资源简介

浙教版（2024）八年级下册 5.2 菱形 分层练习
利用菱形的性质求角度
1如图，在菱形ABCD中，连接AC，以点C为圆心，AC长为半径画弧，交AD边于点E．再分别以点A，E为圆心，大于的长为半径在AD上方画弧，两弧交于点F，作射线CF交AD边于点G．若∠B＝50°，则∠ACG的度数为（　　）
A.30° B.25° C.20° D.15°
2菱形的一条对角线与菱形的边相等，则它的较大的内角度数是（　　）
A.120° B.130° C.140° D.150°
3如图，四边形ABCD是菱形，对角线AC，BD相交于点O，DH⊥AB于点H，连结OH.若∠DHO＝α，则∠DAB的度数是(　　)
A.α B.2α C.90°－α D.90°－2α
4如图，在菱形ABCD中，DE⊥AB，DF⊥BC，垂足分别为点E，F．若∠ADE+∠CDF＝80°，则∠EDF等于 　 　度．
5如图，在菱形ABCD中，∠DAB＝40°，连接AC，以点A为圆心，AC长为半径作弧，交直线AD于点E，连接CE，则∠AEC的度数是 　 　．
6如图，在菱形ABCD中，过顶点D作DE⊥AB，DF⊥BC，垂足分别为E，F，连结EF.
(1)求证：△DEF为等腰三角形.
(2)若∠DEF＝66°，求∠A的度数.
利用菱形的性质求线段长
1如图，在菱形ABCD中，AD＝10，AC＝12，点E是点A关于直线CD的对称点，连结AE交CD于点F，连结CE，DE，则AE的长是（　　）
A.16.8 B.19.2 C.19.6 D.20
2一个菱形的边长为6，面积为28，则该菱形的两条对角线的长度之和为(　　)
A.8 B.12 C.16 D.32
3如图，在菱形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O.若AB＝2 cm，AC＝4 cm，则BD的长为(　　)
A.2 cm B.3 cm C.4 cm D.8 cm
4如图，在菱形ABCD中，∠DAB＝60°，BE⊥AB，DF⊥CD，垂足分别为B，D，若AB＝6 cm，则EF＝　　cm.
5如图,AC是菱形ABCD的对角线,∠BAC=38°,点E在BC的延长线上,则∠DCE=　　　　°。
6如图，菱形ABCD，点P为对角线CA的延长线上一点，连结PD．
（1）若∠PDC＝∠BCA＝2∠P，求∠P的度数；
（2）若AB＝6，AC＝4，PA＝AC，求PD的长．
7如图，矩形EFGH的顶点E，G分别在菱形ABCD的边AD，BC上，顶点F，H在菱形ABCD的对角线BD上.
(1)求证：BG＝DE.
(2)若E为AD的中点，FH＝4，求菱形ABCD的周长.
利用菱形的性质求面积
1如图，四边形ABCD是菱形，O是两条对角线的交点，过点O的三条直线将菱形分成阴影部分和空白部分.当菱形的两条对角线的长分别为12和24时，阴影部分的面积为(　　)
A.144 B.96 C.72 D.48
2如图，菱形ABCD的对角线AC，BD相交于点O.若AC＝6，BD＝8，AE⊥BC，垂足为E，则AE的长为(　　)
A. B. C. D.10
3如图,四边形ABCD的对角线相交于点O,且O是BD的中点.若AB＝AD＝5,BD＝8,∠ABD＝∠CDB,则四边形ABCD的面积为(　　)
A.40 B.24 C.20 D.15
4若菱形的两条对角线长分别为6和8，则该菱形的面积为　　.
5已知菱形的两条对角线长为8cm和6cm，那么这个菱形的面积是 　 　cm2．
6如图，在四边形ABCD中，AC与BD相交于点O，且AO＝CO，点E在BD上，满足∠EAO＝∠DCO.
(1)求证：四边形AECD是平行四边形.
(2)若AB＝BC，CD＝10，AC＝16，求四边形AECD的面积.
求菱形在坐标系中的坐标
1如图，四边形OABC为菱形．若OA＝2，∠AOC＝45°，则点B的坐标为（　　）
A. B. C. D.（﹣2﹣，）
2如图，O是坐标原点，菱形ABOC的顶点B在x轴的负半轴上，顶点C的坐标为（3，4），则顶点A的坐标为（　　）
A.（﹣4，2） B.（﹣，4） C.（﹣2，4） D.（﹣4，）
3如图，菱形ABCD的对角线交于原点O，若点A的坐标为（﹣3，﹣5），点B的坐标为（10，m），点D的坐标为（n，6），则边CD＝ ．
4如图，四边形ABCD为菱形，点A（﹣3，0），点D（0，4），点B在x轴的正半轴上，则点C的坐标为 　 　．
添加条件使四边形是菱形
1下列条件中，能判定四边形是菱形的是(　　)
A.两条对角线相等 B.两条对角线互相垂直 C.两条对角线互相垂直平分 D.两条对角线相等且互相垂直
2如图，四边形ABCD的对角线互相平分，要使它变为菱形，还需要添加的条件是(　　)
A.AB＝CD B.AD＝BC C.AC＝BD D.AB＝BC
3如图，在四边形ABCD中，AD＝BC，AC⊥BD于点O.请添加一个条件：　　，使四边形ABCD成为菱形.
4已知：在 ABCD中，分别过点B、D作BE⊥CD于点E，DF⊥BC于点F，如图．请从以下四个关系式中：①DE＝BF；②∠FBE＝∠EDF；③CE＝CF；④BE＝DF．选择一个合适的作为已知条件，使 ABCD是菱形．
（1）你选择的条件是 　 　．
（2）添加了条件后，请证明 ABCD为菱形．
证明四边形是菱形
1如图， ABCD的对角线AC，BD相交于点O，E为BC的中点，连结EO并延长，交AD于点F，∠ABC＝60°，BC＝2AB.给出下列结论：①AB⊥AC.②AD＝4OE.③四边形AECF是菱形．④S△BOE＝S△ABC.其中正确的是(　　)
A.①②③④ B.①② C.①③ D.②③④
2如图，在△ABC中，点D，E，F分别在边BC，AB，CA上，且DE∥CA，DF∥BA.有下列说法：
①四边形AEDF是平行四边形；
②若∠BAC＝90°，则四边形AEDF是矩形；
③若AD平分∠BAC，则四边形AEDF是菱形；
④若AD⊥BC，且AB＝AC，则四边形AEDF是正方形.
其中正确的是(　　)
A.①④ B.②③ C.①②③ D.①②③④
3如图，在△ABC中，∠ABC＝90°，D，E分别为AB，AC的中点，延长DE到点F，使EF＝2DE．
（1）求证：四边形BCFE是平行四边形；
（2）当∠ACB＝60°时，求证：四边形BCFE是菱形．
4如图，在△ABC中，AC＝BC，AD⊥BC于点D，E，F分别是AC，AB的中点，O是DF的中点，EO的延长线交线段BD于点G，连结DE，EF，FG.求证：四边形DEFG是菱形．
浙教版（2024）八年级下册 5.2 菱形 分层练习（参考答案）
1利用菱形的性质求角度
1如图，在菱形ABCD中，连接AC，以点C为圆心，AC长为半径画弧，交AD边于点E．再分别以点A，E为圆心，大于的长为半径在AD上方画弧，两弧交于点F，作射线CF交AD边于点G．若∠B＝50°，则∠ACG的度数为（　　）
A.30° B.25° C.20° D.15°
【答案】B
【解析】
由作图可知CG⊥AD，
∵菱形ABCD，
∴BA＝BC，AD∥BC，
∴∠BAC＝∠BCA，∠BCA+∠ACG＝90°，
∴，∠ACG＝90°﹣∠BCA＝90°﹣65°＝25°，
故选：B．
2菱形的一条对角线与菱形的边相等，则它的较大的内角度数是（　　）
A.120° B.130° C.140° D.150°
【答案】A
【解析】
因为菱形的一条对角线与边长相等，
所以该对角线和菱形的两边组成的是等边三角形，可得该菱形较小内角的度数是60°，
所以该菱形较大内角的度数是120°．
故选：A．
3如图，四边形ABCD是菱形，对角线AC，BD相交于点O，DH⊥AB于点H，连结OH.若∠DHO＝α，则∠DAB的度数是(　　)
A.α B.2α C.90°－α D.90°－2α
【答案】B
【解析】∵四边形ABCD是菱形，
∴OB＝OD，AC⊥BD，AB＝AD，
∴∠ABD＝∠ADB.
∵DH⊥AB，
∴OH＝OB＝BD，
∴∠OHB＝∠OBH.
∵∠DHO＝α，
∴∠OHB＝90°－∠DHO＝90°－α，
∴∠ABD＝∠OHB＝∠ADB＝90°－α，
∴∠DAB＝180°－∠ABD－∠ADB＝180°－90°＋α－90°＋α＝2α.
4如图，在菱形ABCD中，DE⊥AB，DF⊥BC，垂足分别为点E，F．若∠ADE+∠CDF＝80°，则∠EDF等于 　 　度．
【答案】
50．
【解析】
∵DE⊥AB，DF⊥BC，
∴∠AED＝∠DFC＝90°，
∵∠ADE+∠CDF＝80°，
∴∠A+∠C＝180°﹣80°＝100°，
∵四边形ABCD是菱形，
∴∠A＝∠C＝50°，
∴∠ADC＝130°，
∴∠EDF＝∠ADC﹣（∠ADE+∠CDF）＝50°，
故答案为：50．
5如图，在菱形ABCD中，∠DAB＝40°，连接AC，以点A为圆心，AC长为半径作弧，交直线AD于点E，连接CE，则∠AEC的度数是 　 　．
【答案】
10°或80°．
【解析】
以点A为圆心，AC长为半径作弧，交直线AD于点E和E′，如图所示，
在菱形ABCD中，∠DAC＝∠BAC，
∵∠DAB＝40°，
∴∠DAC＝20°，
∵AC＝AE，
∴∠AEC＝（180°﹣20°）÷2＝80°，
∵AE′＝AC，
∴∠AE′C＝∠ACE′＝10°，
综上所述，∠AEC的度数是10°或80°，
故答案为：10°或80°．
6如图，在菱形ABCD中，过顶点D作DE⊥AB，DF⊥BC，垂足分别为E，F，连结EF.
(1)求证：△DEF为等腰三角形.
(2)若∠DEF＝66°，求∠A的度数.
【答案】解：(1)∵四边形ABCD是菱形，
∴AD＝CD，∠A＝∠C.
∵DE⊥BA，DF⊥CB，
∴∠AED＝∠CFD＝90°.
在△ADE和△CDF中，
∵
∴△ADE≌△CDF(AAS)，
∴DE＝DF，
∴△DEF是等腰三角形.
(2)∵DE＝DF，∴∠DEF＝∠DFE＝66°，
∴∠BEF＝∠BFE＝90°－66°＝24°，
∴∠B＝180°－24°－24°＝132°.
∵四边形ABCD是菱形，∴AD∥BC，
∴∠A＝180°－∠B＝48°.
2利用菱形的性质求线段长
1如图，在菱形ABCD中，AD＝10，AC＝12，点E是点A关于直线CD的对称点，连结AE交CD于点F，连结CE，DE，则AE的长是（　　）
A.16.8 B.19.2 C.19.6 D.20
【答案】B
【解析】
连接BD交AC于点O，
∵四边形ABCD为菱形，AD＝10，AC＝12，
∴AB＝CD＝BC＝DA＝10，BO＝DO＝6，AC⊥BD于点O，
∴AO＝，
∴AC＝2AO＝16，
∵点E是点A关于直线CD的对称点，
∴AC＝EC，DA＝DE，AE＝2EF，
∴BC＝DE，
在△ABC和△CDE中，
，
∴△ABC≌△CDE（SSS），
∴S△ABC＝S△CDE，
∴AC BO＝CD EF，
即12×8＝10EF，
解得EF＝9.6，
∴AE＝2EF＝19.2．
故选：B．
2一个菱形的边长为6，面积为28，则该菱形的两条对角线的长度之和为(　　)
A.8 B.12 C.16 D.32
【答案】C
【解析】 画出示意图如答图所示，四边形ABCD是菱形，其边长为6，面积为28.
答图
∵四边形ABCD是菱形，
∴AO＝CO＝AC，
DO＝BO＝BD，AC⊥BD.
∵菱形的面积为28，
∴AC·BD＝2OD·AO＝28.①
∵菱形的边长为6，∴OD2＋AO2＝36.②
由①②两式可得(OD＋AO)2＝OD2＋OA2＋2OD·AO＝36＋28＝64，
∴OD＋AO＝8，∴2(OD＋AO)＝16，
即该菱形的两条对角线的长度之和为16.
3如图，在菱形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O.若AB＝2 cm，AC＝4 cm，则BD的长为(　　)
A.2 cm B.3 cm C.4 cm D.8 cm
【答案】D
【解析】∵四边形ABCD是菱形，AC＝4cm，
∴AC⊥BD，BO＝DO，AO＝CO＝2cm.
又∵AB＝2cm，
∴BO＝＝4cm，
∴DO＝BO＝4cm，∴BD＝8cm.
4如图，在菱形ABCD中，∠DAB＝60°，BE⊥AB，DF⊥CD，垂足分别为B，D，若AB＝6 cm，则EF＝　　cm.
【答案】2√3
【解析】如答图，连结BD交AC于点O，则AO＝CO，BO＝DO.
答图
由菱形的性质得AD＝AB＝DC，∠DAC＝∠BAC＝∠DCA＝∠BCA，AC⊥BD.
∵∠DAB＝60°，
∴△ABD是等边三角形，∠BAE＝30°，
∴BD＝AB＝6cm，AE＝2BE，
∴BO＝3cm.
由勾股定理，得AO＝3cm，
∴AC＝2AO＝6cm.
∵AE2－BE2＝AB2，
∴4BE2－BE2＝36，
∴BE＝2cm，
∴AE＝4cm.
易证△CDF≌△ABE，
∴CF＝AE＝4cm，
∴EF＝AE＋CF－AC＝2cm.
5如图,AC是菱形ABCD的对角线,∠BAC=38°,点E在BC的延长线上,则∠DCE=　　　　°。
【答案】
104
【解析】
∵四边形ABCD是菱形,∠BAC=38°,
∴∠BCD=∠BAD=2∠BAC=76°,
∴∠DCE=180°-∠BCD=180°-76°=104°。
6如图，菱形ABCD，点P为对角线CA的延长线上一点，连结PD．
（1）若∠PDC＝∠BCA＝2∠P，求∠P的度数；
（2）若AB＝6，AC＝4，PA＝AC，求PD的长．
【答案】
解：（1）∵四边形ABCD是菱形，
∴AD∥BC，AD＝CD，
∴∠DAC＝∠ACB，
∵∠PDC＝∠BCA＝2∠P，
∴∠DAC＝2∠P，
又∵∠DAC＝∠P+∠ADP，
∴∠P＝∠ADP，
∴∠PDC＝2∠P＝∠PDA+∠ADC，
∴∠ADC＝∠P，
∵AD＝CD，
∴∠DAC＝∠DCA＝2∠P，
∵∠DAC+∠DCA+∠ADC＝180°，
∴5∠P＝180°，
∴∠P＝36°；
（2）如图，过点D作DH⊥PC于H，
∵AB＝6＝AD＝CD，AC＝4，DH⊥PC，
∴AH＝HC＝2，
∴DH＝＝＝4，
∵PA＝AC＝4，
∴PH＝6，
∴PD＝＝＝2．
7如图，矩形EFGH的顶点E，G分别在菱形ABCD的边AD，BC上，顶点F，H在菱形ABCD的对角线BD上.
(1)求证：BG＝DE.
(2)若E为AD的中点，FH＝4，求菱形ABCD的周长.
【答案】解：(1)在矩形EFGH中，HE＝FG，EH∥GF，
∴∠GFH＝∠EHF.
又∵∠BFG＝180°－∠GFH，∠DHE＝180°－∠EHF，
∴∠BFG＝∠DHE.
在菱形ABCD中，AD∥BC，
∴∠GBF＝∠EDH.
在△BGF与△DEH中，
∵
∴△BGF≌△DEH(AAS)，∴BG＝DE.
(2)如答图，连结EG.
答图
在菱形ABCD中，AD∥BC，AD＝BC.
∵E为AD的中点，∴AE＝ED.
又∵BG＝DE，∴AE＝BG.
又∵AE∥BG，
∴四边形ABGE是平行四边形，
∴AB＝EG.
∵在矩形EFGH中，EG＝FH＝4，
∴AB＝4，∴菱形ABCD的周长为16.
3利用菱形的性质求面积
1如图，四边形ABCD是菱形，O是两条对角线的交点，过点O的三条直线将菱形分成阴影部分和空白部分.当菱形的两条对角线的长分别为12和24时，阴影部分的面积为(　　)
A.144 B.96 C.72 D.48
【答案】C
【解析】∵菱形的两条对角线的长分别为12和24，
∴菱形的面积＝×12×24＝144.
∵O是菱形两条对角线的交点，
∴易知阴影部分的面积＝×144＝72.
2如图，菱形ABCD的对角线AC，BD相交于点O.若AC＝6，BD＝8，AE⊥BC，垂足为E，则AE的长为(　　)
A. B. C. D.10
【答案】B
【解析】∵四边形ABCD是菱形，
∴AB＝BC，AC⊥BD，AO＝AC＝3，BO＝BD＝4.
∵在Rt△ABO中，
AB＝＝5，∴BC＝5.
∵S△ABC＝AC·BO＝BC·AE，
∴AE＝＝.
3如图,四边形ABCD的对角线相交于点O,且O是BD的中点.若AB＝AD＝5,BD＝8,∠ABD＝∠CDB,则四边形ABCD的面积为(　　)
A.40 B.24 C.20 D.15
【答案】B
【解析】∵∠ABD＝∠CDB,∴AB∥CD.
∵O是BD的中点,∴BO＝DO.
又∵∠AOB＝∠COD,
∴△AOB≌△COD(ASA),
∴AB＝CD,
∴四边形ABCD是平行四边形.
又∵AB＝AD,∴ ABCD是菱形,
∴AC⊥BD,∴∠AOB＝90°.
在Rt△ABO中,BO＝BD＝4,
∴AO＝＝3.
∵AC＝2AO＝6,
∴菱形ABCD的面积为AC·BD＝×6×8＝24.
4若菱形的两条对角线长分别为6和8，则该菱形的面积为　　.
【答案】24
5已知菱形的两条对角线长为8cm和6cm，那么这个菱形的面积是 　 　cm2．
【答案】
解：∵菱形的两条对角线长为8cm和6cm，
∴菱形的面积＝×8×6＝24（cm2）．
故答案为：24．
6如图，在四边形ABCD中，AC与BD相交于点O，且AO＝CO，点E在BD上，满足∠EAO＝∠DCO.
(1)求证：四边形AECD是平行四边形.
(2)若AB＝BC，CD＝10，AC＝16，求四边形AECD的面积.
【答案】解：(1)在△AOE和△COD中，
∵
∴△AOE≌△COD(ASA)，∴OD＝OE.
又∵AO＝CO，
∴四边形AECD是平行四边形.
(2)∵AB＝BC，AO＝CO，∴OB⊥AC，
∴ AECD是菱形.
∵AC＝16，∴CO＝AC＝8.
在Rt△COD中，由勾股定理，得OD＝＝6，
∴DE＝2OD＝12，
∴菱形AECD的面积＝AC·DE＝×16×12＝96.
4求菱形在坐标系中的坐标
1如图，四边形OABC为菱形．若OA＝2，∠AOC＝45°，则点B的坐标为（　　）
A. B. C. D.（﹣2﹣，）
【答案】D
【解析】
作BE⊥x轴于点E，则∠BEC＝90°，
∵四边形OABC为菱形，
∴CB＝OC＝OA＝2，CB∥OA，
∴∠BCE＝∠AOC＝45°，
∴∠CBE＝∠BCE＝45°，
∴BE＝CE，
∵CB＝＝＝CE＝2，
∴BE＝CE＝，
∴OE＝OC+CE＝2+，
∴B（﹣2﹣，），
故选：D．
2如图，O是坐标原点，菱形ABOC的顶点B在x轴的负半轴上，顶点C的坐标为（3，4），则顶点A的坐标为（　　）
A.（﹣4，2） B.（﹣，4） C.（﹣2，4） D.（﹣4，）
【答案】C
【解析】
过C作CN⊥x轴于N，过A作AM⊥x轴于M，
∵点C的坐标为（3，4），
∴ON＝3，CN＝4，
∴OC＝＝5，
∵四边形ABOC是菱形，
∴AC＝OC＝5，AC∥BO，
∴点A的坐标为（﹣2，4）．
故选：C．
3如图，菱形ABCD的对角线交于原点O，若点A的坐标为（﹣3，﹣5），点B的坐标为（10，m），点D的坐标为（n，6），则边CD＝ ．
【答案】
．
【解析】
∵四边形ABCD是菱形，
∴点A与点C，点B与点D关于原点对称，
∴C（3，5），
∵点B的坐标为（10，m），点D的坐标为（n，6），
∴n＝﹣10，
∴点D的坐标为（﹣10，6），
∴CD＝＝，
故答案为：．
4如图，四边形ABCD为菱形，点A（﹣3，0），点D（0，4），点B在x轴的正半轴上，则点C的坐标为 　 　．
【答案】
（5，4）．
【解析】
∵点A（﹣3，0），点D（0，4），
∴OA＝3，OD＝4，
∵∠AOD＝90°，
∴AD＝＝＝5，
∵四边形ABCD为菱形，
∴CD＝AD＝5，CD∥AB，
∴CD⊥OD，
∴点C的坐标为（5，4），
故答案为：（5，4）．
5添加条件使四边形是菱形
1下列条件中，能判定四边形是菱形的是(　　)
A.两条对角线相等 B.两条对角线互相垂直 C.两条对角线互相垂直平分 D.两条对角线相等且互相垂直
【答案】C
2如图，四边形ABCD的对角线互相平分，要使它变为菱形，还需要添加的条件是(　　)
A.AB＝CD B.AD＝BC C.AC＝BD D.AB＝BC
【答案】D
3如图，在四边形ABCD中，AD＝BC，AC⊥BD于点O.请添加一个条件：　　，使四边形ABCD成为菱形.
【答案】AD∥BC(或AB＝CD或OB＝OD或∠ADB＝∠CBD等，答案不唯一)
【解析】当添加“AD∥BC”时，
∵AD＝BC，
∴四边形ABCD是平行四边形.
∵AC⊥BD，∴四边形ABCD是菱形；
当添加“AB＝CD”时，∵AD＝BC，
∴四边形ABCD是平行四边形.
∵AC⊥BD，∴四边形ABCD是菱形；
当添加“OB＝OD”时，∵AD＝BC，AC⊥BD，
∴Rt△ADO≌Rt△CBO(HL)，
∴AO＝CO，DO＝BO，∴四边形ABCD是菱形；
当添加“∠ADB＝∠CBD”时，∴AD∥BC.
∵AD＝BC，∴四边形ABCD是平行四边形.
∵AC⊥BD，∴四边形ABCD是菱形.
4已知：在 ABCD中，分别过点B、D作BE⊥CD于点E，DF⊥BC于点F，如图．请从以下四个关系式中：①DE＝BF；②∠FBE＝∠EDF；③CE＝CF；④BE＝DF．选择一个合适的作为已知条件，使 ABCD是菱形．
（1）你选择的条件是 　 　．
（2）添加了条件后，请证明 ABCD为菱形．
【答案】
解：（1）选择的条件是③，
故答案为：③；
（2）证明：∵BE⊥CD，DF⊥BC，
∴∠CFD＝∠CEB＝90°
∵CE＝CF，∠ECA＝∠FCD，
∴△BCE≌△DCF（ASA），
∴BC＝DC，
∴ ABCD为菱形．
6证明四边形是菱形
1如图， ABCD的对角线AC，BD相交于点O，E为BC的中点，连结EO并延长，交AD于点F，∠ABC＝60°，BC＝2AB.给出下列结论：①AB⊥AC.②AD＝4OE.③四边形AECF是菱形．④S△BOE＝S△ABC.其中正确的是(　　)
A.①②③④ B.①② C.①③ D.②③④
【答案】A
【解析】 ∵E为BC的中点，∴BC＝2BE＝2CE.
又∵BC＝2AB，∴AB＝BE＝EC.
又∵∠ABC＝60°，∴△ABE是等边三角形，∴∠BAE＝∠BEA＝60°，AE＝BE，
∴AE＝EC，∴∠EAC＝∠ECA＝30°，∴∠BAC＝∠BAE＋∠EAC＝90°，即AB⊥AC，①正确．
在 ABCD中，AD∥BC，AD＝BC，AO＝CO，∴∠CAD＝∠ACB.
在△AOF和△COE中，∵
∴△AOF≌△COE(ASA)，∴AF＝CE，
∴四边形AECF是平行四边形．
又∵AE＝CE，∴ AECF是菱形，③正确．
易知AC⊥EF.
在Rt△COE中，∠ACE＝30°，∴OE＝CE＝BC＝AD，
∴AD＝4OE，②正确．
在 ABCD中，OA＝OC.
又∵E为BC的中点，∴S△BOE＝S△BOC＝S△ABC，
④正确．
综上所述，正确的是①②③④.
2如图，在△ABC中，点D，E，F分别在边BC，AB，CA上，且DE∥CA，DF∥BA.有下列说法：
①四边形AEDF是平行四边形；
②若∠BAC＝90°，则四边形AEDF是矩形；
③若AD平分∠BAC，则四边形AEDF是菱形；
④若AD⊥BC，且AB＝AC，则四边形AEDF是正方形.
其中正确的是(　　)
A.①④ B.②③ C.①②③ D.①②③④
【答案】C
【解析】∵DE∥CA，DF∥BA，
∴四边形AEDF是平行四边形，①正确.
若∠BAC＝90°，
则 AEDF是矩形，②正确.
若AD平分∠BAC，
则∠EAD＝∠FAD.
∵DE∥CA，
∴∠EDA＝∠FAD，
∴∠EAD＝∠EDA，
∴AE＝DE，
∴ AEDF是菱形，③正确.
若AB＝AC，AD⊥BC，
则AD平分∠BAC，
同理可得 AEDF是菱形，但无法证明 AEDF是正方形，④错误.
综上所述，正确的是①②③.
3如图，在△ABC中，∠ABC＝90°，D，E分别为AB，AC的中点，延长DE到点F，使EF＝2DE．
（1）求证：四边形BCFE是平行四边形；
（2）当∠ACB＝60°时，求证：四边形BCFE是菱形．
【答案】
（1）证明：∵D．E为AB，AC中点
∴DE为△ABC的中位线，DE＝BC，
∴DE∥BC，
即EF∥BC，
∵EF＝BC，
∴四边形BCEF为平行四边形．
（2）∵四边形BCEF为平行四边形，
∵∠ACB＝60°，
∴BC＝CE＝BE，
∴四边形BCFE是菱形．
4如图，在△ABC中，AC＝BC，AD⊥BC于点D，E，F分别是AC，AB的中点，O是DF的中点，EO的延长线交线段BD于点G，连结DE，EF，FG.求证：四边形DEFG是菱形．
【答案】证明：∵E，F分别是AC，AB的中点，AD⊥BC，
∴EF是△ABC的中位线，DE＝AC，
∴EF∥BC，EF＝BC，
∴∠EFO＝∠GDO.
∵AC＝BC，∴DE＝EF.
∵O是DF的中点，∴OF＝OD.
在△OEF和△OGD中，∵
∴△OEF≌△OGD(ASA)，∴EF＝GD，
∴四边形DEFG是平行四边形．
又∵DE＝EF，∴ DEFG是菱形．

展开更多......

收起↑