资源简介

5.3《 正方形》期末小节习题
一、单选题
1．如图是小华同学在中考一轮复习四边形时整理的平行四边形，矩形，菱形，正方形之间关系的思维导图，其中对应序号的条件填写错误的是（ ）
A．① B．② C．③平分 D．④
2．如图，这是嘉嘉同学答的试卷，嘉嘉同学应得（ ）
班级八（1）班 姓名嘉嘉 得分______ 判断下列各题，对的打“√”，错的打“×”． 每题20分，共100分． （1）若有意义，则．（√） （2）矩形的对角线互相垂直平分．（√） （3）平行四边形是轴对称图形．（√） （4）一个直角三角形的两边长分别是5是12和，则第三边长为13．（√） （5）对角线相等的菱形是正方形．（√）
A．20分 B．40分 C．60分 D．80分
3．如图，在矩形中，分别是边上的动点，点从出发到停止运动，点从出发到停止运动，若两点以相同的速度同时出发，匀速运动．下面四个结论中，①存在四边形是矩形；②存在四边形是菱形；③存在四边形是矩形；④存在四边形是正方形．所有正确结论的序号是（ ）
A．①②③ B．②③④ C．②③ D．①②③④
4．如图，用线段和角度作一个菱形，使得，其中，记以为内角的菱形的面积为，当内角发生变化时，菱形的面积也随之改变，定义：菱形的形状系数，其中为菱形的面积的最大值，则下列说法不正确的是（　　）
A．若菱形是正方形，则
B．若菱形有一个内角为，则
C．若菱形每个内角都大于，则
D．若菱形有一个内角小于，则存在一个，使得
5．如图，在正方形的边上取一点E，连接并延长交的延长线于点F，将射线绕点A顺时针旋转后交的延长线于点G，连接，若，则的大小是（　　）
A．α B． C． D．
6．如图，一张大正方形纸片，E，F，G，H分别为四边上的点，且，现将大正方形的四个角分别沿，，，翻折．四边形的面积与图中每个三角形的面积均相等，则等于（ ）
A． B． C． D．
7．如图，已知正方形，以点为中心，任意作正方形，其边长分别与交于点，交于点M，连接，，，若D，E，F三点共线，若要求的面积，则需要知道以下哪个面积（ ）
A．正方形 B．正方形 C． D．
8．如图， ABC中，，，的中垂线与的平分线相交点P，与相交于点Q，与相交于D，连接、．若，下列结论：
①； ②；
③； ④．
其中正确的有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
9．如图，在正方形中，点在上，连接，作于点，交于点，作于点，交于点．若，则等于（　　）
A． B． C． D．
10．如图，在正方形中，点E，F分别为边上两点，满足，过点作于点，过点作于点，作的角平分线交于点．若，，则a，b，c满足下列哪个选项中的数量关系（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
11．伸缩枪是孩子们喜欢的玩具，它巧妙运用了平行四边形的不稳定性．如图1它由几个相同的菱形连续组成．如图2是对它抽象简化图，点A是位于枪口内垂直平分线的拉伸控制点．已知枪口宽，菱形边长，当时，______；如图3当点A被向枪管更内侧拉至点，且时，点A移动的长度______．
12．如图，在 ABC中，，在 ABC内取一点G，使点G到三角形三边距离，，都相等，连结，，已知，．

（1）若，则的长是______（用含m的代数式表示）；
（2）当，时，的值为______．
13．如图，已知，斜边为的等腰直角三角板如图放置，顶点C与O点重合，现将点C沿滑至点P，点B随之在上滑至点O，则滑动过程中点A所走过的路径长为______ ．
14．如图，矩形中，，点H在边上，为边上一个动点，连，以为一边在的右上方作菱形，使点G落在边上，连结．
（1）如图1，当菱形为正方形时，的长为_________；
（2）如图2，在点E的运动过程中，的面积S的取值范围为________．
15．（1）如图1，正方形ABCD的面积为a，延长边BC到点C１，延长边CD到点D１，延长边DA到点A1，延长边AB到点B1，使，，，，连接C1D1，D1A1，A1B1，B1C1，得到四边形A1B1C1D1，此时我们称四边形ABCD向外扩展了一次，若阴影部分的面积为S1，则_____.（用含a的代数式表示）
（2）如图2，任意四边形ABCD面积为m，像（1）中那样将四边形ABCD向外进行两次扩展，第一次扩展成四边形A1B1C1D1，第二次扩展由四边形A1B1C1D1扩展成四边形A2B2C2D2，若阴影部分面积为S2，则_____.（用含m的代数式表示）
三、解答题
16．如图，四边形中，，E、F、G、H分别是的中点．
(1)求证：四边形是菱形；
(2)当四边形满足______（添一个条件）时，四边形为正方形．
17．定义：只有一组对角是直角的四边形叫做损矩形，连接它的两个非直角顶点的线段叫做这个损矩形的直径．
如图1，，四边形是损矩形，则该损矩形的直径是线段．我们还发现损矩形中有公共边的两个三角形角的特点：在公共边的同侧的两个角是相等的（本题中可直接使用）．如图1中： ABC和有公共边，在同侧有和，此时；再比如 ABC和有公共边，在同侧有和，此时．
(1)请在图1中再找出一对这样的角来：__________．
(2)如图2， ABC中，，以为一边向外作菱形，D为菱形对角线的交点，连接，当平分时，判断四边形为何种特殊的四边形？请说明理由．
(3)在（2）的条件下，若此时，求的长．
18．如图所示，将两个长为9，宽为3的全等矩形叠合从而得到四边形，求四边形面积的最大值与最小值的差．
19．如图，将边长为的正方形沿其对角线剪开，再把沿着方向平移，得到，设 ABC移动的距离
(1)用x表示两个三角形重叠部分的面积
(2)若两个三角形重叠部分的面积为，求出移动的距离
20．如图，在矩形中，平分，交于点，，交于点，以，为邻边作平行四边形，与相交于点．
（1）求证：平行四边形是正方形；
(2)在（）的条件下．
如图，连接．求证：；
如图，连接，点是线段的中点，过点作，与线段，，分别交于点，，．求证．
参考答案
一、单选题
1．D
解：A、有一个角是直角的平行四边形是平行四边形，则①处的条件正确，故此选项不符合题意；
B、对角线互相垂直的平行四边形是菱形，则②处的条件正确，故此选项不符合题意；
C、由角平分线的性质得到，有一组邻边相等的矩形是正方形，则③处的条件正确，故此选项不符合题意；
D、菱形的邻边本就相等，则④处的条件错误，故此选项符合题意．
2．A
解：（1）若有意义，则．故（1）错误
（2）矩形的对角线互相平分且相等．故（2）错误
（3）平行四边形不是轴对称图形．故（3）错误
（4）一个直角三角形的两边长分别5是12和，则第三边长为13或．故（4）错误
（5）对角线相等的菱形是正方形．故（5）正确
故选：A．
3．A
解：设两点速度为每秒1个单位长度，则，，
∵四边形是矩形，，
∴，，，
∴时，四边形是平行四边形，
当时，点与点重合，点与点重合，此时四边形是矩形，故①正确；
当四边形是菱形时，，
则，解得：，符合题意，
即：当时，四边形是菱形，故②正确；
当四边形是矩形时，，则，解得，
即：当时，四边形是矩形，故③正确；
当四边形是正方形时，，
则，解得，但此时，不符合题意，故④不正确，
综上，正确的有①②③，
故选：A．
4．D
解：如图，
若菱形是正方形，则，
此时面积为菱形面积的最大值，且，
∴，
∴，故A正确，不符合题意；
若菱形有一个内角为，，
∴，
∴，故B正确，不符合题意；
若菱形每个一个内角都大于，则，
∴，
∴，故C正确，不符合题意；
若菱形一个内角都小于，则，
∴，
∴，故D不正确，符合题意．
故选：D．
5．C
解：在上截取，连接，
∵四边形是正方形，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∴，
∵将射线绕点A顺时针旋转后交的延长线于点G，
∴，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
故选：C．
6．A
∵四边形的面积与图中每个三角形的面积均相等，
∴，
∵，正方形中，
∴，
设，，
∴
，
∴，
化简得 ，
解得 或 ，
∵，
∴，得，
∴，
∴，
∴．
7．B
解：连接，将绕点顺时针旋转得到，连接交于点，连接，如图所示：
由旋转的性质得，，，，
∴，
∵点为正方形的中心，
∴，，，
∴，，
又∵D，E，F三点共线，
∴O，E，C三点共线，
∵正方形，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴；
∴，
又∵，
∴，
∴要求的面积，则需要知道正方形的面积．
故选：B．
8．D
解：①∵是的垂直平分线，
∴，即①正确；
②如图：过P作，过P作垂直于延长线于F，
∵平分，
∴，
∵，
∴，
在和中，
，
∴,
∴，
∴,
在和中，
，
∴，即②正确；
③∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵四边形，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴是等腰直角三角形，即，故③正确；
④∵，
∴四边形是矩形，
∵，
∴四边形是正方形，
∴，
∵，，
∴，
∵，
∴，，
∴
，即④正确．
综上， ①②③④正确，正确的有4个．
故选D．
9．B
解：，
，
，
，
∴，
，
在正方形中，，
，即，
同理可得，
，
，即，
，
∴，
，
，
，
，
，
，
∴，
故选：B．
10．D
解：如图，连接交于点K，设交于点H，过点M作于点L，
∵四边形是正方形，
∴，
∴，
∵，，
∴，即，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵是的角平分线，
∴，
∴为等腰直角三角形，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，，
∴，
∴四边形为矩形，
∵，
∴四边形为正方形，
∴，
同理，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
即．
故选：D
二、填空题
11．
解：①连接，如图，
则点A、C和H在同一条直线上，
∵，
∴四边形为正方形，
∵，
∴，
则；
故答案为：．
②连接和交于点M，如图，
∵点A是位于枪口内垂直平分线上一点，，，
∴是等腰直角三角形、是等边三角形，点、A和点在同一条直线上，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴,,
则．
故答案为：．
12．
解：（1）∵，，，
∴四边形是矩形，
∵，
∴四边形是正方形，
∴，
∵，，，，
∴，
∴，
同理：，
∴，，，
在中，，
∴，
又∵，
∴或（舍去）
故答案为：；

（2）由（1）可得，在直角 ABC中，由勾股定理得出，即，
又，，
∴，
解得：，
∴，
∴，
∵，
∴，，
∴，
∴，
故答案为：．
13．
解：如图，过A作于E， 于P，则，
，
四边形是矩形，
ABC是等腰直角三角形，
，
，
，
，
，
，
，
，
四边形是正方形，
，
点A在的平分线上运动，
当C与O重合时，A在位置，此时最小，如图，过A作于G，则，
ABC是等腰直角三角形，，
，
，
的最小值为，
当B向下运动时，先逐渐增大再逐渐减小，
当时，A运动至位置，此时最大，如图，
，
，
，，
四边形是正方形，
，
最大值为，
当C与P重合时，A运动回至位置，此时最小，最小值为，
点A所走过的路径长为，
故答案为：．
14． 2 8-≤S≤8
解：（1）如图1，当菱形HEFG为正方形时，∠EHG=90°，GH=EH，
∵四边形ABCD为矩形，
∴∠A=∠D=90°，
∴∠DHG+∠AHE=∠AHE+∠AEH=90°，
∴∠DHG=∠AEH，
在△GDH和△HAE中，
，
∴△GDH≌△HAE（AAS），
∴DG=AH=2；
（2）如图2，过F作FM⊥DC，交DC延长线于M，连接GE，
∵AB∥CD，
∴∠AEG=∠MGE，
∵HE∥GF，
∴∠HEG=∠FGE，
∴∠AEH=∠MGF，
在△AHE和△MFG中，
，
∴△AHE≌△MFG（AAS），
∴FM=HA=2，即无论菱形EFGH如何变化，点F到直线CD的距离始终为定值2，
因此S△FCG=×FM×GC=×2×CG=CG，
设DG=x，则S△FCG=8-x，
在△AHE中，AE≤AB=8，
∴HE2≤68，
∴x2+16≤68，
∴x≤，
∴8-x≥8-，
∴S△FCG的最小值为8-，此时DG=，S△FCG的最大值为8，此时DG=0，
∴在点E的运动过程中，△FCG的面积S的取值范围为：8-≤S≤8，
故答案为：8-≤S≤8．
15． 4a 24m
解：（1）∵正方形ABCD的面积为a，
∴，
又∵，，，，
∴，，
同理：，，，
∴阴影部分的面积为：4a
（2）连接AC，A1C，可得，
同理：，，，
∴第一次扩展后的面积为，
同理：第二次扩展后的面积为，
∴阴影部分的面积为．
三、解答题
16．（1）证明：∵E、F、G、H分别是的中点，
∴分别是的中位线，
∴，
∵，
∴，
∴四边形是菱形；
（2）解：当四边形满足时，四边形为正方形，理由如下：
由（1）可得分别是的中位线，
∴，
∵，
∴，
∴菱形为正方形．
17．（1）解：由图1得：和有公共边，在同侧有和，此时；
（2）解：四边形为正方形，
证明：∵平分，
，
∵四边形为菱形，
，即，
，
∴四边形为损矩形，
由（1）得，
，
∴四边形为正方形；
（3）解：过点作，
，
为等腰直角三角形，
，
∵四边形为正方形，
∴，
∴,
又,
∴,
∵，
∴，
即，
整理得：，
解得：或（舍去），
．
18．解：如图①所示，作于点于点，
，
∴四边形是平行四边形，
∵两个矩形的宽都是3，
，
，
，
平行四边形是菱形；
如图②所示，当菱形的一条对角线为矩形的对角线时，
四边形的面积最大．设，则，
，
，
解得．
四边形面积的最大值是．
当四边形的边长最小时，其面积有最小值，
此时四边形是正方形，其最小面积为
所求四边形面积的最大值与最小值的差是．
19．（1）解：设与的交点为E，与的交点为F，
根据平移的性质，得四边形是平行四边形，且，
故，
由将边长为的正方形沿其对角线剪开，
故，
故，
故，
故，
故重叠部分的面积为：．
（2）解：由两个三角形重叠部分的面积为，
得即，
解得，
故移动的距离为．
20．（1）证明: ∵四边形是矩形，
∴ ，，
∵平分，
∴，
在中， ，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴ ，
∴ ，
在Rt DCE中，，
∴ ，
在和中，
，
∴，
∴ ，
∴四边形是菱形，
∵ ，
∴平行四边形是正方形；
（2）证明：如图，过作， ，交延长线于点，则 ，
由（）知，四边形是正方形，
∴ ，，
∴ ，
∴四边形 是矩形，
同（）理可得： ，
∴ ， ，
由（）得，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴四边形 是正方形，
∴ ，
∴ ，
∴ ；
证明：连接，过点作交于点，
∵四边形是正方形，
∴
∴四边形是平行四边形，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴
∴
∴，
∵点是线段的中点，，
∴
∵正方形，
∴，，
∵
∴
∴，，，
∴，
设，则
∵正方形中，
∴
∵
∴，
∴，
∴，
∴为等腰直角三角形，
∴
∵
∴、为等腰直角三角形，
∴
∵
∴
∴．

展开更多......

收起↑