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第4章《平行四边形》章节复习题
一、选择题（本大题共10个小题,每小题3分,共30分,）
1．下面四幅图中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
2．过某个多边形一个顶点的所有对角线，将这个多边形分成个三角形，则这个多边形的内角和是（ ）
A． B． C． D．
3．如图，在 中，相交于点交于点，则的周长为（ ）
A．25 B．15 C．30 D．50
4．如图，平分，交边于点D，，垂足为点E，，．若，，则的面积为（ ）
A．4 B．5 C．6 D．10
5．在四边形中，由下列条件能判定这个四边形是平行四边形的是（ ）
A．， B．，
C．， D．，
6．如图，为 ABC的中位线，点在上，且．若，，则的长为（ ）
A．3 B．6 C． D．
7．如图，在中，是对角线上不同的两点，下列条件中，不能得出四边形一定为平行四边形的是（ ）
A． B． C． D．
8．“已知在 ABC中，，求证：．”小明想用反证法证明这个命题是正确的，如果他假设“”则这个假设与以下哪个选项相矛盾（ ）
A．等边对等角 B．等角对等边
C．三角形的内角和定理 D．三角形的三边关系
9．如图， ABC是边长为4的等边三角形，点在边的延长线上且，连接，将线段绕点顺时针旋转得到线段，连接，则的长为（ ）
A． B． C． D．
10．如图，中，，将沿对角线折叠，点D恰好落在延长线上的点D/处，交于点E，若，则的长为（ ）
A．1 B． C． D．
二、填空题（本大题共8小题，每小题4分，共32分）
11．若一个六边形的每个内角都相等，则该六边形的外角度数为______．
12．已知点、、，平行四边形的顶点的坐标为__________．
13．如图， ABC和 ADE都是等腰直角三角形，和都是直角，点在上，如果 ABC经顺时针旋转后能与 ADE重合，那么旋转的度数是______度．
14．如图，在平行四边形中，对角线，相交于点，如果，，如果，那么的取值范围是_____．
15．如图，已知，，，，在一条直线上，，请添加一个条件______，使四边形是平行四边形．
16．如图，，在的延长线上，在上，， ，已知，则的长是______．
17．如图，在 ABC中，，，于点，，若，分别为的中点，则的长是_______．
18．已知边长为6的等边 ABC，点P是线段上一个动点，连接，把绕点A逆时针旋转，使点B与点C重合，得到，连接，则点P在从B到C的过程中，线段的最小值是______．
三、解答题（本大题共6小题，共58分）
19．（本小题满分8分）如图，E为的边上一点，，的延长线和的延长线相交于点．
（1）实践与操作：利用尺规按下列要求作图，并在图中标明相应字母（保留作图痕迹，不写作法）
①作的垂直平分线分别交，于点，；
②连接．
（2）求证：．
20．（本小题满分8分）如图，在平面直角坐标系中， ABC的三个顶点的坐标分别为，，．
（1）在图中画出 ABC关于y轴对称的图形，并写出点的坐标为______；
（2）在图中画出 ABC关于点O成中心对称的图形．
21．（本小题满分10分）如图，在四边形中，是的中点，，交于点，，连接，．
（1）求证：；
（2）若，，，求的长．
22．（本小题满分10分）如图，分别以的直角边及斜边向外作等边，等边，已知，，垂足为，连接．
（1）求证：；
（2）四边形是平行四边形吗？请说明理由．
23．（本小题满分10分） ABC是等边三角形，边在射线上，点D是射线上的动点，当点D在线段上移动且不与点A重合时如图1，点D在线段上移动时如图2，将绕点C逆时针方向旋转得到，连接．
（1）任选其中一个图形证明是等边三角形．
（2）若 ABC的边长为4，且，设，是否存在t值，使是直角三角形？若存在，求出t值；若不存在，请说明理由．
24．（本小题满分12分）【提出问题】
求证：平行四边形两条对角线的平方和等于四边的平方和．
【特例感知】
小红在探究该问题时从特殊的矩形开始，请你跟随小红的思路，帮她完成下列问题：
（1）如图①，如图①，在矩形中，，，则 （用含a、b的式子表示）；
【类比探究】
（2）如图②，已知平行四边形．求证：；
【拓展运用】
（3）如图③，在 ABC中，、、的长分别为6、10、5，是边上的中线，则 ．
参考答案
一、选择题
1．B
解：A、不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故本选项不符合题意；
B、是轴对称图形，也是中心对称图形，故本选项符合题意；
C、是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不符合题意；
D、不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故本选项不符合题意．
2．B
解：∵过边形一个顶点的所有对角线，将这个多边形分成个三角形，
题目中分成了个三角形，
∴这个多边形的内角和等于这个三角形的内角和，
∵每个三角形内角和为，
∴这个多边形的内角和为 ．
3．A
解：∵四边形是平行四边形，
∴为的中点，
∵，
∴是线段的垂直平分线，
∴，
∵，，
∴的周长．
4．B
解：延长交于点，作于点，如图，
∵，，
∴，
∵，
∴，
∵平分，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，，
∴，
∴，
故选：B．
5．C
解：A、由，不能判定四边形是平行四边形，等腰梯形也可满足此条件，故此选项不符合题意；
B、由，不能判定四边形是平行四边形，直角梯形也可满足此条件，故此选项不符合题意；
C、∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴四边形是平行四边形，故此选项符合题意；
D、由，不能判定四边形是平行四边形，故此选项不符合题意；
6．A
解：，为 ABC的中位线，
D为 斜边的中点，
，
为 ABC的中位线，
，
．
7．C
解：连接交于点O，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴四边形是平行四边形．
选项A不符合要求；
∵四边形是平行四边形，
∴，，
∴，
∵，
∵，
∴
∴，
∴，
∴，
∴四边形是平行四边形．
选项B不符合要求．
∵，无法判定四边形是平行四边形．
选项C符合要求．
∵四边形是平行四边形，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴
∴，
∵，
∴四边形是平行四边形．
选项D不符合要求．
8．C
解：∵
∴
假设 ，则
∴
又∵
∴
该结论与三角形内角和定理矛盾，因此选C．
9．A
解：如图，过点作于点，
是边长为4的等边三角形，
，
，
，
，
，
将线段绕点D顺时针旋转得到线段，
∴ ADE是等边三角形，
．
10．D
解：连接，
沿对角线折叠，点D恰好落在延长线上的点处，
，，，
，
，
，
四边形是平行四边形，
，，，
，
四边形是平行四边形，
．
二、填空题
11．
解： 该六边形的每个内角都相等，
该六边形的每个外角都相等，
任意多边形的外角和为，该多边形为六边形，边数为，
每个外角度数为 ．
12．
解：设点的坐标为，
∵平行四边形的两条对角线的中点坐标相同，
∴，
∴，
∴点的坐标为．
13．45
解：∵是等腰直角三角形，
∴ ，
∵经顺时针旋转后能与 ADE 重合 ，
∴ 斜边的对应边是， 旋转角为 ，
∵ 点 C 在 上 ，
∴．
14．
解：平行四边形中，对角线，相交于点，，，
，，
，
，
，
，
．
15．（或或或）
解：，
；
添加，
，
，
，
，
，
四边形是平行四边形；
添加，
，
，
，
，
四边形是平行四边形；
添加，
，
，，
，
，
四边形是平行四边形；
添加，
，
，，
，，
四边形是平行四边形；
故答案为：（或或或）．
16．
解：四边形是平行四边形，
，，
，
，
，
，
，
，
，，
四边形是平行四边形，
，
，
．
17．
解：∵，，，
∴，则，
∴，
∵，，
∴是等腰直角三角形，
∴，则，
∴，
∵，分别为的中点，
∴．
18．
解：由旋转的性质得
∴，，
∴，
∴是等边三角形，
∴，
当时，取得最小值，即线段也取得最小值，
∵边长为6的等边 ABC，
∴，，
∴，，
∴，
∴线段的最小值是．
三、解答题
19．（1）解：①如图所示，即为所求．
②如图所示，连接，．
（2）证明：如图，是的垂直平分线，
．
．
四边形是平行四边形，
．
，．
，
．
，即．
，，
．
．
20．（1）解：如图所示，点的坐标为．
；
（2）解：如图所示．
21．（1）证明：是的中点，
，
又，
是的中位线，
，
，
又，
四边形为平行四边形，
；
（2）解：由（1）知，是的中位线，四边形为平行四边形，
，
，
，
在中，，，
由勾股定理得：．
22．（1）证明：∵在中，，
∴，
∵是等边三角形，，
∴，，
∴，
在和中，
，
∴．
（2）解：四边形是平行四边形，理由如下：
∵是等边三角形，
∴，，
∴，
∴，
又∵，
∴，
由（1）得：，
∴，
∴，
∴四边形是平行四边形．
23．（1）证明：∵将绕点C逆时针方向旋转得到，
∴，，
∴是等边三角形；
（2）解：存在，
①当时，
根据解析（1）可知：是等边三角形，
∴，
∵ ABC为等边三角形，
∴，
∴，
由旋转可知，，，
∴，
∵，
∴，
∴在 BDE中，此时只能，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
即；
②当时，根据旋转可知：，
∴，
∴此时可能是直角三角形；
③时，点D与点B重合，
∴此时D、B、E不能构成三角形；
④ 当时，由旋转的性质可知，，
∵，
∴，
∵，，
∴，
∴ BDE中只能是，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
即，
综上所述：当或14时，以D、E、B为顶点的三角形是直角三角形．
24．（1）∵四边形是矩形，
∴AC=BD,∠ABC=90 ，
∴，
∴；
故答案为：；
（2）作于M，作于N，
∵四边形是平行四边形，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵
；
（3）如图，延长至E，使，连接，
∵，
∴ ADC≌ EDB，
∴，
∴，
∴四边形是平行四边形，
∴,
∴,
解得（负值舍去），
故答案为：．

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