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5.1《 矩形》期末小节习题
一、单选题
1．如图，在矩形中，对角线，交于点，则下列结论一定正确的是（ ）
A． B．
C． D．所在直线为矩形的对称轴
2．已知四边形，其中，，将沿折叠，落于，交于，且为平行四边形（如图）；再将纸片展开，将沿折叠，使点落在上一点（如图）．在两次折叠过程中，两条折痕、的夹角的度数为（　　）
A． B． C． D．不确定
3．下列说法正确的是（ ）
A．有一个角是直角，两条对角线相等的四边形是矩形
B．一组对边平行且有一个角是直角的四边形是矩形
C．对角线互相垂直的平行四边形是矩形
D．有一个角是直角且对角线互相平分的四边形是矩形
4．如图，这是一块面积为的矩形空地，已知该空地的长宽之比为，现要在空地的四角开发面积均为的正方形用来安置不同的游乐设施，中间阴影部分为蹦床乐园，则蹦床乐园的面积为（ ）
A． B． C． D．
5．如图，在矩形中，对角线、交于点O．延长至点E，，，则的度数是（ ）
A． B． C． D．
6．如图，在矩形中，、交于点，于点，，则的度数是（ ）
A． B． C． D．
7．如图，在长方形中，，，点是平面内的一个动点，连接、，且的面积始终等于长方形面积的，连接，，则的最小值是（ ）
A． B． C． D．
8．如图，E是线段上一动点，和 BDE是位于直线同侧的顶角相等的两个等腰三角形，的底与它自己的高相等， BDE的底与它自己的高相等，若，则下列结论错误的是（ ）
A．若E是的中点，则
B．若，则
C．若，则是直角三角形
D．若的面积是，则
9．如图，四边形ABCD的对角线AC，BD相交于点O．已知下列6个条件：①；②；③；④；⑤；⑥．不能使四边形ABCD成为矩形的组合是（ ）
A．①②③ B．②③④ C．②⑤⑥ D．④⑤⑥
10．如图，矩形的顶点在轴的负半轴上，顶点在第二象限内，对角线与的交点为．将矩形沿轴正方向滚动（无滑动），使其一边保持落在轴上，点的对应点分别为，则的坐标为（ ）
A． B．
C． D．
二、填空题
11.如图，矩形的对角线相交于点，将沿射线的方向平移，点、分别与点、重合，连接，若，则______．（请用含的式子表示）
12.矩形中，，O是的中点，点E在直线上，且，若与关于直线对称，则的长为 ____________________ ．
13．如图，长方形纸两边与坐标轴重合，点B的坐标为，B点沿对折后的对应点落在y轴上，则直线的函数表达式为__．

14．如图，矩形的对角线与相交于点O，以，为邻边作平行四边形，交于点；以，为邻边作平行四边形，若矩形的面积等于a，则四边形的面积=________．
15．如图，在矩形中，，分别以点和为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧相交于点和，作直线，交于点，连接．若，则的长为____．
16．如图，在中，点，分别在边，上，折叠使得点落在边上的点处，若，，，则线段长度的最大值为______．
17．如图，在中，，连接，，点在上，连接，将沿折叠至位置，连接．若，，则的长为___________．
三、解答题
18．如图,矩形中，，，点P从A点出发沿方向匀速运动,速度为；同时点Q从B点出发沿方向匀速运动，速度为．设运动时间为（），解答下列问题：
(1)当t为何值时，四边形的面积为？
(2)是否存在某一时刻t，使？若存在，求出t的值；若不存在，说明理由；
(3)是否存在某一时刻t，使？若存在，求出t的值；若不存在，说明理由．
19．有一块长，宽的矩形铁皮，在铁皮的四个角裁去四个边长一样的正方形后，将其折成底面积为的无盖长方体盒子，求裁去的正方形的边长．
20．在长方形中，，点P从点A出发，沿着的路径以每秒2个单位长度的速度运动，点Q从点C出发，沿着的路径以每秒1个单位长度的速度运动，设运动时间为t秒（）．
(1)当时，求的面积；
(2)当t为何值时，的面积为长方形面积的一半？
(3)是否存在某一时刻t，使得为等腰三角形？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由．
21．如图，在中，点E是线段的中点，连接，，延长交的延长线于点F，连接．
(1)求证：四边形是平行四边形；
(2)若，，当________时，四边形是矩形，并说明理由．
22.入相补原理是我国数学史中一条用于推证几何图形面积或体积的基本原理．出入相补原理就是所说的“割补法”，也即“以盈补虚法”，用现代语言来说，即“一个平面图形从一处移置他处，面积不变．又若把图形分割成若干块，那么各部分面积的和等于原来图形的面积．出入相补原理简单易明且应用广泛，体现了中国古代数学的独特风格．
(1)中国古代数学家刘徽在《九章算术注》中，给出了证明三角形面积公式的出入相补法．其方法如下：如图1，在 ABC中，分别取、的中点、，连接．过点作，垂足为．将 ABC沿和剪开，得到三块图形，通过平移拼接可以证明三角形面积公式．请结合以上阅读内容，证明拼接后的图形形状为矩形，并证明 ABC的面积等于．
(2)如图2，对于钝角三角形，利用出入相补法的思路，给出该三角形的一个面积公式，在图中画出相应的分割，并对关键步骤作出说明．
23.如图1，在 ABC中，，为边上一点，连接，以、为邻边作平行四边形，与相交于点，已知．
(1)平行四边形是否为矩形？请说明理由；
(2)求证：；
(3)如图2，将绕点顺时针旋转适当的角度，得到（点M是与延长线的交点）．取，连接并延长，交于，请问在旋转过程中，点的位置变不变，若变，请说明理由；若不变，请求出点的位置．
24．综合与实践：
项目主题：纸的研究
学习小组在研究生活中常用的纸的规格，并了解到工业上关于纸张规格的一些知识．书籍和纸张的长与宽的比值都有固定的尺寸，一矩形纸张对折后的小矩形的长与宽的比值与原矩形的长与宽的比值相等．如常用的、、、、的纸张长与宽的比值都相等．
系列中最大的规格为，对半裁开得到，再对裁得到，…，以此类推得到，如图所示．
[初步研究]查阅资料得知纸张的规格如下：
规格
长（）
宽（）
长与宽的比值（保留两位小数）
(1)①请计算纸的长与宽的比值（保留两位小数）约为 ，通过查阅资料，可知系列纸的长宽比值接近一个无理数，请你猜想这个数是 ；
②按照图的系列纸生成过程，请求出纸的长与宽的比；
(2)如图，在矩形中，，，点是边上一点，将沿折叠得到，当时，求的长．
参考答案
一、单选题
1．B
解：A、矩形的对角线不一定平分一组对角．在矩形中，只有当矩形为正方形时，对角线才会平分，即，故该选项错误，不符合题意；
B、矩形的对角线相等且互相平分，所以，故选项说法正确，符合题意；
C、矩形的对角线相等且互相平分，所以，只有当的内角中有一个角为，可得到是等边三角形，才能得到，故该选项错误，不符合题意；
D、矩形是轴对称图形，但是所在直线不是矩形的对称轴，故该选项错误，不符合题意；
故选：B．
2．B
解：如图，过作于点，则，
在图中，∵，为平行四边形，
∴四边形为矩形，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
由折叠可得，，
∴，
设，，则，
由折叠可得：，
∵，，
∴ ，
∴四边形是矩形，
∴，
∴，
∴，
∴．
3．D
解：A、有一个角是直角且对角线相等的四边形不一定是矩形，该选项说法错误，不符合题意；
B、一组对边平行且有一个角是直角的四边形不一定是矩形（如直角梯形），该选项说法错误，不符合题意；
C、对角线互相垂直的平行四边形是菱形，不是矩形，该选项说法错误，不符合题意；
D、对角线互相平分的四边形是平行四边形，有一个角是直角的平行四边形是矩形，该选项说法正确，符合题意；
故选：D．
4．C
解：设矩形空地的长为，宽为 ，
矩形空地面积为，
，
解得：或（舍去），
矩形空地的长为，宽为，
四角正方形面积均为 ，
正方形边长为，
由图可知，阴影部分为矩形，其长为、宽为，
阴影部分面积为．
5．B
解：四边形是矩形，
，
，
四边形是平行四边形，
，
，
四边形是矩形，
，，，
，
，
．
6．A
解：∵四边形是矩形，
∴，，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴．
7．C
解：设点到的距离为，
∵的面积始终等于长方形面积的，，，
∴，，，，
∴，
∴，点到的距离为，
若点在长方形内，
如图，过点作于点，延长交于点，延长至点，使，连接、，
∴，
∴四边形为矩形，
∴，
∴，
∴，
∵，，
∴垂直平分，
∴，
∴，
当点、、共线时，取“”，此时取得最小值，最小值为的长，
在中，；
若点在长方形外，则点在的延长线上，
∴，
∴，
此时；
∵，
∴最小值为．
故选：C．
8．D
解：A．如图，过点C作于F
∵，E是的中点
∴
根据题意得，，
∴
∴，故A正确，不符合题意；
B．如图，过点C作于F，过点D作于G，过点C作于H，
∵，
∴
根据题意得，，
∵，
∴，
∴
∵，，
∴四边形是矩形
∴，
∴
∴，故B正确，不符合题意；
C．若，
∴
同上可得，，，，，
∴，
∴
∴，，
∴
∴是直角三角形，故C正确，不符合题意；
D．如图，过点E作于P
设
根据题意得，，，，，
∴，
∴
∴
∴
根据题意得，，，
∴
∴
∵的面积是，
∴
解得或
∴或，故D错误，符合题意．
9．C
解：A、∵，，
∴四边形是平行四边形．
∵，
∴四边形是矩形，不符合题意．
B、∵，，，
∴，
∴，
，
，
，
∴．
∵，，
∴四边形是平行四边形．
∵，
∴四边形是矩形，不符合题意．
C、，
∴四边形是平行四边形，
平行四边形的对边相等，可得到，
即当时，不能得出四边形是矩形，符合题意．
D、∵，，
∴四边形是平行四边形．
又∵，
∴四边形是矩形，符合题意．
故选：C．
10．D
解：矩形的顶点，顶点，
的坐标为，
的坐标为，
的坐标为，
的坐标为，
的坐标为，
的坐标为．
故选：D．
二、填空题
11.
解：设交于点，
∵矩形，
∴，
∴，
∵平移，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴是的中位线，
∴，
∴垂直平分，
∴，
∴，
∴．
12.或
解：当点E在边上时，如图①，
与关于直线对称，
，
四边形是矩形，
，
，
；
当点E在的延长线上时，如图②，
四边形是矩形，
，
，
与关于直线对称，
，
，
；
综上所述，的长为或．
故答案为：或．
13.
解：∵长方形纸两边与坐标轴重合，点B的坐标为，
∴，，
∴，
∴，
设，则，
在中，，即，
解得，
∴，
设直线的解析式为，
把，代入得
，
解得，
∴直线的解析式为．
故答案为：
14.
解：∵四边形是矩形，四边形是平行四边形，
∴，，
∴，
同理可得：，，……，
∴．
15.
解：由作图得，垂直平分
∴
∴
∵
∴
∴
∵四边形是矩形
∴∠B=90
∴
∴
∴．
16.
解：如图，分别过点、作的垂线，垂足为、，
∵四边形是平行四边形，
∴，，
∵，
∴，
∴是等腰直角三角形，
∴，
在中，，
∴，解得，
∵，
∴，
∴四边形是矩形，
∴，
由折叠的性质可得，，
∴，
∴当最小时，最大，
∵垂线段最短，
∴，即的最小值为，
∴的最大值为．
17.3
解：如图，作交延长线于点，作于点，
则，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵将沿折叠至位置，
∴，，
设，则，
在中，，
在中，，
∴，
∴，
解得，
∴，
∴，
∵，
∴四边形是矩形，
∴，，
设，则，
∴，
在中，，
∴，
解得，
∴．
三、解答题
18.（1）解：四边形是矩形，
，，
由题意，得，，，，
，
，
整理，得，
，（舍去），
当时，四边形的面积为．
（2）解：由勾股定理，得，，
当时，，
所以，
即，
解得，（舍去），
时，．
（3）解：连接，
若，
，
∴，
即，
解得，
时，．
19.解：设裁去的正方形的边长为，则可得这个长方体盒子的底面的长是，宽是，
∴，
整理得，
解得，
当时，此时，不符合题意；
当，此时，，符合题意
∴小正方形的边长为．
20.（1）解：当时，点P运动的路程为，
此时点P在上，；
点Q运动的路程为，
此时点Q在上，，；
∴.
（2）解：长方形的面积为，其一半为24；
当时，点P在上，点Q在上，
∴，
∴，
∴，
解得；
当时，P在上，Q在上，
∵；
；
；
；
∴，
∴，
即，
解得（超出此阶段，舍去）；
当时，P在上，Q在上，
∵，
∴，
解得（舍去），
当时，P在上，Q在上，
∵，，
∴，
解得，不合题意舍去；
⑤当时，P、D重合，Q在上，
不存在；
当时，P、D重合，Q在上，
∵，
∴，
解得．
综上，符合条件的t值有：或或．
（3）解：存在，理由：
当时，此时P在上，Q在上，
过Q作于E，
则，，
∵，
∴四边形是矩形，
∴，
∵，
∴，
∴；
当时，,
∵，
∴，
化简，得，
解得，
∵此时，
∴；
当时，，
∵，
∴，
化简，得，
解得
∴．
故t值有：，或，或．
21.（1）证明：∵四边形是平行四边形，
∴，
∴，
∵点E是线段的中点，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
又∵，
∴四边形是平行四边形；
（2）解：当时，四边形是矩形，理由如下：
∵四边形是平行四边形，
∴，
又∵，
∴，
∵四边形是平行四边形，
∴四边形是矩形．
22.（1）证明：由操作可知，，
，
，
，
同理，，
，，，四点共线，
，，
，
又，，
，
四边形是矩形，
∵DG=DF，，
，
;
（2）如图，
在 ABC中，分别取、的中点、，连接，
过点作，垂足为，
过点作，垂足为，
过点作，垂足为，
将 ABC沿和剪开，得到三块图形，
将三角形拼接到三角形处，拼成直角三角形，
再把三角形拼接到三角形处得到矩形，
三角形的面积恰好等于矩形的面积，
由图可知：，
，
，
,
．
23.（1）解：平行四边形是矩形，理由如下，
∵，
∴，
∵四边形是平行四边形，
∴，
∴，
∴，即，
∴平行四边形是矩形；
（2）证明：设，
在中，，
∵，
∴，
∴，
∴；
（3）解：点的位置不变，点是的中点，理由如下，
将绕点顺时针旋转适当的角度，得到，
∴，
∴，则，
∵，
∴，
∴，
由（2）可知，设，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵四边形是矩形，
∴，
∴，
在中，，
∴，
∴，
∴，
∴点是的中点，即点的位置不变．
24.（1）解：①由表格可得， ，猜想，
故答案为：，；
②由题意得，，
∴，
∴；
（2）解：如图，延长交于点，
∵四边形是矩形，
∴，，，
由折叠可得，，，
∴，
∵，，
∴，
∵，，
∴四边形是平行四边形，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴ ，
∴ ，
∴，
∴．

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