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2025-2026 学年第二学期第二次模拟考试
九年级数学参考答案与评分标准
一、选择题（本大题共 10 小题，每小题 3 分，共 30 分）
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 D A B A C D C C B C
二、填空题（本大题共 5 小题，每小题 3 分，共 15 分）
11. 2m（2m+3）； 12. -1(答案不唯一，答案是负数即可）
1 3
13. 14. 12 15.
2 8
三、解答题（一）（本大题共 3 小题，每小题 7 分，共 21 分）
16. 计算： 9 2 30° + ( 2 1)0 + ( 1) 1
解： 原式＝3 2 × 1+ 1 1 …………4分
2
= 2 …………7分
17.解：设普通机器人每小时可以装载货物 x吨，则智能机器人每小时可以装载货物 1.5x
吨，得： …………1分
6 6 = 20， …………3分
1.5 60
解得：x＝6， …………4分
经检验，x＝6是原方程的解，且符合题意，…………5分
∴1.5x＝1.5×6＝9（吨）， …………6分
答：智能机器人每小时可以装载货物 9吨． …………7分
18.解：（1）①9； …………2分
②证明：∵这个“对称数”是 868，将“对称数”减去其各位数字之和，得：
868﹣（8+6+8）＝846＝9×94，…………3分
∴所得结果能够被 9整除，
∴猜想正确； …………4分
（2）证明：依题意，100x+10y+x﹣（x+y+x） …………5分
第 1页共 7页
＝100x+10y+x﹣x﹣y﹣x
＝99x+9y
＝9（11x+y）， …………6分
∵结果能被 9整除，
∴猜想是正确的． …………7分
四、解答题（二）（本大题共 3 小题，每小题 9 分，共 27 分）
6
19.解：（1）把 A（m，1）代入 = ( ＜0)得 m＝﹣6，
∴点 A的坐标为（﹣6，1），
12
把 C（3，n）代入 = ( ＞0)，
得 n＝4，
∴点 C的坐标为（3，4）， …………1分（求出点 A 或 C的坐标可得 1 分）
把点（﹣6，1）和（3，4）代入 y＝kx+b，
得 6 + = 13 + = 4 ， …………2分
解得 =
1
3，
= 3
1
∴直线 AC对应的函数表达式 = 3 + 3；…………3分
（2）由作图可得 DA＝DC，即 DA2＝DC2，
设点 D的坐标为（0，d），
则 62+（1﹣d）2＝32+（4﹣d）2，…………4分
解得 d＝﹣2，
∴点 D（0，﹣2） …………5分
∴DA2＝DC2＝62+（1+2）2＝45，AC2＝（3+6）2+（4﹣1）2＝90， …………6分
∴DA2+DC2＝AC2，
∴△DAC是等腰直角三角形；…………7分
3 6（ ）由图象可得关于 x的不等式 + ＜ 的解集为 x＜﹣6或﹣3＜x＜0．………9分
20.解：（1）m＝ 2.4 ，n＝ 5 ；方案 B 最受欢迎． …………3分
（2）300 × 310 = 90 人 …………4分
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答：估计 300位嘉宾在三个方案中最喜爱方案 C的人数有 90人.…………5分
（3）∵方案 A综合得分：2.1×0.3+2.4×0.7＝2.31 < 6.5，…………6分
方案 B综合得分：6.5×0.3+7.1×0.7＝6.92＞6.5，…………7分
方案 C综合得分：8.5×0.3+5×0.7＝6.05 < 6.5， …………8分
∴按照综合得分大于 6.5分即可推出，该店将会推出方案 B．…………9分
21. 解：（1）∵抛物线 C1过点 A（0，12），
∴设抛物线 C1的解析式为：y＝ax2+bx+12，
∵抛物线 C1过 B（40，4）且顶点的横坐标为 30，
402 + 40 + 12 = 4
∴ ， …………1分 2 = 30
= 1
即 1600 + 40 + 8 = 0，解得 100 = 60 ， …………2分 = 35
1 3
∴抛物线 C1的解析式为： = 2100 5 + 12； …………3分
2
(用顶点式求解析式也对 1，顶点式： = （ 30） +3；)
100
（2 1）由题意，设抛物线 C2的解析式为： = 2100 + + 18，
∵抛物线 C2最低点到 y轴的水平距离为 30，
= ∴ 2 = 30， 解得 =
3
，
2× 1 5100
∴抛物线 C2的解析式为： = 1 2 3100 5 + 18． …………4分
当 x 1 3＝50时， = 100 × 2500 5 × 50 + 18 = 13，…………5分
∵13＜14，
∴另一端能挂到距原点 50处高 14的灯杆上； …………6分
1 3
（3）∵C1： = 2100 5 + 12 =
1
100 ( 30)
2 + 3，
∴抛物线 C1的顶点坐标为（30，3），
1 3
∵C2： = 2100 5 + 18，
∴抛物线 C2经过点 M（60，18），
∴将（30，3）和（60，18）代入 y＝kx+b中
得： 30 + = 3 160 + = 18，解得： = 2； …………7分
将（0，12）和（60，18）代入 y＝kx+b中
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= 12 1得： 60 + = 18，解得： = 10， …………8分
1 1
由题意可得：k的取值范围为： ≤ ≤ ．…………9分
10 2
五、解答题（三）（本大题共 2 小题，共 27分）
22. （1）解：∵平行四边形 ABCD为⊙O的内接四边形，
∴∠ABC＝∠ADC，∠ABC+∠ADC＝180°，
∴∠ABC＝∠ADC＝90°，
∴平行四边形 ABCD是矩形，
∵四边形 ABCD是“婆氏四边形”，
∴AC⊥BD，
∴矩形 ABCD是正方形，
故答案为：③；…………2分
（2）解：如图 1 3，∵∠BAC＝90°，AB＝6， = 5，
∴BC＝10，AC＝8， …………3分
∴BD为直径，
∴∠BED＝∠DEC＝90°，
∵四边形 ABED是“婆氏四边形”，
∴AE⊥BD，
∴AD＝DE，AB＝BE＝6， …………4分
设 AD＝DE＝m，则 CD＝8﹣m，EC＝4，
在 Rt△EDC中，m2+42＝（8﹣m）2，…………5分
解得 m＝3，
∴DE＝3； …………6分
（3）①证明：如图 2，设 AC，BD相交于点 E，
∵∠ = 12∠ ，∠ =
1
2∠ ，∠BOC+∠AOD＝180°，
∴∠ + ∠ = 12 (∠ + ∠ ) =
1
2 × 180° = 90°，………7分
∴∠CED＝90°，
∴AC⊥BD， …………8分
∵四边形 ABCD是⊙O的内接四边形， 图 2
∴四边形 ABCD是“婆氏四边形”；…………9分
第 4页共 7页
②解：过点 O作 OM⊥AD交于 M，过 O作 ON⊥BC交于 N，
∴AM= 12AD，BN=
1
2BC，∠AMO＝∠BNO＝90°，
∴∠AOM+∠OAM＝90°，
∵OA＝BO＝CO＝DO，
AOM= 1 AOD BON= 1∴∠ 2∠ ，∠ 2∠BOC，
∵∠BOC+∠AOD＝180°，
∴∠AOM＝∠OBN， …………10分
∴△OAM≌△BON（AAS）， …………11分
图 3
∴ON＝AM= 12AD，
∵AD+BC＝4，
设 ON＝AM＝n，则 AD＝2n，BC＝4﹣2n，BN＝2﹣n，
在 Rt△BON中，BO= 2 + (2 )2 = 2( 1)2 + 2， …………12分
当 n＝1时，BO有最小值 2，
∴⊙O半径的最小值为 2． …………13分
23.解：解：（1）在菱形 ABCD中，∵AB＝BC＝CD＝AD，∠ABC＝60°，
∴△ABC为等边三角形，
∵点 P与线段 AC的中点 O重合，
∴BP⊥AC，
故答案为：30，BP⊥AC； …………4分
（2）CE＝2BE， …………5分
理由：如图，把△ABE绕 B顺时针旋转 60°得到△CBQ，
∴BE＝BQ，∠EBQ＝60°，∠AEB＝∠BQC．
∴△BEQ为等边三角形， …………6分
∴∠BEQ＝60°＝∠BQE，BE＝EQ，
∵点 E在线段 BP上，且∠AEP＝30°，∠PEC＝60°，
∴∠AEB＝150°，∠BEC＝180°﹣60°＝120°， …………7分
∴∠BEQ＝∠CEQ＝60°，∠AEB＝∠BQC＝150°，
∴∠EQC＝150°﹣60°＝90°，
∴∠ECQ＝90°﹣60°＝30°． …………8分
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∴CE＝2EQ＝2BE； …………9分
（3）如图，①当 P在线段 OA上，记 BP与 AD交于点 H，
∵AH∥BC，
∴∠AHB＝∠CBH，
∵∠ABC＝60°，∠BAD＝120°＝∠BEG，
∴△HAB∽△BEG，

∴ = ，

设 FG＝x，则 EF＝BE＝2x，
∴EG＝3x，
2
∴ = ，
3 5
∴ = 103， …………10分
∵AD∥BC，
∴△APH∽△CPB，

∴ = ，

10

∴ = 3
2
= ， …………11分
5 3
∵△ABC为等边三角形，
2
∴AC＝AB＝5， = 5 × 5 = 2， …………12分
如图，②当 P在线段 OC上时，延长 AD交 BP于 H，
同理可得：∠H＝∠PBC，∠BAH＝∠BEG＝120°，
∴△BAH∽△GEB，
设 BE＝EF＝2m，而 BE＝2FG，则 GF＝EG＝m，
1
∴ = = = ，
2 2
∴AH＝10， …………13分
2 10
同理：△APH∽△CPB， = =2， = 5 × 3 = 3， …………14分
10
综上：AP的长为 2或 ．
3
【方法二：当 P在线段 OA上，过 P作 PM∥BC交 AB于 M，
则△APM是等边三角形，
∴∠MPB＝∠PBC，
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∴∠BMP＝∠BEG＝120°，
∴△BMP∽△BEG，

∴ = ，

设 FG＝m，EF＝2m，GE＝3m，AP＝x，则 PM＝AM＝x，
2 3
∴ = ，
5
∴x＝2，
∴AP＝2；
当 P在线段 OC上，过 P作 PH∥BC交 AB于 H，
同理△BHP∽△BEG，

∴ = ，

2
∴ = ，
5
∴x= 103，
10
综上：AP的长为 2或 ．】
3
第 7页共 7页2025-2026 学年第二学期第二次模拟考试
九年级数学试卷
说明： 1．全卷共 8 页，考试时间共 120 分钟，满分 120分。
2．答卷前，考生务必将自己的班别、姓名、试室号和学号按要求填写或涂好。
3．用黑色字迹的钢笔或签字笔在答题卡相应区域作答，否则无效。有答题卡科目，
需用 2B 铅笔，在正确答案上填涂。
一、选择题：本大题共 10 小题，每小题 3 分，共 30 分．在每小题给出的四个选项中，只有
一项是符合题目要求的．
1．﹣2026的绝对值是（ ）
A 1
1
． 2026 B． C．﹣2026 D．20262026
2．2026年 2月 10日，小行星 2026CS飞掠地球时，与地球最近距离约为 1087000千米，将
数据 1087000用科学记数法表示正确的是（ ）
A．1.087×106 B．10.87×106 C．0.1087×107 D．1.087×107
3．下列运算正确的是（ ）
A．a6÷a3＝a2 B．a2 a3＝a5 C．（a2）3＝a5 D．（2ab）3＝6a3b3
4．如图，生活中常见的交通锥可以近似看作圆锥的形状．关于该圆锥的三视图，下列说法正
确的是（ ）
A．主视图与左视图相同 B．主视图与俯视图相同
C．左视图与俯视图相同 D．三种视图都相同
5．当光线从空气射入水中时，光线的传播方向发生了改变，这就是光的折射现象（如图所示），
现将一个盛水的玻璃杯放置在水平桌面上，图中∠2＝80°，∠3＝30°，则∠1＝（ ）
A．30° B．40° C．50° D．60°
6．不等式组 + 2＞0 的解集是（ ）
5 ≤ 2
A．x＞﹣2 B．﹣2＜x＜3 C．﹣2＜x≤3 D．x≥3
7.在某次篮球比赛中，参赛的每两队之间都进行一场比赛，计划安排 28场比赛，若邀请 x个
球队参加比赛，则可列的方程为（ ）
A． x(x 1) 28 B x(x 1) x(x 1) ． x(x 1) 28 C． 28 D． 28
2 2
8．若一元二次方程 x2+2x﹣3＝0的两根之和与两根之积分别为 m，n，则点（m，n）在平面
直角坐标系中位于（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
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9．已知甲醛检测仪的核心部件为如图①所示的气体传感器，R1的阻值随空气中甲醛质量浓
度 c的变化而变化（如图②）．当甲醛质量浓度 c＞0.1mg/m3时，甲醛检测仪会报警，则
下列说法错误的是（ ）
A．空气中甲醛的质量浓度逐渐减小时，
R1的阻值逐渐增大
B．当 R1＝300Ω时，甲醛检测仪会报警
C．当 c＝0.8mg/m3时，R1的阻值为 25Ω
D．当房间内甲醛质量浓度低于 0.1mg/m3时，R1的阻值高于 200Ω
10．如图，在 Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝6，AC＝8，∠ABC、∠ACB的平分线相交
于点 E，过点 E作 EF∥AC交 BC于点 F，
则 EF的长为（ ）
5 8 10 15
A． B． C． D．
2 3 3 4
二、填空题：本大题共 5 小题，每小题 3分，共 15 分．
11．因式分解：4m2+6m＝ ．
12．请写出一个 b的值，使一次函数 y＝x+b的图象经过第一、三、四象限，b＝ ．
13. 苏州园林的铺地中经常会有文字符号图案，通过艺术加工，诉说着园主的心愿，狮子林
中就有一块“太极八卦”图样的地砖，如图，正八边形 ABCDEFGH中心与“太极图”圆
心重合，“太极图”黑色部分与白色部分关于正八边形的中心成中心对称，向这块“太极
八卦”地砖内扔一颗小石子，恰好落在黑色部分的概率为 ．
14. 如图，在平面直角坐标系中，已知 A（2，0），D（6，0），△ABC与△DEF位似，原
点 O是位似中心，若 AB＝4，则 DE＝ ．
15.如图，正方形 ABCD的边长为 3，点 E在 BC的延长线上，以 CE为边，在 CE上方构造
正方形 CEFG，连接 AF与 BF，分别交 CD于点 M和点 N．若 CE＝1，则△MNF的面积
是 ．
第 13 题 第 14 题 第 15 题
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三、解答题（一）：本大题共 3小题，每小题 7分，共 21 分．
16.计算： 9 2 30° + ( 2 1)0 + ( 1) 1
17.随着人工智能的快速发展，机器人的工作效率越来越高，为我们的工作和生活带来了许多
便利．厂家将一款普通机器人升级改造为智能机器人，智能机器人的工作效率是普通机器
人的 1.5倍．若两种机器人分别同时装载货物 6吨，普通机器人比智能机器人多用 20分钟，
求智能机器人每小时可以装载多少吨货物？
18.【定义】一个三位正整数，它的百位数字与个位数字相等，我们把这样的三位正整数叫作
“对称数”，如 101，232，555等都是“对称数”．
【观察】
101﹣（1+0+1）＝99＝9×11；
232﹣（2+3+2）＝225＝9×25；
555﹣（5+5+5）＝540＝9×60；
……
【任务】
（1） ①猜想：将“对称数”减去其各位数字之和，所得结果能够被 整除；
②验证：若这个“对称数”是 868，请通过计算验证猜想；
（2）设一个对称数的百位数字与个位数字均为 x，十位数字为 y，请你通过推理说明
猜想是正确的．
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四、解答题（二）：本大题共 3 小题，每小题 9分，共 27分．
6 12
19．如图，反比例函数 y= （x＜0）和 y= （x＞0）的图象分别与直线 y＝kx+b依次相交
于 A（m，1），B，C（3，n）三点．
（1）求出直线 AC对应的函数表达式；
1
（2）分别以点 A，C为圆心，以大于 AC的长度为半径作弧，两弧相交于点 E和点 F，直
2
线 EF交 y轴于点 D，连接 AD、CD．试判断△ACD的形状，并说明理由；
（3 6）请直接写出关于 x的不等式 kx+b＜ 的解集．
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20．某种饮品由浓缩咖啡、牛奶和糖浆三种成分调制而成，不同的配比会带来不同的口味．为
了解不同配比对口味的影响，某咖啡店进行了“糖浆加入量对口味影响”的试验：保持浓
缩咖啡 30毫升和牛奶 150毫升不变，分三个方案改变糖浆的加入量（方案 A：10毫升；
方案 B：30毫升；方案 C：50毫升），并从 300位品尝嘉宾中随机抽取 10位嘉宾对每种
方案的甜度和整体口感评分（以 1至 10 的整数评分，分值越高对应甜度越高或整体口感
越好）．
【数据处理】根据收集到的数据，绘制了下列统计图表．
【数据应用】
（1）在表中，m＝ ，n＝ ；
根据整体口感评分，说明方案 最受欢迎．
（2）结合图 1，估计 300位嘉宾在三个方案中最喜爱方案 C的人数．
（3）调查显示，嘉宾对饮品的甜度和整体口感的关注度占比为 3：7，现按照这个占比计
算三种方案的综合得分，得分大于 6.5分的方案即可推出，请结合数据分析，推断
该店将会推出哪种方案．
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21．【活动主题】
如图 1，位于贵州安顺关岭自治县的花江峡谷大桥被称为“横竖”世界第一，已打造
“云端景区”，成为贵州桥旅新地标．某兴趣小组进行桥梁（模型）装饰设计探究．
【建立模型】
如图 2，钢缆主拱呈抛物线 C1，以 O点（左桥墩与桥面交点）为原点建立平面直角坐
标系，抛物线 C1经过 A（0，12），B（40，4），顶点的横坐标为 30．
（1）求抛物线 C1的解析式；
【设计应用】
（2）在 y轴上点 P（0，18）处挂一条与抛物线 C1形状相同的抛物线灯带 C2，抛物线 C2
最低点到 y轴的水平距离为 30，另一端能否挂到与原点水平距离 50处，高 14的灯杆上？
（3）在灯带点 M（60，18）处安装一个彩色射灯，射灯光线交抛物线 C1于点 N，设射线
MN的解析式为 y＝kx+b（0≤x≤60）．彩灯射线以点 M为旋转中心，从抛物线 C1最低
点处顺时方向旋转，与抛物线 C1，C2都有交点时，求 k的取值范围．
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五、解答题（三）：本大题共 2 小题，第 22 题 13 分，第 23 题 14 分，共 27 分．
22．婆罗摩芨多是公元 7世纪古印度伟大的数学家，他在三角形、四边形、零和负数的运算
规则，二次方程等方面均有建树，他也研究过对角线互相垂直的圆内接四边形，我们把这
类对角线互相垂直的圆内接四边形称为“婆氏四边形”；
（1）若平行四边形 ABCD是“婆氏四边形”，则四边形 ABCD是 ．（填序号）
①矩形 ②菱形 ③正方形
（2）如图 1，Rt△ABC中，∠BAC＝90°，以 AB为弦的⊙O交 AC于 D，交 BC于 E，连
接 DE、AE、BD，AB＝6， = 35，若四边形 ABED是“婆氏四边形”，求 DE的长；
（3）如图 2，四边形 ABCD为⊙O的内接四边形，连接 AC，BD，OA，OB，OC，OD，
已知∠BOC+∠AOD＝180°，
①求证：四边形 ABCD是“婆氏四边形”；
②当 AD+BC＝4时，求⊙O半径的最小值．
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23.如图，在菱形 ABCD中，∠ABC＝60°，点 P为线段 AC上一动点，点 E为射线 BP上的
一点（点 E与点 B不重合）．
【问题解决】
（1）如图①，若点 P与线段 AC的中点 O重合，则∠PBC＝ 度，线段 BP与
线段 AC的位置关系是 ；
【问题探究】
（2）如图②，在点 P运动过程中，点 E在线段 BP上，且∠AEP＝30°，∠PEC＝60°，
探究线段 BE与线段 EC的数量关系，并说明理由；
【拓展延伸】
（3）在点 P运动过程中，将线段 BE绕点 E逆时针旋转 120°得到 EF，射线 EF交射线
BC于点 G，若 BE＝2FG，AB＝5，求 AP的长．
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