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素养提升15　三类动态圆、磁聚焦和磁发散
1.如图所示，一线状粒子源垂直于磁场边界不断地发射速度相同的同种粒子，不考虑粒子间的相互作用，则粒子经过磁场的区域（阴影部分）可能的是（　　）
2.如图所示，在x轴的上方（y≥0）存在着垂直于纸面向里的匀强磁场（未画出），磁感应强度大小为B。在原点O有一个离子源向x轴上方的各个方向发射出质量为m、带电荷量为q的正离子，速率都为v。对那些在xOy平面内运动的离子，在磁场中可能到达的位置中离x轴及y轴最远距离分别为（　　）
A.　 B.　
C.　 D.　
3.如图所示，空间存在四分之一圆形磁场区域，半径为R，磁感应强度大小为B，磁场方向垂直纸面向外。一电子以初速度v从圆心O沿OC方向射入磁场，恰好由A点射出。弧AD对应的圆心角为60°，要使电子从弧A、D之间射出（不包括A、D两点），电子从O点射入的初速度可能是（不计电子的重力）（　　）
A.　　　B. C.2v　　　D.3v
4.（2026·云南临沧期末）如图所示，在直角三角形abc区域（含边界）内存在垂直于纸面向里、磁感应强度大小为B的匀强磁场，∠c＝30°，a点处的粒子源持续将比荷为k的带正电粒子以大小和方向不同的速度射入磁场中，不计粒子的重力及粒子间的相互作用，则粒子在磁场中运动的最长时间为（　　）
A.　　 B. C.　　 D.
5.〔多选〕如图所示，平行线MN、PQ间有垂直纸面向外的匀强磁场，磁场的磁感应强度大小为B，MN、PQ间的距离为L。在MN上的a点有一粒子源，可以沿垂直于磁场的各个方向射入质量为m、电荷量为q的带负电的粒子，且这些粒子的速度大小相等。这些粒子经磁场偏转后，穿过PQ边界线的最低点为b点。已知c是PQ上的一点，ac垂直于PQ，c、b间的距离为L，则下列说法正确的是（　　）
A.粒子在磁场中做圆周运动的半径为L
B.粒子在磁场中运动的速度大小为
C.粒子从PQ边射出的区域长为L
D.沿斜向下与MN夹角为30°方向射入的粒子恰好从c点射出磁场
6.〔多选〕（2026·河北石家庄模拟）如图所示，真空中半径为R的圆形区域内有垂直圆面，磁感应强度大小为B的匀强磁场。圆周上P点有粒子源，圆外与OP平行放置粒子收集板，板长为R，板关于与垂直于OP过圆心O的直线对称放置。粒子源可均匀地向圆形区域180°范围内各个方向发射速度大小相同，质量均为m，电荷量均为q的带正电粒子，部分粒子可垂直打在收集板上，不计粒子的重力及粒子间的相互作用力。下列说法正确的是（　　）
A.圆形区域内磁场方向垂直圆面向外
B.能够打在收集板上的粒子数占总数的
C.能够打在收集板上的粒子在磁场中运动的最长时间为
D.若粒子速度增大，打在收集板上的粒子速度方向仍与收集板垂直
7.一匀强磁场的磁感应强度大小为B，方向垂直于纸面向外，其边界如图中虚线所示，其中虚线bc足够长，∠abc＝135°。其他地方磁场的范围足够大。一束质量为m、电荷量为q的带正电粒子，在纸面内从a点垂直于ab射入磁场，这些粒子具有各种速率。不计粒子之间的相互作用及粒子重力。以下说法正确的是（　　）
A.从bc边射出的粒子在磁场中运动的时间都相等
B.若从a点入射的速度越大，则在磁场中运动的时间越长
C.粒子在磁场中最长运动时间不大于
D.粒子在磁场中最长运动时间不大于
8.〔多选〕（2025·甘肃高考10题）2025年5月1日，全球首个实现“聚变能发电演示”的紧凑型全超导托卡马克核聚变实验装置（BEST）在我国正式启动总装。如图是托卡马克环形容器中磁场截面的简化示意图，两个同心圆围成的环形区域内有垂直纸面向里的匀强磁场，磁感应强度大小为B，内圆半径为R0。在内圆上A点有a、b、c三个粒子均在纸面内运动，并都恰好到达磁场外边界后返回。已知a、b、c带正电且比荷均为，a粒子的速度大小为va＝，方向沿同心圆的径向；b和c粒子速度方向相反且与a粒子的速度方向垂直。不考虑带电粒子所受的重力和相互作用。下列说法正确的是（　　）
A.外圆半径等于2R0 B.a粒子返回A点所用的最短时间为
C.b、c两粒子返回A点所用的最短时间之比为 D.c粒子的速度大小为va
9.如图虚线所示的圆形区域内有垂直纸面向里的匀强磁场，磁感应强度大小为B，磁场区域圆的半径为R。质量为m、电荷量为q（q＞0）的带电粒子在纸面内从圆周上的M点射入磁场。不计粒子重力。
（1）如果一个带电粒子沿直径MON方向射入磁场，速度v1＝，该粒子在磁场中运动的时间为多少？
（2）如果大量相同的带电粒子以相同的速率v2在纸面内从M点沿不同方向射入磁场，不计粒子间相互作用，v2＝，求粒子在磁场中运动时间的最大值；
（3）如果大量相同的带电粒子以相同的速率v3在纸面内从M点沿不同方向射入磁场，v3＝，求这些粒子在磁场边界上出射点分布的长度。
10.（2026·江苏常州模拟）如图所示，在xOy平面的x轴上方区域范围内存在着范围足够大的匀强磁场，磁感应强度大小为B＝。在空间坐标（ x＝0，y＝）处有一粒子源，在某一时刻向平面内各个方向均匀发射N个（N足够大）质量为m、电荷量为－q，速度为v0的带电粒子（不计粒子重力及粒子间的相互作用，题中N、a、m、q、v0均为已知量）。求：
（1）粒子在磁场中运动的半径R和周期T；
（2）x轴上能接收到粒子的区域长度L；
（3）能到达x轴的粒子所占粒子总数的比例η。
素养提升15　三类动态圆、磁聚焦和磁发散
1.C　
粒子在磁场中做匀速圆周运动，如图所示，粒子源最左端发射的粒子落在A点，最右端发射的粒子落在B点，利用平移圆法，将轨迹由左侧移到右侧，可得粒子经过的磁场区域如图C所示，故选C。
2.A　若让沿x轴正方向射出的离子的轨迹圆绕O点缓慢转动（如图所示），不难得出离y轴最远为｜x｜＝2r＝，离x轴最远为y＝2r＝，所以A项正确。
3.B　根据题意，速度为v时，恰好由A点射出，如图中轨迹Ⅰ，由几何关系可得r＝，由牛顿第二定律有qvB＝m，联立可得R＝，要使电子恰好从D点射出，如图中轨迹Ⅱ，根据几何关系可得r'＝R，则有R＝，解得v'＝2v，要使电子从弧A、D之间射出，电子从O点射入的初速度应大于v，小于2v，故选B。
4.B　粒子沿ac边界方向射入磁场从ab边射出磁场时转过的圆心角最大，粒子在磁场中的运动时间最长，粒子运动轨迹如图所示，由几何关系可知，其偏转的圆心角θ＝，根据洛伦兹力提供向心力，则有qvB＝，粒子运动周期T＝，解得T＝，故粒子在磁场中运动的最长时间t＝T＝T，结合题意解得t＝，故选B。
5.BC　作出一些粒子的运动轨迹如图所示，从b点射出的粒子根据几何关系有R2＝（L－R）2＋（ ）2，求得R＝L，A项错误；由qvB＝m得粒子做圆周运动的速度大小v＝＝，B项正确；设粒子从PQ射出区域的上端d点到c点的距离为s，根据几何关系有R2＝（L－R）2＋s2，求得s＝，因此bd＝L，C项正确；从c点射出磁场的粒子，在a点时速度与MN的夹角θ满足2Rcos θ＝L，可得cos θ＝0.8，则θ≠30°，D项错误。
6.BC　由左手定则可知圆内的磁场方向垂直纸面向里，故A错误；从磁场射出的刚好打在收集板左端、右端的粒子，其运动轨迹如图所示，由几何关系可得α＝30°，入射速度方向与PO的夹角θ＝θ'＝30°，则能够打在收集板上的粒子数占总数的比例为＝，故B正确；粒子在磁场中运动有qvB＝mv，解得T＝，打在右端的粒子在磁场中运动的时间最长，则有t＝×＝，故C正确；由磁发散原理可知，粒子在磁场中做匀速圆周运动的半径r与圆形磁场的半径R相等，则有qvB＝m，解得v＝，若粒子速度增大，则运动半径增大，不符合磁发散条件，打在收集板上的粒子速度方向与收集板不垂直，故D错误。
7.D　画出带电粒子在磁场中运动的动态分析图，如图甲所示。粒子入射的速度越大，其做圆周运动的半径越大，当粒子都从ab边射出，所用时间均为半个周期，用时相等；当粒子从bc边射出时，速度越大，轨迹半径越大，圆心角越大，运动时间越长，故A、B错误；
当粒子的速度足够大，半径足够大时，忽略ab段长度，运动情况可简化为如图乙所示，在直线边界磁场问题中，根据粒子运动轨迹的对称性，结合几何关系可知此时圆心角为α＝270°，可得粒子在磁场中运动的最长时间为t＝T＝，故C错误，D正确。
8.BD　a粒子运动轨迹如图所示。
根据va＝，可得Ra＝R0，设外圆半径等于R'，由几何关系得∠AO'B＝270°，则R'＝R0＋R0，A错误；由A项分析，a粒子返回A点所用的最短时间为第一次回到A点的时间tmin，a粒子做匀速圆周运动的周期T＝＝，在磁场中运动的时间t1＝T＝，匀速直线运动的时间t2＝＝，故a粒子返回A点所用的最短时间为tmin＝t1＋t2＝，B正确；b、c两粒子运动轨迹如图乙、丙所示
因为b、c两粒子返回A点都是运动一个圆周，根据b、c带正电且比荷均为，所以两粒子做圆周运动周期相同，故所用的最短时间之比为1∶1，C错误；由几何关系得2Rc＝R0，根据洛伦兹力提供向心力有qvcB＝，联立解得vc＝va，D正确。
9.（1）　（2）　（3）
解析：（1）由v1＝，r1＝，可得r1＝R，
粒子在磁场中运动的轨迹如图甲所示，圆弧对应的圆心角α1＝90°，
由T＝，
可得t1＝T＝＝。
（2）由v2＝，可得r2＝2R
粒子从N点射出时在磁场运动的时间最长，如图乙所示，由几何关系可知，其轨迹弧对应的圆心角α2＝60°
粒子在磁场中运动时间的最大值
t2＝＝。
（3）由v3＝
可得r3＝
粒子在磁场边界上出射点距M点最远时，轨迹弧为一半圆，如图丙所示，由几何关系可知，出射点分布的长度为磁场边界的，即出射点分布的长度s＝。
10.（1）a，　（2）a＋a　（3）
解析：（1）由洛伦兹力提供向心力可得qv0B＝m
解得轨迹半径R＝a
根据周期公式得T＝
联立解得T＝。
（2）粒子打在x轴上的范围如图所示，x轴右侧长度为
L1＝＝
x轴左侧，粒子的运动轨迹与x轴相切，切点为F，由几何关系知L2＝＝
联立可得L＝L1＋L2＝a＋a。
（3）粒子恰好跟x轴负半轴相切，半径与y轴夹角θ，满足cos θ＝＝
解得θ＝60°
粒子恰好跟x轴正半轴相切，半径与y轴夹角θ'，
满足cos θ'＝＝
解得θ'＝60°
则能到达x轴的粒子所占粒子总数的比例η＝＝。
1 / 1素养提升15　三类动态圆、磁聚焦和磁发散
1.进一步理解带电粒子在有界磁场中运动的临界极值问题。 2.会用“平移圆”“旋转圆”“放缩圆”找出对应的临界状态或极值的轨迹。 3.理解“磁聚焦”和“磁发散”模型。
提升点一　“平移圆”模型
运动 情境 粒子源发射速度大小、方向一定，入射点在同一直线上，带电粒子进入匀强磁场时，它们做匀速圆周运动的半径相同，若入射速度大小为v0，则半径R＝，如图所示
轨迹 特点 带电粒子在磁场中做匀速圆周运动的圆心在同一直线上，该直线与所有入射点的连线平行
应用 方法 将半径R＝的圆进行平移，从而探索粒子的临界条件
如图所示，三角形ABC内有垂直于三角形平面向外的匀强磁场，AB边长为L，∠A＝30°，∠B＝90°，D是AB边的中点。现在DB段上向磁场内射入速度大小相同、方向平行于BC边的同种粒子（不考虑粒子间的相互作用和粒子重力），若从D点射入的粒子恰好能垂直AC边射出磁场，则AC边上有粒子射出的区域长度为（　　）
A.L　 B.L　 C.L　 D.L
尝试解答　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
提升点二　“旋转圆”模型
运动 情境 粒子源发射速度大小一定、方向不同的带电粒子进入匀强磁场时，它们在磁场中做匀速圆周运动的半径相同，若射入初速度为v0，则圆周运动半径R＝，如图所示
轨迹 特点 轨迹圆圆心共圆：带电粒子在磁场中做匀速圆周运动的圆心在以入射点P为圆心、半径R＝的圆上
应用 方法 将一半径R＝的圆以入射点为圆心进行旋转，从而探索粒子的临界条件
（2025·安徽高考7题）如图，在竖直平面内的Oxy直角坐标系中，x轴上方存在垂直纸面向里的匀强磁场，磁感应强度大小为B。在第二象限内，垂直纸面且平行于x轴放置足够长的探测薄板MN，MN到x轴的距离为d，上、下表面均能接收粒子。位于原点O的粒子源，沿Oxy平面向x轴上方各个方向均匀发射相同的带正电粒子。已知粒子所带电荷量为q，质量为m，速度大小均为。不计粒子的重力、空气阻力及粒子间的相互作用，则（　　）
A.粒子在磁场中做圆周运动的半径为2d
B.薄板的上表面接收到粒子的区域长度为d
C.薄板的下表面接收到粒子的区域长度为d
D.薄板接收到的粒子在磁场中运动的最短时间为
尝试解答　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
（2026·湖北武汉模拟）如图所示，与纸面垂直的接收屏MN上方空间存在匀强磁场，磁场的磁感应强度大小为B，方向垂直纸面向外（图中未画出）。在磁场中A点有一粒子源，可沿纸面内各个方向不断地均匀发射质量为m、电荷量为q、速率相同的带正电粒子。粒子打到接收屏即被屏吸收，MN足够长，AC⊥MN，C为垂足，AC＝d，不计粒子重力和粒子间的相互作用。
（1）若粒子的速度大小为v1＝，求粒子运动的轨道半径；
（2）若粒子的速度大小为v1＝，求粒子运动到屏上的最短时间t；
（3）若粒子的速度大小为v2＝，粒子打在屏上最左端的位置记为P点，最右端的位置记为Q点（图中均未画出），求PC的长度x1和QC的长度x2。
提升点三　“放缩圆”模型
运动 情境 粒子源发射速度方向一定、速度大小不同的带电粒子，这些带电粒子在磁场中做匀速圆周运动的轨迹半径随速度的变化而变化
轨迹 特点 如图所示（图中只画出粒子带正电的情境），速度v越大，运动半径也越大。可以发现这些带电粒子射入磁场后，它们运动轨迹的圆心在垂直初速度方向的直线PP'上
应用方法 以入射点P为定点，圆心位于PP'直线上，将半径放缩作轨迹圆，从而探索出临界条件
（2026·安徽江淮期末）如图，由两个线段和一个半圆组成的边界CDEFG，CDFG与圆心在同一直线上，边界及边界上方存在垂直于纸面向里的匀强磁场，磁感应强度大小为B。E为圆弧边界最低点，C处有一个粒子源，能在纸面内发射各种速率的带负电粒子，且粒子速度方向与边界CD的夹角均为30°，圆弧半径及C、D间距离均为R，粒子比荷的绝对值均为k。不计粒子重力及粒子间相互作用力，下列说法正确的是（　　）
A.粒子在磁场中做逆时针圆周运动
B.粒子能从圆弧边界射出的最大速度为kRB
C.粒子在磁场中运动的最短时间为
D.粒子在磁场中运动的最长时间为
尝试解答　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
提升点四　“磁聚焦”与“磁发散”模型
　　
磁发散 磁聚焦
如图甲所示，圆形边界匀强磁场的磁感应强度为B，圆心为O，从P点有大量质量为m、电荷量为q的粒子，以大小相等的速度v沿不同方向射入磁场，不计粒子的重力，如果粒子轨迹圆半径与磁场半径相等，则所有粒子射出磁场的方向平行 如图乙所示，大量的同种粒子，速度大小相同，平行入射到圆形边界匀强磁场区域，如果轨迹圆半径与磁场圆半径相等（R＝r），则所有的带电粒子将从磁场圆的最低点B点射出
如图，坐标原点O有一粒子源，能向坐标平面一、二象限内发射大量质量为m、电荷量为q的带正电粒子（不计重力），所有粒子速度大小相等。圆心在（0，R）、半径为R的圆形区域内，有垂直于坐标平面向外的匀强磁场，磁感应强度为B。磁场右侧有一长度为R，平行于y轴的光屏，其中心位于（2R，R）。已知初速度沿y轴正方向的粒子经过磁场后，恰能垂直射在光屏上，则（　　）
A.粒子速度大小为
B.所有粒子均能垂直射在光屏上
C.能射在光屏上的粒子，在磁场中运动时间最长为
D.能射在光屏上的粒子初速度方向与x轴夹角θ满足45°≤θ≤135°
尝试解答　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
★〔多选〕我国研制的世界首套磁聚焦霍尔电推进系统已经完成了全部在轨飞行验证工作，可作为太空发动机使用，带电粒子流的磁聚焦是其中的关键技术之一。如图实线所示的两个圆形区域内存在垂直于纸面的匀强磁场Ⅰ、Ⅱ，磁感应强度分别为B1、B2。两圆半径均为r，相切于O点。一束宽度为2r的带电粒子流沿x轴正方向射入后都汇聚到坐标原点O。已知粒子的质量均为m、电荷量均为＋q、进入磁场的速度均为v，不计带电粒子的重力及粒子间的相互作用力。下列说法正确的是（　　）
A.B1的大小为
B.从O点进入磁场Ⅱ的粒子的速度仍相同
C.若B2＝2B1，则粒子在磁场Ⅱ的边界的射出点在四分之一圆周上
D.若B2＝0.5B1，则粒子在磁场Ⅱ中运动的最长时间为
素养提升15　三类动态圆、磁聚焦和磁发散
提升点一
【例1】　C　由题意可知，粒子均向上偏转，从D点射入和从B点射入的粒子的运动轨迹如图所示，设两个粒子在AC边上的出射点分别为E、F点，由于从D点射入的粒子恰好能垂直AC边射出磁场，所以A点为该粒子做圆周运动的圆心，则粒子做圆周运动的半径为R＝L，则有AE＝L，因为D点是AB的中点，所以D点是从B点射出的粒子做圆周运动的圆心，所以有AD＝DF，则根据几何知识有AF＝2×L·cos 30°＝，所以有粒子射出的区域长度为EF＝AF－AE＝L，故A、B、D错误，C正确。
提升点二
【例2】　C　粒子在磁场中做匀速圆周运动，由洛伦兹力提供向心力有qvB＝m，解得粒子的运动半径为r＝d，A错误；当粒子恰经过薄板最右端打到薄板上表面时，粒子打到薄板上表面的位置距N点最远，当粒子沿x轴正方向射出时，粒子打到薄板上表面的位置距N点最近，对应运动轨迹如图1所示，由几何关系可知，薄板的上表面接收到粒子的区域长度Δx1＝2rcos 30°－r＝（－1）d，B错误；结合B项分析可知，粒子能打到薄板下表面的最右端，当粒子的运动轨迹与薄板相切时，粒子打到薄板下表面的位置距N点最远，轨迹如图2所示，由几何关系可知，薄板的下表面接收到粒子的区域长度Δx2＝d，C正确；粒子在磁场中的运动周期T＝＝，又t＝T，故粒子运动轨迹所对圆心角越大，运动时间越长，结合B、C项分析可知，打在薄板下表面右端的粒子运动时间最短，结合几何关系有tmin＝·＝，D错误。
强化训练
　（1）d　（2）　（3）d　d
解析：（1）设粒子运动的半径为r1，由牛顿第二定律有qv1B＝
解得r1＝d。
（2）粒子的运动轨迹如图甲所示时，到达屏上的时间最短，由几何关系可知
sin α＝
解得sin α＝，α＝
依题意有t＝，解得t＝。
（3）设粒子运动的半径为r2，由牛顿第二定律有qv2B＝，解得r2＝d
如图乙所示，圆轨迹在P点和MN相切，则由勾股定理有＝（d－r2）2＋
解得x1＝d
如图丙所示，圆轨迹在Q点和MN相交，AQ为直径，则由勾股定理有（2r2）2＝d2＋，解得x2＝d。
提升点三
【例3】　D　粒子带负电，根据左手定则，粒子在磁场中做顺时针圆周运动，故A错误；当粒子从F射出时，根据几何关系可知，粒子做圆周运动的半径r＝3R，此时粒子能从圆弧边界射出轨道半径最大，对应速度也最大，设粒子带电荷量大小为q，根据qvmB＝m，解得vm＝3kRB，故B错误；当粒子从边界CD、FG射出时粒子在磁场中运动轨迹的圆心角为60°，此时对应时间最短，则有tmin＝T＝·＝·＝，故C错误；假如粒子从圆弧边界出射点为H，若CH与圆弧相切，此时圆弧对应圆心角达到最大，该粒子在磁场中运动的时间最长，如图所示
根据几何关系可知，此时粒子恰好经过D点，对应圆心角为120°，则有最长时间tmax＝T＝·＝·＝，故D正确。
提升点四
【例4】　C　由初速度沿y轴正方向的粒子经过磁场后，恰能垂直射在光屏上，可知粒子在磁场中的运动半径为R，则根据qvB＝m，可得v＝，选项A错误；画出任意粒子从O点射出时的轨迹如图，由几何关系可知，四边形OO1PO2为菱形，则PO2平行y轴，则从磁场中射出的粒子垂直于y轴，即凡是能射到屏上的粒子均能垂直射在光屏上，但是并不是所有粒子都能射到屏上，选项B错误；达到屏的最上端的粒子在磁场中运动的时间最长，在磁场中运动的圆心角为120°，则最长时间为tmax＝T＝·＝，选项C正确；能射在光屏上的粒子初速度方向与x轴夹角θ满足60°≤θ≤120°，选项D错误。
强化训练
　AD　由磁聚焦的特点可知，粒子在磁场中的运动半径与磁场圆的半径相等，则qvB1＝m，解得B1＝，故A正确；洛伦兹力只改变带电粒子的运动方向不改变其速度的大小，其速度大小相等，但速度的方向不同，故B错误；若B2＝2B1，则r2＝＝r，可知粒子离开磁场Ⅱ最远的位置离原点的距离为r，如图甲所示，由几何关系可知，最远点与原点连线所对圆心角最大，为60°，故粒子在磁场Ⅱ的边界的射出点在六分之一圆周上，故C错误；若B2＝0.5B1，则r2＝＝2r，而粒子离开磁场Ⅱ的运动轨迹的弦越长，运动的时间越长，最长弦长为圆形磁场Ⅱ的直径，如图乙所示，此时粒子在磁场中运动轨迹的圆心角为60°，则粒子在磁场Ⅱ中运动的最长时间为t＝×＝，故D正确。
1 / 1(共59张PPT)
素养提升15　三类动态圆、磁聚焦和磁发散
目标要求
1. 进一步理解带电粒子在有界磁场中运动的临界极值问题。
2. 会用“平移圆”“旋转圆”“放缩圆”找出对应的临界状态或极值
的轨迹。
3. 理解“磁聚焦”和“磁发散”模型。
目 录
CONTENTS
提升点一　“平移圆”模型
提升点二　“旋转圆”模型
提升点三　“放缩圆”模型
提升点四　“磁聚焦”与“磁发散”模型
课时跟踪检测
提升点一　“平移圆”模型
运动 情境 粒子源发射速度大小、方向一定，入射点在同一直线上，带
电粒子进入匀强磁场时，它们做匀速圆周运动的半径相同，
若入射速度大小为v0，则半径R＝，如图所示
轨迹特点 带电粒子在磁场中做匀速圆周运动的圆心在同一直线上，该
直线与所有入射点的连线平行
应用方法 将半径R＝的圆进行平移，从而探索粒子的临界条件
如图所示，三角形ABC内有垂直于三角形平面向外的匀强磁场，AB边
长为L，∠A＝30°，∠B＝90°，D是AB边的中点。现在DB段上向磁场内
射入速度大小相同、方向平行于BC边的同种粒子（不考虑粒子间的相互作
用和粒子重力），若从D点射入的粒子恰好能垂直AC边射出磁场，则AC边
上有粒子射出的区域长度为（　C　）
C
A. L B. L
C. L D. L
解析：由题意可知，粒子均向上偏转，从D点射入和从B点射入
的粒子的运动轨迹如图所示，设两个粒子在AC边上的出射点分
别为E、F点，由于从D点射入的粒子恰好能垂直AC边射出磁
场，所以A点为该粒子做圆周运动的圆心，则粒子做圆周运动
的半径为R＝L，则有AE＝L，因为D点是AB的中点，所以D
点是从B点射出的粒子做圆周运动的圆心，所以有AD＝DF，则根据几何知识有AF＝2×L·cos 30°＝，所以有粒子射出的区域长度为EF＝AF－AE＝L，故A、B、D错误，C正确。
提升点二　“旋转圆”模型
运动 情境 粒子源发射速度大小一定、方向不同的带电粒子进入匀强磁场
时，它们在磁场中做匀速圆周运动的半径相同，若射入初速度
为v0，则圆周运动半径R＝，如图所示
轨迹 特点 轨迹圆圆心共圆：带电粒子在磁场中做匀速圆周运动的圆心在
以入射点P为圆心、半径R＝的圆上
应用 方法 将一半径R＝的圆以入射点为圆心进行旋转，从而探索粒子
的临界条件
（2025·安徽高考7题）如图，在竖直平面内的Oxy直角坐标系中，x轴
上方存在垂直纸面向里的匀强磁场，磁感应强度大小为B。在第二象限
内，垂直纸面且平行于x轴放置足够长的探测薄板MN，MN到x轴的距离为
d，上、下表面均能接收粒子。位于原点O的粒子源，沿Oxy平面向x轴上方
各个方向均匀发射相同的带正电粒子。已知粒子所带电荷量为q，质量为
m，速度大小均为。不计粒子的重力、空气阻力及粒子间的相互作用，
则（　C　）
C
A. 粒子在磁场中做圆周运动的半径为2d
B. 薄板的上表面接收到粒子的区域长度为d
C. 薄板的下表面接收到粒子的区域长度为d
D. 薄板接收到的粒子在磁场中运动的最短时间为
解析：粒子在磁场中做匀速圆周运
动，由洛伦兹力提供向心力有qvB
＝m，解得粒子的运动半径为r＝
d，A错误；当粒子恰经过薄板最右端打到薄板上表面时，粒子打到薄板上表面的位置距N点最远，当粒子沿x轴正方向射出时，粒子打到薄板上表面的位置距N点最近，对应运动轨迹如图1所示，由几何关系可知，薄板的上表面接收到粒子的区域长度Δx1＝2rcos 30°－r＝（－1）d，B错误；结合B项分析可知，粒子能打到薄板下表面的最右端，当粒子的运动轨迹与薄板相切时，粒子打到薄板下表面的位置距N点最远，轨迹如图2所示，由
几何关系可知，薄板的下表面接收到粒子的区域长度Δx2＝d，C正确；粒子在磁场中的运动周期T＝＝，又t＝T，故粒子运动轨迹所对圆心角越大，运动时间越长，结合B、C项分析可知，打在薄板下表面右端的粒子运动时间最短，结合几何关系有tmin＝·＝，D错误。
（2026·湖北武汉模拟）如图所示，与纸面垂直的接收屏MN上方空间存在
匀强磁场，磁场的磁感应强度大小为B，方向垂直纸面向外（图中未画
出）。在磁场中A点有一粒子源，可沿纸面内各个方向不断地均匀发射质
量为m、电荷量为q、速率相同的带正电粒子。粒子打到接收屏即被屏吸
收，MN足够长，AC⊥MN，C为垂足，AC＝d，不计粒子重力和粒子间的
相互作用。
（1）若粒子的速度大小为v1＝，求粒子运动的轨道半径；
答案： d　
解析： 设粒子运动的半径为r1，由牛顿第二定律有qv1B＝
解得r1＝d。
解析：粒子的运动轨迹如图甲所示时，到达屏上的时间
最短，由几何关系可知
sin α＝
解得sin α＝，α＝
依题意有t＝，解得t＝。
（2）若粒子的速度大小为v1＝，求粒子运动到屏上的最短时间t；
答案：　
（3）若粒子的速度大小为v2＝，粒子打在屏上最左端的位置记为P
点，最右端的位置记为Q点（图中均未画出），求PC的长度x1和QC的长度
x2。
答案：d　d
解析：设粒子运动的半径为r2，由牛顿第二定律有qv2B
＝，解得r2＝d
如图乙所示，圆轨迹在P点和MN相切，则由勾股定理
有＝（d－r2）2＋
解得x1＝d
如图丙所示，圆轨迹在Q点和MN相交，AQ为直径，则
由勾股定理有（2r2）2＝d2＋，解得x2＝d。
提升点三　“放缩圆”模型
运动 情境 粒子源发射速度方向一定、速度大小不同的带电粒子，这些带电粒子在磁场中做匀速圆周运动的轨迹半径随速度的变化而变化
轨迹 特点 如图所示（图中只画出粒子带正电的情境），速度v越大，运动半径也越大。可以发现这些带电粒子射入磁场后，它们运动轨迹的圆心在垂直初速度方向的直线PP'上
应用 方法 以入射点P为定点，圆心位于PP'直线上，将半径放缩作轨迹圆，从而探索出临界条件
（2026·安徽江淮期末）如图，由两个线段和一个半圆组成的边界
CDEFG，CDFG与圆心在同一直线上，边界及边界上方存在垂直于纸面向
里的匀强磁场，磁感应强度大小为B。E为圆弧边界最低点，C处有一个粒
子源，能在纸面内发射各种速率的带负电粒子，且粒子速度方向与边界CD
的夹角均为30°，圆弧半径及C、D间距离均为R，粒子比荷的绝对值均为
k。不计粒子重力及粒子间相互作用力，下列说法正确的是（　D　）
D
A. 粒子在磁场中做逆时针圆周运动
B. 粒子能从圆弧边界射出的最大速度为
kRB
C. 粒子在磁场中运动的最短时间为
D. 粒子在磁场中运动的最长时间为
解析：粒子带负电，根据左手定则，粒子在磁场中做顺时针圆周运动，故A错误；当粒子从F射出时，根据几何关系可知，粒子做圆周运动的半径r＝3R，此时粒子能从圆弧边界射出轨道半径最大，对应速度也最大，设粒子带电荷量大小为q，根据qvmB＝m，解得vm＝3kRB，故B错误；当粒子从边界CD、FG射出时粒子在磁场中运动轨迹的圆心角为0°，此时对应时间最短，则有tmin＝T＝·＝·＝，故C错误；假如粒子从圆弧边界出射点为H，若CH与圆弧相切，此时圆弧对应圆心角达到最大，该
粒子在磁场中运动的时间最长，如图所示，根据几何关系可知，此时粒子恰好经过D点，对应圆心角为120°，则有最长时间tmax＝T＝·＝·＝，故D正确。
提升点四　“磁聚焦”与“磁发散”模型
磁发散 磁聚焦
如图甲所示，圆形边界匀强磁场的磁感应强度为B，圆心为O，从P点有大量质量为m、电荷量为q的粒子，以大小相等的速度v沿不同方向射入磁场，不计粒子的重力，如果粒子轨迹圆半径与磁场半径相等，则所有粒子射出磁场的方向平行 如图乙所示，大量的同种粒子，速度大小相同，平行入射到圆形边界匀强磁场区域，如果轨迹圆半径与磁场圆半径相等（R＝r），则所有的带电粒子将从磁场圆的最低点B点射出
如图，坐标原点O有一粒子源，能向坐标平面一、二象限内发射大量
质量为m、电荷量为q的带正电粒子（不计重力），所有粒子速度大小相
等。圆心在（0，R）、半径为R的圆形区域内，有垂直于坐标平面向外的
匀强磁场，磁感应强度为B。磁场右侧有一长度为R，平行于y轴的光屏，
其中心位于（2R，R）。已知初速度沿y轴正方向的粒子经过磁场后，恰能
垂直射在光屏上，则（　C　）
C
A. 粒子速度大小为
B. 所有粒子均能垂直射在光屏上
C. 能射在光屏上的粒子，在磁场中运动时间最长为
D. 能射在光屏上的粒子初速度方向与x轴夹角θ满足45°
≤θ≤135°
解析：由初速度沿y轴正方向的粒子经过磁场后，恰能
垂直射在光屏上，可知粒子在磁场中的运动半径为R，
则根据qvB＝m，可得v＝，选项A错误；画出任意
粒子从O点射出时的轨迹如图，由几何关系可知，四边
形OO1PO2为菱形，则PO2平行y轴，则从磁场中射出的粒子垂直于y轴，即凡是能射到屏上的粒子均能垂直射在光屏上，但是并不是所有粒子都能射到屏上，选项B错误；达到屏的最上端的粒子在磁场中运动的时间最长，在磁场中运动的圆心角为120°，则最长时间为tmax＝T＝·＝，选项C正确；能射在光屏上的粒子初速度方向与x轴夹角θ满足60°≤θ
≤120°，选项D错误。
★〔多选〕我国研制的世界首套磁聚焦霍尔电推进系统已经
完成了全部在轨飞行验证工作，可作为太空发动机使用，带
电粒子流的磁聚焦是其中的关键技术之一。如图实线所示的
两个圆形区域内存在垂直于纸面的匀强磁场Ⅰ、Ⅱ，磁感应强
度分别为B1、B2。两圆半径均为r，相切于O点。一束宽度为
2r的带电粒子流沿x轴正方向射入后都汇聚到坐标原点O。已
知粒子的质量均为m、电荷量均为＋q、进入磁场的速度均为
v，不计带电粒子的重力及粒子间的相互作用力。下列说法正确的是（　）
A. B1的大小为
B. 从O点进入磁场Ⅱ的粒子的速度仍相同
C. 若B2＝2B1，则粒子在磁场Ⅱ的边界的射出点在四分之一圆周上
D. 若B2＝0.5B1，则粒子在磁场Ⅱ中运动的最长时间为
√
√
解析：由磁聚焦的特点可知，粒子在磁场中的
运动半径与磁场圆的半径相等，则qvB1＝m，
解得B1＝，故A正确；洛伦兹力只改变带电
粒子的运动方向不改变其速度的大小，其速度
大小相等，但速度的方向不同，故B错误；若B2＝2B1，则r2＝＝r，可知粒子离开磁场Ⅱ最远的位置离原点的距离为r，如图甲所示，由几何关系可知，最远点与原点连线所对圆心角最大，为60°，故粒子在磁场Ⅱ的边界的射出点在六分之一圆周上，故C错误；若B2＝0.5B1，则r2＝＝2r，而
粒子离开磁场Ⅱ的运动轨迹的弦越长，运动的时间越长，最长弦长为圆形磁场Ⅱ的直径，如图乙所示，此时粒子在磁场中运动轨迹的圆心角为60°，
则粒子在磁场Ⅱ中运动的最长时间为t＝×＝，故D正确。
课时跟踪检测
1. 如图所示，一线状粒子源垂直于磁场边界不断地发射速度相同的同种粒子，不考虑粒子间的相互作用，则粒子经过磁场的区域（阴影部分）可能的是（　　）
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√
解析：粒子在磁场中做匀速圆周运动，如图所示，粒子源最左端发射的粒子落在A点，最右端发射的粒子落在B点，利用平移圆法，将轨迹由左侧移到右侧，可得粒子经过的磁场区域如图C所示，故选C。
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2. 如图所示，在x轴的上方（y≥0）存在着垂直于纸面向里的匀强磁场
（未画出），磁感应强度大小为B。在原点O有一个离子源向x轴上方的各
个方向发射出质量为m、带电荷量为q的正离子，速率都为v。对那些在xOy
平面内运动的离子，在磁场中可能到达的位置中离x轴及y轴最远距离分别
为（　　）
A. 　 B. 　
C. 　 D. 　
√
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解析：　若让沿x轴正方向射出的离子的轨迹圆绕O点缓慢转动（如图所示），不难得出离y轴最远为｜x｜＝2r＝，离x轴最远为y＝2r＝，所以A项正确。
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3. 如图所示，空间存在四分之一圆形磁场区域，半径为R，磁感应强度大
小为B，磁场方向垂直纸面向外。一电子以初速度v从圆心O沿OC方向射入
磁场，恰好由A点射出。弧AD对应的圆心角为60°，要使电子从弧A、D之
间射出（不包括A、D两点），电子从O点射入的初速度可
能是（不计电子的重力）（　　）
A. B.
C. 2v D. 3v
√
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解析：　根据题意，速度为v时，恰好由A点射出，如图
中轨迹Ⅰ，由几何关系可得r＝，由牛顿第二定律有qvB＝
m，联立可得R＝，要使电子恰好从D点射出，如图中
轨迹Ⅱ，根据几何关系可得r'＝R，则有R＝，解得v'＝2v，要使电子从弧A、D之间射出，电子从O点射入的初速度应大于v，小于2v，故选B。
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4. （2026·云南临沧期末）如图所示，在直角三角形abc区域（含边界）内
存在垂直于纸面向里、磁感应强度大小为B的匀强磁场，∠c＝30°，a点
处的粒子源持续将比荷为k的带正电粒子以大小和方向不同的速度射入磁场
中，不计粒子的重力及粒子间的相互作用，则粒子在磁场中运动的最长时
间为（　　）
A. B.
C. D.
√
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解析：　粒子沿ac边界方向射入磁场从ab边射出磁
场时转过的圆心角最大，粒子在磁场中的运动时间
最长，粒子运动轨迹如图所示，由几何关系可知，
其偏转的圆心角θ＝，根据洛伦兹力提供向心力，则有qvB＝，粒子运动周期T＝，解得T＝，故粒子在磁场中运动的最长时间t＝T＝
T，结合题意解得t＝，故选B。
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5. 〔多选〕如图所示，平行线MN、PQ间有垂直纸面向外的匀强磁场，磁
场的磁感应强度大小为B，MN、PQ间的距离为L。在MN上的a点有一粒子
源，可以沿垂直于磁场的各个方向射入质量为m、电荷量为q的带负电的粒
子，且这些粒子的速度大小相等。这些粒子经磁场偏转后，穿过PQ边界线
的最低点为b点。已知c是PQ上的一点，ac垂直于PQ，c、b间的距离为
L，则下列说法正确的是（　　）
A. 粒子在磁场中做圆周运动的半径为L
B. 粒子在磁场中运动的速度大小为
C. 粒子从PQ边射出的区域长为L
D. 沿斜向下与MN夹角为30°方向射入的粒子恰好从c点射出磁场
√
√
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解析：作出一些粒子的运动轨迹如图所示，从b点射出的粒
子根据几何关系有R2＝（L－R）2＋（ ）2，求得R＝L，A
项错误；由qvB＝m得粒子做圆周运动的速度大小v＝＝
，B项正确；设粒子从PQ射出区域的上端d点到c点的距
离为s，根据几何关系有R2＝（L－R）2＋s2，求得s＝，因此bd＝L，C项正确；从c点射出磁场的粒子，在a点时速度与MN的夹角θ满足2Rcos θ＝L，可得cos θ＝0.8，则θ≠30°，D项错误。
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6. 〔多选〕（2026·河北石家庄模拟）如图所示，真空中半径为R的圆形区
域内有垂直圆面，磁感应强度大小为B的匀强磁场。圆周上P点有粒子源，
圆外与OP平行放置粒子收集板，板长为R，板关于与垂直于OP过圆心O的
直线对称放置。粒子源可均匀地向圆形区域180°范围内各个方向发射速
度大小相同，质量均为m，电荷量均为q的带正电粒子，部分粒子可垂直打
在收集板上，不计粒子的重力及粒子间的相互作用力。下列说法正确的是
（　　）
A. 圆形区域内磁场方向垂直圆面向外
B. 能够打在收集板上的粒子数占总数的
C. 能够打在收集板上的粒子在磁场中运动的最长时间为
D. 若粒子速度增大，打在收集板上的粒子速度方向仍与收集板垂直
√
√
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解析：由左手定则可知圆内的磁场方向垂直纸面向里，故
A错误；从磁场射出的刚好打在收集板左端、右端的粒子，
其运动轨迹如图所示，由几何关系可得α＝30°，入射速
度方向与PO的夹角θ＝θ'＝30°，则能够打在收集板上的
粒子数占总数的比例为＝，故B正确；粒子在磁场
中运动有qvB＝mv，解得T＝，打在右端的粒子在磁场中运动的时间最长，则有t＝×＝，故C正确；由磁发散原理可知，粒子在磁场中做匀速圆周运动的半径r与圆形磁场的半径R相等，则有qvB＝m，解得v＝，若粒子速度增大，则运动半径增大，不符合磁发散条件，打在收集板上的粒子速度方向与收集板不垂直，故D错误。
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7. 一匀强磁场的磁感应强度大小为B，方向垂直于纸面向外，其边界如图
中虚线所示，其中虚线bc足够长，∠abc＝135°。其他地方磁场的范围足
够大。一束质量为m、电荷量为q的带正电粒子，在纸面内从a点垂直于ab
射入磁场，这些粒子具有各种速率。不计粒子之间的相互作用及粒子重
力。以下说法正确的是（　　）
A. 从bc边射出的粒子在磁场中运动的时间都相等
B. 若从a点入射的速度越大，则在磁场中运动的时间越长
C. 粒子在磁场中最长运动时间不大于
D. 粒子在磁场中最长运动时间不大于
√
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解析：　画出带电粒子在磁场中运动的动态
分析图，如图甲所示。粒子入射的速度越
大，其做圆周运动的半径越大，当粒子都从
ab边射出，所用时间均为半个周期，用时相
等；当粒子从bc边射出时，速度越大，轨迹半径越大，圆心角越大，运动时间越长，故A、B错误；当粒子的速度足够大，半径足够大时，忽略ab段长度，运动情况可简化为如图乙所示，在直线边界磁场问题中，根据粒子运动轨迹的对称性，结合几何关系可知此时圆心角为α＝270°，可得粒子在磁场中运动的最长时间为t＝T＝，故C错误，D正确。
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8. 〔多选〕（2025·甘肃高考10题）2025年5月1日，全球首个实现“聚变
能发电演示”的紧凑型全超导托卡马克核聚变实验装置（BEST）在我国正
式启动总装。如图是托卡马克环形容器中磁场截面的简化示意图，两个同
心圆围成的环形区域内有垂直纸面向里的匀强磁场，磁感应强度大小为
B，内圆半径为R0。在内圆上A点有a、b、c三个粒子均在纸面内运动，并
都恰好到达磁场外边界后返回。已知a、b、c带正电且比荷均为，a粒子
的速度大小为va＝，方向沿同心圆的径向；b和c粒子速度方向相反且
与a粒子的速度方向垂直。不考虑带电粒子所受的重力和相互作用。下列
说法正确的是（　　）
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A. 外圆半径等于2R0
B. a粒子返回A点所用的最短时间为
C. b、c两粒子返回A点所用的最短时间之比为
D. c粒子的速度大小为va
√
√
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解析：a粒子运动轨迹如图所示。
根据va＝，可得Ra＝R0，设外圆半径等于
R'，由几何关系得∠AO'B＝270°，则R'＝R0
＋R0，A错误；由A项分析，a粒子返回A点
所用的最短时间为第一次回到A点的时间tmin，a粒子做匀速圆周运动的周期T＝＝，在磁场中运动的时间t1＝T＝，匀速直线运动的时间t2＝＝，故a粒子返回A点所用的最短时间为tmin＝t1＋t2＝，B正确；b、c两粒子运动轨迹如图乙、丙所示因为b、c两粒子返回A点都是运
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动一个圆周，根据b、c带正电且比荷均为，所以两粒子做圆周运动周期相同，故所用的最短时间之比为1∶1，C错误；由几何关系得2Rc＝R0，根据洛伦兹力提供向心力有qvcB＝，联立解得vc＝va，D正确。
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9. 如图虚线所示的圆形区域内有垂直纸面向里的匀强磁场，磁感应强度大
小为B，磁场区域圆的半径为R。质量为m、电荷量为q（q＞0）的带电粒子
在纸面内从圆周上的M点射入磁场。不计粒子重力。
（1）如果一个带电粒子沿直径MON方向射入磁场，速
度v1＝，该粒子在磁场中运动的时间为多少？
答案：　
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解析：由v1＝，r1＝，可得r1＝R，粒子在磁场中运动的轨迹如图甲所示，圆弧对应的圆心角α1＝90°，由T＝，可得t1＝T＝＝。
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（2）如果大量相同的带电粒子以相同的速率v2在纸面内从M点沿不同方向
射入磁场，不计粒子间相互作用，v2＝，求粒子在磁场中运动时间的
最大值；
答案：　
解析：由v2＝，可得r2＝2R
粒子从N点射出时在磁场运动的时间最长，如图乙所示
由几何关系可知，其轨迹弧对应的圆心角α2＝60°
粒子在磁场中运动时间的最大值t2＝＝。
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（3）如果大量相同的带电粒子以相同的速率v3在纸面内从M点沿不同方向
射入磁场，v3＝，求这些粒子在磁场边界上出射点分布的长度。
答案：
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解析：由v3＝
可得r3＝
粒子在磁场边界上出射点距M点最远时，轨迹弧为一半
圆，如图丙所示
由几何关系可知，出射点分布的长度为磁场边界的，
即出射点分布的长度s＝。
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10. （2026·江苏常州模拟）如图所示，在xOy平面的x轴上方区域范围内存
在着范围足够大的匀强磁场，磁感应强度大小为B＝。在空间坐标（ x
＝0，y＝）处有一粒子源，在某一时刻向平面内各个方向均匀发射N个
（N足够大）质量为m、电荷量为－q，速度为v0的带电粒子（不计粒子重
力及粒子间的相互作用，题中N、a、m、q、v0均为已知量）。求：
（1）粒子在磁场中运动的半径R和周期T；
答案：a，　
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解得轨迹半径R＝a
根据周期公式得T＝
联立解得T＝。
解析：由洛伦兹力提供向心力可得qv0B＝m
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（2）x轴上能接收到粒子的区域长度L；
答案：a＋a　
解析：粒子打在x轴上的范围如图所示，x轴右侧
长度为L1＝＝x轴左侧，
粒子的运动轨迹与x轴相切，切点为F，由几何关
系知L2＝＝
联立可得L＝L1＋L2＝a＋a。
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（3）能到达x轴的粒子所占粒子总数的比例η。
答案：
解析：粒子恰好跟x轴负半轴相切，半径与y轴夹角θ，满足cos θ＝＝
解得θ＝60°
粒子恰好跟x轴正半轴相切，半径与y轴夹角θ'，
满足cos θ'＝＝
解得θ'＝60°
则能到达x轴的粒子所占粒子总数的比例η＝
＝。
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