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用配方法解简单的一元二次方程
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北师版九年级上册
复习导入
如果一个数的平方等于 4，则这个数是____，
若一个数的平方等于 7，则这个数是_____。
一个正数有几个平方根，它们具有怎样的关系？
3. 平方根的意义。
±2
两个平方根，互为相反数。
如果 x2 = a ( a ≥ 0 )，那么 x = 。
探究新知
如图，一个长为 10 m 的梯子斜靠在墙上，梯子的顶端距地面的垂直距离为 8 m．如果梯子的顶端下滑 1 m，那么梯子的底端滑动多少米？
如果设梯子底端滑动 x m，那么滑动后梯子底端距墙(x+6)m。
根据题意，可得方程：
72＋(x＋6)2 = 102
即 x2 ＋12 x －15 = 0
勾股定理
相等关系：
列表可以估算 1 < x < 1.5。
你能求出精确值吗？
思考·交流
（1）你能解哪些特殊的一元二次方程？
x2 = 4
x2 = 0
x2 + 1 = 0
解：根据平方根的意义，得 x1 = 2，x2 = －2
解：根据平方根的意义，得 x1 = x2 = 0
解：移项，得 x2 = －1
∵负数没有平方根
∴原方程无解。
对于方程：x2 = p，
（1）当 p＞0 时，根据平方根的意义，方程有两个不等的实数根
；
（2）当 p = 0 时，方程有两个相等的实数根 x1 = x2 = 0；
（3）当 p＜0 时，因为对任意实数 x，都有 x2 ≥ 0，所以方程无实数根。
（2）你会解下列一元二次方程吗？你是怎么做的？你总结出怎样的经验？
x2 = 5 2x2 + 3 = 5 x2 + 2x + 1 = 5
解：开平方，得
解：2x2 + 3 = 5
移项，得 2x2 = 2
x2 = 1
x1 = 1
x2 = －1
解： x2 + 2x + 1 = 5
( x + 1)2 = 5
（3）你能解方程 x2 + 12x - 15 = 0 吗？你遇到的困难是什么？
能设法将这个方程变成一个你熟悉的形式吗？与同伴进行交流。
x2 + 12x -15 = 0
移项，得 x2 + 12x = 15
两边都加 62，得 x2 + 12x +62 = 15+62
即 ( x + 6 )2 = 51
两边开平方，得
因此方程有两个根
x2 + 12x -15 = 0
x1、x2 都符合原问题的要求吗？
用方程解决实际问题时，要考虑所得结果是否符合实际意义。
（舍）
一般地，对于形如 （x + m）2 = n（n ≥ 0）的方程，利用平方根的意义直接开平方，这种解一元二次方程的方法叫作开平方法。
用直接开平方法解一元二次方程
归纳
（x + m）2 = n（n ≥ 0）
变形
开方后，等式的右边取“正、负”两种情况
一元二次方程
(代数式)2=常数
一元一次方程
转化
开平方
降次
填上适当的数，使下列等式成立：
1. x2 + 12x +_____ = (x+6)2
2. x2 － 4x +_____= (x－___)2
3. x2 + 8x +_____= (x +___)2
操作·思考
观察上面三个等式的左右两边，你觉得常数项和一次项系数有什么关系呢？
常数项 = 一次项系数一半的平方
1. x2 + 12x +_____ = (x+6)2
2. x2 － 4x +_____= (x－___)2
3. x2 + 8x +_____= (x +___)2
62
22
2
42
4
x2 ± 2xy + y2 = (x ± y)2
x2 ± 2ax + ____ = (x ± ____ )2
2a
a
一半
a2
一半的平方
对于形如 x2+ax 的式子如何配成完全平方式？
例1 解方程：x2 + 8x–9 = 0。
解：可以把常数项移到方程的右边，得
x2 + 8x = 9。
两边都加上一次项系数 8 的一半的平方，得
x2 + 8x + 42 = 9 + 42，
(x+4)2 = 25。
两边开平方，得 x + 4 = ±5，
即 x+4 = 5，或 x+4 = －5。
所以 x1 = 1，x2 = －9。
我们通过配成完全平方式的方法得到了一元二次方程的根，这种解一元二次方程的方法称为配方法。
x2 + 12x -15 = 0
( x + 6 )2 = 51
(x+4)2 = 25
x2 + 8x–9 = 0
思考：用配方法解一元二次方程的步骤是什么？
用配方法解二次项系数为1的一元二次方程的一般步骤：
—般步骤 方法 示例：x2+2x-3 = 0
一移 移项 将常数项移到方程的右边，含未知数的项移到方程的左边 x2 + 2x = 3
二配 配方 左、右两边同时加上一次项系数一半的平方 x2-2x+(-1)2=3+(-1)2，即(x-1)2=4
三开 开平方 利用平方根的意义两边开平方 x-1=±2
四解 解两个一元一次方程 移项、合并同类项 x1 = 3，x2 = -1
注意方程右边必须是非负数
用配方法解方程 x2－2x = 2 时，配方后正确的是
（ ）
A. (x + 1)2 = 3 B. (x + 1)2 = 6
C. (x－1)2 = 3 D. (x－1)2 = 6
达标检测
C
用配方法解一元二次方程 x2 + 6x－1 = 0 时，将它化为 (x + a)2 = b 的形式，则 a + b 的值为______。
x2 + 6x－1 = 0
x2 + 6x + 32 = 1 + 32
(x + 3)2 = 10
a = 3
b = 10
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【选自教材P38 随堂练习】
（1）x2－10x + 25 = 7 ； （2）x2－14x = 8；
3. 解下列方程：
（1）解: 移项，得 x2－10x = －18。
两边都加52，得 x2－10x + 52 = －18 + 52。
即 (x－5)2 = 7。
两边开平方，得 。
（2）解：两边都加72，得 x2-14x + 72 = 8+72。
即 (x-7)2 = 57。
两边开平方，得
【选自教材P38 随堂练习】
（1）x2－10x + 25 = 7 ； （2）x2－14x = 8；
3. 解下列方程：
（3）x2 + 3x = 1； （4）x2 + 2x + 2 = 8x + 4。
（3）解：两边都加( )2，得 x2+3x + ( )2 = 1+ ( )2 。
即 (x + )2 = 。
两边开平方，得
【选自教材P38 随堂练习】
3. 解下列方程：
（4）解：移项，得 x2 -6x = 2。
两边都加32，得 x2-6x+32 = 2+32。
即 (x-3)2 = 11。
两边开平方，得 。
（3）x2 + 3x = 1； （4）x2 + 2x + 2 = 8x + 4。
【选自教材P38 随堂练习】
3. 解下列方程：
课堂小结
解一元二次方程的基本思路是什么？
x2 + 12x -15 = 0
( x + 6 )2 = 51
解一元二次方程的思路是将方程转化为 (x+m)2 = n 的形式。
一元二次方程
(代数式)2=常数
一元一次方程
转化
开平方
降次
完成练习册本课时的习题。
课后作业

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