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2025~2026学年度第二学期期中考试
八年级数学试题卷
2026.4
注意事项：
1、你拿到的试卷，满分为150分.考试时间为120分钟.
2、本试卷包括“试题卷”和“答题卷”两部分.请你务必在“答题卷”上答题.
一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，满分40分；每小题所给的A、B、C、D四个选项，其中只有一个是正确的）
1.下列二次根式中，属于最简二次根式的是
A. B. C. D.
2.已知，的两条直角边、的长分别为、，则它的斜边的长为
A. B. C. D.
3.已知是一元二次方程的一个解，则
A.8 B. C.4 D.
4.用配方法解方程，下列变形正确的是
A. B. C. D.
5.下列运算正确的是
A. B. C. D.
6.已知，，为常数，且，，则关于的一元二次方程的根的情况为
A.有两个不相等的实数根 B.有两个相等的实数根
C.没有实数根 D.无法判定
7.随着新能源电动汽车的快速增加，绵阳市正在快速推进全市电动汽车的充电桩建设，已知到2024年底，绵阳全市约有4万个充电桩，根据规划到2026年底，全市的充电桩数量将会达到5.76万个，则从2024年底到2026年底，全市充电桩数量的年平均增长率为
A.10% B.15% C.20% D.25%
8.如图，小明和小亮学习了“勾股定理”之后，为了测量风筝的垂直高度，他们进行了如下操作后，测得风筝的垂直高度为
①测得水平距离的长为15米；
②根据手中剩余线的长度计算出风筝线的长为25米；
③牵线放风筝的小明的身高为1.6米.
A.15米 B.20米 C.21.6米 D.26.6米
9.已知实数、分别满足，，则的值为
A. B.2 C或2 D.6或2
10.如图，四个全等直角三角形围成正方形和正方形，连接，分别交，于点，.已知，正方形的面积为10，则图中阴影部分的面积之和为
A.2 B.2.5 C.4.5 D.5
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分）
11.若式子有意义，则的取值范围是_____.
12.已知、、是的三边长，且满足关系式，则的形状为_____.
13.已知，，求的值_____.
14.如果关于的一元二次方程有两个实数根，且其中一个根为另一个根的2倍，则称这样的方程为“倍根方程”.
（1）若是倍根方程，则的值为_____；
（2）若方程是倍根方程，且，则方程的两根分别为_____.
三、（本大题共4小题，每小题8分，满分32分）
15.计算：.
16.解方程：.
17.如图，每个小方格都是边长为1的正方形，点，，，都在格点上.
（1）求四边形的面积；
（2）求的度数.
18.已知关于的一元二次方程.
（1）求证：方程有两个实数根；
（2）若的两边、的长分别是此方程的两个实数根，第三边长为5，当是等腰三角形时，求的值.
四、（本大题共2小题，每小题10分，满分20分）
19.观察下列各式：①②③
（1）请观察规律，并写出第④个等式：_______________；
（2）请用含的式子写出你猜想的规律：____________________；并证明你的结论.
20.某服装店在销售中发现：进货价为每件50元，销售价为每件90元的某品牌服装，平均每天可售出20件.现服装店决定采取适当的降价措施，扩大销售量，增加盈利.经市场调查发现：如果每件服装每降价2元，那么平均每天就可多售出3件.
（1）若要求销售这种服装平均每天盈利1000元，同时又要使顾客得到较多的实惠，那么售价应该定为多少元？
（2）平均每天盈利能否达到1250元？请说明理由.
五、（本大题共2小题，每小题12分，满分24分）
21.阅读材料：
小明在学习二次根式后，发现一些含根号的式子可以写成另一个式子的平方，如：，善于思考的小明进行了以下探索：设（其中，，，均为整数），则有，，.这样小明就找到了一种把部分的式子化为平方式的方法.
请你仿照小明的方法探索并解决下列问题：
（1）当，，，均为正整数时，若，用含，的式子分别表示，，得：_____，_____；
（2）利用（1）中结论填一组合适的正整数，_____+_____（_____+_____）；
（3）化简：.
22.对于代数式，若存在实数，当时，代数式的值也等于，则称为这个代数式的不变值.例如：对于代数式，当时，代数式值等于0；当时，代数式值等于1，我们就称0和1都是这个代数式的不变值.在代数式存在不变值时，该代数式的最大不变值与最小不变值的差记作.特别地，当代数式只有一个不变值时，则.
（1）代数式的不变值是__________，__________；
（2）证明：代数式没有不变值；
（3）已知代数式的不变值为1和3，求、的值.
六、（本题满分14分）
23.已知，如图和都是以为斜边的直角三角形，且，连接.
图1 图2
（1）如图1，和在两侧时，过点作交的延长线于点.
①求证：；
②求证：；
（2）如图2，和在同侧时，猜想线段、、三者之间的数量关系，并给出证明.
2025~2026学年度第二学期期中考试
八年级数学试题参考答案
2026.4
一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，满分40分）
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 B D A A B A C C C A
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分）
11.且
12.等腰直角三角形 13.
14.（1）或（2分）（2）和.（3分）
三、（本大题共4小题，每小题8分，满分32分）
15.解：
.
16.解：
或
，.
17.解：（1）如图.每个小方格都是边长为1的正方形，
；
（2），，，
，
是直角三角形，.
18.（1）证明：由题意知：
，
方程总有两个实数根；
（2）解法一：
①若腰长为5时，则得，求得另一根为2，三边为2，5，5，满足三边关系，符合条件.
②若底边长为5时，解得：，
此时三边为2，2，5，不满足三边关系，舍去；；
解法二：原方程因式分解得，，，
是等腰三角形，，分两种情况：
若，即，三边为2，2，5，不满足三边关系，舍去；
若，即，三边为2，5，5，满足三边关系，符合条件.
.
四、（本大题共2小题，每小题10分，满分20分）
19.解：（1）；
（2）规律：
证明：左边右边
等式成立.10分
20.解：（1）设每件降价元，
由题意列方程，
整理得，
解得，，
要使顾客得到较多实惠，取，售价为元.
答：售价应定为70元.5分
（2）当，
整理得：，
判别式，方程无实数根，
答：平均每天盈利不能达到1250元.10分
五、（本大题共2小题，每小题12分，满分24分）
21.解：（1），；
（2）（答案不唯一）；
（3）令，，则，，解得，，
即.
22.解：（1）3和，5；
（2）令，整理得，
由知方程无实数根，
代数式没有不变值；
（3）将，分别代入，
得，
解得.
六、（本题满分14分）
23.（1）证明：，
，
又，
；
②，，
，，
在和中：
，
，
，，
为等腰直角三角形，，
，
；
（2）解：猜想：，
证明：过作，交于，
，，
，，
在和中：，
，，，
为等腰直角三角形，，
，
.
图1 图2

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