资源简介

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浙江省2026年初中学业水平考试名师精选模拟考试卷
数学卷
1、本试卷满分为120分，考试时间为120分钟。
2、答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡规定的位置上，并认真核对条形码上的信息。
3、所有答案必须写在答题卡上，写在试卷、草稿纸上无效；选择题部分用2B铅笔填涂，非选择题部分用黑色字迹的签字笔或钢笔书写，字体工整、笔迹清楚。
4、请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。
5、保持答题卡清洁，不要折叠、弄破；严禁在答题卡上做任何标记。
一、选择题（共30分）
1．（2026·河北唐山·二模）如图，是某家用冰箱的温度显示屏，其中冷冻室温度为，冷藏室温度为，冷藏室温度比冷冻室温度高（ ）摄氏度．
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】将“冰箱冷藏室温度减去冷冻室温度”列式，再按有理数减法法则计算即可．
【详解】解：由题意，得：．
2．（2026·江苏连云港·二模）2026年3月30日是第31个全国小学生安全教育日．下列安全图标既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）
A．当心淹溺 B．当心落水
C．禁止翻越 D．急救站
【答案】D
【分析】如果一个平面图形沿着一条直线折叠后，直线两旁的部分能够互相重合，那么这个图形叫做轴对称图形；中心对称图形：把一个图形绕着某一点旋转180度，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形．据此逐项判断即可．
【详解】解：A、是轴对称图形，但不是中心对称图形，故本选项不符合题意；
B、既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故本选项不符合题意；
C、既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故本选项不符合题意；
D、既是轴对称图形又是中心对称图形，故本选项符合题意；
3．（2026·河北唐山·二模）计算：的结果（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】解：．
4．（2026·河南南阳·二模）某校现有学生1800人，为了增强学生的法律意识，学校组织全体学生进行了一次普法教育和测试．随机抽取部分测试成绩（满分100分，成绩为整数）作为样本，并绘制成频数直方图（如图）．下列判断不正确的是（ ）
A．共抽取了48人的测试成绩
B．估计本次测试中全校在90分以上的学生有225人
C．样本的中位数落在这一分数段内
D．样本中80分以上的人数占总体的
【答案】D
【详解】解：选项A中，根据频数分布直方图中每一组内的频数总和等于总数据个数，知本次随机抽查的学生人数为（人），所以共抽取了48人的测试成绩，说法正确，故选项A不符合题意；
选项B中，48人中90分以上的学生有6人，占，所以全校在90分以上的学生约有（人），说法正确，故选项B不符合题意；
选项C中，读图即可知48个样本的中位数是第24和25这两个数据的平均数，数据按从小到大排列，频数，，所以样本的中位数落在这一分数段内，说法正确，故选项C不符合题意；
选项D中，样本中80分以上的人数有人，占总体人数的，说法不正确，故选项D符合题意．
5．（2026·河北唐山·二模）如图，由内到外依次为正方形，，，若的面积为，的面积为，则正方形的边长可能是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】先由题中已知条件及图形，得到，直接开方得到正方形的边长的范围，再结合四个选项数据即可确定答案．
【详解】解：若的面积为，的面积为，由图可知，
正方形的边长要满足，
则由四个选项中的数据可知，满足题中条件的只有2．
6．（2026·天津宁河·二模）《张邱建算经》是我国古代的数学著作，其中有一道题：“今有清酒一斗直粟八斗，醐酒一斗直粟二斗，今持粟两斛，得酒四斗，问清、醐酒各几何？”意思是：现在一斗清酒价值8斗谷子，一斗醐酒价值2斗谷子，现在拿20斗谷子，共换了4斗酒，问清酒、醐酒各几斗？设醐酒有x斗，则可以列出的方程为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】设醐酒有x斗，则清酒有斗，根据题意和题目中的数据，即可列出方程．
【详解】解：设醐酒有x斗，则清酒有斗，
根据题意，可列方程为．
故选：A．
7．（2026·江苏盐城·二模）如图，是的直径，若，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据圆周角定理可求出的度数，再利用平角定义求出．
【详解】解：∵
是的直径
8．（2026·山东聊城·二模）已知某工地的抽水机，总功率，抽水时，水流的力（单位：）与水流的速度（单位：）满足反比例函数关系，它的图象如图所示，下列说法不正确的是（ ）
A．
B．当时，
C．当水流速度越大时，水流的力也越大
D．当时，
【答案】C
【分析】先得到，即可判断A、B；由函数图象即可判断C、D．
【详解】解：由题意得，，
当时，则，故A正确；
当时，，故B正确；
由图象可得，水流速度越大时，水流的力越小，故C错误；
当时，
由函数图象可得，随着的增大而减小，
∴时，，故D正确．
9．（2026·四川内江·二模）已知关于x的一元二次方程有实数根，则k的取值范围为（ ）
A．且 B． C．且 D．
【答案】D
【分析】题目已知方程为一元二次方程，二次项系数为1，满足二次项系数不为0的要求，只需利用方程有实数根得判别式，解不等式即可得到的取值范围；
【详解】解：∵一元二次方程有实数根，
∴，
解得．
10．（2026·甘肃平凉·二模）如图1，在矩形中，点E是上一点，，连接，点F从点A出发，以每秒1个单位长度的速度依次沿着、边匀速运动到点C停止，连接，的面积为y，点F运动的时间为t，y随t变化的图象如图2所示，当时，t的值为（ ）
A．3或6 B．或6 C．或5 D．3或5
【答案】B
【分析】根据题意，得，，，得到，结合，利用分割法表示面积解答即可．
【详解】解：根据题意，得，
当点F在上运动时，根据题意，得，
根据图象，得当时，面积为6，
∴，
∴，此时点F运动到点B处，
∴矩形的长为，宽为，
∴，
当时，得，
解得；
当点F在上运动时，
根据题意，得，，
根据题意，得，故，
∴
，
当时，得，
解得；
综上所述，当运动时间为或6时，．
二、填空题（共18分）
11．（2026·山东聊城·二模）我们知道，半径为的球的表面积公式是，那么的系数是____．
【答案】
【分析】单项式中的数字因数叫做单项式的系数，据此即可解答．
【详解】解：由是常数，在单项式中，字母为，数字因数为，即的系数是．
12．（2026·江苏宿迁·二模）在平面直角坐标系中，点不可能在第______象限．
【答案】三
【分析】根据平面直角坐标系中各象限内点的坐标的符号特征，分横坐标大于零和横坐标小于零两种情况，讨论纵坐标的符号，判断点可能所在的象限，即可得到结果．
【详解】解：点的坐标为，
①当，即时，
若，则，此时点在第一象限；
若，则，此时点在第四象限；
②当，即时，
恒成立，此时点在第二象限；
若点在第三象限，需满足，即，该不等式组无解，
因此点不可能在第三象限．
13．（2026·河北唐山·二模）如图，嘉淇对三个相连的方格进行涂色，在给每个方格涂色时均从红、黄两种颜色中随机选取一种，那么三个相连的方格所涂颜色相同的概率是________．
【答案】
【分析】根据题意，画出树状图，得到所有等可能的结果及满足要求的结果，运用简单概率公式代入结果数计算即可．
【详解】解：第一格可涂2种颜色，第二格可涂2种颜色，第三格可涂2种颜色，画树状图如下：
共有8种等可能的结果，其中三个相连的方格所涂颜色相同的情况有2种，则三个相连的方格所涂颜色相同的概率是．
14．（2026·河北唐山·二模）如图，在中，，，现将其分割成①、②、③、④四部分，若①、②、③恰好能拼成一个矩形（不重叠、无缝隙），且该矩形的面积与④的面积相等，则________．
【答案】
【分析】通过图形拼接可知，结合线段和，推导出，进而求解的长度．
【详解】解：如图，直角三角形绕点D顺时针旋转，点B与点A重合；直角三角形绕点E逆时针旋转，点C与点A重合，最终拼接成右图所示的矩形．
根据矩形的性质可知：，
∴，
∵，
∴，
∴．
15．（2026·四川成都·二模）已知关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，若，则的值为_____．
【答案】
【分析】先根据方程有两个不相等的实数根确定的取值范围，再利用根与系数的关系表示出两根之和与两根之积，代入已知等式求解，最后舍去不符合范围的解得到结果.
【详解】解： 关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，
，，，
，
解得，
方程的两根为，，
，，
，
，
∴ ，
整理得 ，
因式分解得 ，
解得： ，，
，
不符合题意，舍去，
.
16．（2026·四川成都·二模）如图，在A是y轴正半轴上一点，点B、C在x轴正半轴上（C在B的右边），若，则的最大值是_____．
【答案】
【分析】设，，，利用勾股定理表示，，通过作高构造直角三角形利用建立各边的数量关系，将转化为关于比值的函数，利用一元二次方程根的判别式求解最值．
【详解】解：设，，，其中，，，
，，
过点B作于点D ，
在中，
，
，，
，
在中，，
即，
整理得，
两边同时平方得，
化简得 ，
令，
则代入原式得，
整理得，
令为未知数，该方程有实数根，
则，
即，
，
，
∴，
，
，
，
解得：或（舍去），
k的最小值为，
∴，
当k取最小值时，取最大值，
∴最大值为．
三、解答题（共72分）
17．（8分）（2026·广西南宁·二模）解答下列各题：
(1)计算：
(2)解方程：
【答案】(1)
(2)
【详解】（1）解：原式
（2）解：
或，
解得．
18．（8分）（2026·辽宁朝阳·二模）随着信息技术的迅猛发展，人们去商场购物的支付方式更加多样，便捷．某校数学兴趣小组设计了一份调查问卷，要求每人选且只选一种自己最喜欢的支付方式，现将调查结果进行统计并绘制成两幅不完整的统计图，请结合图中所给的信息解答下列问题：
(1)这次活动共调查了_____人；在扇形统计图中，表示“支付宝”支付的扇形圆心角的度数为______
(2)如果某个社区共有3600人，那么选择其他支付的人约有多少？
(3)在一次购物中，小明和小亮都想从“微信”、“支付宝”、“银行卡”三种支付方式中选一种方式，请用画树状图或列表格的方法，求出两人恰好选择同一种支付方式的概率．
【答案】(1)200；
(2)270人
(3)
【分析】（1）由使用现金人数为50人，占比为求解总人数即可；根据使用支付宝人数为45人求解圆心角度数即可；
（2）根据使用其他方式的人数为15人，计算即可；
（3）画出树状图，计算出总的可能结果，再求出两人恰好选择同一种支付方式的可能结果，由概率公式求解即可．
【详解】（1）解：使用现金人数为50人，占比为，
则本次活动调查的总人数为（人），
则表示“支付宝”支付的扇形圆心角的度数为；
（2）解：本次活动调查使用其他方式的人数为15人，
则某个社区共有3600人时，选择其他支付的人有人；
（3）将微信记为、支付宝记为、银行卡记为，画树状图如下：
共有种等可能的结果，其中两人恰好选择同一种支付方式的有种，
则两人恰好选择同一种支付方式的概率为.
19．（8分）（2026·江苏连云港·二模）如图，在中，，，，点是中点，点在上，过点作交的延长线于点．
(1)求证：；
(2)求四边形的面积．
【答案】(1)证明： ，
，，
点是中点，
，
；
(2)四边形的面积为
【分析】（1）根据平行线的性质得到，，根据线段中点的定义得到，即可得证；
（2）由（1）知，，得到，结合，，，得到，即可求解．
【详解】（1）略
（2）由（1）知，，
，
，，，
．
20．（8分）（2026·江苏无锡·二模）如图1，花洒一端的插口P安装在固定高度的支撑杆上，握把长，握把可在竖直方向绕着点P转动．图2是花洒喷水后的截面示意图，水流近似为射线状，设计要求水流方向和握把垂直，即，身高长的小军站在支撑杆的正前方的处．已知，，且，．设．（注：所有图形都在同一平面内）
(1)当时，花洒喷出的水刚好碰到小军的头顶B，求小军身高的长约为多少（精确到）；
(2)如图3，小军洗完澡后，将握把绕着插口P顺时针转动一定的角度，以此调整水柱，确保在处冲到脚．求此时的度数．（精确到）
（参考数据：，，，，）
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）过点作支撑杆的垂线，交延长线于，构造矩形，把转化为；利用求出，再用求出；
（2） 连，先在中求出及；由与重合得，在中求出；最后利用平角建立角度关系求出．
【详解】（1）解：过点作于点，交延长线于点，
，，，
四边形为矩形，
，，．
在中，，，
，
，
，
．
，，
．
在中，，
∴．
（2）连接，
在中，，，
．
，
．
水流过点且，
．
在中，，
参考数据，
，
，
，
．
21．（8分）（2026·河南周口·模拟预测）为响应“绿色校园”建设，学校开展“旧物改造创意大赛”活动，需采购两种环保改造材料（A为再生纸板套装，B为可降解黏合剂套装），已知采购1套A材料和2套B材料共需130元；采购3套A材料和5套B材料共需340元．
(1)求1套A材料和1套B材料的单价．
(2)创意社团计划采购这两种材料共50套，用于12个参赛小组的创作，且B材料的采购数量不低于A材料数量的2倍，设采购A材料套，总费用为元，求总费用最低的采购方案，并求出最低总费用．
【答案】(1)30元，50元
(2)A材料16套，B材料34套时，费用最低为2180元
【分析】（1）设1套A材料的单价为元，1套B材料的单价为元．采购1套A材料和2套B材料共需130元；采购3套A材料和5套B材料共需340元．据此列出方程组并解方程组即可；
（2）根据总费用列出一次函数解析式，求出自变量的取值范围，根据一次函数的性质进行解答即可．
【详解】（1）解：设1套A材料的单价为元，1套B材料的单价为元．
根据题意，得
解得
答：1套A材料的单价为30元．1套B材料的单价为50元．
（2）解：∵采购A材料套，
∴采购B材料为套．
．
B材料数量不低于A材料数量的2倍，即．
解得
，故随的增大而减小，
∴要使最小，需取的最大值，即，
当时，，
最低总费用为：（元）．
答：A材料16套，B材料34套时，费用最低为2180元．
22．（10分）（2026·广东·二模）如图，在平面直角坐标系中，菱形的顶点C与原点O重合，点B在y轴的正半轴上，点A在反比例函数的图象上，点D的坐标为．
(1)求k的值．
(2)设点M在反比例函数图象上，连接，若的面积与菱形的面积相等，请直接写出点M的坐标．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）过点作轴的垂线，垂足为，由点的坐标，利用勾股定理可求出的长，利用菱形的性质可得出的长，可得，，三点共线，进而可得出点的坐标，再利用反比例函数图象上点的坐标特征，即可求出的值；
（2）由（1）可知，根据点D坐标及的长可得菱形的面积，设点M的坐标为，根据的面积与菱形面积相等列方程求出a值即可得答案．
【详解】（1）解：过点作轴的垂线，垂足为，则，如图所示．
点的坐标为，
，，
．
四边形为菱形，
，，
，，三点共线，
点坐标为．
点在反比例函数的图象上，
；
（2）解：由（1）知，点A的坐标为，
∴
∴．
设点M的坐标为，且，
∴，
∵的面积与菱形的面积相等，
∴，
解得或（舍去），
∴点M的坐标为．
23．（10分）（2026·浙江舟山·二模）如图，在中，，将其绕点逆时针旋转得，过，，三点作圆，延长交圆于点，连接．
(1)如图，当点在圆上时，若为中点，且为直径．
①求证：．
②求的长度．
(2)如图，若，连接，且，求的长度．
【答案】(1)①见解析；②
(2)7
【分析】（1）①先由四点共圆得到，然后由旋转的性质结合等角的补角相等证明即可；
②延长交于点，连接，先证明为等边三角形，则结合圆周角定理可得，然后再解即可；
（2）延长交于点，过点作于点，先证明，再由等腰三角形的三线合一得到，最后对和运用勾股定理求解．
【详解】（1）证明：①∵点共圆，
∴
由旋转可得，，
∵
∴
∴
∴；
②延长交于点，连接，
∵为直径，
∴
∵
∴
∵为中点，且为直径
∴点为圆心，
∵经过圆心，
∴
∴
由旋转可得，
∴
∴为等边三角形，
∴
∴；
（2）解：延长交于点，过点作于点
∵
∴
由旋转可得，，
∴
∴，
∵
∴
∵
∴设，
∴
∴
∴
∴
在和中，由勾股定理得，
∴
解得（舍负），
∴．
24．（12分）（2026·河北唐山·二模）如图，为美化校园，某中学计划在教学楼前的空地上设计一处景观绿化带，工程团队在平面直角坐标系中进行建模设计：
已知绿化带的轮廓由抛物线与线段构成，其中一条主景观抛物线：（、是常数），、为绿化带与校园主路的交点，，以所在直线为轴，点在原点的左侧，且，线段为景观步道的边界．
请结合以上设计方案，完成下列探究任务．
(1)直接写出点的坐标（________）；
(2)求主景观抛物线的解析式；
(3)计划在主步道上设置两个小型景观节点、，且间距（点在点右侧），过、分别作主路（轴）的垂线，垂线被步道边界和主景观抛物线截得两条装饰线段、．若节点的横坐标为，且，试比较两条装饰线段与的长度大小关系；
(4)如图2，为丰富景观层次，设计团队还规划了一条次景观抛物线：（）并为优化次景观抛物线的设计，设计团队开展了以下专项探究：
①若主景观抛物线与次景观抛物线的两个交点的横、纵坐标均为整数，直接写出满足条件的的整数值；
②在①的条件下，设两条抛物线的交点为、（为左交点、为右交点），连接，同时在抛物线上取之间的图象记为景观曲线，现计划在曲线上设置观景点，过点作直线lPQ交图象于点，连接、并延长，交于点．直接写出点的横坐标．
【答案】(1)
(2)
(3)
(4)①②
【分析】（1）根据，求出，根据点在轴正半轴，可得点的坐标；
（2）用待定系数法求出的解析式；
（3）用待定系数法求出直线的解析式，由点的横坐标为，可知点的横坐标为，把线段与的长度用含的代数式表示出来，利用作差法可得，根据可得；
（4）①解方程，可得：，，根据点的坐标为整数，可得：或，根据可得；
②由可知抛物线的解析式为，设直线的解析式为，可得方程，根据一元二次方程根与系数的关系可得，所以有，根据直线，可得，整理可得．
【详解】（1）解：，，
，
点的坐标是；
（2）解：，
点的坐标是，
把点、的坐标代入，
可得：，
解得：，
主景观抛物线的解析式为；
（3）解：当时，，
点的坐标为，
设直线的解析式为，
把点、的坐标代入，
可得：，
解得：，
直线的解析式为，
点的横坐标为，
点的坐标为，点的坐标为，
，
，
点的横坐标为，
点的坐标为，点的坐标为，
，
，
，
，
；
（4）①解方程，
整理得：，
解得：，，
两个交点的横、纵坐标均为整数，
或，
解得：或或或，
，
，
当时，，
可得：，
点的坐标为，
当时，可得：，
点的坐标为，
点、的横、纵坐标均为整数，符合题意；
②解：设直线的解析式为，
把点、代入，
可得：，
解得：，
直线的解析式为，
，
抛物线的解析式为，
设直线的解析式为，
解方程，
整理可得：，
，
，
如下图所示，过点作轴，过点作，过点作轴，过点作，
，
，，
直线，
，
，
，
，
整理得：，
可得：，
．中小学教育资源及组卷应用平台
浙江省2026年初中学业水平考试名师精选模拟考试卷
数学卷
1、本试卷满分为120分，考试时间为120分钟。
2、答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡规定的位置上，并认真核对条形码上的信息。
3、所有答案必须写在答题卡上，写在试卷、草稿纸上无效；选择题部分用2B铅笔填涂，非选择题部分用黑色字迹的签字笔或钢笔书写，字体工整、笔迹清楚。
4、请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。
5、保持答题卡清洁，不要折叠、弄破；严禁在答题卡上做任何标记。
一、选择题（共30分）
1．（2026·河北唐山·二模）如图，是某家用冰箱的温度显示屏，其中冷冻室温度为，冷藏室温度为，冷藏室温度比冷冻室温度高（ ）摄氏度．
A． B． C． D．
2．（2026·江苏连云港·二模）2026年3月30日是第31个全国小学生安全教育日．下列安全图标既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）
A．当心淹溺 B．当心落水
C．禁止翻越 D．急救站
3．（2026·河北唐山·二模）计算：的结果（ ）
A． B． C． D．
4．（2026·河南南阳·二模）某校现有学生1800人，为了增强学生的法律意识，学校组织全体学生进行了一次普法教育和测试．随机抽取部分测试成绩（满分100分，成绩为整数）作为样本，并绘制成频数直方图（如图）．下列判断不正确的是（ ）
A．共抽取了48人的测试成绩
B．估计本次测试中全校在90分以上的学生有225人
C．样本的中位数落在这一分数段内
D．样本中80分以上的人数占总体的
5．（2026·河北唐山·二模）如图，由内到外依次为正方形，，，若的面积为，的面积为，则正方形的边长可能是（ ）
A． B． C． D．
6．（2026·天津宁河·二模）《张邱建算经》是我国古代的数学著作，其中有一道题：“今有清酒一斗直粟八斗，醐酒一斗直粟二斗，今持粟两斛，得酒四斗，问清、醐酒各几何？”意思是：现在一斗清酒价值8斗谷子，一斗醐酒价值2斗谷子，现在拿20斗谷子，共换了4斗酒，问清酒、醐酒各几斗？设醐酒有x斗，则可以列出的方程为（ ）
A． B．
C． D．
7．（2026·江苏盐城·二模）如图，是的直径，若，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
8．（2026·山东聊城·二模）已知某工地的抽水机，总功率，抽水时，水流的力（单位：）与水流的速度（单位：）满足反比例函数关系，它的图象如图所示，下列说法不正确的是（ ）
A．
B．当时，
C．当水流速度越大时，水流的力也越大
D．当时，
9．（2026·四川内江·二模）已知关于x的一元二次方程有实数根，则k的取值范围为（ ）
A．且 B． C．且 D．
10．（2026·甘肃平凉·二模）如图1，在矩形中，点E是上一点，，连接，点F从点A出发，以每秒1个单位长度的速度依次沿着、边匀速运动到点C停止，连接，的面积为y，点F运动的时间为t，y随t变化的图象如图2所示，当时，t的值为（ ）
A．3或6 B．或6 C．或5 D．3或5
二、填空题（共18分）
11．（2026·山东聊城·二模）我们知道，半径为的球的表面积公式是，那么的系数是____．
12．（2026·江苏宿迁·二模）在平面直角坐标系中，点不可能在第______象限．
13．（2026·河北唐山·二模）如图，嘉淇对三个相连的方格进行涂色，在给每个方格涂色时均从红、黄两种颜色中随机选取一种，那么三个相连的方格所涂颜色相同的概率是________．
14．（2026·河北唐山·二模）如图，在中，，，现将其分割成①、②、③、④四部分，若①、②、③恰好能拼成一个矩形（不重叠、无缝隙），且该矩形的面积与④的面积相等，则________．
15．（2026·四川成都·二模）已知关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，若，则的值为_____．
16．（2026·四川成都·二模）如图，在A是y轴正半轴上一点，点B、C在x轴正半轴上（C在B的右边），若，则的最大值是_____．
三、解答题（共72分）
17．（8分）（2026·广西南宁·二模）解答下列各题：
(1)计算：
(2)解方程：
18．（8分）（2026·辽宁朝阳·二模）随着信息技术的迅猛发展，人们去商场购物的支付方式更加多样，便捷．某校数学兴趣小组设计了一份调查问卷，要求每人选且只选一种自己最喜欢的支付方式，现将调查结果进行统计并绘制成两幅不完整的统计图，请结合图中所给的信息解答下列问题：
(1)这次活动共调查了_____人；在扇形统计图中，表示“支付宝”支付的扇形圆心角的度数为______
(2)如果某个社区共有3600人，那么选择其他支付的人约有多少？
(3)在一次购物中，小明和小亮都想从“微信”、“支付宝”、“银行卡”三种支付方式中选一种方式，请用画树状图或列表格的方法，求出两人恰好选择同一种支付方式的概率．
19．（8分）（2026·江苏连云港·二模）如图，在中，，，，点是中点，点在上，过点作交的延长线于点．
(1)求证：；
(2)求四边形的面积．
20．（8分）（2026·江苏无锡·二模）如图1，花洒一端的插口P安装在固定高度的支撑杆上，握把长，握把可在竖直方向绕着点P转动．图2是花洒喷水后的截面示意图，水流近似为射线状，设计要求水流方向和握把垂直，即，身高长的小军站在支撑杆的正前方的处．已知，，且，．设．（注：所有图形都在同一平面内）
(1)当时，花洒喷出的水刚好碰到小军的头顶B，求小军身高的长约为多少（精确到）；
(2)如图3，小军洗完澡后，将握把绕着插口P顺时针转动一定的角度，以此调整水柱，确保在处冲到脚．求此时的度数．（精确到）
（参考数据：，，，，）
21．（8分）（2026·河南周口·模拟预测）为响应“绿色校园”建设，学校开展“旧物改造创意大赛”活动，需采购两种环保改造材料（A为再生纸板套装，B为可降解黏合剂套装），已知采购1套A材料和2套B材料共需130元；采购3套A材料和5套B材料共需340元．
(1)求1套A材料和1套B材料的单价．
(2)创意社团计划采购这两种材料共50套，用于12个参赛小组的创作，且B材料的采购数量不低于A材料数量的2倍，设采购A材料套，总费用为元，求总费用最低的采购方案，并求出最低总费用．
22．（10分）（2026·广东·二模）如图，在平面直角坐标系中，菱形的顶点C与原点O重合，点B在y轴的正半轴上，点A在反比例函数的图象上，点D的坐标为．
(1)求k的值．
(2)设点M在反比例函数图象上，连接，若的面积与菱形的面积相等，请直接写出点M的坐标．
23．（10分）（2026·浙江舟山·二模）如图，在中，，将其绕点逆时针旋转得，过，，三点作圆，延长交圆于点，连接．
(1)如图，当点在圆上时，若为中点，且为直径．
①求证：．
②求的长度．
(2)如图，若，连接，且，求的长度．
24．（12分）（2026·河北唐山·二模）如图，为美化校园，某中学计划在教学楼前的空地上设计一处景观绿化带，工程团队在平面直角坐标系中进行建模设计：
已知绿化带的轮廓由抛物线与线段构成，其中一条主景观抛物线：（、是常数），、为绿化带与校园主路的交点，，以所在直线为轴，点在原点的左侧，且，线段为景观步道的边界．
请结合以上设计方案，完成下列探究任务．
(1)直接写出点的坐标（________）；
(2)求主景观抛物线的解析式；
(3)计划在主步道上设置两个小型景观节点、，且间距（点在点右侧），过、分别作主路（轴）的垂线，垂线被步道边界和主景观抛物线截得两条装饰线段、．若节点的横坐标为，且，试比较两条装饰线段与的长度大小关系；
(4)如图2，为丰富景观层次，设计团队还规划了一条次景观抛物线：（）并为优化次景观抛物线的设计，设计团队开展了以下专项探究：
①若主景观抛物线与次景观抛物线的两个交点的横、纵坐标均为整数，直接写出满足条件的的整数值；
②在①的条件下，设两条抛物线的交点为、（为左交点、为右交点），连接，同时在抛物线上取之间的图象记为景观曲线，现计划在曲线上设置观景点，过点作直线lPQ交图象于点，连接、并延长，交于点．直接写出点的横坐标．

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