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浙教版（2024）八年级下册 4.4 平行四边形的判定定理 分层练习
利用对角线互相平分的四边形是平行四边形证明
1如图,四边形ABCD的对角线AC,BD相交于点O,则下列选项中,不能判定四边形ABCD是平行四边形的是()
A.∠ABD=∠BDC,OA=OC B.∠ABC=∠ADC,∠BAD=∠DCB C.∠ABC=∠ADC,AB=CD D.∠ABD=∠BDC,∠BAD=∠DCB
2如图，已知 ABCD，点E，F在对角线AC上，且AE＝CF，连结DE，DF，BE，BF.求证：四边形DEBF为平行四边形.以下是排乱的证明过程：
①∴四边形DEBF为平行四边形.
②∵四边形ABCD为平行四边形，∴OD＝OB，OA＝OC.
③连结BD，交AC于点O.
④∵AE＝CF，∴OA－AE＝OC－CF，即OE＝OF.
证明步骤正确的顺序是(　　)
A.①②③④ B.③④②① C.③②④① D.④③②①
3如图,在△ABC中,∠ACB＝90°,D为边AB上一点,连结CD,E为CD的中点,连结BE并延长至点F,使得EF＝EB,连结DF,交AC于点G,连结CF.若∠A＝30°,BC＝2,CF＝3,则CD的长为 　.
4如图,BD是△ABC的中线,E是线段BD的中点,连结CE并延长至点F,使得EF=CE,连结FB,FD。求证:
(1)BF∥CD。
(2)AB与FD互相平分。
5如图，在四边形ABCD中，对角线AC、BD交于点O，AO＝CO，∠ABD＝∠CDB．求证：四边形ABCD是平行四边形．
添加一个条件成为平行四边形
1如图，已知AB∥CD，添加下列条件可以使四边形ABCD成为平行四边形的是（　　）
A.∠1＝∠2 B.AD＝BC C.AB＝CD D.AD＝AB
2如图，在四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，已知AO＝CO，添加一个条件，能判定四边形ABCD是平行四边形的是（　　）
A.BO＝DO B.∠ABD＝∠ADB C.AC⊥BD D.AB＝CD
3如图,已知AB=CD,那么添加一个条件　　　　　　　　后,可判定四边形ABCD是平行四边形(写出一种情况即可)。
4如图，在 ABCD中，AC，BD相交于点O，点E，F在对角线BD上，有下列条件：①BF＝DE；②AE＝CF；③∠EAB＝∠FCD；④AF∥CE.其中一定能判定四边形AECF是平行四边形的有　　(填序号).
数平行四边形的个数
1如图，在平行四边形ABCD中，EF∥AD，HN∥AB，则图中的平行四边形（不包括四边形ABCD）的个数共有（ ）
A.9个 B.8个 C.6个 D.4个
2下列图形都是由同样大小的平行四边形按一定的规律组成，其中第①个图形中一共有10个平行四边形，第②个图形中一共有14个平行四边形，第③个图形中一共有19个平行四边形，……按此规律排列下去，则第⑦个图形中平行四边形的个数为（ ）．
A.40 B.44 C.47 D.49
3如图，在□ABCD中，两条对角线相交于点O，点E、F、G、H分别是OA、OB、OC、OD的中点，以图中的任意四点（即点A、B、C、D、E、F、G、H、O中的任意四点）为顶点的平行四边形共有 个．
4已知三条线段长分别为7，15，20，以其中一条为对角线，另两条为邻边，可以画出 个平行四边形.
全等三角形拼平行四边形问题
1下列图形中，一定可以拼成平行四边形的是（　　）
A.两个等腰三角形
B.两个全等三角形
C.两个锐角三角形
D.两个直角三角形
2将一张四边形纸片沿两组对边的中点连线剪开，得到四张小纸片，如图所示．用这四张小纸片一定可以拼成（　　）
A.梯形 B.长方形 C.正方形 D.平行四边形
3将两个全等的三角形按不同的形式拼成的各种四边形中，平行四边形最多有　 　个．
4如图，将两块相同的三角尺ABC和A′B′C′如图放置，使两条直角边BC与B′C′重合在一起，这样拼成的四边形ACA′B′是平行四边形吗？试用两种不同的方法说明理由．
利用平行四边形的判定与性质求角度
1如图，在四边形ABCD中，AB＝CD，BC＝AD，若∠A＝135°，则∠B的度数为（　　）
A.45° B.55° C.90° D.135°
2如图，AD∥BC，AB＝BD，以B为圆心，AD长为半径的圆弧交BC于点E，连结DE．若∠A＝50°，则∠BED的度数为（　　）
A.65° B.60° C.50° D.40°
3在四边形ABCD中，AB＝CD，AD＝BC，∠B＝80°，则∠C的度数为（　　）
A.10° B.40° C.80° D.100°
4如图，在 ABCD中，∠ABD＝25°，现将 ABCD折叠成如图所示的形状，使点B与点D重合，EF为折痕，点C的对应点为C'，则∠C'EF的度数为 　°.
5如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于O点．
（1）若AC＝12，BD＝14，求AD的取值范围；
（2）若∠ACB＝40°，AC＝BC，求∠ADC的度数；
（3）点E在CA的延长线上，点F在AC的延长线上，且AE＝CF，点G、H均在线段BD上，且BG＝DH，求证：四边形EGFH是平行四边形．
利用平行四边形的判定与性质求线段的长度
1如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，∠B＝70°，∠C＝40°，DE∥AB交BC于点E．若AD＝5cm，BC＝12cm，则CD的长是　 　cm．
2如图，四边形ABCD中，AB∥CD，AD∥BC，且∠BAD、∠ADC的角平分线AE、DF分别交BC于点E、F．若EF＝2，AB＝5，则AD的长为 　 　．
3如图，在四边形ABCD中，∠ACB＝∠CAD＝90°，点E在BC上，AE∥DC，EF⊥AB，垂足为F．
（1）求证：四边形AECD是平行四边形；
（2）若AE平分∠BAC，BE＝5，BF：BE＝4：5，求AD长．
4尺规作图问题:如图1,E是 ABCD边AD上一点(不包含A,D),连结CE。用尺规作AF∥CE,F是边BC上一点。
小明:如图2,以点C为圆心,AE长为半径作弧,交BC于点F,连结AF,则AF∥CE。
小丽:以点A为圆心,CE长为半径作弧,交BC于点F,连结AF,则AF∥CE。
小明:小丽,你的作法有问题。
小丽:哦……我明白了!
(1)求证:AF∥CE。
(2)指出小丽作法中存在的问题。
平行四边形的判定与性质的实际应用
1如图，王老师用四根木棒搭成了平行四边形的框架，量得AB＝10cm，AD＝8cm，固定AB．逆时针转动AD，在转动过程中，关于平行四边形ABCD的面积变化情况：甲认为：先变大，后变小；乙认为：在转动过程中，平行四边形ABCD的面积有最大值，最大值是80cm2，则（　　）
A.甲说得对
B.乙说得对
C.甲、乙说的都对
D.甲、乙说的都不对
2小玲的爸爸在钉制平行四边形框架时，采用了一种方法：如图所示，将两根木条AC、BD的中点重叠，并用钉子固定，则四边形ABCD就是平行四边形，这种方法的依据是（　　）
A.对角线互相平分的四边形是平行四边形
B.两组对角分别相等的四边形是平行四边形
C.两组对边分别相等的四边形是平行四边形
D.两组对边分别平行的四边形是平行四边形
3图1是四连杆开平窗铰链，其示意图如图2所示，为滑轨，为固定长度的连杆．支点A固定在上，支点B固定在连杆上，支点D固定在连杆上．支点P可以在上滑动，点P的滑动带动点的运动．已知，，，，．窗户在关闭状态下，点B、C、D、E都在滑轨MN上．当窗户开到最大时，．
（1）若，则支点P与支点A的距离为 cm；
（2）窗户从关闭状态到开到最大的过程中，支点P移动的距离为 cm．

4如图1，ABCD是平行四边形对角线AC，BD相交于点O，直线EF过点O，分别交AD，BC于点E，F．
（1）求证：AE=CF．
（2）如图2，若ABCD是老张家的一块平行四边形田地．P为水井，现要把这块田地平均分给两个儿子，为了用水方便，要求分给两个儿子的田地都与水井P相邻．请你帮老张家设计一下．画出图形，并说明理由？
5如图，是某城市部分街道示意图，AF∥BC，EC⊥BC，BA∥DE，BD∥AE，甲、乙两人同时从B站乘车到F站，且点F是CE的中点．甲乘1路车，路线是B A E F；乙乘2路车，路线是B D C F，假设两车速度相同，途中耽误时间相同，那么谁先到达F站，请说明理由．
浙教版（2024）八年级下册 4.4 平行四边形的判定定理 分层练习（参考答案）
1利用对角线互相平分的四边形是平行四边形证明
1如图,四边形ABCD的对角线AC,BD相交于点O,则下列选项中,不能判定四边形ABCD是平行四边形的是()
A.∠ABD=∠BDC,OA=OC B.∠ABC=∠ADC,∠BAD=∠DCB C.∠ABC=∠ADC,AB=CD D.∠ABD=∠BDC,∠BAD=∠DCB
【答案】C
【解析】
若∠ABD=∠BDC,OA=OC,又∵∠AOB=COD,
则△AOB≌△COD(AAS),
∴OB=OD,
∴四边形ABCD是平行四边形,A可以判定。
若∠ABC=∠ADC,∠BAD=∠DCB,
又∵∠ABC+∠ADC+∠BAD+∠DCB=360°,
则∠ABC+∠BAD=180°,
∴∠ADC+∠BAD=180°,
∴BC∥AD,AB∥DC,
∴四边形ABCD是平行四边形,B可以判定。
若∠ABD=∠BDC,∠BAD=∠DCB,
又∵BD=DB,
则△ABD≌△CDB(AAS),AB∥DC,
∴AB=DC,
∴四边形ABCD是平行四边形,D可以判定。
由∠ABC=∠ADC,AB=CD,AC=CA,
不能推出三角形全等,故无法判定四边形ABCD是平行四边形,C符合题意。
2如图，已知 ABCD，点E，F在对角线AC上，且AE＝CF，连结DE，DF，BE，BF.求证：四边形DEBF为平行四边形.以下是排乱的证明过程：
①∴四边形DEBF为平行四边形.
②∵四边形ABCD为平行四边形，∴OD＝OB，OA＝OC.
③连结BD，交AC于点O.
④∵AE＝CF，∴OA－AE＝OC－CF，即OE＝OF.
证明步骤正确的顺序是(　　)
A.①②③④ B.③④②① C.③②④① D.④③②①
【答案】C
3如图,在△ABC中,∠ACB＝90°,D为边AB上一点,连结CD,E为CD的中点,连结BE并延长至点F,使得EF＝EB,连结DF,交AC于点G,连结CF.若∠A＝30°,BC＝2,CF＝3,则CD的长为 　.
【答案】
【解析】∵E为CD的中点,∴CE＝DE.
又∵EF＝BE,
∴四边形DBCF是平行四边形,
∴CF∥AB,DF∥BC,DF＝BC,
∴∠FCG＝∠A＝30°,∠CGF＝∠ACB＝90°.
∵在Rt△FCG中,CF＝3,
∴FG＝CF＝,
∴CG＝.
∵DF＝BC＝2,∴DG＝,
∴CD＝.
4如图,BD是△ABC的中线,E是线段BD的中点,连结CE并延长至点F,使得EF=CE,连结FB,FD。求证:
(1)BF∥CD。
(2)AB与FD互相平分。
【答案】
证明:(1)∵E是线段BD的中点,
∴BE=DE。
又∵EF=CE,
∴四边形FBCD是平行四边形,
∴BF∥CD。
(2)如答图,连结AF。
∵四边形FBCD是平行四边形,
∴BF∥AC,BF=CD。
∵BD是△ABC的中线,
∴AD=CD=BF,
∴四边形AFBD是平行四边形,
∴AB与FD互相平分。
5如图，在四边形ABCD中，对角线AC、BD交于点O，AO＝CO，∠ABD＝∠CDB．求证：四边形ABCD是平行四边形．
【答案】
证明：在△ABO与△CDO中，
，
∴△ABO≌△CDO（AAS），
∴BO＝DO，
∵AO＝CO，
∴四边形ABCD是平行四边形．
2添加一个条件成为平行四边形
1如图，已知AB∥CD，添加下列条件可以使四边形ABCD成为平行四边形的是（　　）
A.∠1＝∠2 B.AD＝BC C.AB＝CD D.AD＝AB
【答案】C
【解析】
由平行四边形的判定即可得出结论．
A．∵∠1＝∠2，
∴AB∥CD，
∴不能使四边形ABCD成为平行四边形，故A选项错误，不符合题意；
B．∵AD＝BC，AB∥CD
∴不能使四边形ABCD成为平行四边形，故B选项错误，不符合题意；
C．∵AB＝CD，AB∥CD，
∴四边形ABCD是平行四边形，故C选项正确，符合题意；
D．∵AD＝AB，AB∥CD，
∴不能使四边形ABCD成为平行四边形，故D选项错误，不符合题意；
故选：C．
2如图，在四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，已知AO＝CO，添加一个条件，能判定四边形ABCD是平行四边形的是（　　）
A.BO＝DO B.∠ABD＝∠ADB C.AC⊥BD D.AB＝CD
【答案】A
【解析】
由平行四边形的判定定理即可得出结论．
添加一个条件，能判定四边形ABCD是平行四边形的是BO＝DO，理由如下：
∵AO＝CO，BO＝DO，
∴四边形ABCD是平行四边形，
故选：A．
3如图,已知AB=CD,那么添加一个条件　　　　　　　　后,可判定四边形ABCD是平行四边形(写出一种情况即可)。
【答案】
AB∥CD(答案不唯一)
4如图，在 ABCD中，AC，BD相交于点O，点E，F在对角线BD上，有下列条件：①BF＝DE；②AE＝CF；③∠EAB＝∠FCD；④AF∥CE.其中一定能判定四边形AECF是平行四边形的有　　(填序号).
【答案】①③④
【解析】∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，AB＝CD，OB＝OD，OA＝OC.
若BF＝DE，则BF－OB＝DE－OD，
即OF＝OE，
∴四边形AECF是平行四边形，①符合题意.
∵AB∥CD，∴∠ABE＝∠CDF.
若∠EAB＝∠FCD，
则在△ABE和△CDF中，
∵
∴△ABE≌△CDF(ASA)，
∴BE＝DF.
又∵BO＝DO，∴OE＝OF.
又∵AO＝CO，
∴四边形AECF是平行四边形，③符合题意.
若AF∥CE，则∠AFB＝∠CED，
在△ABF和△CDE中，
∵
∴△ABF≌△CDE(AAS)，
∴BF＝DE，
同上易证四边形AECF是平行四边形，④符合题意.
∵通过AE＝CF不能判定△ABE≌△CDF，
∴不能判定四边形AECF是平行四边形，②不合题意.
综上所述，一定能判定四边形AECF是平行四边形的有①③④.
3数平行四边形的个数
1如图，在平行四边形ABCD中，EF∥AD，HN∥AB，则图中的平行四边形（不包括四边形ABCD）的个数共有（ ）
A.9个 B.8个 C.6个 D.4个
【答案】B
【解析】
根据平行四边形的判定定理：两组对边分别平行的四边形是平行四边形，判定即可求得答案．
设EF与NH交于点O，
∵在□ABCD中，EF∥AD，HN∥AB，
∴AD∥EF∥BC，AB∥NH∥CD，
则图中的四边形AEOH、DHOF、BEON、CFON、AEFD、BEFC、AHNB、DHNC都是平行四边形，共8个．
故选：B．
2下列图形都是由同样大小的平行四边形按一定的规律组成，其中第①个图形中一共有10个平行四边形，第②个图形中一共有14个平行四边形，第③个图形中一共有19个平行四边形，……按此规律排列下去，则第⑦个图形中平行四边形的个数为（ ）．
A.40 B.44 C.47 D.49
【答案】D
【解析】
观察图形的变化可得7+3=10，10+4=14，14+5=19，19+6=25，25+7=32，32+8=40，40+9=49即可得结果．
观察图形的变化可知：
第①个图形中一共有7+3=10个平行四边形，
第②个图形中一共有10+4=14个平行四边形，
第③个图形中一共有14+5=19个平行四边形，
第④个图形中一共有19+6=25个平行四边形，
则：
第⑤个图形中一共有25+7=32个平行四边形，
第⑥个图形中一共有32+8=40个平行四边形，
第⑦个图形中一共有40+9=49个平行四边形，
故选：D．
3如图，在□ABCD中，两条对角线相交于点O，点E、F、G、H分别是OA、OB、OC、OD的中点，以图中的任意四点（即点A、B、C、D、E、F、G、H、O中的任意四点）为顶点的平行四边形共有 个．
【答案】
4
如图：
即□EFGH，□ABCD，□BEDG，□AFCH，
故答案为4.
4已知三条线段长分别为7，15，20，以其中一条为对角线，另两条为邻边，可以画出 个平行四边形.
【答案】
3
【解析】
根据平行四边形性质分为三种情况：①AC=7，AD=15，AB=20时，②AC=15，AD=20，AB=7时，③AC=20，AB=15，AD=7时，根据三角形的三边关系定理看看△ABC是否存在即可．
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB=CD，AD=BC，
①AC=7，AD=15，AB=20时，
则15+7＞20，符合三角形三边关系定理；能组成平行四边形；
②AC=15，AD=20，AB=7时，
15+7＞20，符合三角形三边关系定理；能组成平行四边形；
③AC=20，AB=15，AD=7时，
则15+7＞20，符合三角形三边关系定理；能组成平行四边形；
可以画出不同形状的平行四边形的个数是3，
故答案为3．
4全等三角形拼平行四边形问题
1下列图形中，一定可以拼成平行四边形的是（　　）
A.两个等腰三角形
B.两个全等三角形
C.两个锐角三角形
D.两个直角三角形
【答案】B
【解析】
因在拼组平行四边形时，平行四边形的两组对边平行且相等，且有公共边，所以只有两个完全一样的三角形，才可能拼成一个平行四边形．据此解答．
∵平行四边形的两组对边平行且相等，且有公共边，
∴只有两个全等的三角形，才可能拼成一个平行四边形．
故选：B．
2将一张四边形纸片沿两组对边的中点连线剪开，得到四张小纸片，如图所示．用这四张小纸片一定可以拼成（　　）
A.梯形 B.长方形 C.正方形 D.平行四边形
【答案】D
【解析】
根据平行四边形的判定及旋转平移的性质进行分析即可．
四边形JFCG绕点F顺时针旋转180°，四边形HAEJ绕点E顺时针旋转180°，余下的四边形DHJG沿着DB方向进行平移，刚好构成一个平行四边形．
故选：D．
3将两个全等的三角形按不同的形式拼成的各种四边形中，平行四边形最多有　 　个．
【答案】
3.
【解析】
三角形有三条边，三个内角，全等的三角形三个角三条边对应相等，则可以通过构造内错角使两边平行，同时由两边相等，根据平行四边形判定定理：一组对边平行且相等的四边形为平行四边形，得出结论．
．
如图所示，有两个三角形全等，如图一、二、三所示，∠1、∠2、∠3构成内错角，对边平行，
又由对边相等，根据“一组对边平行且相等的四边形为平行四边形”知这三个四边形是平四边形．
所以最多有三个．
故答案为3．
4如图，将两块相同的三角尺ABC和A′B′C′如图放置，使两条直角边BC与B′C′重合在一起，这样拼成的四边形ACA′B′是平行四边形吗？试用两种不同的方法说明理由．
【答案】
解：拼成的四边形ACA′B′是平行四边形，理由如下：
方法1：∵△ABC≌△A′B′C′，
∴AB＝A'B'，AC＝A'C'，
∴四边形ACA′B′是平行四边形；
方法2：∵△ABC≌△A′B′C′，
∴AC=A′C′，∠ACB＝∠A'C'B'＝90°，
∴AC∥A′C′，
∴四边形ACA′B′是平行四边形．
5利用平行四边形的判定与性质求角度
1如图，在四边形ABCD中，AB＝CD，BC＝AD，若∠A＝135°，则∠B的度数为（　　）
A.45° B.55° C.90° D.135°
【答案】A
【解析】
证明四边形ABCD是平行四边形，得出AD∥BC，由平行线的性质得出∠A+∠B＝180°，即可得出答案．
∵AB＝CD，BC＝AD，
∴四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，
∴∠A+∠B＝180°，
∴∠B＝180°﹣135°＝45°；
故选：A．
2如图，AD∥BC，AB＝BD，以B为圆心，AD长为半径的圆弧交BC于点E，连结DE．若∠A＝50°，则∠BED的度数为（　　）
A.65° B.60° C.50° D.40°
【答案】C
【解析】
根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形得出四边形ABED是平行四边形，再根据平行四边形对角相等即可求出∠BED的度数．
由题意得，BE＝AD，
∵AD∥BC，即AD∥BE，
∴四边形ABED是平行四边形，
∴∠BED＝∠A＝50°，
故选：C．
3在四边形ABCD中，AB＝CD，AD＝BC，∠B＝80°，则∠C的度数为（　　）
A.10° B.40° C.80° D.100°
【答案】D
【解析】
先证四边形ABCD是平行四边形，则AB∥CD，再由平行线的性质得∠B+∠C＝180°，即可得出结论．
如图，∵AB＝CD，AD＝BC，
∴四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，
∴∠B+∠C＝180°，
∴∠C＝180°﹣∠C＝180°﹣80°＝100°，
故选：D．
4如图，在 ABCD中，∠ABD＝25°，现将 ABCD折叠成如图所示的形状，使点B与点D重合，EF为折痕，点C的对应点为C'，则∠C'EF的度数为 　°.
【答案】115
【解析】由折叠，得∠FDB＝∠ABD＝25°，∠C'EF＝∠CEF，∠DFE＝∠BFE，
∴∠DFB＝180°－∠FDB－∠ABD＝130°，
∴∠BFE＝∠DFB＝65°.
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥DC，
∴∠CEF＋∠BFE＝180°，
∴∠CEF＝115°，∴∠C'EF＝115°.
5如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于O点．
（1）若AC＝12，BD＝14，求AD的取值范围；
（2）若∠ACB＝40°，AC＝BC，求∠ADC的度数；
（3）点E在CA的延长线上，点F在AC的延长线上，且AE＝CF，点G、H均在线段BD上，且BG＝DH，求证：四边形EGFH是平行四边形．
【答案】
解：（1）∵四边形ABCD是平行四边形，
∴，，
在△AOD中，OD﹣OA＜AD＜OD+OA，
即7﹣6＜AD＜7+6，
∴1＜AD＜13；
（2）∵AC＝BC，∠ACB＝40°，
∴∠CAB＝∠ABC＝（180°﹣∠ACB）＝70°，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠ADC＝∠ABC＝70°；
（3）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OA＝OC，OB＝OD，
∵点E在CA的延长线上，点F在AC的延长线上，且AE＝CF，点G、H均在线段BD上，且BG＝DH，
∴OE＝OF，OG＝OH，
∴四边形EGFH是平行四边形．
6利用平行四边形的判定与性质求线段的长度
1如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，∠B＝70°，∠C＝40°，DE∥AB交BC于点E．若AD＝5cm，BC＝12cm，则CD的长是　 　cm．
【答案】
7
【解析】
由在四边形ABCD中，AD∥BC，DE∥AB，可判定四边形ABED是平行四边形，即可求得CE的长，又由∠B＝70°，∠C＝40°，易判定△CDE是等腰三角形，继而求得答案．
∵在四边形ABCD中，AD∥BC，DE∥AB，
∴四边形ABED是平行四边形，
∴BE＝AD＝5cm，
∴CE＝BC﹣BE＝12﹣5＝7（cm），
∵∠DEC＝∠B＝70°，∠C＝40°，
∴∠CDE＝180°﹣∠DEC﹣∠C＝70°，
∴CD＝CE＝7cm．
故答案为：7．
2如图，四边形ABCD中，AB∥CD，AD∥BC，且∠BAD、∠ADC的角平分线AE、DF分别交BC于点E、F．若EF＝2，AB＝5，则AD的长为 　 　．
【答案】
8．
【解析】
由平行线的性质得到∠ADF＝∠DFC，再由DF平分∠ADC，得∠ADF＝∠CDF，则∠DFC＝∠FDC，然后由等腰三角形的判定得到CF＝CD，同理BE＝AB，则四边形ABCD是平行四边形，最后由平行四边形的性质得到AB＝CD，AD＝BC，即可得到结论．
∵AD∥BC，
∴∠ADF＝∠DFC，
∵DF平分∠ADC，
∴∠ADF＝∠CDF，
∴∠DFC＝∠CDF，
∴CF＝CD，
同理BE＝AB，
∵AB∥CD，AD∥BC，
∴四边形ABCD是平行四边形，
∴AB＝CD，AD＝BC，
∴AB＝BE＝CF＝CD＝5，
∴BC＝BE+CF﹣EF＝5+5﹣2＝8，
∴AD＝BC＝8，
故答案为：8．
3如图，在四边形ABCD中，∠ACB＝∠CAD＝90°，点E在BC上，AE∥DC，EF⊥AB，垂足为F．
（1）求证：四边形AECD是平行四边形；
（2）若AE平分∠BAC，BE＝5，BF：BE＝4：5，求AD长．
【答案】
解：（1）证明：∵∠ACB＝∠CAD＝90°，
∴AD∥CE，
∵AE∥DC，
∴四边形AECD是平行四边形；
（2）∵EF⊥AB，
∴∠BFE＝90°，
∵BF：BE＝4：5，BE＝5，
∴BF＝BE＝×5＝4，
∴EF＝＝＝3，
∵AE平分∠BAC，EF⊥AB，∠ACE＝90°，
∴EC＝EF＝3，
由（1）得：四边形AECD是平行四边形，
∴AD＝EC＝3．
4尺规作图问题:如图1,E是 ABCD边AD上一点(不包含A,D),连结CE。用尺规作AF∥CE,F是边BC上一点。
小明:如图2,以点C为圆心,AE长为半径作弧,交BC于点F,连结AF,则AF∥CE。
小丽:以点A为圆心,CE长为半径作弧,交BC于点F,连结AF,则AF∥CE。
小明:小丽,你的作法有问题。
小丽:哦……我明白了!
(1)求证:AF∥CE。
(2)指出小丽作法中存在的问题。
【答案】
解:(1)根据小明的作法知,CF=AE。
∵四边形ABCD是平行四边形,
∴AD∥BC,
∴四边形AFCE是平行四边形,
∴AF∥CE。
(2)以点A为圆心,CE长为半径作弧,交BC于点F,此时可能会有两个交点,只有其中一个交点符合题意。
故小丽的作法有问题。
7平行四边形的判定与性质的实际应用
1如图，王老师用四根木棒搭成了平行四边形的框架，量得AB＝10cm，AD＝8cm，固定AB．逆时针转动AD，在转动过程中，关于平行四边形ABCD的面积变化情况：甲认为：先变大，后变小；乙认为：在转动过程中，平行四边形ABCD的面积有最大值，最大值是80cm2，则（　　）
A.甲说得对
B.乙说得对
C.甲、乙说的都对
D.甲、乙说的都不对
【答案】C
【解析】
如图，作DM⊥AB于点M，则平行四边形ABCD的面积＝AB×DM＝10DM，可得DM≤8cm，即平行四边形的高DM的最大值是8cm，进而可判断甲乙的说法．
如图，作DM⊥AB于点M，
则平行四边形ABCD的面积＝AB×DM＝10DM，
∵DM≤AD，AD＝8，
∴DM≤8cm，即平行四边形的高DM的最大值是8cm，
∴在转动过程中，平行四边形ABCD的面积有最大值，最大值是80cm2，故乙的说法正确；
在逆时针转动AD过程中，DM先逐渐变大，到与AD相等时，取得最大值，然后又逐渐变小，所以平行四边形ABCD的面积先变大，后变小；故甲的说法正确；
∴甲乙的说法都是正确的，
故选：C．
2小玲的爸爸在钉制平行四边形框架时，采用了一种方法：如图所示，将两根木条AC、BD的中点重叠，并用钉子固定，则四边形ABCD就是平行四边形，这种方法的依据是（　　）
A.对角线互相平分的四边形是平行四边形
B.两组对角分别相等的四边形是平行四边形
C.两组对边分别相等的四边形是平行四边形
D.两组对边分别平行的四边形是平行四边形
【答案】A
【解析】
已知AC和BD是对角线，取各自中点，则对角线互相平分（即AO＝OC，BO＝DO）的四边形是平行四边形．
由已知可得AO＝CO，BO＝DO，所以四边形ABCD是平行四边形，依据是对角线互相平分的四边形是平行四边形．
故选：A．
3图1是四连杆开平窗铰链，其示意图如图2所示，为滑轨，为固定长度的连杆．支点A固定在上，支点B固定在连杆上，支点D固定在连杆上．支点P可以在上滑动，点P的滑动带动点的运动．已知，，，，．窗户在关闭状态下，点B、C、D、E都在滑轨MN上．当窗户开到最大时，．
（1）若，则支点P与支点A的距离为 cm；
（2）窗户从关闭状态到开到最大的过程中，支点P移动的距离为 cm．

【答案】
(1)；(2)12.
【解析】
（1）先证四边形是平行四边形，推出，再根据勾股定理解即可；（2）当窗户开到最大时，，根据勾股定理解求出；当关闭状态下，，由此可解．
（1） ，，
四边形是平行四边形，
，
，
，，
．
故答案为：；
（2）当窗户开到最大时，，，
，
，
，，
；
当关闭状态下，，
窗户从关闭状态到开到最大的过程中，支点P移动的距离为，
故答案为：12．
4如图1，ABCD是平行四边形对角线AC，BD相交于点O，直线EF过点O，分别交AD，BC于点E，F．
（1）求证：AE=CF．
（2）如图2，若ABCD是老张家的一块平行四边形田地．P为水井，现要把这块田地平均分给两个儿子，为了用水方便，要求分给两个儿子的田地都与水井P相邻．请你帮老张家设计一下．画出图形，并说明理由？
【答案】
解：（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，OA=OC，
∴∠DAC=∠BCA，
在△AOE 和△COF中，
∠DAC=∠BCA，OA=OC，∠AOE=∠COF，
∴△AOE≌△COF（ASA），
∴AE=CF；
（2）设计图形如图：
理由：平行四边形是中心对称图形，对称中心是两条对角线的交点，只要满足两块地面积相等，且都与水井相邻就可以．
因为平行四边形的性质：平行四边形的对角线互相平分，
所以找到对角线的交点与水井点P的连线的所在直线即可．
5如图，是某城市部分街道示意图，AF∥BC，EC⊥BC，BA∥DE，BD∥AE，甲、乙两人同时从B站乘车到F站，且点F是CE的中点．甲乘1路车，路线是B A E F；乙乘2路车，路线是B D C F，假设两车速度相同，途中耽误时间相同，那么谁先到达F站，请说明理由．
【答案】
解：可以同时到达．理由如下：
∵BA∥DE，AE∥DB，
∴四边形ABDE为平行四边形，
∴AB＝DE，AE＝BD，
∵F是CE的中点，
∴EF＝FC，
∵EC⊥BC，AF∥BC，
∴AF⊥CE，
即AF垂直平分CE，
∴DE＝DC，即AB＝DC，
∴AB+AE+EF＝DC+BD+CF，
∴二人同时到达F站．

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