资源简介

3.3《离差平方和与方差》期末小节复习题
一、单选题
1．对于两组数据和，若数据的离差平方和为，数据的离差平方和为，则下列说法正确的是（ ）
A．数据的波动比数据大 B．数据的波动比数据大
C．数据和数据的波动相同 D．无法判断两组数据的波动情况
2．小刚在计算某组样本的离差平方和时，列式为，则这组样本的平均数和样本容量分别是（ ）
A．4，5 B．3，3 C．2，4 D．3，5
3．甲、乙两名同学一周内五次引体向上的测试成绩（单位：个）如图所示，则下列结论中错误的是（ ）
A．乙的成绩的方差比甲的小
B．乙的最好成绩比甲的最好成绩好
C．乙的后三次测试成绩都比甲高
D．该周测试中乙的总成绩与甲的总成绩一样高
4．小聪在计算一组数据的方差时，列出了算式：．关于这组数据，下列说法正确的是（ ）
①平均数是4；②中位数是5；③众数是5；④样本容量是3．
A．①② B．①③ C．②④ D．③④
5．甲、乙两班举行电脑汉字输入速度比赛，参赛学生每分钟输入汉字的个数经收集整理后得表，某同学根据此表分析得出如下结论：
班级 参加人数 中位数 平均数 方差
甲 55 149 135 191
乙 55 151 135 110
①甲、乙两班学生成绩的平均水平相同；
②乙班优秀的人数多于甲班优秀的人数；（每分钟输入汉字个为优秀）
③甲班成绩的波动情况比乙班小．
上述结论中正确的是（ ）
A．①②③ B．①② C．①③ D．②③
6．某学校准备从甲、乙、丙、丁四名同学中选择一名同学代表学校参加区里举办的“学科素养大赛”，四名同学平时成绩的平均分（单位：分）均为93分，方差分别如下=0.75，=1.1，=1，=0.7，如果要选出一个平时成绩好且状态稳定的同学参赛，那么应该选择的同学是（ ）
A．甲 B．乙 C．丙 D．丁
7．运动会米赛跑，位运动员成绩如下表所示，其中有两个数据被遮盖，那么被遮盖的两个数据依次是（ ）
运动员 平均成绩 标准差
时间（秒）
A． B． C． D．
8．环保小组抽样调查了某社区10户家庭1周内使用环保方便袋的数量，结果为（单位：只）：6，5，7，8，7，5，8，10，5，9．试估计该社区500户家庭1周内使用环保方便袋约为（ ）
A．2500只 B．3000只 C．3500只 D．4000只
9．由6个实数组成的一组数据的方差为，将其中一个数6改为2，另一个数5改为9，其余的数不变，得到新的一组数据的方差为，则（ ）
A．0 B．4 C．8 D．16
10．把数据2，8，10，4，12按大小顺序分成两组，能使“组内离差平方和达到最小”的是（ ）
A．， B．，
C．， D．，
二、填空题
11．在对一组样本数据进行分析时，小华列出了方差的计算公式为，则该样本的离差平方和是____________．
12．在对一组样本数据进行分析时，某同学列出了方差计算公式：
，并由公式得出以下信息：①样本的容量是4，②样本的中位数是3，③样本的众数是3，④样本的平均数是4，⑤样本的方差是0.5，那么上述信息中正确的是 ________．
13．某市举办的朗诵比赛，由名评委给选手打分（百分制，分数均为整数），比赛结果的评价规则为：平均数较大的选手排序靠前，若平均数相同，则方差较小的选手排序靠前．下面是名评委给进入决赛的甲、乙、丙三位选手的打分表：
评委 评委 评委 评委 评委
甲
乙
丙
若方差 ，且丙在三位选手中的排序居中，表中的值为______．
14．已知样本数据，，…，的平均数与方差满足如下关系式：．若已知15个数，，…，的平均数为6，方差为9，现从原15个数中剔除，，，，这5个数，且剔除的这5个数的平均数为8，方差为5，则剩下的10个数，，…，的方差为______．
（参考公式：）
15．一组数据共2024个，他们的平均值和方差都为2024，向该数据中再添加两个数据，使得由这2026个数组成的新数据的平均值和方差仍然是2024，则这两个数可以是_____．
三、解答题
16．某工厂新进了一批直径为12mm的螺丝，从中抽取了10个螺丝，并规定它们的方差大于0.04就可以要求退货．这10个螺丝的直径（单位：mm）如下：
11.8，11.7，12.0，12.1，12.3，12.2，12.0，11.5，12.3，12.1．
该工厂是否可以退货？
17．某学校组织了一次“网络安全知识专题”学习，并进行了一次全校2000名学生都参加的测试．阅卷后，教务处随机抽取了100份答卷进行统计分析，发现这100份答卷中考试成绩x（单位：分）的最低分为50分，最高分为满分100分，并绘制了如下尚不完整的统计图表．
成绩段/分 频数 频率
0.1
18 0.18
35 0.35
12 0.12
请根据图表信息，解答下列问题．
(1)填空：_____，______，______．
(2)请将频数分布直方图补充完整．
(3)请写出中位数落在的成绩段为______．
(4)请估计全校2000名学生都参加测试的平均分为多少分．（每组取其组中值，例如：分数在，取55；分数在，取65）
18．（1）已知一组数据1，3，5，7，9，求这组数据的标准差．
（2）某商场统计了去年月A，B两种品牌冰箱的销售情况，如下表所示：
A品牌（台） 15 17 16 13 14
B品牌（台） 10 14 15 16 20
①分别求出A，B品牌的销售量的平均数；
②分别求出A，B品牌的销售量的方差，并比较品牌的销售量的稳定性．
19．快递业促进了社会发展，不同的快递公司在配送、服务、收费和投递范围等方面各具优势．某平台经过了解，打算从甲、乙两家快递公司中选择一家合作，为此市场部收集了10个客户对两家公司的配送速度及服务质量的评分结果，进行整理、描述、分析，信息如下：
信息一：配送速度得分（满分10分）：
甲 6 6 5 9 8 7 9 9 10 7
乙 8 8 6 7 6 10 7 8 10 8
信息二：服务质量得分统计图（满分10分）：
信息三：配送速度和服务质量得分统计表
项目 配送速度得分 服务质量得分
统计量快递公司 平均数 中位数 众数 平均数 方差
甲 b 7
乙 a 8 7
根据以上信息，回答下列问题：
(1)表格中的______， ______．
(2)综合上表中的统计量，你认为平台应选择哪家公司合作？请说明理由．
(3)为了从甲、乙两家公司中选出更合适的公司，你认为还应收集什么信息？（列出一条即可）
20．某年6个家庭的年用水量如下表所示：
家庭
年用水量/t 105 78 75 115 90 110
(1)若分为两组，使组内离差平方和最小，如何分组？
(2)说明分组的实际意义．
参考答案
一、单选题
1．D
解：∵ 离差平方和的大小受数据个数影响，
题干中未提供数据和的个数，
∴ 无法判断两组数据的波动情况．
故选：D．
2．D
解：∵ 离差平方和公式为，其中为样本平均数，为样本容量．
给定列式为，
∴ 每个数据与的差，故．
列式中有个平方项，故．
∴ 这组样本的平均数为，样本容量为，
故选：D．
3．A
解：甲同学的成绩依次是：7，8，8，8，9，
则总成绩为：，平均数为：，方差为：，
乙同学的成绩依次是：6，7，8，9，10，
则总成绩为：，平均数为：，方差为：，
∴该周测试中乙的总成绩与甲的总成绩一样高，故D选项正确；
∵，
∴乙的成绩的方差比甲的大，故A选项错误；
由图可知，乙的最好成绩为10个，比甲的最好成绩9个好，故B选项正确；
由图可知，乙的后三次测试成绩都比甲高，故C选项正确．
4．B
解：由题意知，这组数据为2、4、5、5，
所以这组数据的平均数为，①正确；
中位数为，②错误；
众数为5，③正确；
样本容量为4，④错误；
故选：B．
5．B
解∶∵甲，乙两班成绩的平均数相等，都是135，
∴甲，乙两班学生成绩的平均水平相同，结论①正确；
∵两班参赛人数均为55人，中位数为排序后第28个数据，甲班中位数为149，小于150，乙班中位数为151，大于150，
∴乙班每分钟输入汉字个的优秀人数多于甲班，结论②正确；
∵甲班方差为191，乙班方差为110，甲班方差大于乙班方差，方差越大，数据波动越大，
∴甲班成绩的波动比乙班大，结论③错误；
综上，正确结论为①②．
6．D
解：∵四名同学的平均数相同，
∴说明他们的成绩一样好，因此需要根据成绩的稳定性来选择，
∵=0.75，=1.1，=1，=0.7，
，
∵方差越小表示成绩越稳定，
∴丁的成绩更稳定，
故选：D．
7．B
解：由表可得，运动员的成绩为，
∴位运动员成绩分别为
∴个数据的方差为，
∴标准差为，
故选：．
8．C
解：（6+5+7+8+7+5+8+10+5+9）×500=3500（只），
故选：C．
9．B
解：∵由6个实数组成的一组数据的方差为，
将其中一个数6改为2，另一个数5改为9，其余的数不变，
得到新的一组数据的方差为，
∴前后两组数据的平均数不变，设为，
设没有变化的4个数与平均数差的平方和为s，
则．
故选：B．
10．B
数据从小到大排序：2， 4， 8， 10， 12，计算各选项组内离差平方和：
A、，；
，平均值，；
；
B、，平均值；
，平均值；
；
C、，平均值，；
，平均值，
；
D、 ，平均值；
；
；
∴ 选项B的总组内离差平方和最小，为10，
故选：B．
11．14
解：样本数据为1，2，3，3，6，共5个数据，样本均值，
离差平方和为，
故答案为：14．
12．①③④
解：根据题意得：
，
∴样本的容量是4，故①说法正确；
这组数据为：3，3，4，6，
则中位数为：，故②说法错误；
样本的众数为：3，故③说法正确；
样本平均数为：，故④说法正确；
方差为：，故⑤说法错误；
则上述信息正确的是①③④．
故答案为：①③④．
13．
解：甲的平均分，方差为，
乙的平均分，方差为，
∵方差，丙在三位选手中的排序居中，
，
解得：，
当时，
丙的平均分，方差为，
此时乙在三位选手中的排序居中，不合题意舍去，
当时，
丙的平均分，方差为，
此时丙在三位选手中的排序居中，
故，
故答案为：．
14．8
解：∵15个数，，…，的平均数为6，方差为9，
∴，15个数的和为，
∴，
∵剔除的这5个数的平均数为8，方差为5，
∴剔除的这5个数的和为，，
∴，
∴剩余数的平均数为，，
∴，
即：剩下的10个数，，…，的方差为8；
故答案为：8.
15．
解：因为添加两个数后，新数据的平均值和方差仍为2024，
所以原始数据总和为，平方偏差和为．
设添加两个数和，
由平均值不变，可得，
解得，
由方差不变，可得，
解得，
令，
则，
解得，
所以，
因此，
故答案为：和．
三、解答题
16．解：样本平均数为，
方差是．
，
∴该工厂可以退货．
17．（1）解：，
，
；
（2）解：补全频数分布直方图如下：
（3）解：∵，，
∴从小到大排列后第50个和第51个数据在内，
故中位数落在成绩段；
（4）解：（分）
答：估计全校2000名学生都参加测试的平均分为77.1分．
18．解：（1），
∴
即这组数据的标准差为．
（2）①（台），（台），
答：A品牌平均数为15台，B品牌平均数为15台；
②
∵，
∴A品牌的销售量更稳定
19．（1）解：乙公司配送速度得分从小到大排列为： 6，6，7， 7，8，8，8，8，10，10
一共10个数据，其中第5个与第6个数据分别为8，8，
所以中位数，
甲公司配送速度得分9出现的次数最多，所以众数．
（2）解：平台应选择甲公司，理由如下：
从折线统计图中可以看出，甲的服务质量得分分布于，乙的服务质量得分分布于，从中可以看出甲的数据波动更小，数据更稳定，即；
又服务质量得分的平均分相同，平台应选择甲公司；
（3）解：还应收集甲、乙两家公司的收费情况（答案不唯一，言之有理即可）．
20．（1）解：将表中的数据按从小到大排列为75，78，90，105，110，115．
分成两组，共5种情况，分别计算组内离差平方和如表所示：
分组 第一组离差平方和 第二组离差平方和 组内离差平方和
{75}和{78，90，105，110，115} 0 933.2 933.2
{75，78}和{90，105，110，115} 4.5 350 354.5
{75，78，90}和{105，110，115} 126 50 176
{75，78，90，105}和{110，115} 558 12.5 570.5
{75，78，90，105，110}和{115} 981.2 0 981.2
由表可知，当分组为和时，组内离差平方和最小．
（2）解：将年用水量较低的部分家庭和较高的部分家庭分开，组内数据波动变小，便于分析不同家庭年用水量的稳定性．

展开更多......

收起↑