资源简介

4.3《 图形的旋转》期末小节复习题
一、单选题
1．已知如图，点是线段上一点，都是等边三角形，下列说法正确的有（ ）
（1）可由旋转得到；（2）绕点顺时针旋转可得；（3）是等边三角形；（4）；（5）如果，则；（6）如果，则；
A．6个 B．5个 C．4个 D．3个
2．如图，在等边三角形中，点是边上的一点，连接，将绕点逆时针旋转，得到，连接，若，，其中错误的结论是（ ）
A． B．
C． ADE的周长等于18 D． BDE是等边三角形
3．如图，边长相等的两个正方形和，若将正方形绕点按逆时针方向旋转，两个正方形的重叠部分四边形的面积（ ）．
A．不变 B．先增大再减小 C．先减小再增大 D．不断增大
4．如图，E为正方形的边上一点，，将 ADE绕点A顺时针旋转，使得与重合，此时点E旋转至点，连接，则的度数为（ ）．
A． B． C． D．
5．如图，在正方形中，将边绕点逆时针旋转至，连接，若，，则线段的长度为（ ）
A．6 B． C． D．
6．如图，点是正方形内一点，将绕点沿顺时针方向旋转后与重合，若，那么（ ）

A． B． C．6 D．
二、填空题
7．如图，点P是等边三角形ABC内一点，且，，，则这个等边三角形ABC的边长为________．
8．如图，点是等边三角形内部一点，连接、、，且，现将绕点顺时针旋转到的位置，对于下列结论：①是等边三角形；②；③；④．其中结论正确的是__________（填序号）．
9．如图，正方形中，，O是边的中点，点E是正方形内一动点， ，连接，将线段绕点D逆时针旋转得，连接、，则线段长的最小值为________．

10．如图，点是正方形内一点，且点到点、、的距离分别为、、，则正方形的面积为______．
11．如图，P为正方形内一点，，，，则_______．
12．如图，点是正方形内的一点，连接，，，将绕点顺时针旋转到的位置．若，，，则__________°．
三、解答题
13．如图1，在正方形ABCD中，点E，F分别在正方形ABCD的边BC，CD上，∠EAF＝45°，连接EF．
（1）思路梳理：将ABE绕点A逆时针旋转至ADG，如图1，使AB与AD重合，易证∠GAF＝∠EAF＝45°，可证AFG≌AFE，故EF，BE，DF之间的数量关系为 ；
（2）类比引申：如图2，在图1的条件下，若点E，F由原来的位置分别变到正方形ABCD的边CB，DC的延长线上，∠EAF＝45°，连接EF，猜想EF，BE，DF之间的数量关系为 ，并给出证明；
（3）联想拓展：如图3，等腰RtABC，∠BAC＝90°，∠MAN＝45°，把∠MAN绕点A旋转，在整个旋转过程中AM、AN分别与直线BC交于点D、E，若BD＝2，EC＝4，则BE的长为 ．
14．阅读以下材料，并按要求完成相应的任务：
从正方形的一个顶点引出夹角为的两条射线，并连接它们与该顶点的两对边的交点构成的基本平面几何模型称为半角模型．半角模型可证出多个几何结论，例如： 如图1，在正方形中，以为顶点的，、与、边分别交于、两点．易证得． 大致证明思路：如图2，将绕点顺时针旋转，得到，由可得、、三点共线，，进而可证明，故．
任务：如图3，在四边形中，，，，以为顶点的，、与、边分别交于、两点．请参照阅读材料中的解题方法，你认为结论是否依然成立，若成立，请写出证明过程；若不成立，请说明理由．
15．已知 ABC是等腰直角三角形，，．
（1）如图1，是等腰直角三角形，点D在的延长线上，，连接，求证：；
（2）如图，点M在 ABC外，，，，求．
（3）如图，在 ABC中，，，，点P是三角形内一点，连，，，则的最小值是 ．
16．【问题情境】
在综合与实践课上，老师让同学们以“等腰直角三角形的旋转变换”为主题展开数学活动，如图， ABC和 ADE是共直角顶点的等腰直角三角形，且，，将 ADE绕点A顺时针旋转，直线、交于点P．
【操作发现】
（1）如图①，勤奋小组在旋转 ADE的过程中发现，当点D落在线段上时，，请你证明他们的发现；
【拓展延伸】
（2）创新小组将 ADE旋转至如图②所示的位置，即点D落在线段上，此时，求的长．
17．问题：如图，在等边三角形内有一点，且，，，求的度数和等边三角形的边长．
赵明同学的思路是：将绕点逆时针旋转，画出旋转后的图形（如图②），连接，可得是等边三角形，而又是直角三角形（由勾股定理的逆定理可证），可得 ，所以 ，还可根据的三边长度得到是直角三角形，进而求出等边三角形的边长为 ，问题得到解决．
解决下列问题：
（1）根据赵明同学的思路填空： ， ，等边三角形的边长为 ．
（2）类比探究，如图③，在正方形内有一点，且，，．求：①的度数；②正方形的边长．
18．（问题提出）如图，在等边三角形 内部有一点 ， ， ，.求的度数．
（数学思考）当图形中有一组邻边相等时，通过旋转可以将分散的条件集中起来解决问题．
（尝试解决）（1）将绕点 逆时针旋转，得到，连接，则为等边三角形．
，，，
为______三角形
的度数为______．
（探究）（2）如图，在等边三角形外部有一点 ，若，求证：．
（拓展）（3）如图，在 ABC中，，，点 在直线 上方且，，求 的长．
参考答案
一、单选题
1．A
解：（1）都是等边三角形，
，
，
可由旋转得到，
故说法正确；
（2）由（1）同理可得，
，
，
都是等边三角形，
，
，
绕点顺时针旋转可得，
故说法正确；
（3），
，
都是等边三角形，
，
，
是等边三角形，
故说法正确；
（4），
，
故说法正确；
（5），，
，
BDE是等边三角形，
，
，
故说法正确；
（6），，
，
，，
，
，
故说法正确；
综上，说法正确的有6个．
故选：A．
2．B
解：∵等边三角形，
∴，，
∵旋转，
∴，，
∴ BDE是等边三角形，故D选项正确；
∴，，，
又∵，
∴，
∴，
∴，
∴；故A选项正确；
∵，
∴ ADE的周长；故C选项正确；
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴；故B选项错误；
故选B．
3．A
解：∵四边形、四边形是两个边长相等正方形，
∴，
∴，
即，
∵在和中，
，
∴，
∴两个正方形的重叠部分四边形的面积是，
即不论旋转多少度，阴影部分的面积都等于，重叠部分四边形的面积不变，
故选：A．
4．C
解：由旋转可知，，
∴，
∵，∠D=90 ，
∴，
∴．
故选：C．
5．D
解：过点作于，
∵将边绕点逆时针旋转至点，
，
∵，
∴，
∵在正方形中，，，
，
，
∴，，
，
在和 BEC中，
，
，
∴，
∵在中，，，
∴，
．
故选：D
6．D
解：根据旋转的性质可知，，，
为等腰直角三角形，
由勾股定理，得．
故选：D．
二、填空题
7．
解：将三角形BCP绕点B逆时针旋转60°，得三角形BDA，BC边落在AB上，过B作BH⊥直线AP于H，如图所示，
由旋转知，△BDP为等边三角形，AD=PC=，
∴BP=PD=BD=，∠BPD=60°，
∵PA=，
∴，
∴∠APD=90°，
∴∠BPH=30°，
∴BH=，PH=，
由勾股定理得：AB=，
故答案为：．
8．①③④
解：由题意知旋转角，，
∴是等边三角形
∴
故①正确；
∵
∴
∴与不全等
故②错误；
∵
∴
∴是直角三角形
∴
故③正确；
∵，
∴
∴
∴
故④正确；
故答案为：①③④．
9．
解：如图，连接，将线段绕点逆时针旋转得，连接，，，

，
，
在与中，
，
，
，
正方形中，，是边的中点，
，
，
，
，
，
线段长的最小值为．
故答案为：．
10．
解：如图，将绕点顺时针旋转得到，连接，过点作于．
由旋转的性质可知，，
，
，
，，
，
，
，
，
，
，，共线，
，
，
，
，
，
正方形的面积为．
故答案为．
11．
解：如图：将绕B顺时针旋转到，
由旋转的性质可得：，，，，
∴，
由勾股定理可得：，
∵，
∴，
∴．
故答案为：．
12．135
解：连接．
∵绕点顺时针旋转到，
，
是直角三角形．
∵由旋转性质可知，与全等，
，．
．
∵，，，
，
是直角三角形，
，
．
故答案为：135．
三、解答题
13．
解：（1）如图1所示：
∵AB=AD，
∴把△ABE绕点A逆时针旋转90°至△ADG，可使AB与AD重合，
∵∠ADC=∠B=90°，
∴∠FDG=180°，点F、D、G共线，
∴∠DAG=∠BAE，AE=AG，
∴∠FAG=∠FAD+∠GAD=∠FAD+∠BAE=90°-45°=45°=∠EAF，即∠EAF=∠FAG．
在△EAF和△GAF中，
，
∴△AFG≌△AFE（SAS）．
∴EF=FG．
∴EF=DF+DG=DF+BE，即EF=BE+DF．
故答案为：BE+FD=EF；
（2）DF=EF+BE．
证明：如图2所示．
∵AB=AD，
∴把△ABE绕点A逆时针旋转90°至△ADG，可使AB与AD重合，
∵∠ADC=∠ABE=90°，
∴点C、D、G在一条直线上．
∴EB=DG，AE=AG，∠EAB=∠GAD．
又∵∠BAG+∠GAD=90°，
∴∠EAG=∠BAD=90°．
∵∠EAF=45°，
∴∠FAG=∠EAG -∠EAF=90°-45°=45°．
∴∠EAF=∠GAF．
在△EAF和△GAF中，
，
∴△EAF≌△GAF（SAS）．
∴EF=FG．
∵FD=FG+DG，
∴DF=EF+BE，
故答案为：DF=EF+BE；
（3）把△ACE旋转到ABF的位置，连接DF，则∠FAB=∠CAE．
∵∠BAC=90°，∠DAE=45°，
∴∠BAD+∠CAE=45°，
又∵∠FAB=∠CAE，
∴∠FAD=∠DAE=45°，
则在△ADF和△ADE中，
，
∴△ADF≌△ADE（SAS）．
∴DF=DE，∠C=∠ABF=45°．
∴∠BDF=90°．
∴△BDF是直角三角形．
∴BD2+BF2=DF2．
∴BD2+CE2=DE2．
∴DE=，
∴BE=BD+DE=，
故答案为：．
14．
解：成立．
证明：将绕点顺时针旋转得到，
，，，，，
，
、、三点共线，
，
，
，，
，
，
．
15．
解：（1）证明：设、交于，
，都是等腰直角三角形，，，
，
，即，
，
，
又，
，
；
（2）解：作，且，连接，，
为等腰直角三角形，
，
∵ ABC是等腰直角三角形，，．
∴，即，
，
，
，
，
，
，
过作于，
，
，
，，
∴
，
；
（3）解：如图3中，
将绕点逆时针旋转得到，
，，，
是等边三角形，，
在中，，
，
，
的最小值为．
故答案为：．
16．
解：（1）∵ ABC和 ADE均为等腰直角三角形，，
∴，，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∴，
（2）解：∵，
∴，
∴，
同（1）可证：，，
∴，
又∵，
∴，
∴．
17．（1）解：是等边三角形，
，
将绕点逆时针旋转得到，
，，，，
，
，
是等边三角形，
，，
，，
，
，
，
如图，过点作，交的延长线于，
，
，
，
，
，
故答案为：，，；
（2）解：①如图，将绕点逆时针旋转得到，
四边形是正方形，
，
将绕点逆时针旋转得到，
，，，，
，
，
，
，，，
，
，
；
②过点作，交的延长线于，
，
是等腰直角三角形，
，
，
，
，
．
18．解：（1）如图1：
，
将绕点 逆时针旋转，得到，连接，则为等边三角形．
，，，
为直角三角形
的度数为；
（2）证明：如图中，将绕点逆时针旋转得到，连接．
∵，，
∴是等边三角形，
∴，，
由旋转的性质可知：，
∴，，
∴，
∴，
∵，，
∴．
（3）如图，将绕点顺时针选中，得到如图所示的，
，
∵，，
∴与点重合，
由旋转的性质得，，，
是等腰直角三角形，，
点，，三点共线，
∵，，
∴是的中点，
设，则，
在中，由勾股定理可得，
解得（负值舍去），
在等腰直角三角形中，由勾股定理可得．

展开更多......

收起↑