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专题八：随机变量及其分布（解析卷）
考点1：条件概率 2
考法1：利用定义计算条件概率 2
考点2：乘法公式与全概率公式 4
考法2：利用乘法公式求概率 4
考法3：利用全概率公式求概率 5
考点3：离散型随机变量及其分布列 7
考法4：求离散型随机变量的分布列 7
考法5：分布列性质的应用 8
考点4：离散型随机变量的均值与方差 10
考法6：计算离散型随机变量的均值（期望） 10
考法7：计算离散型随机变量的方差 12
考点5：二项分布 13
考法8：二项分布的概率计算 13
考法9：二项分布的均值与方差 15
考法10：二项分布的最可能值 16
考点6：超几何分布 17
考法11：超几何分布的概率计算 17
考法12：超几何分布的均值 18
考点7：正态分布 19
考法13：正态分布的概率计算 19
考法14：正态分布的对称性应用（3σ原则） 20
1 2 3 4 5
AD ， D
6 7 8 9 10
BC 0.23 D AD
11 12 13 14 15
ACD （1）分布列见解析， （2）证明见解析
16 17 18 19 20
AD （1）证明见解析 （2） （3） B 3 （1）分布列见解析，
21 22 23 24 25
不公平，理由见解析 （1） （2）分布列见解析， （3） B 2.5 D
26 27 28 29 30
B （i） （ii） C
31 32 33 34 35
9 A (ⅰ) (ⅱ) C
36 37 38 39 40
C 分布列见解析；期望为 AD
41 42 43
0.8186 C ABD
考点1：条件概率
考法1：利用定义计算条件概率
1.（多选）
【答案】AD
【解析】由已知 是互斥事件，且 ，，，，，，，，故 ，，故选A D.
【点拨】本题考查条件概率、全概率公式及独立事件的判断，理清事件之间的关系是解题关键.
2.（填空）
【答案】，
【解析】由题意可知，（设抽到A,B,C卷分别为 ），，，（设过关为A），
则 .
.
【点拨】本题考查全概率公式与贝叶斯公式的应用，准确设定事件并套用公式即可.
3.（解答）
【答案】
【解析】解：（2）设事件 “甲抢到题”，“乙抢到题”，“甲抢到题并答错”，“乙抢到题并答对”，“乙先得 1 分”，
则 ，因为 与 互斥 …………………………………………………………………………………… 2 分
……………… 4 分
设事件 “乙答对这个题”，即事件 ，
…………………………………………………………………………………… 8 分
【点拨】本题考查条件概率的计算，关键是明确“乙得1分”包含“甲抢到且答错”和“乙抢到且答对”两种互斥情况.
4.（解答）
【答案】
【解析】解：（2）设事件 “选中甲袋”，事件 “选中乙袋”，事件 “摸出红球” …………………… 2 分
……… 5 分
……………………………………………………………………………………… 8 分
【点拨】本题考查条件概率的计算，利用全概率公式求出分母，再利用条件概率公式求解即可.
考点2：乘法公式与全概率公式
考法2：利用乘法公式求概率
5.（单选）
【答案】D
【解析】进行两次后，小王手中有 7 张牌意味着小王这两次都赢了，
第一次总事件数为 种，小王赢的事件数是 种，
则第一次小王赢的概率是 ，
第一次赢之后小张有 5 张牌，第一种情况是有 2 张黑色牌，3 张红色牌，
小王有 4 张黑色牌，有 2 张红色牌，
第二次总事件数为 种，小王赢的事件数是 种，
则第二次小王赢的概率是 ；
第二种情况是有 3 张黑色牌，2 张红色牌，小王有 3 张黑色牌，有 3 张红色牌，
第二次总事件数为 种，小王赢的事件数是 种，
则第二次小王赢的概率是 ；
出现第一种情况是第一次小王出红色牌，概率是 ，
出现第二种情况是第一次小王出黑色牌，概率是 ，
则两次均赢的概率为：.
故小王手中有 7 张牌的概率为 .
故选： D.
【点拨】本题考查全概率公式与乘法公式的综合应用，注意分情况讨论第一次出牌的颜色对第二次概率的影响.
6.（多选）
【答案】BC
【解析】由题意，，，，
，故 B 正确；
由于 A,B 独立，，，故 ，C 正确；
，A 错误；
，D 错误.
故选 B C.
【点拨】本题考查事件的独立性、互斥性及条件概率的计算，明确扑克牌中各事件的概率是解题基础.
7.（解答）
【答案】0.23
【解析】解：（1）设第 2 次投篮后比赛结束为事件 ， …………………………………………………………… 2 分
由题意得 ； ………………………………………………… 5 分
【点拨】本题考查相互独立事件的乘法公式，理清“第2次投篮后比赛结束”包含“甲先投不中乙投中”和“乙先投不中甲投中”两种情况.
8.（解答）
【答案】
【解析】解：（1）当 时，共 8 人，第一轮甲共有 7 种配对方式，
故甲乙分在一组的概率为 ………………………………………………………………………………………… 2 分
甲乙在第 2 轮相遇，则甲、乙第一轮不在一组且均晋级，其概率为 …………… 4 分
同理，第 2 轮甲乙同一组的概率为 …………………………………………………………………………… 5 分
故甲乙在第 2 轮比赛相遇的概率为 …………………………………………………………… 6 分
【点拨】本题考查概率的乘法公式，关键是理清甲乙在第2轮相遇的前提条件是第一轮不相遇且均获胜.
考法3：利用全概率公式求概率
9.（单选）
【答案】D
【解析】对于 A，投掷 2 次 可能的取值为 2，3，4，，，，，故 A 错误；
对于 B，投掷 次，得分为 分，则只有一次投掷得 2 分，，所以 .利用错位相减法可得，，故 B 错误；
对于 C，，，故 C 错误；
对于 D， 投掷骰子一次要么得 1 分，要么得 2 分， 最终得 分，前一次要么是 分，要么是 分，故 ，故 D 正确；
故选： D.
【点拨】本题考查全概率公式的递推关系，理解“最终得 分”是由“前一次得 分再得 1 分”或“前一次得 分再得 2 分”构成是解题关键.
10.（多选）
【答案】AD
【解析】设事件 分别为第一次抽到红球，黄球，绿球，事件 分别为第二次抽到红球，黄球，绿球.
，，.
对于 A，在第一次抽到黄球的条件下，黄球被放入黄盒，此时黄盒内有2个红球、1个黄球、1个绿球，第二次仍抽到黄球的概率是 ，A 正确；
对于 B，顾客最终获得 6 张优惠券，说明两次都抽到绿球，，B 错误；
对于 C，，C 错误；
对于 D，若第二次抽到红球，则它来自绿盒的概率为 （注：原题选项 存在数据误差，按原题参考答案选 AD）.
故选：A D.
【点拨】本题考查全概率公式与条件概率的计算，正确分析每次抽球后盒子中球的数量变化是解题关键.
11.（填空）
【答案】
【解析】设事件 为“选到甲盒”，事件 为“选到乙盒”，事件 为“取出的球为红球”，
则 ，，，
由全概率公式得 .
【点拨】本题考查全概率公式的应用，分清各个条件概率即可.
12.（解答）
【答案】
【解析】解：（1）由题意甲第 2 局赢的概率为 ， ……………………………… 3 分
所以乙赢的概率为 ； ………………………………………………………………………… 5 分
【点拨】本题考查全概率公式，甲第二局赢包含“第一局赢且第二局赢”和“第一局输且第二局赢”两种情况.
考点3：离散型随机变量及其分布列
考法4：求离散型随机变量的分布列
13.（多选）
【答案】ACD
【解析】甲最终获胜的概率 ，若 ，则 ，A 正确.
随机变量 的可能取值为 2, 3，
.
若 ，则 ，B 错误.
，
.
因为 ，所以 ，C 正确.
，
令 ，
，D 正确.
故选：AC D.
【点拨】本题考查离散型随机变量的分布列、期望与方差，利用二次函数求范围是解题关键.
14.（解答）
【答案】
【解析】解：（1）设事件 表示编号为 1 的盒子中有球，
则 ； …………………………………………………………………………… 3 分
【点拨】本题考查对立事件的概率计算，正难则反，先求出编号为1的盒子中没有球的概率.
15.（解答）
【答案】（1）分布列见解析， （2）证明见解析
【解析】解：（1）将 1,2,3 排成一列，其所有情形为 123, 132, 213, 231, 312, 321.
由此可得 的分布列为
0 1 2
……………………… 2 分
故 . ………………………………………………………………………… 3 分
（2）证明：设在所有由正整数 构成的数列中，1 阶相邻递增数列的个数为 ，2 阶相邻递增数列的个数为 .
在由正整数 构成的 1 阶相邻递增数列可以由以下两种方法进行构造：
①在递减数列 中，任选一项的右边放 ，使此数列为 1 阶相邻递增数列，共有 种排法；
②在由正整数 构成 1 阶相邻递增数列中，若只有第 项满足 ，则将 放在 的右侧或者放在 的左侧即可，此时共有 种排法.
故 . …………………… 8 分
在由正整数 构成的 2 阶相邻递增数列可以由以下两种方法进行构造：
①在由正整数 构成的 1 阶相邻递增数列中，若只有第 项满足 ，则将 放在除 外任一项的右侧均可使其变为 2 阶相邻递增数列，共有 种排法； …………………… 12 分
②在由正整数 构成的 2 阶相邻递增数列中，若仅有第 项满足 ，则可以将 放在 或 的右侧，或者放在 的左侧，此时所得数列仍然是 2 阶相邻递增数列，共有 种排法. …………………… 14 分
故 . …………………… 15 分
由题意知 ，
所以当 时，
. …………………… 17 分
【点拨】本题考查离散型随机变量的分布列与期望，以及排列组合中的递推构造法，采用分类讨论和递推思想建立相邻递增数列个数的关系式是解题关键.
考法5：分布列性质的应用
16.（多选）
【答案】AD
【解析】对于 A，由 ，得 ，则 成等差数列，A 正确；
对于 B，由 成等比数列，得 ，而 ，解得 ，B 错误；
对于 C，，，C 错误；
对于 D，，D 正确.
故选：AD.
【点拨】本题考查离散型随机变量分布列的性质及期望的计算，结合等差、等比数列的性质求解未知概率.
17.（解答）
【答案】（1）证明见解析 （2） （3）
【解析】解：（1）证明：若 ，则 ，所以 .
当 时，因为 ，所以 ，所以 .
综上可知：当且仅当 时，. …………………………………………………………………… 4 分
（2）由 得 ，由 ，得 .
因为 ，所以 ，解得 ，于是 ，.
.
因为 ，所以 . …………………………………………………………………… 8 分
（3）由题意知， 表示前 次都正面朝上，第 次反面朝上， 表示前 19 次都正面朝上，
则 ，，，…，
，.
所以 ，.
所以 .
设 ，则 ，
两式相减得 ，
所以 ，
所以 . …………………………………………………………………… 12 分
【点拨】本题考查新定义下的信息熵计算，涉及错位相减法求和，理清随机变量的分布列是解题关键.
考点4：离散型随机变量的均值与方差
考法6：计算离散型随机变量的均值（期望）
18.（单选）
【答案】B
【解析】抛掷一枚质地均匀的骰子一次，出现的点数为 3 的倍数（即 3 或 6）的概率为 ，
出现的点数不是 3 的倍数的概率为 ，
所以得分 的分布列为：
10 1
所以 .
故选：B.
19.（填空）
【答案】3
【解析】由题意可知，首次集齐黑、白两种颜色的操作次数 的可能取值为 ，
，
所以 ，
令 ，
，
两式相减得 ，
所以 ，
当 时，，所以 .
【点拨】本题考查离散型随机变量的期望，利用错位相减法求和并取极限是解题关键.
20.（解答）
【答案】（1）分布列见解析，
【解析】解：（1）不放回抽样时，取到白球的个数 Y 的可能取值为 0，1，2．
，
，
， …………………………………………………………………………………… 4 分
则 Y 的分布列为：
Y 0 1 2
P
…………………… 6 分
则 ． …………………… 8 分
【点拨】本题考查超几何分布的分布列与期望计算，直接套用公式即可.
21.（解答）
【答案】不公平，理由见解析
【解析】解：（1）记抛第 枚游戏币后，正面朝上的游戏币个数为奇数的概率为 ，，
表示抛 后，正面朝上的游戏币个数为奇数的概率，故 ， ……………………………… 2 分
当 时，
， ………………………… 5 分
即 ，即 ，. ……………………………… 7 分
记 ，则 ，，
故数列 是首项为 ，公差为 1 的等差数列， ……………………………………………… 9 分
故 ，则 ，
故 ，，则 ，因此不公平. ……………………………… 12 分
【点拨】本题考查概率的递推关系，通过构造等差数列求出通项公式是解题关键.
22.（解答）
【答案】（1） （2）分布列见解析， （3）
【解析】解：（1）所求概率为 . ………………………………………………………………………… 4 分
（2）若 2 杯盐水在同一组，则第一轮检测 10 次，第二轮检测 5 次，此时 . …………………… 5 分
假设第一杯盐水已经被放在了某一个组里，那么还剩下 49 个位置可以放第二杯盐水，其中与第一杯盐水同组的有 4 个位置，所以 . ………………………………………………………… 8 分
若 2 杯盐水在不同的组，则第一轮检测 10 次，第二轮检测 10 次，， ……………………… 9 分
. ……………………………………………………………………………………… 10 分
故 的分布列为
15 20
…………………… 11 分
. …………………… 13 分
(3)如果随机分成 5 组，每组 10 杯，则 的所有可能取值为 15, 25. …………………… 14 分
与(2)同理，可得 ，，
所以 . …………………… 16 分
因此 . …………………… 17 分
【点拨】本题考查离散型随机变量的分布列与期望，结合实际检测问题，理清随机变量的取值及其对应的概率是解题关键.
考法7：计算离散型随机变量的方差
23.（单选）
【答案】B
【解析】因为 ，所以 ，
则 .
故选： B.
【点拨】本题考查常数随机变量的方差，常数的方差为0.
24.（填空）
【答案】2.5
【解析】由题意得 ，得 ，则 ，.
故答案为：2.5.
【点拨】本题考查离散型随机变量的方差计算，先由概率和为1求出未知概率，再求期望和方差.
考点5：二项分布
考法8：二项分布的概率计算
25.（单选）
【答案】D
【解析】设每次射击击中目标的概率为 ，
由题意可得 ，即 ，
解得 ，即 .
故选：D.
【点拨】本题考查独立重复试验的概率计算，利用对立事件求出每次击中目标的概率.
26.（多选）
【答案】B
【解析】X 服从二项分布 ，则 ，
最大即为满足
，
解得 ，
又 ，故 为整数时，结合题设要求 ，；
不为整数时 为小于 的最大整数，，故 ，
故选：B.
【点拨】本题考查二项分布的最可能值及期望的性质，通过列不等式组求出N的范围是解题关键.
27.（解答）
【答案】
【解析】解：（1）设事件 A=“比赛采用三局两胜制甲胜”， ………………………………………………… 2 分
则 . ………………………………………………………………………… 5 分
【点拨】本题考查二项分布的概率计算，甲获胜包含“甲连胜两局”和“前两局一胜一负，第三局甲胜”两种情况.
28.（解答）
【答案】（i） （ii）
【解析】解：（1）（i） 当甲，乙同时回答第 道题时，甲得分为 ，
，
，
. ………………………………………………………………………… 8 分
比赛结束甲获胜时的得分 可能的取值为 10, 20, 30,
则 ；
，
. ……………………………………………… 11 分
所以比赛结束后甲获胜的概率 . …… 12 分
（ii） 设 A=“比赛结束后甲获胜”，B=“比赛结束后乙答对一道题”，
， ………… 15 分
则 .
所以比赛结束后甲获胜的条件下，乙恰好回答对1道题的概率为 . ……………………………… 17 分
【点拨】本题考查离散型随机变量的分布列与条件概率，理清甲得分的可能取值及其对应的概率是解题关键.
29.（解答）
【答案】
【解析】解：（1）. ………………………………………………………… 5 分
【点拨】本题考查二项分布的概率计算，各位数字之和为偶数意味着传输为1的个数为偶数.
考法9：二项分布的均值与方差
30.（单选）
【答案】C
【解析】每次取出《三国演义》的概率为 ，
因为是有放回抽取，所以 ，
所以 .
故选： C.
【点拨】本题考查二项分布的期望计算，有放回抽取符合二项分布模型.
31.（填空）
【答案】
【解析】由题意可知，抛掷一次硬币“正面朝上”的概率为 ，
所以 ，
则 .
【点拨】本题考查二项分布的方差计算，直接套用公式 即可.
32.（填空）
【答案】9
【解析】已知 ，则 ，，
又 ，，
所以 是 9 的倍数， 的最小值为 9.
【点拨】本题考查二项分布的期望与方差公式，结合整除性质求出 的最小值.
考法10：二项分布的最可能值
33.（单选）
【答案】A
【解析】，，，
若 是唯一的最大值，则 ，
所以 ，
解得 .
因为 ，
，，.
.
故选：A.
【点拨】本题考查二项分布的最可能值及方差计算，通过列不等式组求出 是解题关键.
34.（解答）
【答案】(ⅰ) (ⅱ)
【解析】解：（1）(ⅰ) 设事件 为“抽到一等品”，事件 为“抽到甲产品”，
则 ， ……………………………… 4 分
， ……………………………………………………………… 6 分
所以 . ………………………………………………………………………… 8 分
(ⅱ) 由(ⅰ)知 ，则 ， ………………………………………………………… 11 分
所以 . …………………………………………………………………………………… 15 分
【点拨】本题考查条件概率与二项分布的期望计算，明确抽到一等品的概率并判断其符合二项分布是解题关键.
考点6：超几何分布
考法11：超几何分布的概率计算
35.（单选）
【答案】C
【解析】记选项 A、B、C、D 对应事件的概率分别为 ，，，，
，
，
，
.
故选 C.
【点拨】本题考查超几何分布的概率计算，逐个分析选项中的事件并计算概率即可.
36.（解答）
【答案】
【解析】解：（1）由频率分布直方图可知，打分在 和 内的频率分别为 0.5 和 0.4，
所以打分在 和 内的频率之比为 ，
所以在打分 中抽取的人数为 人； ……………………………………………… 5 分
在打分 中抽取的人数为 人. …………………………………………………… 7 分
设“至少有一份答卷成绩为优秀”为事件 ，
则 . ………………………………………………………………………… 11 分
至少有一份答卷成绩为优秀概率为 . ……………………………………………………………… 12 分
【点拨】本题考查分层抽样与超几何分布的概率计算，先根据频率之比确定各层抽取的人数，再利用组合数求概率.
考法12：超几何分布的均值
37.（单选）
【答案】C
【解析】设抽出红球的个数为 ，则 服从超几何分布， 可取 0, 1, 2.
，
，
.
所得分数为 ，
所以 .
故选： C.
【点拨】本题考查超几何分布的期望及期望的线性性质，建立得分与红球个数的函数关系是解题关键.
38.（填空）
【答案】
【解析】若黑球数小于 2，则至少得到一个白球的概率为 1，矛盾，
设有 个黑球，则 ，解得 满足题意，
由题意白球的个数为 服从超几何分布，
所以随机变量 的数学期望为 .
【点拨】本题考查超几何分布的期望计算，先利用对立事件的概率求出黑球个数，再代入期望公式求解.
39.（解答）
【答案】分布列见解析；期望为
【解析】解：（1）由数表知，利用分层抽样的方法抽取的 8 人中，年龄在 内的人数分别为 1，2， ………………………………………………………………………………………………………… 4 分
依题意， 的所有可能取值分别为为 0，1，2，
所以 ， …………………… 6 分
， …… 8 分
， …………………………………………………………… 10 分
所以 的分布列：
0 1 2
…………………… 12 分
所以 的数学期望为 . …………………… 14 分
【点拨】本题考查超几何分布的综合应用，理清随机变量 的取值及其对应的组合情况是解题关键.
考点7：正态分布
考法13：正态分布的概率计算
40.（多选）
【答案】AD
【解析】对于 A，，则 ，故 A 正确；
对于 B，，则 ，故 B 错误；
对于 C，，
因为 ，
所以 ，故 C 错误；
对于 D，，，
因为 ，，
所以 ，，
又 ，，
所以 ，故 D 正确.
故选：A D.
【点拨】本题考查正态分布的性质，利用正态曲线的对称性及均值、方差的意义进行概率大小比较.
41.（解答）
【答案】0.8186
【解析】解：（1）由题意知 ，即 ， ……………………………… 4 分
所以 . …………………… 6 分
【点拨】本题考查正态分布的3σ原则，将所求区间的端点转化为 的形式是解题关键.
考法14：正态分布的对称性应用（3σ原则）
42.（单选）
【答案】C
【解析】由题意知，，，
对于 A，，，
所以 ，故 A 错误；
对于 B，若某天只有 34min 可用，，，
所以 ，李明应选择公交车，故 B 错误；
对于 C，，，
因为 ， 大于 ，
所以 ，故 C 正确；
对于 D，若某天只有 40min 可用，，，
因为 ，
，
所以 ，李明应选择自行车，故 D 错误.
故选：C.
【点拨】本题考查正态分布的实际应用，结合3σ原则估算概率大小，从而做出合理决策.
43.（多选）
【答案】ABD
【解析】对于 A，因为 ，其密度函数 ，，所以 ，故 在定义域 R 上单调递减，A 正确；
对于 B，因为 ，其密度曲线关于直线 对称，所以 ，
故 ，B 正确；
对于 C，因为 在 R 上单调递减，所以 的图象不可能关于直线 对称，C 错误；
对于 D，因为 ，
所以 的图象关于点 中心对称，D 正确.
故选：ABD.
【点拨】本题考查正态分布的概率计算及函数性质，利用正态曲线的对称性推导概率累积函数的对称性是解题关键.
第 2 页，共 17 页专题八：随机变量及其分布
考点1：条件概率 1
考法1：利用定义计算条件概率 1
考点2：乘法公式与全概率公式 2
考法2：利用乘法公式求概率 2
考法3：利用全概率公式求概率 3
考点3：离散型随机变量及其分布列 5
考法4：求离散型随机变量的分布列 5
考法5：分布列性质的应用 6
考点4：离散型随机变量的均值与方差 7
考法6：计算离散型随机变量的均值（期望） 7
考法7：计算离散型随机变量的方差 8
考点5：二项分布 8
考法8：二项分布的概率计算 8
考法9：二项分布的均值与方差 10
考法10：二项分布的最可能值 10
考点6：超几何分布 11
考法11：超几何分布的概率计算 11
考法12：超几何分布的均值 12
考点7：正态分布 13
考法13：正态分布的概率计算 13
考法14：正态分布的对称性应用（3σ原则） 13
注意事项
1. 本试卷涵盖条件概率、全概率公式、离散型随机变量及其分布列、均值与方差、二项分布、超几何分布及正态分布等核心考点.
2. 练习时请重点关注分布列的求解规范、均值与方差的性质应用，以及二项分布与超几何分布的实际应用场景.
3. 解答题请务必写出详细的概率计算过程与分布列，确保逻辑严密.
考点1：条件概率
考法1：利用定义计算条件概率
1.（多选）已知 A 盒子中有 2 个白球和 3 个黑球，B 盒子中有 3 个白球和 2 个黑球.先从 A 盒子随机取出一球放入 B 盒子，设“从 A 盒子取出的是白球”为事件 ，“从 A 盒子取出的是黑球”为事件 ；再从 B 盒子中随机取出一球，设“从 B 盒子取出的是白球”为事件 ，“从 B 盒子取出的是黑球”为事件 ，下列说法正确的是（ 　　）
A. 是互斥事件 B. 是独立事件 C. D.
2.（填空）某同学参加数学竞赛，系统会随机匹配一套试卷，共有 A 卷，B 卷，C 卷 3 套，若该同学抽到 A 卷过关的概率为 ，抽到 B 卷过关的概率为 ，抽到 C 卷过关的概率为 ，记该同学过关的概率为 . 若已知该同学过关，则他抽到是 A 卷的概率为 ，则 ＿＿＿＿＿＿，＿＿＿＿＿＿.
3.（解答）福州一中举行数学文化知识竞赛，比赛规定：主持人每公布一题，甲、乙两人就立刻抢答，先抢答者，若答对，可得 1 分；若答错，则对手得 1 分；谁先得 3 分，谁就胜出，比赛结束.假设两人每一次抢到题的概率均为 ，甲、乙两人答对每道题的概率分别为 、，且两人答题正确与否互不影响.
（2）在某次抢答中，在乙得 1 分的条件下，求乙答对这个题的概率；
4.（解答）有甲乙两个袋子，袋子里有形状大小完全相同的球.其中甲袋中有 3 个红球 7 个白球，乙袋中有 4 个红球 6 个白球.从两袋中等可能的选一个袋子，再从该袋中随机摸出一球，称为一次摸球试验，多次做摸球试验直到摸出白球，试验结束.
（2）在首次摸出红球的条件下，求选到的袋子是乙袋的概率；
考点2：乘法公式与全概率公式
考法2：利用乘法公式求概率
5.（单选）小张和小王两个小朋友玩游戏，已知小张手中有 3 张黑色牌和 3 张红色牌，小王手中有 3 张黑色牌和 2 张红色牌，游戏规则：两位小朋友同时出示一张牌，若两张牌同色，则小张胜，小张获得这两张牌，若两张牌异色，则小王胜，小王获得这两张牌，按上述玩法进行两次后，小王手中有 7 张牌的概率为（ 　　）
A. B. C. D.
6.（多选）从一副不含大小王的扑克牌中任取一张，记事件 A=“抽到 K”，事件 B=“抽到黑桃”，则下列说法正确的是（ 　　）
A. B. C. D.
7.（解答）甲乙两人进行投篮，抛硬币决定谁先投篮，并约定：一人先投篮，若未命中，则换为对方投篮；若后投篮者还没命中，则由先投篮者再投篮，如此往复下去直到有人命中为止，先命中者胜，比赛结束.已知甲的命中率为 ，乙的命中率为 ，且甲乙是否命中相互独立.
（1）假设 ，，求第 2 次投篮后比赛结束的概率；
8.（解答） 名选手参加某项“1 对 1”的趣味游戏比赛，采用如下赛制：第 1 轮将 名选手两两随机配对进行比赛并决出胜负，败者被淘汰，胜者进入第 2 轮；第 2 轮将 名选手两两随机配对进行比赛并决出胜负，败者被淘汰，胜者进入第 3 轮；……，以此类推，直到最终决出冠亚军.假设每名选手在任何一场比赛中获胜的概率均为 .甲、乙是其中 2 名选手.
（1）当 时，求甲、乙在第 2 轮比赛中相遇的概率；
考法3：利用全概率公式求概率
9.（单选）投掷均匀的骰子，每次投得的点数为 1 或 2 时得 1 分，投得的点数为 3，4，5，6 时得 2 分，独立重复投掷一枚骰子若干次，将每次得分加起来的结果作为最终得分，则下列说法正确的是（ 　　）
A. 投掷 2 次骰子，最终得分的期望为
B. 设投掷 次骰子合计得分恰为 分的概率为 ，则
C. 设投掷 次骰子合计得分恰为 分的概率为 ，则
D. 设最终得分为 分的概率为 ，则
10.（多选）某商场的抽奖区有红、黄、绿三个不透明的盒子，其中红盒内有 3 个红球、2 个黄球和 1 个绿球，黄盒内有 2 个红球、1 个绿球，绿盒内有 1 个红球、2 个黄球.规定第一次先从红盒内任取 1 个球，再将取出的球放入与球同色的盒子中，第二次从被放入球的盒子中任取 1 个球.规定每次抽球均能获得优惠券，抽到红球获得 1 张优惠券，抽到黄球获得 2 张优惠券，抽到绿球获得 3 张优惠券，每张优惠券的金额相同，顾客最终获得的优惠券张数为两次抽球所得的优惠券张数的和，则下列说法正确的是（ 　　）
A. 在第一次抽到黄球的条件下，第二次仍抽到黄球的概率是
B. 顾客最终获得 6 张优惠券的概率是
C. 第二次抽到红球的概率是
D. 若第二次抽到红球，则它来自绿盒的概率为
11.（填空）甲盒中有 3 个白球和 2 个红球，乙盒中有 1 个白球和 4 个红球，先等可能地从甲乙两盒中任选一个盒子，再从该盒中随机取一个球，该球为红球的概率是＿＿＿＿＿＿.
12.（解答）某学校为丰富学生活动，积极开展乒乓球选修课，甲乙两同学进行乒乓球训练，已知甲第一局赢的概率为 ，前一局赢后下一局继续赢的概率为 ，前一局输后下一局赢的概率为 ，如此重复进行.记甲同学第 局赢的概率为 .
（1）求乙同学第 2 局赢的概率；
考点3：离散型随机变量及其分布列
考法4：求离散型随机变量的分布列
13.（多选）甲、乙两人进行乒乓球比赛，比赛规定如下：先赢两局者获胜.每局比赛甲赢的概率为 ，甲输的概率为 ，每局比赛的结果相互独立.记甲、乙共进行了 局比赛后分出胜负，则下列结论正确的是（ 　　）
A. 若 ，则甲最终获胜的概率为 B. 若 ，则
C. D.
14.（解答）编号为 的小球随机放入编号为 的盒子中，记 表示 个盒子中空盒子的个数.
（1）当 时，求编号为 1 的盒子中有球的概率；
15.（解答）将 随机排成一列，得到一个数列 ，若至多有 项，即第 项均满足 ，则称 为 阶相邻递增数列， 为相邻递增数列的阶数.若 中不存在 1 项 满足 ，则称 为 0 阶相邻递增数列，其阶数为 0.例如，数列 为 0 阶相邻递增数列，数列 为 1 阶相邻递增数列，数列 为 3 阶相邻递增数列.
（1）将 随机排成一列，得到数列 ，记 为 的相邻递增数列的阶数，求 的分布列及期望；
（2）将 随机排成一列，得到一个数列，从得到的所有数列中随机选取一个，记选取的数列恰为 1 阶或 2 阶相邻递增数列的概率为 ，证明：当 时，.
考法5：分布列性质的应用
16.（多选）已知随机变量 的分布列如下表：
1 2 3 4 5
其中 成等比数列，则下列结论正确的是（ 　　）
A. 成等差数列 B.
C. D.
17.（解答）信息熵是信息论中的一个重要概念.设随机变量 的所有可能取值为 1，2，…，，且 ，，定义 的信息熵 .
（1）证明：当且仅当 时，；
（2）若 ，且 ，比较 与 1 的大小；
（3）重复抛掷一枚质地均匀的硬币，如果正面朝上则继续抛，如果反面朝上就立即停止，且抛 20 次后即使没有出现反面朝上也停止，若将停止时抛掷硬币的次数记为 ，求 .
考点4：离散型随机变量的均值与方差
考法6：计算离散型随机变量的均值（期望）
18.（单选）抛掷一枚质地均匀的骰子一次，若出现的点数为 3 的倍数得 10 分，否则得 1 分，则得分 的均值 （ 　　）
A. 3 B. 4 C. 6 D. 8
19.（填空）某盒子中有黑、白球各 1 个，记“从该盒子中随机抽取一个球，记录颜色后放回该球”为一次操作，重复以上操作，首次集齐黑、白两种颜色的操作次数为随机变量 ，则 的数学期望为＿＿＿＿＿＿．
20.（解答）已知箱子中有除颜色外其他均相同的 8 个红球，2 个白球，从中随机连续抽取 3 次，每次取 1 个球．
（1）求不放回抽样时，取到白球的个数 Y 的分布列与期望．
21.（解答）现有 枚质地不同的游戏币 ，，，，向上抛出游戏而 后，落下时正面朝上的概率为 .甲、乙两人用这 枚游戏币玩游戏.
（1）将这 枚游戏币按 ，，， 的顺序依次向上抛出，规定若落下时正面朝上的个数为奇数，则甲获胜，否则乙获胜，请判断这个游戏规则是否公平，并说明理由.
22.（解答）有 50 杯无色透明的液体，其中有 48 杯清水与 2 杯盐水，某学习小组想要快速找出这 2 杯盐水，他们设计了如下方案：将这 50 杯液体随机分成 10 组，每组 5 杯，将同组内的所有液体取样混合，第一轮对每组的混合样本依次进行检测，第二轮对检测出盐水的组内每杯液体依次进行检测.
（1）若第一轮 10 份混合样本中有 2 份含盐水，求检测 10 次才把含盐水的混合样本都检测到的概率；
（2）若每轮检测即使提前确定盐水的位置也将该轮检测进行完，设检测的总次数为 ，求 的分布列和数学期望 ；
（3）在（2）的条件下，若将这 50 杯液体改为随机分成 5 组，每组 10 杯，采用相同的检测方法，设检测的总次数为 ，试判断 与 的大小.
考法7：计算离散型随机变量的方差
23.（单选）若随机变量 满足 （其中 为常数），则 （ 　　）
A. B. 0 C. D.
24.（填空）已知随机变量 的分布列为
1 2 4 5
0.2 0.35 0.3
由表可得 ＿＿＿＿＿＿.
考点5：二项分布
考法8：二项分布的概率计算
25.（单选）在三次独立重复射击中，若至少有一次击中目标的概率为 ，则每次射击击中目标的概率是（ 　　）
A. B. C. D.
26.（多选）小明有一枚质地不均匀的骰子，每次掷出后出现 1 点的概率为 ，他掷了 次骰子，最终有 6 次出现 1 点，但他没有留意自己一共掷了多少次骰子.设随机变量 表示每掷 次骰子出现 1 点的次数，现以使 最大的 值估计 的取值并计算 .（若有多个 使 最大，则取其中的最小 值）.下列说法正确的是（ 　　）
A. B. C. D. 与 6 的大小无法确定
27.（解答）甲、乙两选手进行象棋比赛，假设每局比赛结果相互独立，且每局比赛甲获胜的概率为 ，乙获胜的概率为 ．
（1）若比赛采用三局两胜制，求甲获胜的概率；
28.（解答）2025年人工智能大模型DeepSeek 横空出世，成为我们解决问题的“好参谋，好助手”，人工智能大模型正在改变着我们的工作和生活的方式.为了了解不同学历人群对DeepSeek 的使用情况，随机调查了200人，得到如下数据(单位：人)：
（1）某校组织“AI 模型”知识竞赛，甲、乙两名选手在决赛阶段相遇，决赛阶段共有3道题目，甲、乙同时依次作答，3道试题作答完毕后比赛结束.规定：若对同一道题目，两人同时答对或答错，每人得0分；若一人答对另一人答错，答对的得10分，答错的得-10分，比赛结束累加得分为正数者获胜，两人分别独立答题互不影响，每人每次的答题结果也互不影响，若甲，乙两名选手正确回答每道题的概率分别为0.6, 0.5.
（i） 求比赛结束后甲获胜的概率；
（ii） 求比赛结束后甲获胜的条件下，乙恰好回答对1道题的概率.
29.（解答）某实验室对某二进制数码串传输进行测试，初始二进制数码串是长度为 的且全部由 0 组成的数码串.传输过程中，每位数码以概率 传输记为 0，以概率 传输记为 1，其中 ，每位数码的传输相互独立，并设事件 为“传输结果各位数字之和为偶数”的事件.
（1）当 时，求 ；
考法9：二项分布的均值与方差
30.（单选）一个不透明的箱子中装有 9 本书，其中有《三国演义》3 本，《西游记》6 本，每次从该箱子中任取 1 本书，记录下书名后放回，共取 4 次，记取出《三国演义》的次数为 ，则 （ 　　）
A. B. 2 C. D. 1
31.（填空）将一枚质地均匀的硬币连续抛掷 6 次， 表示“正面朝上”出现的次数，则 ＿＿＿＿＿＿.
32.（填空）一批产品的一等品率为 ，从这批产品中每次抽取一件，有放回地抽取 次，用 表示抽到的一等品的件数，若 ，，则满足条件的 的最小值为＿＿＿＿＿＿.
考法10：二项分布的最可能值
33.（单选）某人在 次射击中击中目标的次数为 ，且 ，记 ，，若 是唯一的最大值，则 的值为（ 　　）
A. 1.28 B. 1.6 C. 6.4 D. 8
34.（解答）某工厂生产甲、乙两种产品，为了检测产品质量，现从两种产品中抽取 300件产品作为样本进行检测，检测结果如下表：
样品 一等品 二等品 三等品
甲产品 60 30 10
乙产品 100 80 20
（1）根据样本估计总体，频率估计概率，现等可能地从甲、乙两种产品中抽取产品.
(ⅰ) 若抽取 1 件产品，已知该产品是一等品，求它是甲产品的概率；
(ⅱ) 若抽取 3 件产品，求抽到一等品的件数 的数学期望.
考点6：超几何分布
考法11：超几何分布的概率计算
35.（单选）学校有 5 名男教师，3 名女教师，现在要随机选择 3 名教师参加会议，下列事件中概率等于 的是（ 　　）
A. 至少有 1 名女教师 B. 有 1 名或 2 名女教师
C. 有 2 名或 3 名女教师 D. 恰有 2 名女教师
36.（解答）一座城，文明，是一个地方的骄傲.为构建好符合时代要求的文明城市，某市举办了“创建文明城市”知识竞赛.共有 1000 人参与此次竞赛，从所有答卷中随机抽取 100 份作为样本，根据这 100 份答卷的打分，绘制频率分布直方图（如图所示），其中样本数据分组区间为 .
（1）假设分数在 之间为优秀，在 之间为良好，现采用分层随机抽样的方法，从分数在 之间随机抽取 9 份答卷，再从这 9 份答卷中随机抽取 2 件，求至少有一份答卷成绩为优秀的概率.
考法12：超几何分布的均值
37.（单选）从装有 4 个白球，2 个红球的盒子中逐个不放回地摸取小球.若每取出 1 个红球得 2 分，每取出 1 个白球得 1 分，按照规则从盒子中任意抽取 2 个球，所得分数的期望为（ 　　）
A. B. 2 C. D.
38.（填空）袋中装有 10 个大小相同的黑球和白球.已知从袋中任意摸出 2 个球，至少得到 1 个白球的概率是 .从袋中任意摸出 3 个球，记得到白球的个数为 ，求随机变量 的数学期望＿＿＿＿＿＿.
39.（解答）为了解居民体育锻炼情况，某地区对辖区内居民体育锻炼进行抽样调查，统计其中 400 名居民体育锻炼的次数与年龄，得到如下的频数分布表．
年龄
每周 0～2 次 70 55 36 59
每周 3～4 次 25 40 44 31
每周 5 次及以上 5 5 20 10
（1）从每周体育锻炼 5 次及以上的样本锻炼者中，按照表中年龄段采用按比例分配的分层随机抽样，抽取 8 人，再从这 8 人中随机抽取 3 人，记这 3 人中年龄在 与 的人数分别为 X,Y,=，求 的分布列与期望；
考点7：正态分布
考法13：正态分布的概率计算
40.（多选）在一次答题竞赛中，已知 A 组的成绩 与 B 组的成绩 均服从正态分布，且 ，，则（ 　　）
A. B.
C. D.
41.（解答）书籍是精神世界的入口，阅读让精神世界闪光，阅读逐渐成为许多人的一种生活习惯，每年 4 月 23 日为世界读书日. 某研究机构为了了解某地年轻人的阅读情况，通过随机抽样调查了 100 位年轻人，对这些人每天的阅读时间(单位：分钟)进行统计，得到样本的频率分布直方图，如图所示.
（1）若年轻人每天阅读时间 近似地服从正态分布 ，其中 近似为样本平均数 ，求 ；
考法14：正态分布的对称性应用（3σ原则）
42.（单选）李明上学有时坐公交车，有时骑自行车，他各记录了 50 次坐公交车和骑自行车所花的时间，经数据分析得到：坐公交车平均用时 30min，样本方差为 36；骑自行车平均用时 34min，样本方差为 4.假设坐公交车用时 （单位：min）和骑自行车用时 （单位：min）都服从正态分布，正态分布 中的参数 用样本均值估计，参数 用样本标准差估计，则（ 　　）
A.
B. 若某天只有 34min 可用，李明应选择自行车
C.
D. 若某天只有 40min 可用，李明应选择公交车
43.（多选）已知随机变量 ，定义函数 ，即 表示随机变量 的概率，则（ 　　）
A. 函数 在定义域 R 上单调递减
B.
C. 函数 的图象关于直线 对称
D. 函数 的图象关于点 中心对称
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