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2026年河北省初中学业水平考试第二次模拟调研
九年级数学
注意事项：
1．共有三个大题，24个小题，满分120分，答题时间120分钟．
2．请将各题答案填写在答题卡上．
一、选择题（本大题共12个小题，每小题3分，共36分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1．下列实数中，相反数比本身大的是
A．2 B． C．0 D．1
2．下列数中，不满足不等式的的值为
A．2 B．3 C．4 D．5
3．如图，该正三角形的对称轴有
A．1条 B．2条 C．3条 D．6条
4．下列计算中，正确的是
A． B． C． D．
5．如图，正方形与平行四边形的一边重合．若平分，则的度数为
A． B． C． D．
6．2026年，中国“嫦娥九号”月球南极采样返回任务取得圆满成功，科学家在样品中发现了一种新型矿物，其晶体尺寸仅为0.00000003米．数据“0.00000003”用科学记数法表示为
A． B． C． D．
7．如图，2026年为丙午马年，央视2026马年春晚主标识由四匹拾级而上的骏马组成，象征国人齐头并进、稳步登高．从数学角度看，四匹马之间的图形变换关系为
A．中心对称 B．位似 C．平移 D．旋转
8．如图，光线从点处出发，沿方向射到点处的平面镜上，平面镜平行于轴，反射角等于入射角（），反射后照射到平面镜上，平面镜平行于轴，经过平面镜再次反射后，反射光线与轴交于点
A． B． C． D．
9．在2，6，，6这一组数中，平均数、中位数、众数至少有两项相等，下列两位同学给出的的值合适的是
嘉嘉：的值可以为2．
淇淇：的值可以为6．
A．只有嘉嘉 B．只有淇淇 C．两人都不合适 D．两人都合适
10．已知a，b，c均为正数，且满足，则下列关系式一定正确的是
A． B． C． D．
11．嘉嘉用硬卡纸做了一个骰子，六个面上分别标有1~6六个数字，投掷两次，结果如图所示．从第二次投掷结果开始将骰子向右滚动，第一次滚动后写有数字4的一面朝下，第二次滚动后写有数字6的一面朝下，……，按照这样的规律，经过103次滚动后，朝下一面的数字为
A．3 B．4 C．5 D．6
12．已知二次函数．若，点，在该二次函数的图象上，则与的大小关系是
A． B． C． D．无法确定
二、填空题（本大题共4个小题，每小题3分，共12分）
13．计算：__________．
14．若为正整数，且满足，则数轴上表示的数的点为__________．（填字母）
15．如图，甲、乙二人分别从地前往地，若A，B两地之间的距离为7千米，甲行走的路线为11千米．若乙行走的路线为整数千米，则乙行走的路线可能为__________千米．（写出一个合理的答案即可）
16．如图，在中，，点在轴上，点在轴上，轴，平分，交于点，反比例函数的图象经过点，与交于点，则__________．
三、解答题（本大题共8个小题，共72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
17．（本小题满分7分）
嘉嘉利用“”形格玩填数字游戏．如图，这是嘉嘉所填数字的情况．
（1）求图中所有数的和．
（2）若横行的三个数的和与竖行的三个数的和相等，求的值．
18．（本小题满分8分）
淇淇和老师玩计算游戏，规定给出实数数对时，根据公式来计算．例如：给出实数数对时，计算结果为．
（1）老师给出实数数对，淇淇计算如下：
……第一步
……第二步
．……第三步
淇淇上述计算过程中，第__________步开始出错，正确结果为__________．
（2）若实数数对为，请根据公式计算出对应的结果．
19．（本小题满分8分）
如图，在的正方形网格中，点，，，，均是格点（网格线的交点）．
（1）从，，三点中随机取一点，选中点的概率为__________．
（2）从，，三点中随机取两点，以这两点及点，为顶点画四边形，求所画四边形是平行四边形的概率．
20．（本小题满分8分）
如图，这是嘉琪折的纸飞机的外轮廓图，其中点在的延长线上，点在的延长线上，，交的延长线于点，，交的延长线于点，，点和点分别在边和边上，且．
（1）求证：．
（2）若，，，求的度数．
21．（本小题满分9分）
如图1，为的外接圆，．
（1）若，求的半径．
（2）在（1）的条件下，求的长．
（3）如图2，点在上，且，过点作，则直线和的位置关系为__________．
22．（本小题满分9分）
实践小组利用一个密闭容器研究水面高度与注水和放水时间的关系，容器有一个开放量固定的注水开关和一个可调节开放量的放水开关，容器中初始水面高度为．实验第一阶段只打开注水开关，注水时水面高度为，注水时接着打开放水开关，并持续，最后只打开放水开关并把开关调整至放水量最大，记录水面高度（单位：）与实验时间（单位：）的函数图象如图所示，其中轴，段图象的函数表达式为．
（1）求段的函数表达式．（不用写出自变量取值范围）
（2）实践小组成员嘉嘉记录如下：“当实验时间为时，容器中的水全部放完”．请通过计算，判断嘉嘉的记录是否正确？
（3）段的每分钟放水量为段每分钟放水量的__________．
23．（本小题满分11分）
【实践情境】在数学综合与实践课上，王老师发给每个小组一块表面平整的矩形木板、有一个内角为的直角三角板（说明：仅能作，，的角）、一把无刻度的直尺（说明：仅能作直线）、一个圆规、三支木工笔、小刀和橡皮．
【实践任务】仅利用提供的工具作出木板长边的三等分点．
【小组设计】下面是各小组展示完成实践任务的操作步骤．
甲组：如图1，①利用直角三角板的直角和圆规，以点，为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点，过点作于点；②连接，，交于点，利用直角三角板的直角过点作于点，并延长，交于点．
乙组：如图2，连接，在射线上利用圆规作相等的线段，和，连接……
丙组：如图3，只利用直角三角板便可完成作图，①分别以点A，B为顶点，为底边作角的等腰；②……
【问题探究】根据上述内容，完成下列探究问题．
（1）如图1，求证：为的中点．
（2）如图1，求证：．
（3）根据乙组的思路在图2中补全图形，边的三等分点从左至右分别为点，．（尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）
（4）根据丙组的思路在图3中补全图形，求作一点，使得，请写明作图过程，并说明理由．
24．（本小题满分12分）
如图1，在平面直角坐标系中，抛物线交轴于A，B两点，交轴于点，，点在抛物线上，且点的横坐标，连接，交轴于点．
（1）求抛物线的函数表达式．
（2）设的面积为，求与之间的函数关系式．
（3）如图2，过点作于点，过点作轴，交的延长线于点，延长，交抛物线于点，交直线于点，过点作，交抛物线于点，连接，交于点，，点在的延长线上，连接，．若，请直接写出的面积的值．
2026年河北省初中学业水平考试第二次模拟调研
九年级数学参考答案
1.B 2.D 3.C 4.C 5.B 6.A 7.C 8.D 9.D 10.A 11.A
12.C 提示：∵点在二次函数的图象上，
，，
．
，，，，故选C．
13. 1 14.C 15. 8（写出8，9，10中任意一个即可）
16. 提示：如图，作轴于点，交于点．
设点．由条件可知，．
轴，轴，，，
，即，，即．
设，则，，解得或（舍去），
，．
17.解：（1）
．
（2）由题意，得，
整理，得，解得．
18.解：（1）二；20．
（2）
．
19.解：（1）．
（2）画树状图如下：
由树状图可知，共有6种等可能的结果，其中符合条件的结果有4种，
∴所画四边形是平行四边形的概率．
20.解：（1）证明：，
，．
在和中，
．
（2），
．
，，
．
21.解：（1）如图，连接，过点作于点．
，．
，．
，，
．
（2），
．
（3）相切．
22.解：（1）设段的函数表达式为．
将点代入上式，得
解得，段的函数表达式为．
（2）将代入中，得．
轴，∴点的坐标为．
将点代入，得，解得，
段的函数表达式为．
令，则，解得，
∴嘉嘉记录的不正确．
（3）一半（或）．
23.解：（1）证明：如图1，连接．
由作图可知，，
，为的中点．
（2）证明：∵四边形是矩形，
，，．
，．
，，
∴四边形是矩形，．
，，，
，即．
（3）如图2，点即为所求．
（4）如图3，利用角过点作于点，交于点，则点即为所求．
理由：，．
，，
．
中，，
，．
24.解：（1）∵抛物线交轴于点，
∴点的坐标为，，
，∴点的坐标为．
将点代入，
得，解得，
∴抛物线的函数表达式为．
（2）在中，令，
则，解得，
∴点的坐标为．
设直线的函数表达式为．
∵点在抛物线上，
∴点的坐标为．
将点分别代入，
得解得
∴直线的函数表达式为．
令，得，∴点的坐标为．
∵点的坐标为，．
∵点的坐标为，，
．
（3）．
提示：∵点的横坐标为，
∴点的坐标为．
∵点的坐标为，
．
，
，
，．
，，
，点的坐标为，，易得点的坐标为．
设直线的函数表达式为．
将点代入，得，
∴直线的函数表达式为．
令，得，点的坐标为．
，．
如图，作线段的垂直平分线，交于点，连接，则，
，，
，
．，，
，
．
整理，得，解得（负值已舍去），
．

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