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第4章《平行四边形》期末复习题--- 三角形的中位线和反证法
一、单选题
1．如图， ABC中，点D，E分别是边，的中点，，，，则的长为（ ）
A．6 B．4 C．3 D．2
2．如图，在平行四边形中，对角线，相交于点O，点E，F分别是，的中点，连接，已知，则的长为（ ）
A．12 B．5 C．20 D．15
3．如图，在四边形中，E，F分别是的中点，G，H分别是的中点，，则的大小是(　　)
A． B． C． D．
4．如图，在四边形中，点E，F，G，H分别是各边的中点．甲说：若四边形是平行四边形，则四边形也是平行四边形；乙说：若四边形是平行四边形，则四边形也是平行四边形．下列说法正确的是（ ）
A．甲、乙都正确 B．甲正确，乙错误
C．甲错误，乙正确 D．甲、乙都错误
5．下列命题中，真命题是（ ）
A．方程的解是
B．有两边和一角相等的两个三角形全等
C．4的平方根是2
D．连接任意四边形各边中点的四边形是平行四边形
6．下列说法，正确的是（ ）
A．等腰三角形的高、中线、角平分线重合
B．“若，则”的逆命题是真命题
C．在角的内部到角的两边距离相等的点一定在这个角的平分线上
D．用反证法证明“三角形中必有一个角不大于”，先假设这个三角形中有一个内角大于
7．如图，在等边三角形中，、分别在、上，连接、交于，连接交于点．有下列两个命题：
①如果，那么为中点；
②如果，那么．
对于这两个命题判断正确的是（ ）
A．①②都是真命题； B．①是真命题，②是假命题；
C．①是假命题，②是真命题； D．①②都是假命题．
8．如图，已知点在四边形的边上，且，平分，与交于点，分别与、交于点、．（1）；（2）；（3）；（4）四边形的周长最大值为10．以上说法正确的是个数为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
9．如图，在 ABC中，是 ABC的角平分线，，垂足为点，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
10．在 ABC中，已知和分别是两边上的中线，并且，，，那么 ABC的面积等于（ ）
A．28 B．36 C．34 D．32
二、填空题
11．如图，在 ABC中，，，于点，，若，分别为的中点，则的长是_______．
12．如图，平行四边形的对角线相交于点，是的中点，连接．下列结论：①；②平分；③；④．其中结论正确的序号有______．
13．如图，在中，，点，分别从点，同时出发，沿，方向以相同的速度运动（分别运动到点，即停止），与相交于点，与相交于点．则在此运动过程中，线段的长始终等于______．
14．已知正整数N，满足，甲、乙、丙、丁四人进一步对这个数进行了猜测，甲说：“N是2的倍数”；乙说：“N是3的倍数”；丙说：“N是5的倍数”；丁说：“N是7的倍数”．已知他们中有一人说错，那么满足条件的N的最大值为________．
15．边长为 的菱形是由边长为 的正方形“形变”得到的，若这个菱形一组对边之间的距离为 ，则称 为这个菱形的“形变度”．
（）一个“形变度”为 的菱形与其“形变”前的正方形的面积之比为________________；
（）如图，，， 为菱形网格（每个小菱形的边长为 ，“形变度”为 ）中的格点则 的面积为________________．
三、解答题
16．如图，在四边形中，是的中点，，交于点，，连接，．
(1)求证：；
(2)若，，，求的长．
17．观察下面图形，解决问题：
(1)用数学的眼光观察
如图，在四边形中，，是对角线的中点，是的中点，是的中点．求证：；
(2)用数学的思维思考
如图，延长图中的线段交的延长线于点，延长线段交的延长线于点．求证：；
(3)用数学的语言表达
如图，在 ABC中，，点在上，，是的中点，是的中点，连接并延长，与的延长线交于点，连接，若，试判断的形状，并进行证明．
18．如图是由小正方形组成的网格，每个小正方形的顶点叫做格点． ABC三个顶点都是格点．仅用无刻度的直尺在给定网格中完成画图任务，每个任务的画线不得超过三条．
(1)在图1中，点P在线段上，先画，再在上画点E，使得；
(2)在图2中，在线段上找一点G，使得，垂足为点G，并在线段上找一点H，使．
19．对一个正整数n，我们进行如下操作：若它是奇数，则乘以3再加1；若是偶数，则除以2．
(1)对于，进行若干次上述操作后，是否有一数是4的倍数．
(2)求证对任意正整数n，进行有限次上述操作后，必有一数是4的倍数．
20．如图，在中，，点为边上一点，；
(1)如图1，若，，，求点到直线的距离；
(2)如图2，点为线段中点，点为线段上一点，将线段绕点顺时针旋转得到线段，若点恰好在线段上，连接，与线段交于点，连接，判断线段的数量关系，并证明．
4．如图，请完成这道题的证明．
(1)如图①，在四边形．中，，是对角线的中点，是的中点，是的中点．求证：．
(2)【教材延伸】
如图②，延长图①中的线段交的延长线于点，延长线段交的延长线于点，求证：．
(3)【应用探究】
如图③，在 ABC中，点在上，，是的中点，是的中点，连接并延长，与的延长线交于点，若，求的长．
参考答案
一、单选题
1．D
解：∵点，分别是，的中点，
∴，
∵，
∴．
2．C
解： 四边形是平行四边形，
对角线与互相平分，
是的中点，，，
是的中点，是的中点，
是的中位线，
，
，
，
．
3．C
解：由题意得：分别是的中位线，
∴，，，；
∴，，；
∴四边形是平行四边形，；
∵
∴，
∴，
故选：C
4．B
解：如图所示，连接，
∵在四边形中，点E，F，G，H分别是各边的中点，
∴，
∴，
∴四边形是平行四边形，
根据现有条件无法证明四边形是平行四边形，故甲说法正确，乙说法不正确，
故选：B．
5．D
解：A. 方程的解为，，故选项不正确；
B.有两边对应相等，且夹角相等的两三角形全等，故选项不正确；
C. 4的平方根是，故选项不正确；
D. 连接任意四边形各边中点的四边形是平行四边形，故选项正确；
故选：D．
6．C
解：∵等腰三角形只有底边上的高、底边上的中线、顶角的角平分线互相重合，并非所有高、中线、角平分线重合，
∴A错误；
原命题“若，则”的逆命题为“若，则”，
∵存在，但，
∴逆命题为假命题，B错误；
由角平分线的判定定理可知，在角的内部到角的两边距离相等的点一定在这个角的平分线上，
∴C正确；
用反证法证明“三角形中必有一个角不大于”时，需假设结论的反面成立，即假设三角形中每一个内角都大于，
∴D错误．
7．A
解：①三角形为等边三角形，
∴，
，
∴，
∴ ADE为等边三角形，
∴，
∴，
又∵，，
∴，
，
∵，，
，
，
为中垂线上的点，
∵，
∴为中垂线上的点，
∴垂直平分，
为中点；
所以①为真命题；
假设与不平行，作，与交于点，作，则：，，
∵，
∴，
∵是的一个外角，
∴，即：，与矛盾，
∴假设不成立，
∴；故②为真命题．
故选A．
8．C
解：∵，
∴，
∵平分，
∴．
∵，
∴，
∴，则（1）正确；
∵平分，
∴．
∵，
∴，则（2）正确；
只有都是等边三角形，可得，由已知条件不能得出该结论，所以（3）不正确；
∵，
∴．
∵，，
∴是的垂直平分线，即．
设则，
∵，
即，
解得，
∴．
∵，
∴，
∴四边形的周长为，
当时，四边形的周长最大值为10，则（4）正确．
所以正确的有3个，C符合题意．
9．A
解：如图，延长交于点，
则，
∵是 ABC的角平分线，
∴，
∵，
∴，
∴，，
∵，
∴，
．
作，则，
∴点Q为的中点，
∴为的中位线，
∴．
∵，
∴同理可证为的中位线，
∴，
则，
∵，
∵，
∴，
则，
那么，．
10．D
连接，过点作，交的延长线于点．
∵和分别是两边上的中线
∴
∵，，
∴
∵四边形为平行四边形
∴
∴
∴
∵
∴
故选：D．
二、填空题
11．
解：∵，，，
∴，则，
∴，
∵，，
∴是等腰直角三角形，
∴，则，
∴，
∵，分别为的中点，
∴．
12．①②③
解：是的中点，
，
，
，
又，
是等边三角形，
，，
，
，
，
，
，
故①正确；
，，
，
平分，
故②正确；
平行四边形的对角线，相交于点，
，
是的中点，
是 ABC的中位线，
，
又，
，
，
故③正确；
，
，
，，
，
，
，故④错误．
故答案为：①②③
13．
解：四边形是平行四边形，
，，
点，分别从点A，同时出发，沿，方向以相同的速度运动，
，
，
四边形和四边形都是平行四边形，
，，
，
，
．
故答案为：．
14．90
解：若甲错，则N不是2的倍数，但N是3、5、7的倍数．3、5、7的最小公倍数为105，但，无解；
若乙错，则N不是3的倍数，但N是2、5、7的倍数．2、5、7的最小公倍数为70，70在50到100之间且不是3的倍数，故；
若丙错，则N不是5的倍数，但N是2、3、7的倍数．2、3、7的最小公倍数为42，42的倍数在50到100之间有84，84不是5的倍数，故；
若丁错，则N不是7的倍数，但N是2、3、5的倍数．2、3、5的最小公倍数为30，30的倍数在50到100之间有60和90，两者均不是7的倍数，故或90．
比较各情况，N的最大值为90．
验证：当时，甲说正确（90是2的倍数），乙说正确（90是3的倍数），丙说正确（90是5的倍数），丁说错误（90不是7的倍数），符合题意．
故答案为：90．
15．
解：（）∵边长为的正方形面积，边长为的菱形面积，
∴菱形面积：正方形面积，
∵菱形的变形度为，即，
∴．
故答案为：；
（）∵菱形边长为，“形变度”为，
∴菱形形变前的面积与形变后面积比为，
∴．
故答案为：9.
三、解答题
16．（1）证明：是的中点，
，
又，
是的中位线，
，
，
又，
四边形为平行四边形，
；
（2）解：由（1）知，是的中位线，四边形为平行四边形，
，
，
，
在中，，，
由勾股定理得：．
17．（1）证明：∵是的中点，是的中点，
∴，
同理可得，，
∵，
∴，
∴；
（2）证明：∵是的中点，是的中点，
∴，
∴，
同理可证，，
由（）知，，
∴；
（3）解：是直角三角形，证明如下：
如图，取的中点，连接，
∵是的中点，
∴，，
同理可得，，，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴ ，
∵，
∴ ，
又∵ ，
∴是等边三角形，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴，
∴是直角三角形．
18．（1）解：所作图形如图所示：
（2）所作图形如图所示：
19．（1）解：∵，且52是4的倍数，
∴进行一次上述操作后，有一数是4的倍数；
∵，且112是4的倍数，
∴进行一次上述操作后，有一数是4的倍数；
（2）解：∵奇数乘以3再加1后一定会变为偶数，而偶数除以一定数量的2之后一定会变为奇数，
∴经过有限步后奇数一定会变为偶数，
若偶数为4的倍数，则问题得证，
若偶数不是4的倍数时，则该偶数可以表示为（m为整数），
当（k为整数），则，
，，
∴一定是4的倍数，故当m为偶数时，满足题意；
当（k为整数），则，
，，，
，，
对于，要使不是4的倍数，那么k一定要是奇数，
设（p为整数），则，
，，，
同理要使不是4的倍数，则p一定是奇数，
如此反复，在此过程中，若有一个环节中出现了偶数，那么环节中必有4的倍数，
∴假设不存在4的倍数，那么要一直成立，即对于任意的k的结果都是整数，显然这是不可能的，
∴假设不成立，
∴原结论正确．
20．（1）解：过点作延长线于点，
∵，，，
∴，
∵，，
∴，
∴，
即点到直线的距离为；
（2）解：，理由如下：
如图，连接，交于点，
设，
∵，点为线段中点，
∴，
∴，，
∴，
∵，，
∴，
由旋转知，，
∴，
，
∴，
∴，
∴，
在与中，
，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，即，
∴，
∴，
∵点为线段中点，
∴．
21.（1）证明：∵是的中点，是的中点，
∴，
∵是的中点，是的中点，
∴，
∵，
∴，
∴；
（2）证明：如图，由（1）得，
∵是的中点，是的中点，为的中点，
∴，，
∴，，
∴；
（3）证明：如图，连接，取中点，连接，，由（1）知，
由（2）可知，，，
∴，，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴为等腰直角三角形，
∵，
由（1）知，
∴．

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