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专题五：利用导数研究函数的单调性与极值（解析卷）
考点1：利用导数判断函数的单调性 2
考法1：利用导数求函数的单调区间 2
考法2：判断含参数函数的单调性 5
考法3：利用函数的单调性比较大小或解不等式 6
考点2：已知单调性求参数取值范围 7
考法4：已知单调区间求参数取值范围 7
考法5：已知函数在区间上单调求参数范围 8
考点3：利用导数求函数的极值 9
考法6：求函数的极值点和极值 9
考法7：极值点存在性讨论 12
考点4：利用导数求函数的最值 13
考法8：求函数在闭区间上的最值 13
考法9：求函数在开区间上的最值 15
考点5：已知极值或最值求参数 18
考法10：已知极值点求参数值 18
考点6：导数的几何意义 19
考法11：求曲线在某点处的切线方程 19
考点7：利用导数研究函数的零点 20
考法12：已知函数零点个数求参数范围 20
1 2 3 4 5
D C AD
6 7 8 9 10
见解析 当 时，在 上单调递减；当 时，在 上单调递减，在 上单调递增 当 时，在 上单调递减；当 时，在 上单调递减，在 上单调递增 A C
11 12 13 14 15
C B
16 17 18 19 20
D C BCD BCD
21 22 23 24 25
A 存在极小值点 ，无极大值点 D
26 27 28 29 30
见详解 D AD
31 32 33 34 35
（1），证明见解析 （2） （3）， A ACD
36 37 38 39
A
考点1：利用导数判断函数的单调性
考法1：利用导数求函数的单调区间
1.（单选）
【答案】D
【解析】由题得 ，
对于A，当 时 ，，当 时 ，，所以函数在 上单调递减，在 上单调递增，故A不符合；
对于B，当 时 ，，当 时 ，，所以函数在 上单调递增，在 上单调递减，故B不符合；
对于C，当 时 ，，所以函数在 上单调递减，故C不符合；
对于D，当 时 ，，所以函数在 上单调递增，故D符合.
【点拨】判断三角函数的单调性时，求导后需结合三角函数在各象限的符号准确判断导数的正负，注意区间的划分.
2.（单选）
【答案】C
【解析】函数 的定义域为 ，
，
令 ，解得 或 （舍去），
当 时，，当 时，，
所以函数 在 上单调递减，在 上单调递增，
所以函数 的极小值点为 ，无极大值点.
由题意，极值点在区间 内，且该区间必须在定义域 内，
所以 ，解得 .
故实数 的取值范围是 .
【点拨】已知极值点所在区间求参数范围时，首先要通过导数求出确切的极值点，然后将极值点代入区间不等式中求解，同时务必注意区间必须在函数的定义域内，这是易错点.
3.（多选）
【答案】AD
【解析】对于A，当 时，，，由于 是奇函数，所以 ，故A正确；
对于B，当 时，，当 时，，所以B错误；
对于C，当 时，令 得 .因为 是奇函数，所以 ，且 ，所以函数有3个零点：，故C错误；
对于D，当 时，，在 上 ， 单调递减.因为 是奇函数，其单调性在对称区间上相同，所以在 上也单调递减，故D正确.
【点拨】处理分段函数或奇偶函数的单调性与零点问题时，通常先研究已知解析式的一侧（如 ），再利用奇偶性的对称特征（奇函数关于原点对称，单调性一致）推广到另一侧.
4.（填空）
【答案】
【解析】由题意知，函数 的定义域为 ，
，
令 ，即 ，解得 ，
所以函数 的单调递增区间是 .
【点拨】求对数型函数的单调区间时，第一步必须先确定函数的定义域，然后在定义域内解导数不等式.
5.（填空）
【答案】
【解析】由图象可知，
当 时，，且 单调递增，，此时 ；
当 时，，且 单调递增，，此时 ；
当 时，，且 单调递减，，此时 ；
当 时，，且 单调递减，，此时 .
综上所述， 的解集为 .
【点拨】分式不等式 等价于 与 同号.结合图象，分别在原函数值为正和为负的区间内观察其增减性即可快速求解.
6.（解答）
【答案】见解析
【解析】证明：由题意得 …………………………………… 1 分
则 ……………………………………………………………… 3 分
令 ，则 ……………………………… 5 分
令 ，解得 ……………………………………………………… 6 分
当 时，， 单调递减；
当 时，， 单调递增 …………………………… 8 分
所以 ………………………… 10 分
即 在 上恒成立 ……………………………………………………… 11 分
所以 在 上单调递增 ……………………………………………………… 13 分
【点拨】当一次求导后导函数的符号仍不易判断时，可构造新函数（即求二阶导数），通过求导函数的最小值来证明导函数恒大于0，从而得出原函数的单调性.
7.（解答）
【答案】当 时，在 上单调递减；当 时，在 上单调递减，在 上单调递增
【解析】解：（2） 函数的定义域为 ………………………………………… 1 分
………… 4 分
当 时，，又 ，所以 ………………………… 6 分
此时函数 在 上单调递减 ………………………………………… 8 分
当 时，令 ，解得 ………………………………………… 10 分
当 时，，函数 单调递减；
当 时，，函数 单调递增 ……………………… 12 分
综上所述，当 时，函数 在 上单调递减；
当 时，函数 在 上单调递减，在 上单调递增 …… 15 分
【点拨】含参函数的单调性讨论，关键在于对导函数分子因式分解后，根据参数的符号分类讨论零点的存在性及大小关系.
考法2：判断含参数函数的单调性
8.（解答）
【答案】当 时，在 上单调递减；当 时，在 上单调递减，在 上单调递增
【解析】解：（2） 依题意， 的定义域为 ……………………………… 1 分
…………………………………………………… 2 分
…… 5 分
因为 ，所以 ……………………………………………………… 6 分
当 时，， ………………………………………… 8 分
所以 在 上单调递减 ……………………………………………… 10 分
当 时，令 ，解得 ……………………………………… 12 分
当 时，， 单调递减；
当 时，， 单调递增 ………………………… 14 分
综上所述，当 时， 在 上单调递减；
当 时， 在 上单调递减，在 上单调递增 …… 15 分
【点拨】对数与多项式组合的函数求导后，通分并进行十字相乘因式分解是标准动作.讨论时以导数零点是否在定义域内为分类标准.
考法3：利用函数的单调性比较大小或解不等式
9.（单选）
【答案】A
【解析】因为 ，所以 .
令函数 ，则 .
因为 ，所以 是定义在 上的增函数，
所以 ，即 ，
从而 .
故选： A.
【点拨】遇到结构对称的不等式，优先考虑同构法.将不等式转化为 的形式，再利用导数判断 的单调性，从而脱去函数符号比较自变量的大小.
10.（单选）
【答案】C
【解析】由 ，显然 ，
变形得 ，即 ，
令 ，则 在 上单调递增，
所以 ，即 ，所以 .
由 ，显然 ，即 ，
变形得 ，即 ，
即 ，
所以 ，即 ，
所以 .
令 ，则 在 上单调递增，
因为 ，，所以 ，即 .
因为 ，，
所以 .
对于A，，故A错误；
对于B，，因为 ，所以 ，所以 ，故B错误；
对于C，，
因为 ，所以 ，故C正确；
对于D，，故D错误.
故选： C.
【点拨】处理复杂的超越方程，核心在于“同构”.通过代数变形凑出 的形式，结合单调性得出 ，再利用隐零点定理估算根的范围.
11.（解答）
【答案】
【解析】解：（2） 易知 ，所以 在 上单调递增 …… 8 分
又 ，所以 为奇函数 …………………………… 9 分
不等式 可化为 … 10 分
因为 在 上单调递增，
所以 ，即 对任意的 恒成立 ……… 11 分
①当 时， 恒成立，符合题意；……………………………………… 12 分
②当 时，需满足 ………………… 14 分
解得 …………………………………………………………………… 15 分
综上所述，实数 的取值范围为 ………………………………………… 16 分
【点拨】利用函数的奇偶性与单调性解抽象不等式，关键是将不等式转化为 的形式，再利用单调性脱去函数符号，转化为代数不等式恒成立问题.
考点2：已知单调性求参数取值范围
考法4：已知单调区间求参数取值范围
12.（单选）
【答案】C
【解析】由题意知， 的定义域为 ，
，
因为 在 内存在单调递减区间，
所以 在 内有解，
即 在 内有解，
所以 ，
令 ，
当 时，，
要使 有解，只需 即可，所以 .
故选：C.
【点拨】“存在单调递减区间”等价于“导数小于0有解”，利用分离参数法转化为求函数的最值问题，即 .
13.（解答）
【答案】
【解析】解：（1） 因为 ，则 …………………… 1 分
由题意知 在区间 内恒成立，
所以 在区间 内恒成立 …………………………………… 2 分
令 ，，因为 在区间 内单调递减 …… 4 分
所以 ，所以 ………………………………………… 6 分
即实数 的取值范围为 ……………………………………………… 7 分
【点拨】已知函数在某区间单调递增，等价于导函数在该区间上恒大于等于0.采用分离参数法，转化为求新函数的最大值是通性通法.
考法5：已知函数在区间上单调求参数范围
14.（单选）
【答案】B
【解析】因为函数 在 上单调递增，
所以必须满足各分段部分单调递增，且在分界点处左侧的极限值小于等于右侧的函数值，
即 ，
解得 .
故选：B.
【点拨】分段函数在整个定义域上单调，除了要求各段自身单调外，还必须保证在分界点处满足单调性的衔接条件（即左端点值小于等于右端点值）.
15.（填空）
【答案】
【解析】由 ，
得 ，
因为函数 在区间 上单调递增，
所以 在区间 上恒成立，
即 在区间 上恒成立，
又 ，所以 ，即 ，
因为 在区间 上单调递减，
所以当 时，，
所以 ，即实数 的取值范围是 .
【点拨】指数型函数求导后提取 ，由于 ，单调性完全由剩余多项式的符号决定.结合区间特点分离参数求最值即可.
16.（解答）
【答案】
【解析】解：（2） 由题意知， ……………………………… 8 分
因为 在区间 上存在单调递减区间，
所以 在 上有解 ……………………………………………… 10 分
即 在 上有解 ………………………………………… 12 分
设 ，，
则 …………………………………………………………… 14 分
所以 在 上单调递增，
所以 ，
所以 ……………………………………………………………………… 16 分
即实数 的取值范围为 …………………………………………… 17 分
【点拨】“存在单调递减区间”转化为“导数小于0有解”，分离参数后求新函数的值域，注意开区间无最小值时利用极限或单调性求边界.
考点3：利用导数求函数的极值
考法6：求函数的极值点和极值
17.（单选）
【答案】D
【解析】由 ，
则 ，
令 ，得 或 .
结合 的图象可知，函数 在 上的极值点共有8个.
则 ; ; ; 互为相反数，因 ，
则 ，，又注意到 ，
则 .
故选：D.
【点拨】对于含有三角函数的极值点求和问题，不必求出具体的极值点，利用三角函数的对称性将极值点配对相加，可使奇函数部分抵消为0.
18.（单选）
【答案】C
【解析】因为 ，
所以 ，
所以 ，
令 ，则 ，
因为0是 的极小值点，
所以在 的左侧，，在 的右侧，，
所以 ，解得 ，即 取值范围是 .
故选：C.
【点拨】已知某点为极小值点，则该点处导数为0，且导函数在该点附近“左负右正”.通过对导函数再次求导判断导函数的单调性是破题关键.
19.（多选）
【答案】BCD
【解析】对于A：当 时，，，，令 得 ，，所以对称中心为 ，故A错误.
对于B：，若 在 上递增，则 恒成立，即 ，解得 ，故B正确.
对于C：，令 得 ，当 时，；当 时，，所以函数图像过定点 和 ，故C正确.
对于D：，令 得 或 .
因为 有极大值和极小值，所以 .
极大值与极小值互为相反数，即 ，
，
化简得 ，即 .
设 ，因为 ，
，，，所以 ，故D正确.
故选：BCD.
【点拨】三次函数的对称中心横坐标为二阶导数的零点；极值互为相反数即极值之和为0，代入极值点化简求解即可.
20.（多选）
【答案】BCD
【解析】对于A，，它是二次函数，没有拐点，故A错误.
对于B，.
又 .
若 ，则 ，解得 ，故B正确.
对于C，若 且有极值，则 .
又 ，故C正确.
对于D，若 ，则 ，.
极值点为0和2，极大值为 ，极小值为 .
有三个零点，则 且 ，即 且 .
又 ，代入得 ，故D正确.
故选：BCD.
【点拨】理解新定义“拐点”的本质是二阶导数为0的点，结合三次函数极值点与零点的关系，利用韦达定理和判别式进行转化.
21.（填空）
【答案】
【解析】易得 ，设 ，
令 ，得 或 ，
由 ，得 ，则在同一坐标系中函数 的图象和直线 有两个不同的公共点.
（1） 当 时，注意到，当 时，直线 是曲线 的一条切线，故 ，
此时 ，
由图可知 ，且在 附近 左正右负， 左正右负， 是极大值点，不符合题意；
（2） 当 时，注意到，当 时，直线 是曲线 的一条切线，故 ，
此时 ，，从而在0附近， 左正右负，0是极大值点；
由图可知，，且在 附近 左负右正， 左正右负， 是极大值点；
，且在 附近 左正右负， 左负右正， 是极小值点；符合题意；
所以实数 的取值范围是 .
【点拨】处理导数方程的超越根，可转化为两函数图象的交点问题.通过数形结合判断交点附近的符号变化，进而确定极值点的性质.
22.（解答）
【答案】
【解析】解：（1） 的定义域为 ， …………………… 1 分
若 ，恒有 ， 单调递增，没有最小值，不符合题意 …………… 2 分
若 ，令 ，解得 .
当 时，， 单调递减；
当 时，， 单调递增 ……………………………………… 3 分
故 在 处取得极小值，也是最小值 ……………………………………… 5 分
所以 ，解得 ………………………………………………… 7 分
【点拨】已知函数的最值求参数，先通过求导确定函数的单调性及最值点（通常含参），再将最值点代入原函数建立关于参数的方程.
考法7：极值点存在性讨论
23.（单选）
【答案】A
【解析】函数的定义域为 ，
，
因为函数 有两个极值点，
所以 在 上有两个变号零点，
即 在 上有两个不相等的实数根.
当 时，抛物线开口向下，，所以一根小于-1，一根大于-1.在 内只有一个根，不能有两个极值点.
当 时，抛物线开口向上，，对称轴 ，所以两根都在 内.
此时只需 或 .
所以 .
故选：A.
【点拨】函数有两个极值点等价于导函数有两个变号零点.转化为二次方程根的分布问题，结合开口方向、对称轴、端点函数值及判别式综合求解.
24.（解答）
【答案】存在极小值点 ，无极大值点
【解析】解：（2） ， …………………………… 5 分
当 时，，， 单调递增，无极值 …………… 6 分
当 时，，令 得 .
当 时，， 单调递增；
当 时，， 单调递减；
当 时，， 单调递增 ……………………… 7 分
所以 存在极大值点 ，极小值点 ……… 8 分
【点拨】判断极值点的存在性，本质是讨论导函数的变号零点.对二次型导函数，依据判别式 的符号分类讨论即可.
考点4：利用导数求函数的最值
考法8：求函数在闭区间上的最值
25.（单选）
【答案】D
【解析】根据题意可知 ，则 （ 为常数），
① ，根据二次函数的最值可知当销量 件时，总收益最大，①正确；
②若销量为800件时，总收益为 ，
所以 ，解得 ，
则当销量增加400件，即 件，总收益
，②正确；
③当销量从500件增加到501件时，
，
总收益改变量的近似值为500．③正确.
故选：D.
【点拨】边际收益是收益函数的导数，通过积分（或逆向求导）可恢复原函数，再利用二次函数的性质判断最值及对称性.
26.（填空）
【答案】
【解析】由题意应为 ，
.
令 ，得 或 .
当 时，.
.
当 时， 取得最小值，
.
【点拨】三角函数求最值，通常先求导，利用二倍角公式化简为同名三角函数，解出驻点后代入原函数比较大小.
27.（解答）
【答案】
【解析】解：（2） 依题意 ………… 11 分
又 ， …………………… 13 分
在 上单调递增，
……………………………… 15 分
【点拨】先根据独立重复试验概率公式列出函数解析式，再利用导数求出函数在指定闭区间上的单调性，进而求得最值.
28.（解答）
【答案】（1）当 时，；（2）当 时，；（3）当 时，；（4）当 时，；（5）当 时，
【解析】解：（3） ，
当 时，，
故 ……………………… 8 分
同理，当 时，，
（i） ，
（ii） …………………… 12 分
当 时，，
（i） ，
（ii） ……………… 16 分
综上所述：
（1） 当 时，；
（2） 当 时，；
（3） 当 时，；
（4） 当 时，；
（5） 当 时， ……………………… 17 分
【点拨】含绝对值的二次函数在闭区间上的最值问题，需根据对称轴、区间端点以及绝对值零点的位置关系进行详细的分类讨论.
考法9：求函数在开区间上的最值
29.（单选）
【答案】D
【解析】因为 ，且
则 ，
即命题 ：， 为假命题，
所以 ：，，且 为真命题.
故选：D.
【点拨】处理新定义运算，先严格代入定义化简函数解析式，再利用指数函数的性质求出函数的值域，最后根据全称命题与特称命题的否定关系进行判断.
30.（多选）
【答案】AD
【解析】对于A，若 ，则 ，，，
为奇函数，故A正确；
对于B，若 ，，，
当且仅当 时等号成立，即最小值为4，无最大值，故B错误；
对于C，若 ，则 ，，
当 时，，当且仅当 ，即 时等号成立，
所以 无最小值，故C错误；
对于D，若 为奇函数，则 ，所以 ，
若 ，使得 成立，
则 ，
若 ，则 ，
则 ，即 能成立，
因为 ，
当且仅当 ，即 时等号成立，
所以 ，即 的最小值为 ，故D正确.
故选：AD.
【点拨】处理存在性问题，分离参数后转化为求新函数的最小值.利用基本不等式求最值时，务必注意验证等号成立的条件.
31.（解答）
【答案】
【解析】解：（2） 对 求导得 …… 6 分
设 ，在 单调递增.
因为函数 存在极小值点 ，所以 在 存在零点 ，即
， ………………………………………… 8 分
此时 ，即
……………………………………………………… 10 分
设 ，对其求导得 .
令 ，即 ，解得 .
当 ， 单调递增；当 ， 单调递减 …… 12 分
又 ，当 ，；当 ，.
所以 ……………………………………………………………… 14 分
又 在 上单调递增，所以 ……………………… 15 分
【点拨】极值点通常是导函数的零点，将极值点代入原函数，利用极值点满足的方程消去参数，转化为关于极值点的单变量函数求最值.
32.（解答）
【答案】（1），证明见解析 （2） （3），
【解析】解：（1） 由题意，， …… 2 分
证明：要证
只需证
由于 ①
②
①+②得
即
得证 ………………………………………… 5 分
（2） 存在 ，使得 成立，即 …… 6 分
由题知， …… 7 分
令 ，， ………… 8 分
即 ，解得 （舍去）， …………………… 9 分
，， 单调递增，，， 单调递减
的最大值为 ，即 ……………………………… 11 分
（3） ，，令 ， …… 12 分
，，，， … 13 分
当 时，，
当 ，，
当 ， ………………………………………… 15 分
又 最多只有三个解且 ，由三次函数图象，…… 16 分
，，，
的单调增区间是 ， ……………… 17 分
【点拨】利用三角换元处理三次方程的根是高等数学背景下的常见技巧.将代数多项式转化为切比雪夫多项式，再利用三角函数的有界性和周期性求解.
考点5：已知极值或最值求参数
考法10：已知极值点求参数值
33.（单选）
【答案】A
【解析】由 ，得 ，
因为函数 在 处取得极值，
所以 ，解得 .
所以 ，.
当 时，， 单调递增；
当 时，， 单调递减.
又 ，，
所以 在 内的最小值为2.
故选：A.
【点拨】已知极值点求参数，直接将极值点代入导函数令其为0即可求出参数，但求出后必须代回检验该点是否确为极值点.
34.（多选）
【答案】ACD
【解析】由题意应为 在 处取得极小值，
.
因为 在 处取得极小值，
所以 ，解得 ，故A正确；
当 时，， 单调递增，
所以 ，故B错误；
，
，
所以 ，故C正确；
当 且 时，
.
因为 ，故D正确.
故选：ACD.
【点拨】极值点处的导数值为0，求出参数后需验证导数在极值点两侧的符号.判断两点函数值之差的最值，通常转化为单调性求区间端点值.
35.（填空）
【答案】
【解析】 的定义域为 ，
.
因为 存在极值点，所以 在 上有变号零点，
即 在 上有解.
设 ，则 .
设 ，则 .
当 时，， 单调递增；
当 时，， 单调递减.
所以 ，
所以 在 上恒成立，
所以 在 上单调递减.
当 时，；当 时，.
所以 的值域为 .
要使 有解，必须 ，解得 .
故实数 的取值范围为 .
【点拨】函数存在极值点等价于导函数存在变号零点.通过分离参数转化为求新函数的值域，注意利用极限思想判断开区间端点处的取值趋势.
考点6：导数的几何意义
考法11：求曲线在某点处的切线方程
36.（填空）
【答案】
【解析】由 ，得 .
所以 .
又 ，
所以曲线 在点 处的切线方程为 ，即 .
【点拨】求在某点处的切线方程，直接求导得到斜率，再利用点斜式写出直线方程即可.注意区分“在某点”与“过某点”的区别.
37.（解答）
【答案】
【解析】解：（1） 当 时，，
则 …………………………………………………… 2 分
所以 ………………………………………………… 3 分
因为 …………………………………………………………… 4 分
所以 在 处的切线方程为 ，
即 ……………………………………………………… 5 分
【点拨】求切线方程的标准步骤：一求切点纵坐标，二求导数得斜率，三代入点斜式化简.
考点7：利用导数研究函数的零点
考法12：已知函数零点个数求参数范围
38.（单选）
【答案】A
【解析】设 是 上一点，则 ，
且 关于 轴对称点坐标为 在 上，
由题意得， 有两个不同的实数解，
即 有两个不同的实数解.
令 ，则 ，
当 时，， 单调递减；
当 时，， 单调递增；
所以 ，，.
有两个不同的实数解等价于 与 有两个交点，
所以 ，所以 .
故选：A.
【点拨】将图像的对称关系转化为方程的根的问题，再利用分离参数法，将方程有解转化为两函数图象的交点问题，通过求导画出函数草图即可直观求解.
39.（解答）
【答案】
【解析】解：（2） 由 ，，则 …… 5 分
当 时，，则 在 单调递增，此时至多有一个零点，不符合题意；
当 时，令 ，解得 ；令 ，解得 ，
故 在 上单调递减，在 上单调递增 ………… 7 分
要使 有两个零点，需 ，
则 ，解得 ………………………………………… 9 分
而 ，，
当 时，令 ，
则 ，所以函数 在 上单调递增，
故 ，则 ……… 11 分
所以 ，，
由零点存在性定理可知， 在 与 上分别存在唯一零点.
综上所述，实数 的取值范围为 ……………………………… 12 分
【点拨】函数有两个零点，通常要求其极小值小于0，且在极小值点两侧各能找到一个函数值为正的点，从而利用零点存在性定理加以证明.
第 2 页，共 17 页专题五：利用导数研究函数的单调性与极值
考点1：利用导数判断函数的单调性 1
考法1：利用导数求函数的单调区间 1
考法2：判断含参数函数的单调性 3
考法3：利用函数的单调性比较大小或解不等式 3
考点2：已知单调性求参数取值范围 3
考法4：已知单调区间求参数取值范围 3
考法5：已知函数在区间上单调求参数范围 4
考点3：利用导数求函数的极值 4
考法6：求函数的极值点和极值 4
考法7：极值点存在性讨论 6
考点4：利用导数求函数的最值 6
考法8：求函数在闭区间上的最值 6
考法9：求函数在开区间上的最值 7
考点5：已知极值或最值求参数 9
考法10：已知极值点求参数值 9
考点6：导数的几何意义 9
考法11：求曲线在某点处的切线方程 9
考点7：利用导数研究函数的零点 10
考法12：已知函数零点个数求参数范围 10
注意事项
1. 请认真审题，注意计算过程的严谨性和规范性.
2. 选择题请注意选项的布局，解答题请在规定区域内作答.
3. 考试过程中请保持卷面整洁.
考点1：利用导数判断函数的单调性
考法1：利用导数求函数的单调区间
1.（单选）函数在下面哪个区间上单调递增（ 　　）
A. B. C. D.
2.（单选）若函数在其定义域内的区间内有极值点，则实数的取值范围为（ 　　）
A. B. C. D.
3.（多选）已知函数是定义在上的奇函数，当时，，则（ 　　）
A. 当时， B. ，都有
C. 函数有两个零点 D. 函数在区间上单调递减
4.（填空）函数的单调递增区间是＿＿＿＿＿＿.
5.（填空）函数，图像如图所示，设的导函数为，则的解集为＿＿＿＿＿＿.
6.（解答）已知函数.
（1） 若，求证：在上单调递增；
7.（解答）设函数.
（2） 讨论函数的单调性.
考法2：判断含参数函数的单调性
8.（解答）已知函数，.
（2） 讨论函数单调性.
考法3：利用函数的单调性比较大小或解不等式
9.（单选）若，则（ 　　）
A. B. C. D.
10.（单选）若，，其中是自然对数的底数，则（附：）（ 　　）
A. B. C. D.
11.（解答）设函数.
（2） 若不等式恒成立，求实数的取值范围.
考点2：已知单调性求参数取值范围
考法4：已知单调区间求参数取值范围
12.（单选）已知函数在定义域内存在单调递减区间，则的取值范围是（ 　　）
A. B. C. D.
13.（解答）已知函数，.
（1） 若函数在区间内单调递增，求实数的取值范围.
考法5：已知函数在区间上单调求参数范围
14.（单选）已知函数在上单调递增，则的取值范围是（ 　　）
A. B. C. D.
15.（填空）若函数在区间上单调递增，则实数的取值范围是＿＿＿＿＿＿.
16.（解答）已知函数，.
（2） 若在区间上存在单调递减区间，求的取值范围.
考点3：利用导数求函数的极值
考法6：求函数的极值点和极值
17.（单选）已知函数在上的所有极值点从小到大依次记为，，，，则（ 　　）
A. 12 B. 15 C. 18 D. 24
18.（单选）已知函数，若0是极小值点，则取值范围是（ 　　）
A. B. C. D.
19.（多选）已知函数，则（ 　　）
A. 当时，的对称中心为
B. 若函数在上递增，则
C. 函数的图像过定点
D. 若的极大值与极小值互为相反数，且，则
20.（多选）定义：设是的导函数，是的导数，若方程有实数解，则称点为函数的“拐点”．经过探究发现：任何一个三次函数都有“拐点”，且“拐点”就是三次函数图象的对称中心．已知三次函数的对称中心为，则（ 　　）
A. 存在拐点
B. 若，则
C. 当，且有极值时，
D. 当，且函数有三个零点时，
21.（填空）已知函数（且）存在三个极值点，若是极小值点，则实数的取值范围是＿＿＿＿＿＿.
22.（解答）已知函数，且的最小值为1.
（1） 求的值.
考法7：极值点存在性讨论
23.（单选）已知函数有两个极值点，则实数的取值范围为（ 　　）
A. B. C. D.
24.（解答）已知函数，.
（2） 若，试判断函数是否存在极值，若存在，请确定极值点；若不存在，请说明理由.
考点4：利用导数求函数的最值
考法8：求函数在闭区间上的最值
25.（单选）在经济学中，将产品销量为件时的总收益称为收益函数，记为，相应地把称为边际收益函数，它可以帮助企业决定最优的生产或销售水平．假设一个企业的边际收益函数 (注:经济学中涉及的函数有时是离散型函数，但仍将其看成连续函数来分析)．给出下列三个结论:
①当销量为1000件时，总收益最大；
②若销量为800件时，总收益为，则当销量增加400件时，总收益仍为；
③当销量从500件增加到501件时，总收益改变量的近似值为500．
其中正确结论的个数为（ 　　）
A. 0 B. 1 C. 2 D. 3
26.（填空）已知函数，则的最小值为＿＿＿＿＿＿.
27.（解答）某4名射击手进行射击训练，他们互不影响地同时对同一目标进行射击，每人击中的概率均为.
（2） 若目标被一人击中不会被摧毁，被2人击中而被摧毁的概率为，被3人击中而被摧毁的概率为，被4人击中则肯定被摧毁.设目标被摧毁的概率为，当时，求的最大值.
28.（解答）已知.
（3） 当时，求的最大值，最小值.
考法9：求函数在开区间上的最值
29.（单选）定义新运算：，设，命题：，，则（ 　　）
A. ：，，且为假
B. ：，，且为假
C. ：，，且为真
D. ：，，且为真
30.（多选）空旷的田野上两根电线杆之间的电线有相似的曲线形态．这些曲线在数学上称为悬链线，悬链线在工程上有广泛的应用．在恰当的坐标系中，这类函数的表达式可以表示为（其中，为非零常数），则对于函数以下结论正确的是（ 　　）
A. 若，则为奇函数
B. 若，，则函数的最大值为4
C. 若，则函数的最小值为2
D.
为奇函数，且，使得成立，则的最小值为
31.（解答）已知函数，其中，为自然对数的底数.
（2） 若函数存在极小值点，且，求实数的取值范围.
32.（解答）记 ，，.
（1） 求 ，并证明：；
（2） 若 ，使得 成立，求 取值范围；
（3） 求函数 的单调增区间.
考点5：已知极值或最值求参数
考法10：已知极值点求参数值
33.（单选）若函数在处取得极值，则在内的最小值为（ 　　）
A. 2 B. 3 C. 4 D. 6
34.（多选）已知函数在处取得极大值，的导函数为，则（ 　　）
A.
B. 当时，
C.
D.
当且时，
35.（填空）已知函数存在极值点，则实数的取值范围＿＿＿＿＿＿.
考点6：导数的几何意义
考法11：求曲线在某点处的切线方程
36.（填空）已知函数，则曲线在点处的切线方程为＿＿＿＿＿＿.
37.（解答）已知函数.
（1） 当时，求曲线在点处的切线方程.
考点7：利用导数研究函数的零点
考法12：已知函数零点个数求参数范围
38.（单选）已知函数（，为自然对数的底数）的图像上存在2个点、分别与的图像上2个点、关于轴对称，则实数的取值范围是（ 　　）
A. B. C. D.
39.（解答）已知函数，.
（2） 若有两个零点，求实数的取值范围.
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