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江西九江市六校2025-2026学年高一下学期期中联考数学试卷
一、单选题：本大题共8小题，共40分。
1.已知全集，集合，，则( )
A. B. C. D.
2.已知扇形的周长为圆心角为，则该扇形的面积为( )
A. B. C. D.
3.( )
A. B. C. D.
4.若角的终边上有一点，且，则( )
A. B. C. 或 D. 或
5.已知向量，向量在向量上的投影向量的坐标为，则( )
A. B. C. D.
6.如图，一块三角形铁皮，其一角已破裂，小明为了了解原铁皮的规格，现测得如下数据：，，，，则破裂点，两点间的距离为( )
A. B. C. D.
7.若定义在上的偶函数在区间上单调递减，且，则关于的不等式的解集为( )
A. B.
C. D.
8.已知函数的最大值为，若存在实数，，使得对任意实数，都有，则的最小值为( )
A. B. C. D.
二、多选题：本大题共3小题，共18分。
9.已知，则( )
A. B. C. D.
10.已知，且，，则( )
A. B.
C. D.
11.如图，已知正八边形的边长为，点是正八边形边上的动点，则下列说法正确的是( )
A. 若，则
B. 存在点，使得
C. 的最大值为
D. 若函数，则函数的最小值为
三、填空题：本大题共3小题，共15分。
12.已知平面向量，满足，，且，则向量与的夹角为 ．
13.已知函数的部分图象如图所示则 ；若将函数图象上的点向右平移个单位长度得到点，且点仍在函数的图象上，则的最小值为 ．
14.已知是的外心，点为的中点，满足，，若，则面积的最大值为 ．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.某校为了解高一学生的体能情况，进行了一次体能测试，共人参加本次测试测试成绩均在内，将所得数据分成组：，，，得到如图所示的频率分布直方图．
求的值，并估计这次体能测试成绩的平均数同一组中的数据用该组区间的中点值作代表；
在某项体能测试中，甲、乙两人各自体能测试成绩为满分的概率分别是和，求至少有一人的体能测试成绩为满分的概率．
16.已知，，求；若，求的值．
17.在中，内角，，的对边分别为，，，且．
求角的大小；
若，，求的周长．
18.已知向量，，函数．
若，且，求的值；
若函数．
(ⅰ)求的最小正周期和单调递增区间；
(ⅱ)设函数，若对任意的，总存在，使得成立，求的取值范围．
19.如图，在四边形中，，，点是的中点，点满足，且与交于点．

求的值；
已知，点在以为圆心，为半径的圆上运动．
(ⅰ)求；
(ⅱ)求的取值范围．
参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.解：因为组距为，所以，
解得．
平均数为．
没人满分的概率为，
所以至少一人满分的概率为．

16.解：；
，即，
则．

17.解：由正弦定理为外接圆半径，得，，
代入已知等式：因为，故，
两边约去得：又，
故，
代入上式：，
展开左边消去两边同类项得：由，
得，又，故
由正弦定理得：故，，则，
代入得。由余弦定理，
代入已知值：化简得，结合，
代入得：解得，因故，
因此的周长为．

18.解：由已知，，
因为，所以，因为，所以，
．
，最小正周期，
令，因为的单调递增区间为，
所以，解得，
所以的单调递增区间为．
，
因为对任意的，总存在，使得成立，
所以，
令，所以，
在上单调递增，在单调递减，
所以，所以，
令，所以，
函数可化为，开口向下，对称轴，
当，在上单调递增，，
即，由于，所以，解得，
所以；
当，在上单调递增，在上单调递减，
则，即，
由于，所以，解得，
所以；
当，在上单调递减，，
即，由于，所以，解得，
所以；
综上所述，的取值范围为．

19.解：设，，因为，所以，
因为在四边形中，，所以，
因为，
已知，所以，所以，，
因为，，共线，设，因为点是的中点，
所以，，
因为，，三点共线，设，
，
由平面向量基本定理可得，，解得，
因为，所以向量与方向相同，故．
，因为，
所以，
所以，所以，
所以，所以．
因为，所以为线段的中点，即有，
所以，
所以，进而得到，
因为点在以为圆心，为半径的圆上运动，所以，设，
因为，，
所以，，
设与的夹角为，则，所以，
所以，
令，所以，
因为，所以，所以当时，取得最小值，所以最小值为，
当时，取得最大值，最大值为，
所以，所以，所以的取值范围为．

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