资源简介

2026年高考全国一卷数学仿真题
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．已知复数 z = (1 + 2i)(a - i) 的实部为 3，则 z 的虚部为（ ）
A．1 B．-1 C．5 D．-5
2．已知集合 A = {(x, y) | x + y ≤ 4}, B = {(x, y) | y ≥ }，则集合 B∩A 中元素个数为（ ）
A．0 B．1 C．2 D．无数个
3．已知椭圆 C 的长轴长是短轴长的 2 倍，则 C 的离心率为（ ）
A． B． C． D．
4．在人工智能模型训练中，损失函数 L(a) = sin(πax) + cos(2ax)，已知 x = 1/2 时该函数图象关于点 (0, 0) 中心对称，则 a 的最小正值为（ ）
A．1/3 B．1/2 C．2/3 D．1
5．已知是定义在上且周期为2的偶函数，当时，，则（ ）
A． B． C． D．
6．在航天工程中，飞船与空间站对接需要进行速度合成。已知飞船的速度向量为 v，空间站测得的相对速度向量为 u，实际风速产生的速度向量满足 w = u + v。若 |v| = 7.9 km/s，|u| = 0.2 km/s，v 与 u 夹角为 60°，则 |w| 约为（ ）
A．7.9 km/s B．8.0 km/s C．8.1 km/s D．8.2 km/s
7．已知圆上到直线的距离为1的点有且仅有2个，则r的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
8．已知，则x，y，z的大小关系不可能是（ ）
A． B．
C． D．
二、多选题
9．在正三棱柱中，D为BC的中点，则（ ）
A． B．平面
C． D．平面
10．已知抛物线的焦点为F，过F的一条直线交C于A，B两点，过A作直线的垂线，垂足为D，过F且与直线垂直的直线交于点E，则（ ）
A． B．
C． D．
11．已知的面积为，若，则（ ）
A． B．
C． D．
三、填空题
12．若直线是曲线的一条切线，则_________.
13．若一个等比数列的各项均为正数，且前4项的和等于4，前8项的和等于68，则这个数列的公比等于_________.
14．近年来，直播带货成为新的销售模式，某主播每天带货直播，假设每次直播卖出超过 100 万件产品的概率为 1/3，且各次直播相互独立，记 X 为主播在连续 5 天直播中卖出超 100 万件的天数，则方差 DX = __________；数学期望 EX = __________.
四、解答题
15．为探究某新型疾病与超声波检查结果的相关性，研究者于2025年从某地区接受过超声检查的体检人群中，随机抽取了1000名受检者，整理得到以下列联表。
超声波检查结果组别 正常 不正常 合计
患该疾病 20 180 200
未患该疾病 780 20 800
合计 800 200 1000
(1)记超声波检查结果不正常者患该疾病的概率为p，求p的估计值；
(2)根据小概率值的独立性检验，分析超声波检查结果是否与患该疾病有关.
附，
0.050 0.010 0.001
3.841 6.635 10.828
16．已知数列中，，.
(1)证明：数列是等差数列；
(2)给定正整数m，设函数，求．
17．如图,在四棱锥中，底面，．
(1)证明：平面平面；
(2)设，且点，，，均在球的球面上．
（i）证明：点在平面内；
（ⅱ）求直线与所成角的余弦值．
18．已知椭圆的离心率为，下顶点为A，右顶点为B，．
(1)求C的方程；
(2)已知动点P不在y轴上，点R在射线AP上，且满足．
（i）设，求的坐标（用m，n表示）；
（ⅱ）设O为坐标原点，是C上的动点，直线OR的斜率为直线的斜率的3倍，求的最大值．
19．（1）求函数在区间的最大值；
（2）给定和，证明：存在使得；
（3）设，若存在使得对恒成立，求b的最小值．
试卷第2页，共4页
试卷第1页，共4页
《2025年高考全国一卷数学真题》参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 B D B B A B B B BD ACD
题号 11
答案 ABC
1．B
解析：
z = (1 + 2i)(a - i) = a - i + 2ai - 2i = a - i + 2ai + 2 = (a + 2) + (2a - 1)i
由题意，实部 a + 2 = 3，解得 a = 1。
代入虚部：2a - 1 = 2×1 - 1 = 1。
故 z 的虚部为 1，选 B。
2． D
解析：
集合 A 表示以原点为圆心、半径为 2 的圆面（含边界）。
集合 B 表示曲线 y = e^x 上方（含边界）的区域。
由于 y = e^x 是连续曲线，且当 x = -2 时，e^(-2) ≈ 0.135 < 2；当 x = 0 时，e^0 = 1 < 2；当 x = ln2 ≈ 0.693 时，e^(ln2) = 2，此时点 (ln2, 2) 在圆 x + y = 4 上。
因此曲线 y = e^x 在圆面内穿过，B∩A 包含无穷多个点，选 D。
3． B
解析：
设椭圆方程为 x /a + y /b = 1（a > b > 0），长轴长为 2a，短轴长为 2b。
由题意：2a = 2 × 2b，即 a = 2b。
离心率 e = c/a = √(a - b )/a = √(4b - b )/(2b) = √(3b )/(2b) = √3/2。
选 B。
4．B
根据题意，损失函数为 ，已知当 时，函数图象关于点 中心对称。这意味着点 关于原点的对称点 也在图象上，即 。
计算得：
代入条件：
化简得 ，即 ，所以 ，，其中 。取最小正值得 。
因此， 的最小正值为 ，对应选项 B。
5．A
【难度】0.85
【知识点】由函数的周期性求函数值、函数奇偶性的应用
【分析】根据周期性和奇偶性把待求自变量转化为的范围中求解.
【详解】由题知对一切成立，
于是.
故选：A
6．答案：B
解析：
由余弦定理：|w| = |u| + |v| + 2|u||v|cos60°
= 0.2 + 7.9 + 2×0.2×7.9×0.5
= 0.04 + 62.41 + 1.58
= 64.03
|w| = ≈ 8.0019 ≈ 8.0 km/s。
选 B。
7．B
【难度】0.65
【知识点】求点到直线的距离、坐标法的应用——直线与圆的位置关系、圆上点到定直线（图形）上的最值（范围）
【分析】先求出圆心到直线的距离，然后结合图象，即可得出结论.
【详解】由题意，
在圆中，圆心，半径为，
到直线的距离为的点有且仅有 个，
∵圆心到直线的距离为：，

故由图可知，
当时，
圆上有且仅有一个点（点）到直线的距离等于；
当时，
圆上有且仅有三个点（点）到直线的距离等于；
当则的取值范围为时，
圆上有且仅有两个点到直线的距离等于.
故选：B.
8．B
【难度】0.4
【知识点】对数的运算性质的应用、对数函数单调性的应用
【分析】法一：设，对讨论赋值求出，即可得出大小关系，利用排除法求出；
法二：根据数形结合解出.
【详解】法一：设，所以
令，则，此时，A有可能；
令，则，此时，C有可能；
令，则，此时，D有可能；
故选：B．
法二：设，所以，
根据指数函数的单调性，易知各方程只有唯一的根，
作出函数的图象，以上方程的根分别是函数的图象与直线的交点纵坐标，如图所示：
易知，随着的变化可能出现：，，，，
故选：B．
9．BD
【难度】0.65
【知识点】证明线面垂直、空间位置关系的向量证明、证明线面平行、求平面的法向量
【分析】法一：对于A，利用空间向量的线性运算与数量积运算即可判断；对于B，利用线面垂直的判定与性质定理即可判断；对于D，利用线面平行的判定定理即可判断；对于C，利用反证法即可判断；法二：根据题意建立空间直角坐标系，利用空间向量法逐一分析判断各选项即可得解.
【详解】法一：对于A，在正三棱柱中，平面，
又平面，则，则，
因为是正三角形，为中点，则，则
又，
所以，
则不成立，故A错误；
对于B，因为在正三棱柱中，平面，
又平面，则，
因为是正三角形，为中点，则，，
又平面，
所以平面，故B正确；
对于D，因为在正三棱柱中，
又平面平面，所以平面，故D正确；
对于C，因为在正三棱柱中，，
假设，则，这与矛盾，
所以不成立，故C错误；
故选：BD.
法二：如图，建立空间直角坐标系，设该正三棱柱的底边为，高为，
则，
对于A，，
则，
则不成立，故A错误；
对于BD，，
设平面的法向量为，
则，得，令，则，
所以，，
则平面，平面，故BD正确；
对于C，，
则，显然不成立，故C错误；
故选：BD.
10．ACD
【难度】0.4
【知识点】求直线与抛物线相交所得弦的弦长、与抛物线焦点弦有关的几何性质、抛物线定义的理解
【分析】对于A，先判断得直线为抛物线的准线，再利用抛物线的定义即可判断；对于B，利用三角形相似证得，进而得以判断；对于C，利用直线的反设法（法一）与正设法（法二），联立直线与抛物线方程，结合韦达定理与焦点弦公式可判断C；利用利用三角形相似证得，，结合焦半径公式可判断D.
【详解】法一：对于A，对于抛物线，
则，其准线方程为，焦点，
则为抛物线上点到准线的距离，为抛物线上点到焦点的距离，
由抛物线的定义可知，，故A正确；
对于B，过点作准线的垂线，交于点，
由题意可知，则，
又，，所以，
所以，同理，
又，
所以，即，
显然为的斜边，则，故B错误；
对于C，易知直线的斜率不为，
设直线的方程为，，
联立，得，
易知，则，
又，，
所以，
当且仅当时取等号，故C正确；
对于D，在与中，，
所以，则，即，
同理，
又
，
，
所以，
则，故D正确.
故选：ACD.
法二：对于A，对于抛物线，
则，其准线方程为，焦点，
则为抛物线上点到准线的距离，为抛物线上点到焦点的距离，
由抛物线的定义可知，，故A正确；
对于B，过点作准线的垂线，交于点，
由题意可知，则，
又，，所以，
所以，同理，
又，
所以，即，
显然为的斜边，则，故B错误；
对于C，当直线的斜率不存在时，；
当直线的斜率存在时，设直线方程为，
联立，消去，得，
易知，则，
所以
，
综上，，故C正确；
对于D，在与中，，
所以，则，即，
同理，
当直线的斜率不存在时，，；
所以，即；
当直线的斜率存在时，，
，
所以，
则；
综上，，故D正确.
故选：ACD.
11．ABC
【难度】0.4
【知识点】二倍角的余弦公式、三角恒等变换的化简问题、比较正弦值的大小
【分析】对由二倍角公式先可推知A选项正确，方法一分情况比较和的大小，方法二亦可使用正余弦定理讨论解决，方法三可结合射影定理解决，方法四可在法三的基础上，利用和差化积公式，回避讨论过程；，然后利用算出取值，最后利用三角形面积求出三边长，即可判断每个选项.
【详解】，由二倍角公式，，
整理可得，，A选项正确；
由诱导公式，，
展开可得，
即，
下证.
方法一：分类讨论
若，则可知等式成立；
若，即，由诱导公式和正弦函数的单调性可知，，同理，
又，于是，
与条件不符，则不成立；
若，类似可推导出，则不成立.
综上讨论可知，，即.
方法二：边角转化
时，由，则，
于是，
由正弦定理，，
由余弦定理可知，，则，
若，则，注意到，则，
于是（两者同负会有两个钝角，不成立），于是，
结合，而都是锐角，则，
于是，这和相矛盾，
故不成立，则
方法三：结合射影定理（方法一改进）
由，结合正弦定理可得，，由射影定理可得，于是，
则，可同方法一种讨论的角度，推出，
方法四：和差化积（方法一改进）
续法三：
，可知同时为或者异号，即，展开可得，
，
即，结合和差化积，，由上述分析，，则，则，则，即，于是，可知.
由，由，则，即，
则，同理，由上述推导，，则，
不妨设，则，即，
由两角和差的正弦公式可知，C选项正确
由两角和的正切公式可得，，
设，则，
由，则，则，
于是，B选项正确，由勾股定理可知，，D选项错误.
故选：ABC
12．
【难度】0.85
【知识点】已知切线（斜率）求参数、导数的加减法
【分析】法一：利用导数的几何性质与导数的四则运算求得切点，进而代入曲线方程即可得解；法二：利用导数的几何性质与导数的四则运算得到关于切点与的方程组，解之即可得解.
【详解】法一：对于，其导数为，
因为直线是曲线的切线，直线的斜率为2，
令，即，解得，
将代入切线方程，可得，
所以切点坐标为，
因为切点在曲线上，
所以，即，解得.
故答案为：.
法二：对于，其导数为，
假设与的切点为，
则，解得.
故答案为：.
13．
【难度】0.85
【知识点】等比数列前n项和的基本量计算、等比数列通项公式的基本量计算
【分析】法一：利用等比数列的求和公式作商即可得解；法二：利用等比数列的通项公式与前项和的定义，得到关于的方程，解之即可得解；法三：利用等比数列的前项和性质得到关于的方程，解之即可得解.
【详解】法一：设该等比数列为，是其前项和，则，
设的公比为，
当时，，即，则，显然不成立，舍去；
当时，则，
两式相除得，即，
则，所以，
所以该等比数列公比为2.
故答案为：.
法二：设该等比数列为，是其前项和，则，
设的公比为，
所以，
，
所以，则，所以，
所以该等比数列公比为2.
故答案为：2.
法三：设该等比数列为，是其前项和，则，
设的公比为，
因为，
又，
所以，所以，
所以该等比数列公比为.
故答案为：.
14．答案：10/9；5/3
解析：
X ~ B(5, 1/3)（二项分布）。
EX = np = 5 × 1/3 = 5/3。
DX = np(1-p) = 5 × 1/3 × 2/3 = 10/9。
15．(1)
(2)有关
【难度】0.85
【知识点】独立性检验解决实际问题、计算古典概型问题的概率
【分析】（1）根据古典概型的概率公式即可求出；
（2）根据独立性检验的基本思想,求出,然后与小概率值对应的临界值比较,即可判断.
【详解】（1）根据表格可知，检查结果不正常的人中有人患病，所以的估计值为；
（2）零假设为：超声波检查结果与患病无关，
根据表中数据可得，，
根据小概率值的独立性检验，我们推断不成立，即认为超声波检查结果与患该病有关，该推断犯错误的概率不超过.
16．(1)证明见解析；
(2)
【难度】0.65
【知识点】由递推关系证明数列是等差数列、错位相减法求和、导数的运算法则、求等比数列前n项和
【分析】（1）根据题目所给条件化简，即可证明结论；
（2）先求出的通项公式，代入函数并求导，函数两边同乘以，作差并利用等比数列前项和得出导函数表达式，即可得出结论.
【详解】（1）由题意证明如下，，
在数列中，，，
∴，即，
∴是以为首项，1为公差的等差数列.
（2）由题意及（1）得，，
在数列中，首项为3，公差为1，
∴，即，
在中，
，
∴，
当且时，
∴，
∴
∴
.
17．(1)证明见解析；
(2)（i）证明见解析；
（ii）.
【难度】0.65
【知识点】多面体与球体内切外接问题、异面直线夹角的向量求法、求异面直线所成的角、证明面面垂直
【分析】（1）通过证明，，得出平面，即可证明面面垂直；
（2）（i）建立空间直角坐标系并表达出各点的坐标，假设在同一球面上，在平面中，得出点坐标，进而得出点在空间中的坐标，计算出，即可证明结论；
（ii）写出直线和的方向向量，即可求出余弦值.
【详解】（1）由题意证明如下，
在四棱锥中，⊥平面，，
平面，平面，
∴，，
∵平面，平面，，
∴平面，
∵平面，
∴平面平面.
（2）（i）由题意及（1）证明如下，
在四棱锥中，，，，∥，
，，
建立空间直角坐标系如下图所示，
∴，
若，，，在同一个球面上，
则，
在平面中，
∴，
∴线段中点坐标，
直线的斜率：，
直线的垂直平分线斜率：，
∴直线的方程：，
即，
当时，，解得：，
∴
在立体几何中，，
∵
解得：，
∴点在平面上.
（ii）由题意，（1）（2）（ii）及图得，
，
设直线与直线所成角为，
∴.
法2：
由几何知识得，，
，∥，
∴，
在Rt中，，，由勾股定理得，
，
过点作的平行线，交的延长线为，连接，，
则，直线与直线所成角即为中或其补角.
∵平面，平面，，
∴，
在Rt中，，，由勾股定理得，
，
在Rt中，，由勾股定理得，
，
在中，由余弦定理得，
，
即：
解得：
∴直线与直线所成角的余弦值为：.
18．(1)
(2)(ⅰ) (ⅱ)
【难度】0.4
【知识点】根据a、b、c求椭圆标准方程、求椭圆中的最值问题
【分析】（1）根据题意列出的关系式,解方程求出,即可得到椭圆的标准方程；
（2）(ⅰ)设,根据斜率相等以及题目条件列式,化简即可求出或者利用数乘向量求出；
(ⅱ) 根据斜率关系可得到点的轨迹为圆（除去两点），再根据点与圆的最值求法结合三角换元或者直接运算即可解出.
【详解】（1）由题可知,，所以，解得，
故椭圆C的标准方程为；
（2）(ⅰ)设，易知，
法一：所以，故，且．
因为，，所以，
即，解得，所以，
所以点的坐标为.
法二：设，则，所以
，，故
点的坐标为.
(ⅱ)因为,,由,可得
,化简得,即,
所以点在以为圆心,为半径的圆上（除去两个点）,
为到圆心的距离加上半径,
法一：设,所以
,当且仅当时取等号,
所以.
法二：设，则，
，当且仅当时取等号,
故.
19．(1)
(2)证明见解析
(3)
【难度】0.15
【知识点】由导数求函数的最值（不含参）、解余弦不等式
【分析】（1）利用导数结合三角变换得导数零点，讨论导数的符号后得单调性，从而可求最大值；或者利用均值不等式可求最大值.
（2）利用反证法可证三角不等式有解；
（3）先考虑时的范围，对于时，可利用（2）中的结论结合特值法求得，从而可得的最小值；或者先根据函数解析特征得，再结合特值法可得，结合（1）的结果可得的最小值.
【详解】（1）法1：，
因为，故，故，
当时，即，
当时，即，
故在上为增函数，在为减函数，
故在上的最大值为.
法2：我们有
.
所以：
.
这得到，同时又有，
故在上的最大值为，在上的最大值也是.
（2）法1：由余弦函数的性质得的解为，，
若任意与交集为空，
则且，此时无解，
矛盾，故无解；故存在，使得，
法2：由余弦函数的性质知的解为，
若每个与交集都为空，
则对每个，必有或之一成立.
此即或，但长度为的闭区间上必有一整数，
该整数不满足条件，矛盾.
故存在，使得成立.
（3）法1：记，
因为，
故为周期函数且周期为,故只需讨论的情况.
当时，，
当时，，
此时，
令，则，
而，
，故，
当，在（2）中取，则存在，使得，
取，则，取即，
故，故，
综上，可取，使得等号成立.
综上，.
法2：设.
①一方面，若存在，使得对任意恒成立，
则对这样的，同样有.
所以对任意恒成立，这直接得到.
设，则根据恒成立，有
所以均不超过，
再结合，
就得到均不超过.
假设，则，
故.
但这是不可能的，因为三个角和单位圆的交点将单位圆三等分，
这三个点不可能都在直线左侧.
所以假设不成立，这意味着.
②另一方面，若，则由（1）中已经证明，
知存在，使得.
从而满足题目要求.
综合上述两个方面，可知的最小值是.
答案第16页，共25页
答案第15页，共25页

展开更多......

收起↑