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专题六：导数综合应用（解析卷）
考点1：利用导数证明不等式 1
考法1：构造辅助函数证明单变量不等式 1
考法2：利用函数最值证明不等式 5
考点2：利用导数研究恒成立问题 5
考法3：分离参数法解决恒成立问题 5
考法4：最值分析法解决恒成立问题 8
考点3：利用导数研究函数零点 8
考法5：利用导数判断函数零点个数 8
考法6：已知零点个数求参数范围 13
考点4：极值点偏移问题 16
考法7：对称构造法解决极值点偏移 16
考点5：导数中的构造问题 20
考法8：利用同构法构造辅助函数 20
1 2 3 4 5
B C 见解析
6 7 8 9 10
（2）（i）不是 （ii）2 见解析 C CD
11 12 13 14 15
（2） （3） （1） BCD ACD
16 17 18 19 20
（2） （2）当 时，有 0 个零点；当 或 时，有 1 个零点；当 时，有 2 个零点
21 22 23 24 25
（2）极大值为 ，无极小值 （1） （2）2个 D B
26 27 28 29 30
（2） （1） ACD （2）① ②证明见解析
31 32 33 34 35
见解析 见解析 B BCD 1
36
（2）
考点1：利用导数证明不等式
考法1：构造辅助函数证明单变量不等式
1.（单选）
【答案】B
【解析】已知 ，即 .
令 ，则 ，
所以 在 上单调递增，故 ，即 ，从而 .
令 ，则 .
当 时，，所以 .
实际上，当 时，， 在 上单调递增，
故 ，即 ，从而 .
综上所述，.故选 B.
【点拨】比较大小问题常通过构造辅助函数，利用导数判断函数的单调性，从而得出不等关系.
2.（单选）
【答案】C
【解析】构造函数 ，则 .
因为 ，所以 ，则函数 是 上的单调递增函数.
对不等式 的两端同时除以 ，得 ，
即 .
因为 单调递增，所以 ，解得 .
所以原不等式的解集为 .故选 C.
【点拨】遇到 或 的条件时，常构造辅助函数 ，利用其单调性解不等式.
3.（填空）
【答案】
【解析】已知定义在 上的函数 ，若 ，则 .
令 ，则 ，
故 在 上单调递减.
又 .
不等式 即 ，
即 .
因为 在 上单调递减，所以 ，
又 ，解得 .
故不等式的解集为 .
【点拨】遇到 的条件，可联想到导数公式 ，从而构造函数 .
4.（填空）
【答案】
【解析】令 ，当 时，.
因为 ，所以当 时，， 在 上单调递增.
因为 是奇函数，所以 是偶函数.
由 ，得 ，从而 .
不等式 转化为：
当 时，，即 ，解得 ；
当 时，，即 ，解得 .
综上所述，不等式的解集为 .
【点拨】遇到 的条件，常构造辅助函数 ，结合奇偶性分析其在整个定义域上的单调性.
5.（解答）
【答案】（2）证明见解析
【解析】解：（2）由（1）可知， ………………………………………… 2 分
要证 ，即证 …………………… 4 分
令 ，因为 ，所以 ………………………………………… 6 分
不等式等价于 ，即 …………………… 8 分
即证 ………………………………………………………… 10 分
令 ……………………………………………… 12 分
………………………………………… 14 分
因为 ，所以 ， 在 上单调递增 ……………… 16 分
所以 ，即 成立 ………………………… 18 分
从而原不等式 成立 ………………………………………… 20 分
【点拨】证明含有 的不等式时，常采用换元法，将复杂结构转化为简单结构，再构造新函数利用导数证明.
6.（解答）
【答案】（2）（i）不是，理由见解析 （ii）2
【解析】解：（2）（i） 在区间 上不是“差商有界”函数. 理由如下：
由 ，得 ………………………………………… 2 分
当 时，，则 在区间 上单调递减 ………… 4 分
取 （其中 ）且 ，若满足 ，即 ，则
，即 ① ……………… 6 分
设 ，，则
所以 在区间 上单调递减 …………………………………… 8 分
从而 ，即 ，这与①矛盾
故 在区间 上不是“差商有界”函数 ……………………………… 10 分
（ii）由 ，得
令 ，则 . 设 ，则
则 ，即
即 …………………… 12 分
设
则 ，所以 在 上单调递增
从而 ，即 ，符合题意
设
则 （其中 ）
若 ，则 ，则 在 上单调递减，从而 ，符合题意
若 ，则 在 上单调递减，在 上单调递增，所以
设
当 ，即 时，，符合题意
当 ，即 时，设 ，则
，因为 ，所以
令 ，解得 ，则存在 ，即存在 ，使 ，不合题意
综上，，即 ，解得 …………………… 16 分
故正整数 的最小值为 2 ………………………………………………………… 17 分
【点拨】本题为新定义问题，核心在于将新定义转化为不等式恒成立问题，通过换元和构造函数，利用导数进行分类讨论求解.
考法2：利用函数最值证明不等式
7.（解答）
【答案】（1）证明见解析
【解析】证明：（1）当 时， ……………………………… 2 分
要证 ，即证 ，即证 ……………… 4 分
设 ，则 ……………………………………………… 6 分
当 时，， 单调递增；
当 时，， 单调递减 …………………………………… 8 分
所以 ……………………………………………… 10 分
所以 ，即 ，从而 成立 …………………… 12 分
【点拨】证明不等式问题，通常将不等式转化为 的形式，然后利用导数求出 的最小值，证明其最小值大于等于0即可.
考点2：利用导数研究恒成立问题
考法3：分离参数法解决恒成立问题
8.（单选）
【答案】C
【解析】由题意，函数 的定义域为 .
令 ，则 或 ，即 或 .
因为 恒成立，所以函数 不能变号，必然有两根重合，即 ，解得 .
所以 .
令 ，求导得 .
当 时，， 单调递减；
当 时，， 单调递增.
所以当 时， 取得最小值 .故选 C.
【点拨】若函数 恒成立且存在零点，则该零点必为极小值点，或者是两个因式的零点重合以保证不改变符号.
9.（多选）
【答案】CD
【解析】不等式 对 恒成立，即 恒成立.
令 ，
则 .
当 时，， 单调递增；
当 时，， 单调递减.
所以 .
所以 .
因为 ，所以 .
结合选项， 的值可能是 2 或 3.故选 CD.
【点拨】恒成立问题常通过分离参数转化为 或 的形式，再利用导数求函数的最值.
10.（填空）
【答案】
【解析】令 ，，
要使 对 恒成立，即 ，
等价于 恒成立.
当 时， 与 需同号；当 时， 与 需异号.
在同一平面直角坐标系中作出函数 与函数 在 的图像，
在 单调递增，在 单调递减，最大值为 ；
在 单调递减，且两图像交于点 .
由图可知，当 时，不符合题意；当 时，直线 必须在两图像上方或经过两图像交点之间的区域，即 .
【点拨】对于双因子乘积恒成立问题，可转化为两个函数图象的上下位置关系，通过数形结合直观求解.
11.（解答）
【答案】（2）
【解析】解：（2）若 在 上恒成立，即 在 恒成立.
因为 ，所以 恒成立 ……………………………… 2 分
令 ………………………………………… 4 分
则 …………………… 6 分
因为 ，由泰勒展开或基本不等式知 恒成立 ………… 8 分
所以当 时，， 单调递减；
当 时，， 单调递增 ……………………………… 10 分
所以 ………………………………………… 12 分
因为 恒成立，所以 ，即
所以 的取值范围是 ………………………………………… 14 分
【点拨】分离参数后，转化为求新函数的最值问题.求导后若导函数符号不易判断，可再次求导或利用常见不等式（如 ）.
12.（解答）
【答案】（3）
【解析】解：（3）当 时，.
不等式为 .
令 ，
则 ……………………………… 2 分
若 ，当 时，， 单调递增，
，解得 或 .
因为 ，所以 ………………………………………… 6 分
若 ，令 ，由于 ，且当 时 ，
存在 使得 ，即 ……………… 8 分
当 时，， 单调递减；
当 时，， 单调递增.
所以 ……………… 10 分
又 ，代入上式得：
.
即 ，解得 或 .
因为 ，所以 ………………………………………… 13 分
由 ，令 ，显然 在 上单调递减，
所以 ………………………………………… 16 分
综上，实数 的取值范围为 ………… 17 分
【点拨】含参恒成立问题，若直接求导后参数影响单调性，需对参数进行分类讨论.利用隐零点代换是处理超越方程求最值的有效手段.
考法4：最值分析法解决恒成立问题
13.（解答）
【答案】（1）
【解析】解：（1）对于任意的 ，总存在 ，使得 ，
等价于 ………………………………………… 3 分
因为 ，且 ，
所以 ，当且仅当 时取等号.
所以 …………………………………………………… 6 分
又 ，其图象是一条直线，在 上单调递减，
所以 ………………………… 9 分
由题意得 ，解得 ……………………………… 12 分
所以实数 的取值范围是 ……………………………… 13 分
【点拨】“任意-存在”型恒成立问题，通常转化为两个函数的最值之间的不等关系： 使 成立，等价于 .
考点3：利用导数研究函数零点
考法5：利用导数判断函数零点个数
14.（多选）
【答案】BCD
【解析】由函数 ，可得 .
令 ，解得 或 .
当 时，；当 时，；当 时，.
所以 在 和 上单调递减，在 上单调递增.
当 时，取得极小值 ；当 时，取得极大值 .
当 时，；当 时，.
对于 A，令 ，即 ，判别式 ，有两个不同零点，故 A 错误；
对于 B，函数既存在极大值又存在极小值，故 B 正确；
对于 C，若 时，，结合单调性可知 ，所以 的最大值为 2，故 C 正确；
对于 D，当 时，结合图象，直线 与 的图象有且只有两个交点，故方程有且只有两个实根，故 D 正确.
故选 BCD.
【点拨】研究函数零点或方程根的个数，通常先求导分析函数的单调性与极值，再结合极限趋势画出函数草图，数形结合进行判断.
15.（多选）
【答案】ACD
【解析】由 ，得 .
当 时，， 单调递增；当 时，， 单调递减.
所以 ，故 A 正确；
因为 ，，且 ，所以 ，故 B 错误；
对于 C，令 ，则 ，但 的最大值为 ，故方程无解，C 正确；
对于 D，若 有两个不等实根，即 ，即 .
令 ，则 .
令 ，显然 是唯一根.
当 时，，单调递增；当 时，，单调递减.
所以 .当 时 ，当 时 .
故要使方程有两个根，则 ，D 正确.
故选 ACD.
【点拨】比较 与 的大小时，若两数均小于 或均大于 ，可直接利用单调性；若分布在 两侧，可通分构造同分母比较分子.
16.（填空）
【答案】
【解析】由 ，得 .
当 时，，函数 单调递减；
当 时，，函数 单调递增.
所以函数 在 处取得极小值，极小值为 .
【点拨】求极值只需严格按照求导、找驻点、判断导数符号的步骤进行即可.
17.（填空）
【答案】
【解析】依题意， 与 在 上有且只有一个公共点，即方程 只有一个正实数根.
两边取自然对数得 ，即 .
令 ，则 .
当 时，， 单调递增；当 时，， 单调递减.
所以 .且当 时，；当 时，.
当 时，，若方程只有一解，则直线 必须与曲线相切于最高点，即 ，解得 .
当 时，，直线 与曲线在 上必有唯一交点.
综上所述，实数 的取值范围是 .
【点拨】处理幂指函数相等的方程 ，两边取对数分离变量转化为 是最常规有效的手段.
18.（填空）
【答案】
【解析】作出函数 的图象，要使 ，结合图象可知 .
设 ，则 .
由 得 ；由 得 ；由 得 .
所以 .
令 ，
则 .
因为 ，所以 ，所以 ， 在 上单调递减.
又 ，.
所以 的取值范围是 .
【点拨】分段函数多根问题，通常设出函数值 ，将各根用 表示出来，代入目标式转化为关于 的单变量函数求值域.
19.（解答）
【答案】（2）
【解析】解：（2）由 ，得 …………………… 2 分
因为 ，令 得 或 …………………… 4 分
当 时，， 单调递增；
当 时，， 单调递减；
当 时，， 单调递增 ……………………………… 8 分
要使函数 有三个零点，则需满足极大值大于0且极小值小于0，即
………………………………………… 12 分
因为 ，所以 恒成立；
由 ，解得 ………………………………………… 14 分
综上可得，实数 的取值范围为 ………………………………………… 15 分
【点拨】三次函数有三个零点的充要条件是其极大值大于0且极小值小于0.
20.（解答）
【答案】（2）当 时，有 0 个零点；当 或 时，有 1 个零点；当 时，有 2 个零点
【解析】解：（2）由 ，得 …………………… 2 分
当 时，， 单调递减，
又 ，，由于 时 ，
所以 在 上有且仅有 1 个零点 ………………………………………… 5 分
当 时，令 ，解得 …………………… 7 分
当 时，， 单调递减；
当 时，， 单调递增.
所以 ………… 10 分
若 ，即 ，此时 没有零点；
若 ，即 ，此时 有 1 个零点；
若 ，即 ，此时 有 2 个零点 ……………… 15 分
综上所述：
当 时， 有 0 个零点；
当 或 时， 有 1 个零点；
当 时， 有 2 个零点 ………………………………………… 17 分
【点拨】讨论函数零点个数，本质上是研究函数的最值及单调性，通过最值的符号变化划分参数的取值范围.
21.（解答）
【答案】（2）极大值为 ，无极小值
【解析】解：（2）当 时， ……………………………… 2 分
…………………… 4 分
令 ，即 ，化简得
即 …………………………………………………… 6 分
因为 ，所以
所以 ，解得 ………………………………………… 8 分
当 时，，， 单调递增；
当 时，，， 单调递减 …… 10 分
所以 在 处取得极大值，极大值为
无极小值 …………………………………………………………………… 12 分
【点拨】三角函数与指数函数结合求极值，需利用辅助角公式化简三角部分，结合定义域准确找出驻点.
22.（解答）
【答案】（1） （2）2个，证明见解析
【解析】解：（1）由 ，得 ………… 2 分
令 ，解得
当 时，， 单调递减；
当 时，， 单调递增 ……………………………… 4 分
所以 的极小值为 …………………… 6 分
由题意知 ，即 ，解得 ，即
所以 的取值范围是 ………………………………………… 8 分
（2）当 时，，
不动点满足 ，即 ，即 …… 10 分
显然 不是方程的解，故方程等价于
令 ，则
令 ，则
当 时，，单调递减；当 时，，单调递增
所以 ，又 ，
所以存在唯一 ，使 ，即 ……………… 13 分
当 时，，单调递减；当 时，，单调递增
所以
又 ，，所以 在 上有一个零点
又 ，所以 在 上有一个零点
所以 有两个不动点，设为 ……………………………… 15 分
由 可知，若 为其根，则 成立
说明若 是方程的根，则 也是方程的根
因为方程只有两个根 ，且 ，所以 互为相反数
即所有不动点之和 ………………………………………… 17 分
【点拨】不动点问题即求解方程 .证明两根之和为0，可利用方程结构的奇偶对称性（即若 是根，则 也是根）进行巧妙证明.
考法6：已知零点个数求参数范围
23.（单选）
【答案】D
【解析】方程 有 2 个零点.
因为 ，两边同除以 ，得 ，即 .
令 ，则 .
因为 ，所以 .
令 ，显然 在 上单调递增，且 ，.
所以存在唯一的 ，使得 ，即 ，从而 .
当 时，， 单调递减；
当 时，， 单调递增.
所以 .
当 时，；当 时，.
所以要使直线 与 的图象有 2 个交点，必须 .
即实数 的取值范围是 .故选 D.
【点拨】分离参数后，求导寻找隐零点，利用隐零点满足的等式进行代换化简最值，是解决此类问题的标准流程.
24.（单选）
【答案】B
【解析】令 ，即 .
变形为 .
令 ，则方程化为 .
令 ，则 .
令 ，得 .
易知 ，，结合单调性可知 只有 和 两个根.
所以 或 ，即 或 .
令 ，.
，在 上递减，在 上递增，.
，在 上递减，在 上递增，.
在同一坐标系中画出两函数图象，注意 ，即 的图象始终在 上方.
要使 恰有 2 个零点，即直线 与这两个图象共有 2 个交点.
结合图象可知，当 时，与两图象各有一个交点，共 2 个；
当 时，与 有 2 个交点，与 没有交点（或相切算1个，但本题不取切点），共 2 个交点.
所以 的取值范围是 .故选 B.
【点拨】通过整体换元将复杂方程转化为简单方程求出中间变量的值，再转化为两个基础函数的交点问题.
25.（填空）
【答案】
【解析】方程 有三个根.因为 且 ，显然 .
当 时，两边取对数得 ，即 .
令 ，则 .
当 时，，递减；当 时，，递增.
.当 时 ，当 时 .
所以当 即 时，方程在 上有 1 个根.
当 时，两边取对数得 ，即 .
令 ，则 .
当 时，，递增；当 时，，递减.
.当 时 ，当 时 .
所以当 时，方程在 上有 2 个根.
综合可知，要使方程共有 3 个根，必须满足 ，解得 .
【点拨】处理 时，分 和 两种情况取对数分离参数，分别画出函数图象进行讨论.
26.（填空）
【答案】
【解析】方程 ，即 .
变形为 .
令 ，显然 在 上单调递增.
所以 ，即 ，从而 .
令 ，则 .
当 时，， 单调递减；
当 时，， 单调递增.
所以 .
当 时，；当 时，.
要使 存在两个零点，即直线 与 有两个交点，
所以 ，即实数 的取值范围为 .
【点拨】通过同构变形将复杂方程转化为简单形式，再分离参数求函数极值.
27.（解答）
【答案】（2）
【解析】解：（2）由 ，得 …………………… 2 分
因为 有极小值，所以 ………………………………………… 4 分
当 时，， 单调递减；
当 时，， 单调递增 ……………………………… 6 分
所以 在 处取得极小值，极小值为 ………… 8 分
依题意，，即 ，
整理得 …………………………………………………… 10 分
令 ，则
所以 在 上单调递增 ………………………………………… 13 分
又 ，所以当 时，
所以实数 的取值范围是 ………………………………………… 15 分
【点拨】求出极值后代入不等式，将参数的不等式问题转化为新函数的单调性与零点问题求解.
28.（解答）
【答案】（1）
【解析】解：（1）由 ，得 ……………………………… 2 分
令 ，则 …………………… 4 分
当 时，， 单调递增；
当 时，， 单调递减 ……………………………… 6 分
所以 在 处取得极大值，也是最大值， …… 8 分
当 时，；当 时，
要使 有 2 个零点，即直线 与 的图象有 2 个交点
结合图象可知，实数 的取值范围是 ……………………………… 12 分
【点拨】对于形如 的方程，分离参数为 ，利用导数求出右侧函数的最值和极限趋势，数形结合即可.
考点4：极值点偏移问题
考法7：对称构造法解决极值点偏移
29.（多选）
【答案】ACD
【解析】由 ，得 .
因为 是极大值点，所以 ，解得 .
此时 ，.
当 时，，单调递增；当 时，，单调递减；当 时，，单调递增.
所以 是极大值点，极大值为 ； 是极小值点，极小值为 0.A正确.
对于 B，若 ，则 ，且 .因为 在 上单调递减，所以 ，B错误.
对于 C，若 ，结合极值及极限趋势，直线 与 有 3 个交点，C正确.
对于 D，若 且 ，则 ，.
要证 ，即证 .因为 ，，且 在 上单调递增，
只需证 ，即证 .
令 .当 时，，所以 ，.
即 成立，从而 ，D正确.
故选 ACD.
【点拨】极值点偏移问题常通过构造对称函数 来比较大小，进而得出变量之和与极值点两倍的关系.
30.（解答）
【答案】（2）① ②证明见解析
【解析】解：（2）①由（1）可知，.
.
…………………… 2 分
要使 有三个极值点，则 有三个正实数根.
显然 是一个根，令 ，则 有两个不等于 1 的正实数根.
即 有两个不等于 1 的正实数根 ……………………………… 4 分
令 ，则 .
当 时，，单调递增；当 时，，单调递减.
所以 .又当 时 ，当 时 .
所以当 时， 有两个不等于 1 的正实数根.
所以实数 的取值范围是 ………………………………………… 8 分
②由①知，（不妨设 ）.
要证 ，即证 ，即证 ………… 10 分
因为 ，所以 .
若 ，则 显然成立；
若 ，因为 在 上单调递减，
所以只需证 ，即证 ……………… 12 分
令
…………………… 14 分
因为 ，所以 ，，所以 .
所以 ， 在 上单调递增 ……………………………… 16 分
所以 ，即 成立.
所以 ，即 ，从而 成立 ………… 17 分
【点拨】证明 时，通常将其转化为证明 ，再利用函数的单调性转化为证明 与 的大小关系.
31.（解答）
【答案】（2）证明见解析
【解析】证明：（2）由 ，得 .
因为 有两个极值点 ，所以 有两个不等的正根.
所以 且 ，解得 .
且 ， ………………………………………… 4 分
………… 8 分
要证 ，即证 ，
即证 ………………………………………… 10 分
令 ，
则 ……………… 12 分
令 ，显然 在 上单调递增，且 .
所以当 时，， 单调递减；
当 时，， 单调递增 ……………………………… 14 分
所以 ……………………………… 16 分
所以 成立 ………………………………………… 17 分
【点拨】利用韦达定理将极值点处的函数值之和转化为关于参数的单变量函数，再利用导数求最值进行证明.
32.（解答）
【答案】（3）证明见解析
【解析】证明：（3）.
因为 有两个零点 ，所以 有两个正根.
即 ，令 …………………… 2 分
…………………… 4 分
当 时，， 单调递减；
当 时，， 单调递增.
所以 在 处取得极小值 …………………… 6 分
要使 有两个根，必有 ，且不妨设 .
要证 ，即证 .
因为 ，所以 .
因为 在 上单调递增，所以只需证 ，
即证 ………………………………………… 8 分
令 .
要证 ，即证 .
因为 ，，所以只需证 ，
即 ……………………………… 10 分
令 .
………… 14 分
因为 ，所以 ，所以 .
又 ，所以 ， 在 上单调递减.
所以 ………………………………………… 16 分
所以 成立，从而 成立 …………………… 17 分
【点拨】极值点偏移证明中，构造差函数 后，若直接求导复杂，可先去分母转化为证明分子部分的函数大于0，再进行求导.
考点5：导数中的构造问题
考法8：利用同构法构造辅助函数
33.（单选）
【答案】B
【解析】不等式 可化为 .
因为 ，所以 .
两边同除以 ，得 ，
即 ，即 .
令 ，则不等式等价于 .
求导得 ，所以 在 上单调递增，在 上单调递减.
因为 ，所以 .
若 ，即 ，则 恒成立.
所以 对 恒成立，即 ，从而 .
若 ，即 ，要使 恒成立，
因为 ，且 在 上递增，在 上递减，
当 时，，，而 .
若 ，则 ，此时 不可能恒成立.
所以必须 ，即 .
此时 ，结合图象分析可知，只要 ，不等式即可恒成立.
故实数 的取值范围为 .故选 B.
【点拨】利用同构思想将不等式两边化为结构相同的形式 ，再利用函数的单调性脱去函数符号.
34.（多选）
【答案】BCD
【解析】已知函数 .
对于 A，当 时，，，，.
曲线 在 处的切线方程为 ，即 ，故 A 错误；
对于 B，当 时，，.
显然 ，且当 时 ，当 时 .
所以 是极小值点，且 ，故 B 正确；
对于 C，，令 ，在 上单调递增.
当 时 ，当 时 .
所以存在唯一的 使得 ，且在 左侧导数为负，右侧为正，
所以 在 处取得最小值，故 C 正确；
对于 D，若 恒成立，则 ，即 ，解得 ，即 ，故 D 正确.
故选 BCD.
【点拨】判断切线方程时，需仔细核对斜率和切点坐标；判断极值点时，利用导数的单调性和零点存在定理说明隐零点的存在性.
35.（填空）
【答案】1
【解析】方程 变形为 .
即 .
令 ，因为 ，所以 .
原方程在 上有且仅有一个实数根，等价于方程 在 上有且仅有一个实数根.
即 有唯一解.
令 ，则 .
当 时，， 单调递减；当 时，， 单调递增.
所以 的最小值为 .
要使直线 与 有且仅有一个交点，必须 .
【点拨】利用同构思想 将方程转化为 的形式，再通过换元法求新函数的最值.
36.（解答）
【答案】（2）
【解析】解：（2）要使对任意 ，都有 恒成立，
即 恒成立 ……………………………… 2 分
即 ………………………………………… 4 分
令 ，显然 在 上单调递增 …………………… 6 分
所以原不等式等价于 恒成立，
所以 恒成立，即 恒成立 …………………… 10 分
令 ，则
当 时，， 单调递减；
当 时，， 单调递增 ……………………………… 13 分
所以 ………………………………………… 15 分
所以 ，即实数 的取值范围是 …………………… 17 分
【点拨】遇到指数与对数同时出现且结构不对称时，常通过加减项构造出 的同构形式，利用函数单调性脱去外层函数.
第 2 页，共 17 页专题六：导数综合应用
考点1：利用导数证明不等式 1
考法1：构造辅助函数证明单变量不等式 1
考法2：利用函数最值证明不等式 3
考点2：利用导数研究恒成立问题 3
考法3：分离参数法解决恒成立问题 3
考法4：最值分析法解决恒成立问题 4
考点3：利用导数研究函数零点 4
考法5：利用导数判断函数零点个数 4
考法6：已知零点个数求参数范围 6
考点4：极值点偏移问题 8
考法7：对称构造法解决极值点偏移 8
考点5：导数中的构造问题 9
考法8：利用同构法构造辅助函数 9
注意事项
1. 答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上.
2. 请严格按照题号在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效.
3. 考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.
考点1：利用导数证明不等式
考法1：构造辅助函数证明单变量不等式
1.（单选）已知 ，则 的大小关系为（ 　　）
A. B. C. D.
2.（单选）定义域为 的函数 满足 ，则不等式 的解为（ 　　）
A. B. C. D.
3.（填空）已知定义在 上的函数 ，其导函数为 ，若 且 ，则不等式 的解集为＿＿＿＿＿＿.
4.（填空）已知 是定义在 上的奇函数，当 时，，且 ，则 的解集为＿＿＿＿＿＿.
5.（解答）帕德近似是法国数学家亨利帕德发明的用有理数多项式近似特定函数的方法，给定两个正整数 ，函数 在 处的 阶帕德近似定义为 ，且满足：. 已知 在 处的 阶帕德近似为 . 注：...
（2） 求证：；
6.（解答）张景中院士在《与中学教师谈微积分》一文中，给出了“差商有界”函数和“广义差商有界”函数的定义，即若函数 在区间 上有定义，并且存在一个正数 ，使得 且 ，不等式 恒成立，则称 在 上为“差商有界”函数；若函数 在区间 上有定义，并且存在一个正整数 ，使得 且 ，不等式 恒成立，则称 在 上为“广义差商有界”函数.
（2） 已知函数 .
（i） 判断 在区间 上是否是“差商有界”函数？并说明理由；
（ii） 若 在区间 上是“广义差商有界”函数，求正整数 的最小值.
考法2：利用函数最值证明不等式
7.（解答）已知函数 （，）.
（1） 当 时，求证：；
考点2：利用导数研究恒成立问题
考法3：分离参数法解决恒成立问题
8.（单选）设函数 ，若 恒成立，则 的最小值为（ 　　）
A. B. C. D.
9.（多选）若 对 恒成立，则 的值可能是（ 　　）
A. 0 B. 1 C. 2 D. 3
10.（填空）若 ，不等式 恒成立，则实数 的取值范围是＿＿＿＿＿＿.
11.（解答）已知函数 .
（2） 若 在 上恒成立，求 的取值范围；
12.（解答）已知 （）.
（3） 若 ，，，求实数 的取值范围.
考法4：最值分析法解决恒成立问题
13.（解答）设函数 ，函数 .
（1） 若对于任意的 ，总存在 ，使得 ，求实数 的取值范围；
考点3：利用导数研究函数零点
考法5：利用导数判断函数零点个数
14.（多选）已知函数 ，则下列结论正确的是（ 　　）
A. 函数 存在三个不同零点
B. 函数 既存在极大值又存在极小值
C. 若 时，，则 的最大值为 2
D. 当 时，方程 有且只有两个实根
15.（多选）已知函数 ，则下列说法正确的是（ 　　）
A. 此函数的最大值为 （ 为自然对数的底数）
B.
C. ，使
D. 若 ， 有两个不等实根，则 （ 为自然对数的底数）
16.（填空）已知函数 的极小值为＿＿＿＿＿＿.
17.（填空）若函数 与 在区间 上的图象有且只有一个公共点，则称 与 在 上互为“粘合函数”. 已知函数 与 在 上互为“粘合函数”，则实数 的取值范围为＿＿＿＿＿＿.
18.（填空）设函数 ，若 且 ，则 取值范围是＿＿＿＿＿＿.
19.（解答）已知函数 .
（2） 若 有三个零点，求 的取值范围.
20.（解答）已知函数 ，，其中 .
（2） 讨论 的零点个数，求 的取值范围；
21.（解答）已知函数 ，.
（2） 若 ，求 在 内的极值；
22.（解答）对于函数 ，若实数 满足 ，则称 为 的不动点．已知函数 ．
（1） 若 的极小值小于 ，求 的取值范围；
（2） 当 时，求函数 的不动点的个数，并证明所有不动点之和等于零．
考法6：已知零点个数求参数范围
23.（单选）若函数 有 2 个零点，则实数 的取值范围是（ 　　）
A. B. C. D.
24.（单选）已知函数 恰有 2 个零点，则实数 的取值范围为（ 　　）
A.
B.
C.
D.
25.（填空）已知函数 有三个零点，则实数 的取值范围是＿＿＿＿＿＿.
26.（填空）已知函数 ，若 存在两个零点，则实数 的取值范围为＿＿＿＿＿＿.
27.（解答）已知函数 .
（2） 若函数 有极小值，且 的极小值小于 ，求实数 的取值范围.
28.（解答）已知函数 ，.
（1） 若 有 2 个零点，求 的取值范围；
考点4：极值点偏移问题
考法7：对称构造法解决极值点偏移
29.（多选）已知 是函数 的极大值点，则（ 　　）
A. 函数 的极小值为 0
B. 若 ，则
C. 若 ，则 有 3 个相异的零点
D. 若 （其中 ），则
30.（解答）已知函数 ，直线 与曲线 相切.
（2） 若函数 有三个极值点 ，
①求实数 的取值范围；
②求证：.
31.（解答）已知函数 有两个极值点.
（2） 记两个极值点分别为 ，证明：.
32.（解答）已知函数 ，其中 ， 为自然对数的底数.
（3） 若函数 有两个零点 ，求证：.
考点5：导数中的构造问题
考法8：利用同构法构造辅助函数
33.（单选）关于 的不等式 对 恒成立，实数 的取值范围为（ 　　）
A. B. C. D.
34.（多选）已知函数 ，则（ 　　）
A. 当 时，曲线 在 处的切线方程为
B. 当 时， 有极值点 ，且
C. 对任意 ，函数 都存在最小值
D. 若 恒成立，则
35.（填空）方程 在 上有且仅有一个实数根，则实数 ＿＿＿＿＿＿.
36.（解答）已知函数 .
（2） 若对任意 ，都有 （ 为自然对数的底），求 的取值范围.
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