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习题 1.4
1
北师版九年级上册
1. 对角线长为 2 cm 的正方形，其边长是多少？
知识技能
解：∵ABCD 是正方形，
∴AB = BC，∠B = 90°
△ABC是等腰直角三角形，
AB2 + BC2 = AC2 = 4，
∴AB =
2. 如图，四边形 ABCD 是正方形，△BCE 是等边三角形，
求∠AEB 的度数。
证明: ∵△BEC 是等边三角形，
∴BE = EC = BC = AB，
∴△ABE 是等腰三角形，
∴ ∠ABE = 90°-60° = 30 °
∴∠AEB = = 75 °
3. 已知：如图，E，F 是正方形 ABCD 的对角线 BD 上的两点，且 BE = DF。求证：四边形 AECF 是菱形。
证明: 在正方形 ABCD 中，BE ＝DF,
易证△CEB≌△AEB≌△AFD≌△CFD ,
即 CE ＝AE ＝AF ＝FC,
∴四边形 AECF 是菱形。
4. 如图，点 E，F，G，H 分别在正方形 ABCD 的四条边上，且 AE = BF = CG = DH。试判断四边形 EFGH 的形状，并证明你的结论。
解：四边形 EFGH 是正方形。
∵在正方形 ABCD 中，AE=BF=CG=DH，
易证 △AEH≌△DHG≌△CGF≌△BFE,
即EH ＝HG＝GF＝FE,且∠AHE＝∠DGH。
∵∠DGH ＋∠DHG＝90°,
∴∠EHG＝180°－(∠AHE＋∠DHG)＝90°,
∴四边形 EFGH 是正方形。
5. 如图，A，B，C，D 四家工厂分别坐落在正方形城镇的四个角上。仓库 P 和 Q 分别位于 AD 和 DC 上，且 PD = QC，BP，AQ 是两条直路。证明 BP = AQ，且 BP⊥AQ。
数学理解
证明: 如图， AQ 与 BP 交于点 O。
在正方形 ABCD 中，
∵PD ＝ QC， ∴DQ ＝ AP 。
又∵AB ＝ AD ，∠D ＝∠PAB ＝ 90°，
∴△ABP ≌△DAQ。
∴BP ＝AQ，∠DAQ＝∠ABP ．
∵∠ABP ＋∠APB＝ 90°＝∠DAQ＋∠APB。
∴∠AOP ＝90°。
∴BP ＝AQ 且 BP ⊥ AQ．
6. 作两条直线，将正方形分成大小、形状完全相同的四部分。你有几种方法（至少说出三种）？
问题解决
7. （1）如图（1），四边形 ABCD 是正方形，点 P 在对角线 BD 上，连接 AP，CP。线段 AP 与 CP 的长度有怎样的关系？如图（2），如果点 P 在对角线 BD 的延长线上呢？请证明你的结论。
（2）你还可以提出什么问题？
（1）
（2）
∵ 四边形 ABCD 是正方形，
在 △ABP 和 △CBP 中：
∴AB = CB，∠ABP =∠CBP = 45 ，且 BP = BP（公共边）。
∴△ABP ≌ △CBP (SAS)，
∴AP = CP。
当点 P 在 BD 的延长线上时，
同理可证 △ABP ≌ △CBP (SAS)，
∴AP = CP。
综上，无论点 P 在对角线 BD 上还是其延长线上，都有 AP = CP。
（1）
（2）
8. 如图，四边形 ABCD 是正方形，E 是边 CD 上的一点，且 DE = 2，CE = 3DE。当点 P 在对角线 AC 上运动时，PD + PE 的最小值是多少？
联系拓广
解：已知 DE = 2，CE = 3DE = 6，
∴CD = DE + CE = 2 + 6 = 8，
即正方形边长为 8。
∵ 正方形 ABCD 中，对角线 AC 是对称轴，
∴ 点 D 关于 AC 的对称点是点 B，
∴PD = PB，∴PD + PE = PB + PE。
根据 “两点之间，线段最短”，
当 B，P，E 三点共线时，PB + PE 取得最小值，即为线段 BE 的长度。
在 Rt△BCE 中，BC = 8，CE = 6，
由勾股定理：
答：PD + PE 的最小值是 10。
9. 如图，在四边形 ABCD 中，点 E，F，G，H 分别为 AB，BC，CD，DA 的中点。
(1)当四边形 ABCD 满足什么条件时，四边形 EFGH 是菱形？请说明理由。
(2)当四边形 ABCD 满足什么条件时，四边形 EFGH 是矩形？请说明理由。
四边形 ABCD 的对角线 AC = BD。
四边形 ABCD 的对角线 AC ⊥ BD。
完成练习册本课时的习题。
课后作业

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