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7.4.2 超几何分布
第七章　随机变量及其分布
7.4 二项分布与超几何分布
一般地，在n重伯努利试验中，设每次试验中事件A发生的概率为p (0 如果随机变量X的分布列具有上式的形式，则称随机变量X服从二项分布， 记作X ~ B(n, p).
复习回顾
一. 二项分布
探究新知
问题1：已知100件产品中有8件次品，有放回的随机抽取4件. 设抽取的4件产品中次品数为X，求随机变量X的分布列.
每次抽到次品的概率为0.08，且各次抽样的结果相互独立，此时X服从二项分布，即X~B(4, 0.08).
回顾：应用古典概型求概率包含哪些步骤？
所以，随机变量X的分布列为
①计算样本空间中样本点的个数
②计算符合条件的样本点的个数
③求比值.
探究新知
问题1：已知100件产品中有8件次品，有放回的随机抽取4件. 设抽取的4件产品中次品数为X，求随机变量X的分布列.
应用古典概型求概率的步骤？
①计算样本空间中样本点的个数
②计算符合条件
的样本点的个数
③求比值????(????=????).
?
X=0
X=1
X=2
X=3
X=4
有放回抽取，每次都是从100件产品中抽取1件
抽取的4件产品中次品数为0，1，2，3，4
探究新知
问题1：已知100件产品中有8件次品，有放回的随机抽取4件. 设抽取的4件产品中次品数为X，求随机变量X的分布列.
古典概型求解得到得分布列表达式
二项分布表达式
探究新知
问：如果采用不放回抽样，那么抽取的4件产品中次品数X是否也服从二项分布?
采用不放回抽样，虽然每次抽到次品的概率都是0.08，但每次抽取不是同一个试验，各次抽取的结果不独立，不符合n重伯努利试验的特征，因此X不服从二项分布.
问题2：已知100件产品中有8件次品，不放回的随机抽取4件. 设抽取的4件产品中次品数为X，求随机变量X的分布列.
探究新知
问题2：已知100件产品中有8件次品，不放回的随机抽取4件. 设抽取的4件产品中次品数为X，求随机变量X的分布列.
8件次品
92件正品
8件次品
92件正品
抽取4件产品
4件正品
8件次品
92件正品
抽取4件产品
3件正品
1件次品
8件次品
92件正品
抽取4件产品
2件正品
2件次品
8件次品
92件正品
抽取4件产品
1件正品
3件次品
8件次品
92件正品
抽取4件产品
4件次品
100件产品
探究新知
思考：已知100件产品中有8件次品，采用不放回的方式随机抽取4件. 设抽取的4件产品中次品数为X，如何求随机变量X的分布列？
可以根据古典概型求????的分布列.
?
由题意可知，????可能的取值为________________.
从100件产品中任选4件，样本空间包含______个样本点，且每个样本点等可能发的.
其中“4件产品中恰有????件次品”包含________个样本点，
由古典概型的知识，得????的分布列为????(????=????)=___________，????=0，1，2，3，4.
?
0，1，2，3，4
X
0
1
2
3
4
P
????80????924????1004
?
????81????923????1004
?
????82????922????1004
?
????83????921????1004
?
????84????920????1004
?
超几何分布
探究新知
三.超几何分布
一般地, 假设一批产品共有N件, 其中有M件次品. 从N件产品中随机抽取n件(不放回), 用X表示抽取的n件产品中的次品数, 则X的分布列为
m＝max{0, n-N+M}, r＝min{n, M}.
如果随机变量X的分布列具有上式的形式,那么称随机变量X服从超几何分布.
M件次品
N-M件正品
抽取n件产品
n-k件正品
k件次品
其中n, N, M∈N*, M≤N, n≤N,
思考：你能结合Venn图的约束关系，探究随机变量取值k的取值范围吗？
探究新知
三.超几何分布
一般地, 假设一批产品共有N件, 其中有M件次品. 从N件产品中随机抽取n件(不放回), 用X表示抽取的n件产品中的次品数, 则X的分布列为
其中n, N, M∈N*, M≤N, n≤N, m＝max{0, n-N+M}, r＝min{n, M}. 如果随机变量X的分布列具有上式的形式,那么称随机变量X服从超几何分布.
N—总体中的个体总数
M—总体中的特殊个体总数(如次品总数)
n—样本容量
k—样本中的特殊个体数（如次品数)
提醒：正确理解其条件以及参数????,????,????,????的意义
?
探究新知
三.超几何分布
一般地, 假设一批产品共有N件, 其中有M件次品. 从N件产品中随机抽取n件(不放回), 用X表示抽取的n件产品中的次品数, 则X的分布列为
其中n, N, M∈N*, M≤N, n≤N, m＝max{0, n+M-N}, r＝min{n, M}. 如果随机变量X的分布列具有上式的形式,那么称随机变量X服从超几何分布.
设抽取的4件产品中次品数为X，
①100件产品中有8件次品，无放回随机抽取4件，则X的的可能取值为_________
②100件产品中有3件次品，无放回随机抽取5件，则X的的可能取值为_______
③10件产品中有7件次品，无放回随机抽取5件，则X的的可能取值为________
2,3,4,5
0,1,2,3
0,1,2,3,4
概念辨析
1. 判断下列随机变量是否服从超几何分布，如果服从，其中的N, M，n，k的取值分别是什么？
（1）某射击选手的命中率为0.8，现对目标射击3次，命中目标的次数X；
（2）盒中4个白球和3个黑球，不放回地摸取3个球，摸到黑球的个数X；
（3）袋中有10个球，其中7个红球，3个白球，每次不放回地从中摸出一个球，X 是首次摸出白球时的总次数；
（4）从4名男演员和3名女演员中选4人，其中女演员的人数X；
（5）10个村庄中有4个村庄交通不方便，若用随机变量X 表示任选7个村庄中交通不方便的村庄个数；
×
√
×
√
√
N=7,M=3,n=3，k=0,1,2,3
N=10,M=4,n=7,k=0,1,2,3,4
N=7,M=3,n=4，k=0,1,2,3
课堂练习
B
小结特点
超几何分布
特点：(1) “总体由差异较明显的两类个体组成”： 如“男生、女生”， “正品、次品”; (2) 不放回抽样
一般地, 假设一批产品共有N件, 其中有M件次品. 从N件产品中随机抽取n件(不放回), 用X表示抽取的n件产品中的次品数, 则X的分布列为
其中n, N, M∈N*, M≤N, n≤N,
m＝max{0, n-N+M}, r＝min{n, M}.
如果随机变量X的分布列具有上式的形式,那么称随机变量X服从超几何分布.
M件次品
N-M件正品
抽取n件产品
n-k件正品
k件次品
思考：超几何分布有什么特点
解：设X表示选出的5名学生中含甲的人数（只能取0或1），
则X服从超几何分布，
例1 从50 名学生中随机选出5名学生代表，求甲被选中的概率.
容易发现，每个人被抽到的概率都是 . 这个结论非常直观，上述解答过程就是这一结论的推导过程.
因此甲被选中的概率为
例题讲解
辨模型
定取值
用公式
且N＝50, M＝1, n＝5.
1名甲
49名非甲
抽取5名代表
4名非甲
1名甲
解：设X表示抽取10个零件中不合格品数，则X服从超几何分布，其分布列为
例2 一批零件共有30个，其中有3个不合格. 随机抽取10个零件进行检测，求至少有1件不合格的概率.
∴至少有1件不合格的概率为
例题讲解
间接法：
3个不合格
27个合格
抽取10个零件
27-k个不合格
k个合格
1. 一箱24罐的饮料中4罐有奖券，每张奖券奖励饮料一罐，从中任意抽取2罐，求这2罐中有奖券的概率.
解：设抽出的2罐中有奖券的罐数为X，则X服从超几何分布，从而抽取2罐中有奖券的概率为
2. 学校要从12名候选人中选4名同学组成学生会,已知有4名候选人来自甲班. 假设每名候选人都有相同的机会被选到, 求甲班恰有2名同学被选到的概率.
解：设选到的4人中甲班同学的人数为X，则X服从超几何分布，从而甲班恰有2人被选到的概率为
课堂练习
课堂小结
一.超几何分布及其分布列
一般地, 假设一批产品共有N件, 其中有M件次品. 从N件产品中随机抽取n件(不放回), 用X表示抽取的n件产品中的次品数, 则X的分布列为
其中n, N, M∈N*, M≤N, n≤N,
m＝max{0, n-N+M}, r＝min{n, M}.
如果随机变量X的分布列具有上式的形式,
那么称随机变量X服从超几何分布.
M件次品
N-M件正品
抽取n件产品
n-k件正品
k件次品
{00A15C55-8517-42AA-B614-E9B94910E393}
超几何分布
二项分布
试验类型
抽样
抽样
试验种数
有 类物品
有 类结果
随机变量取值的概率
利用 计算
利用 计算
已知条件
不放回
放回
两
两
古典概型
独立重复试验
二.超几何分布与二项分布的区别：
课堂小结
需要总体中两类的具体数目
只需要一类占总体的比例
布置作业
作业1：课本P80练习2、3题，P81习题第5题
作业2：以问题2为例考虑抽取的次序（逐个不放回抽取）和不考虑抽取的次序（一次性抽取）, 对分布列的计算有影响吗？为什么？（小组为单位完成）

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