资源简介

(共17张PPT)
一元二次方程的根与系数的关系
2
北师版九年级上册
复习导入
1. 一元二次方程的一般形式？
ax2 + bx + c = 0 ( a≠0 )
2.一元二次方程有实数根的条件是什么？
Δ = b2-4ac ≥ 0
3. 当Δ＞0，Δ=0，Δ＜0 根的情况如何？
Δ > 0 时，方程有两个不相等的实数根；
Δ = 0 时，方程有两个相等的实数根；
Δ < 0 时，方程没有实数根；
4. 一元二次方程的求根公式是什么？
探究新知
用因式分解法解方程 ax2 + bx + c （a ≠ 0）。
ax2 + bx + c
a (x－ x1) (x－ x2)
一元二次方程有两个实数根 x = x1，x = x2。
思考：
如果 x1，x2 是一元二次方程 ax2 + bx + c = 0 的两个实数根，那么 ax2 + bx + c = a (x－ x1) (x－ x2) 一定成立吗？
2x2 - 3x + 1
=
公式法
解方程：
2x2 - 3x + 1 = 0
a=2，b=－3，c=1
△= b2－4ac = 1>0
2 (x － )(x － )
是否成立？
= 2x2 - 3x + 1
4人一组，各自随意写出一个有实数根的一元二次方程，求出它的两个根，并验证 a(x－x1)(x－x2) 展开后是否等于原方程。
x2－5x + 6 = 0
x1 = 2
x2 = 3
验证：1·(x－2)(x－3) = x2－5x + 6。
成立
3x2 + x－2 = 0
x2 = －1
成立
（2）你认为 ax2 + bx + c = a (x－ x1) (x－ x2) 是否一定成立？与同伴进行交流。
如果 x1，x2 是一元二次方程 ax2 + bx + c = 0 的两个实数根，那么 ax2 + bx + c = a (x－ x1) (x－ x2) 。
尝试·交流
根据上面的结论，你能发现一元二次方程 ax2 + bx + c = 0 的系数与它的两个根 x1、x2 之间有怎样的关系吗？与同伴进行交流。
ax2 + bx + c = a (x－ x1) (x－ x2)
ax2 + bx + c = ax2－a(x1 + x2) + ax1x2
b =－a(x1 + x2)
c = ax1x2
所以
于是
一元二次方程根与系数的关系
如果 ax2 + bx + c = 0（a≠0）的两个实数根分别是x1 、x2，那么：
x1 + x2 = ______，x1 · x2 = ______。
前提条件：1.一元二次方程为__________；
2.方程必须要有实数根，即______。
Δ ≥ 0
一般形式
例 利用根与系数的关系，求下列方程的两根之和、两根之积：
（1）x2 + 7x + 6 = 0 ； （2）2x2－3x－2 = 0。
解：（1）这里 a = 1，b = 7，c = 6。
△ = b2－4ac = 72 + 4×1×6 = 49－24 = 25 > 0，
所以方程有两个实数根。
设方程的两个实数根是 x1，x2，那么
x1 + x2= －7， x1x2 = 6。
（2）这里 a = 2，b =－3，c =－2。
△ = b2－4ac = (－3)2－4×2×(－2) = 9 + 16 = 25 > 0
所以方程有两个实数根。
设方程的两个实数根是 x1，x2，那么
x1+ x2= ， x1x2 = －1。
例 利用根与系数的关系，求下列方程的两根之和、两根之积：
（1）x2 + 7x + 6 = 0 ； （2）2x2－3x－2 = 0。
已知一元二次方程 ax2 + bx + c = 0 ( a ≠ 0) 有两个不相等的非零实数根。
△ > 0 两根同号
两根异号
两根同为正数
两根同为负数
正根的绝对值较大
两根互为相反数
负根的绝对值较大
达标检测
如果 －1 是方程 2x2－x + m = 0 的一个根，那么另一个根是______，m = _______。
已知一元二次方程 x2 + px + q = 0 的两根分别为 －2 和 1，则 p = _____，q = ______。
－3
1
－2
3. 利用根与系数的关系，求下列方程的两根之和、两根之积： （1）x2－3x－1 = 0； （2）3x2 + 2x－5 = 0。
解：（1）x1 + x2 = 3， x1x2 = －1。
（2）x1+ x2 = ， x1x2 = 。
【选自教材P49 随堂练习 第1题】
4. 小明和小华分别求出了方程 9x2 + 6x－1 = 0 的根。
小明：x1 = x2 = ；
小华：x1 = ，x2 = 。
他们的答案正确吗？说说你的判断方法。
【选自教材P49 随堂练习 第2题】
x1+x2= ，
x1x2 = 。
解：由题意，可得
小明和小华求得的根与算式都不符合，
∴小明和小华的答案都不正确。
【选自教材P49 随堂练习 第3题】
5. 已知方程 x2－ x－7 = 0 的一个根是 3 ，求它的另一个根。
解：x1x2 = －7。
x1 = 3，
x2 = 。
课堂小结
一元二次方程根与系数的关系
如果 ax2 + bx + c = 0（a≠0）的两个实数根分别是x1 、x2，那么：
x1 + x2 = ______，x1 · x2 = ______。
ax2 + bx + c = a (x－ x1) (x－ x2)
完成练习册本课时的习题。
课后作业

展开更多......

收起↑