD = 45°，
∴△ABD是等腰直角三角形，
∴AB = AD，AB2 + AD2 = 62，
∴AB = AD = BC = CD = 。
知识技能
2. 一个矩形的两条对角线的一个夹角为 60°，对角线长
为 15，求这个矩形较短边的长.
解：∵四边形 ABCD 是矩形，
∴ AC = BD = 15，∴OD = OC = 7.5，
又∵∠COD = 60，
∴△COD是等边三角形，
∴ CD = 7.5 .
3. 如图，在△ABC 中，∠ACB = 90°，D 为 AB 的中点，AE∥CD，CE∥AB，试判断四边形 ADCE 的形状，并证明你的结论。
解：四边形 ADCE 是菱形，
证明：∵ AE∥CD，CE∥AB，
∴四边形 ADCE 为平行四边形。
又∵在△ABC 中，∠ACB = 90°，
D 为 AB 中点，
∴ AD = CD。∴四边形 ADCE 为菱形。
4. 如图，在△ABC 中，AD 为 BC 边上的中线，延长 AD 至 E，使 DE = AD，连接 BE，CE。
（1）试判断四边形 ABEC 的形状；
（2）当△ABC 满足什么条件时，四边形 ABEC 是矩形？
解:（1）四边形 ABEC 是平行四边形。
（2）当△ABC 满足∠BAC＝90°时,四边形 ABEC 是矩形。
5. 如图，点 B 在线段 MN 上，过线段 AB 的中点 O 作 MN 的平行线，分别交∠ABM 的平分线和∠ABN 的平分线于点 C，D。试判断四边形 ACBD 的形状，并证明你的结论。
证明: ∵CD ∥MN ， BC， BD 分别为∠MBA，∠ABN 的平分线，
∴∠ABD ＝∠DBN ＝∠CDB， ∠ABC ＝∠CBM ＝∠DCB，
且∠CBD ＝90°， ∴OC＝OB＝OD ＝OA。
∵∠AOD ＝∠COB，∴△AOD ≌△COB，
则∠DAO ＝∠OBC， AD ∥BC，AD ＝BC，
∴四边形 ACBD 为平行四边形．
又∵AB ＝ CD，∴四边形 ACBD 为矩形。
6. 证明：如果一个三角形一边上的中线等于这边的一半，
那么这个三角形是直角三角形。
证明：如图，在△ABC 中，AC边的中线 BD 等于 AC 的一半，则 AD = BD = DC，
∴∠1=∠A，∠2=∠C。
又∵∠1+∠A+∠2+∠C = 180°，
∴2（∠1+∠2）=180°，即∠ABC = 90°，
故△ABC 为直角三角形。
数学理解
7. 如图，在矩形 ABCD 中，AD = 6，对角线 AC 与 BD 相交于点 O， AE ⊥ BD，垂足为 E，ED = 3BE，求AE的长。
解：∵ 四边形 ABCD 是矩形，
∴OA = OB = OC = OD = BD。
设 BE = x，
∴ED = 3BE = 3x，BD = BE + ED = 4x，
∴OB = BD = 2x，
∴OE = OB BE = 2x x = x，即 E 为 OB 的中点。
又 ∵AE⊥BD，
∴AE 垂直平分 OB，AB = OA = OB = 2x。
在 Rt△ABD 中，∠BAD = 90 ，由勾股定理：
AB2 +AD2 = BD2 得：(2x)2 + 62 = (4x) 2
解得：x2 = 3，x = 。
∴ED = 3x = 。
在 Rt△AED 中，∠AED = 90°，由勾股定理：
AE2 +ED2 = AD2
解得：AE2 = 9，∴AE = 3。
答：AE 的长为 3。
8. 如图，已知菱形 ABCD ，画一个矩形，使得 A，B，C，
D 四点分别在矩形的四条边上，且矩形的面积为菱形
ABCD 面积的 2 倍，并说明你画图的正确性。
问题解决
解：设菱形对角线交于点 O，AC = m，BD = n，
则菱形面积 S菱形 = 。
所作矩形的长和宽分别等于菱形的两条对角线的长 m 和 n，因此矩形面积 S矩形 = mn。
所以 S矩形 = 2× = 2S菱形。
又因为菱形对角线互相垂直，所作矩形的邻边分别平行于互相垂直的对角线，所以矩形的四个角都是直角，该四边形是矩形。
综上，所作矩形满足条件。
O
9. 你有哪些方法检查你家(或教室)门框的形状是不是矩形？如果仅有一根足够长的绳子，你怎样检查？请说明检查方法的正确性。
先用绳子测量四边形的两对边是否相等，相等则是平行四边形。
再用绳子测量对角线是否相等。
对角线相等的平行四边形是矩形。
10. 如图，在△ABC 中，AB = AC，AD 是△ABC 的一条角平分线，AN 为△ABC 的外角∠CAM 的平分线，CE⊥AN，垂足为 E。连接DE，交 AC 于点 F。
(1)试判断四边形 ABDE 的形状，并证明你的结论。
(2)线段 DF 与 AB 有怎样的关系？请证明你的结论。
（1）证明：∵AB = AC，AD 平分 ∠BAC，
∴AD⊥BC，∠BAD =∠CAD。
∵AN 平分 ∠CAM，∴∠CAN =∠MAN。
∵∠BAC + ∠CAM = 180°，
∴∠DAE =∠CAD + ∠CAN = ×180°= 90°。
又 ∵CE⊥AN，∴∠CEA = 90°，
∴四边形 ADCE 是矩形，∴AE = DC。
又 ∵AB = AC，AD⊥BC，∴BD = DC，
∴AE = BD，且 AE∥BD，
∴ 四边形 ABDE 是平行四边形。
DF∥AB，DF = AB。
证明：四边形 ABDE 是平行四边形，
∴AC = DE， ∴DF = AC。
又∵AB = AC，∴ DF = AB。
∴DF∥AB。
∵四边形 ABDE 是平行四边形。
11. 如图，在矩形纸片 ABCD 中，AB = 6 cm，BC = 8 cm，将矩形纸片折叠，使点 C 与点 A 重合。请在图中画出折痕，并求折痕的长。
解：如图，连接 EC。在矩形 ABCD 中，
AB ＝ 6 cm，BC ＝ 8 cm，
∴AC ＝ 10 cm， ∴AO ＝ CO ＝ 5 cm。
易证 Rt△AOE ≌ Rt△COE， AE ＝ EC。
由勾股定理，得 ED2＋DC2＝EC2＝AE2， 得 EC ＝ cm。
∴OE ＝ cm，折痕长 EF ＝ 2OE ＝ 7.5 cm。
12. 如图，在矩形纸片 ABCD 中，AB = 3，AD = 4，P 是 AD 上不与 A 与 D 重合的一个动点，过点 P 分别作 AC 和 BD 的垂线，垂足为 E，F。求 PE + PF 的值。
解: 如图，连接 PO．在矩形 ABCD 中，
AB ＝ 3， AD ＝4，
∴AC ＝ BD ＝ 5， OA ＝ OD ＝ 。
又∵ S△AOD ＝ S△APO ＋ S△DPO ＝ S矩形ABCD ，
即 OA·PE ＋ OD · PF＝ AB·AD ，
∴PE＋PF＝ 。
完成练习册本课时的习题。
课后作业

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