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章末复习
1
北师版九年级上册
复习回顾
特殊四边形的关系
平行四边形
矩形
菱形
正方形
有一个角是直角
有一个角是直角且邻边相等
邻边相等
邻边相等
有一个角是直角
边
角
对角线
对边平行，
四条边都相等
对角相等，
邻角互补
互相垂直、互相平分、每一条对角线平分一组对角
对边平行且相等
四个角都是直角
互相平分、对角线相等、每一条对角线平分一组对角
对边平行，
四条边都相等
四个角都是直角
互相平分、相等、垂直，每条对角线平分一组对角
对称性
中心对称图形
轴对称图形
中心对称图形
轴对称图形
中心对称图形
轴对称图形
几种特殊四边形的性质：
几种特殊四边形的常用判定方法：
判定方法
矩形
菱形
正方形
1.定义：有一角是直角的平行四边形
2.三个角是直角的四边形
3.对角线相等的平行四边形
1.定义：一组邻边相等的平行四边形
2.四条边都相等的四边形
3.对角线互相垂直的平行四边形
1.定义：一组邻边相等且有一个角是直角的平行四边形
2.有一组邻边相等的矩形
3.有一个角是直角的菱形
菱形的面积：
菱形是平行四边形
A
B
C
D
菱形的面积 = 底×高 = BC·AE
菱形的对角线互相垂直
菱形的面积 = 对角线乘积的一半
E
直角三角形斜边的中线等于斜边的一半。
直角三角形斜边上的中线：
原四边形 一般四边形 平行四边形 矩形 菱形 正方形
原四边形对角线关系 不相等、 不垂直 不相等、 不垂直 相等 垂直 相等且
垂直
中点四边形形状 平行四边形 平行四边形 菱形 矩形 正方形
中点四边形：
一个菱形的两条对角线的长分别为 4 cm 和 8 cm，求它的边长。
【选自教材P26 复习题 第1题】
巩固练习，深化提高
解： 在菱形 ABCD 中，AC⊥BD，
∵AC = 4 cm，BD = 8 cm，
∴OA = 2 cm，OB = 4 cm，
在 Rt△AOB 中，
A
B
C
D
O
2. 如图，若四边形 ABCD 的对角线 AC 与 BD 相交于点 О，
且 OA = OB = OC = OD = AB，则四边形 ABCD 是
正方形吗？
【选自教材P26 复习题 第2题】
解： ∵OA = OB = OC = OD = AB，
∴OA2 + OB2 = AB2，
∴ OA⊥OB，AC⊥BD，
四边形 ABCD 是菱形。
又∵ OA = OB = OC = OD，
∴AB = BC = CD = AD，四边形 ABCD 是正方形。
3. 如果一个四边形是轴对称图形，而且有两条互相垂直的
对称轴，那么这个四边形一定是菱形吗？为什么？
【选自教材P26 复习题 第3题】
不一定，因为筝形也符合条件．
4. 如图，四边形 ABCD 是边长为 13 cm 的菱形，其中对角线 BD = 10 cm。求：
（1）对角线 AC 的长度；（2）菱形 ABCD 的面积。
【选自教材P26 复习题 第4题】
解：（1）∵四边形 ABCD 是菱形，
∴AC⊥BD，AB = 13 cm，
又∵BD = 10 cm，∴BE = 5 cm。
在 Rt△ABE 中，AE2 + BE2 = AB2，
解得 AE = 12 cm，∴AC = 24 cm。
（2）在菱形 ABCD 中，
S菱形ABCD = BD×AC
= ×10×24
= 120 （cm2）
4. 如图，四边形 ABCD 是边长为 13 cm 的菱形，其中对角线 BD = 10 cm。求：
（1）对角线 AC 的长度；（2）菱形 ABCD 的面积。
【选自教材P26 复习题 第4题】
5. 证明：如果四边形的两条对角线互相垂直且相等，那么以它四边的中点为顶点可画出一个正方形。
【选自教材P27 复习题 第5题】
证明: 如图， 四边形 ABCD 中，E，F，G，H
分别为 AB，BC，CD ，AD 中点，BD ，AC 交于点 O，
则 HE BD FG，HG AC EF．
又∵∠COB ＝∠1 ＝ 90°＝∠HEF，
∴四边形 EFGH 为正方形．
=
∥
=
∥
=
∥
=
∥
6. 如图，四边形 ABCD 是一个正方形，E 是 BC 延长线上
的一点，且 EC = AC，求∠DAE 的度数。
【选自教材P27 复习题 第6题】
解: 由题意，可知 AC＝ EC，∠CAE＝∠AEC。
又∵∠CAE ＋∠AEC ＝ 45°，
∴∠CAE ＝ 22.5°，
∴∠DAE＝ 22.5°。
7.（1）如果一个菱形绕它的对角线的交点旋转 90°后，所得图形与原来的图形重合，那么这个菱形是正方形吗？为什么？
解:（1）是正方形。因为绕对角线交点旋转 90°，所得图形与原图形重合，说明菱形两条对角线相等，所以这个菱形是正方形。
【选自教材P27 复习题 第7题】
7.（2）如果一个四边形绕它的对角线的交点旋转90°后，所得图形与原来的图形重合，那么这个四边形是正方形吗？为什么？
【选自教材P27 复习题 第7题】
（2）是正方形。因为绕对角线交点旋转 90°，所得图形与原图形重合，说明四个角相等，均为90°，且四条边相等，所以这个四边形是正方形。
8. 已知：如图，AD 是△ABC 的角平分线，过点 D 分别 作 AC 和 AB 的平行线，交 AB 于点 E，交 AC 于点 F。求证: 四边形 AEDF 是菱形。
【选自教材P27 复习题 第8题】
证明: ∵AD 为∠BAC 的平分线，
∴∠DAC＝∠DAB。
又∵DF∥AB，DE∥AC，
∴四边形 AEDF 为平行四边形，
∠DAC ＝∠EDA ，∠FDA ＝∠EAD ，
∴∠FDA ＝∠DAF＝∠EAD ＝∠EDA，
即AF ＝ FD ，AE ＝ ED。
又∵四边形 AEDF 为平行四边形,
∴四边形 AEDF 是菱形。
9. 已知：△ABC 的两条高分别为 BE，CF，点 M 为 BC 的
中点。求证：ME = MF。
【选自教材P27 复习题 第9题】
证明: 如图。
∵△FBC 为直角三角形，
△EBC 为直角三角形。
M 点为 BC 中点，
∴MF＝ BC ＝ EM。
解：∵四边形 ABCD 是正方形，
∴AC = BD = l，AC⊥BD，
OA = OB = ，
∴ AB2 = OA2 + OB2 = ，
∴正方形的周长 = 4AB = ，
正方形的面积 = AB2 = 。
10. 已知正方形的对角线的长为 l，求这个正方形的
周长和面积。
【选自教材P27 复习题 第10题】
11. 已知：如图，在矩形 ABCD 中，对角线 AC 与 BD 相交于点 O，过点 C 作 BD 的平行线，过点 D 作 AC 的平行线，两线相交于点 P。求证：四边形 CODP 是菱形。
【选自教材P27 复习题 第11题】
证明: ∵DP ∥AC，PC∥BD ，
∴四边形 OCPD 为平行四边形，OC＝PD ，PC＝OD。
又∵四边形 ABCD 为矩形，
∴AC＝BD ，
则OC ＝PD ＝ AC ＝ BD ＝ OD ＝ PC。
∴四边形 CODP 是菱形。
12. 已知：如图，在矩形 ABCD 中，对角线 AC 与 BD 相交于
点 O，点 M， P，N，Q 分别在 AO，BO，CO，DO 上，
且 AM = BP = CN = DQ。求证：四边形 MPNQ 是矩形。
【选自教材P27 复习题 第12题】
证明: 在矩形 ABCD 中，AM ＝ BP ＝CN ＝ DQ。
∴OM ＝ OQ＝ ON ＝ OP。
易证△MOQ≌△PON。
∴MQ ＝ PN ，∠MQP ＝∠NPQ，
∴MQ∥PN ，
∴四边形 MQNP 为矩形。
13. 已知：如图，在 △ABC 中，∠ACB = 90°， CD 是
△ABC 的角平分线， DE⊥BC，DF⊥ AC，垂足分别为
E，F。求证：四边形 CEDF 是正方形。
【选自教材P27 复习题 第13题】
证明：由题意，知∠FCE＝90°＝∠CED＝∠CFD＝∠FDE。
∴四边形 CEDF 为矩形。
又∵CD 是△ACB 的角平分线，
∴∠DCE＝∠FCD ＝45°＝∠EDC，即DE＝EC，
∴四边形 CEDF 是正方形。
14. 如图，在矩形 ABCD 中，AB = 20 cm。动点 P 从点 A 开始沿 AB 方向以 4 cm/s 的速度运动，动点 Q 同时从点 C 出发沿 CD 方向以 1 cm/s 的速度运动。当其中一点到达终点时，另一点也随之停止运动。设动点的运动时间为 t s，则当 t 为多少时，四边形 APQD 是矩形？
【选自教材P28 复习题 第14题】
解:根据题意,四边形 APQD 是矩形时，
DQ ＝AP ，DQ ＝20－t，AP ＝4t，
令 DQ＝AP，即20－t＝4t，解得 t＝4 (s)。
∴当 t 为 4 s 时，四边形 APQD 是矩形。
几何画板.GSP
15. 如图，把一张矩形纸片沿对角线折叠，重合部分
是什么图形？试说明理由。
【选自教材P28 复习题 第15题】
解: 重合部分是等腰三角形。
由题意知，四边形 ABCD 为矩形,
∴∠ADB＝∠CBD ＝∠EBD ,
即 FB ＝ FD ．
故重合部分是等腰三角形。
几何画板.GSP
16. 如图，把两个大小、形状完全相同的矩形 ABCD 和矩形 CEFG 拼成如图所示的图案，求∠ACF，∠AFC 的度数。
【选自教材P28 复习题 第16题】
解: 由题意，可得∠FCE＝∠ACD ，
∠GCF＝∠BCA ，
∴∠ACF＝90°．
又∵AC＝CF，
∴∠AFC＝45°
17. 小颖在商店里看到一块漂亮的方纱巾，她非常想买，又感觉纱巾不太方。商店老板看她犹豫的样子，马上过来将纱巾沿对角线对折，让小颖检验（如图）。小颖还是有些疑惑，老板又将纱巾沿另一条对角线对折，让小颖检验。小颖发现，两次对折后两组对角都能分别对齐，终于下决心买下这块纱巾。你认为小颖买的这块纱巾一定是正方形的吗？用什么方法可以检验纱巾是不是正方形的？
【选自教材P28 复习题 第17题】
小颖买的这块纱巾不一定是正方形.
18. 已知：如图，□ABCD 各角的平分线分别相交于点 E，F，G，H 。求证：四边形 EFGH 是矩形。
【选自教材P29 复习题 第18题】
证明: 延长AH ，交 CD 于点 M ，延长BH ，交 CD 于点 N。
由题意，知∠BAM ＝ ∠DAB ＝∠DMA ＝∠DCF，
∴EH ∥FG。同理，可证 HG ∥EF，
即四边形 EFGH 为平行四边形。
又∵ ∠DAB ＋ ∠ABC ＝180°，
∴∠HAB＋∠ABH ＝ ×180°＝90°，
即∠AHB＝90°，∴四边形 EFGH 为矩形。
M
N
19. （1）如图(1)，将矩形纸 ABCD 沿 BE 折叠，顶点 A落在纸片 ABCD 内的点 A′。展开纸片得到四边形ABA′E，这个四边形有哪些性质？
（2）如图(2)，将矩形纸片 ABCD 沿 BE 折叠，顶点 A 落在 BC 边上的点 A′。展开纸片，得到四边形 ABA′E，这个四边形是正方形吗？为什么？
【选自教材P29 复习题 第19题】
几何画板.GSP
19. （3）如图(3)，将矩形纸片 ABCD 沿 EF 折叠，顶点 A 落在 BC 边上的点 A′，顶点 B 落在纸片外的点 B′。展开纸片，得到四边形 AFA′E，试判断这个四边形的形状，并证明你的结论。
【选自教材P29 复习题 第19题】
几何画板.GSP
20. 请查阅资料，了解我国古建筑中特殊平行四边形的运用，制作演示文档并在班级内交流。
【选自教材P29 复习题 第20题】
21. 结合平行四边形和特殊平行四边形的学习，联系自己的数学学习经验，以“特殊与一般的关系”为主题写一篇小短文，并在班级内分享。
【选自教材P29 复习题 第21题】
22. 如图，在四边形 ABCD 中，AB = AD，CB = CD，像这样的四边形称为筝形。
【选自教材P29 复习题 第22题】
（1）类比平行四边形和特殊平行四边形的研究，你认为可以研究筝形哪些方面的问题？
（2）请你探究筝形的性质，并加以证明。
完成练习册本课时的习题。
课后作业

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