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2025—2026学年下学期期中限时训练
八年级数学
※注意事项：考生答题时，必须将答案写在答题卡上，答案写在试卷上无效．
一、选择题（本题10小题，每题3分，共30分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1．二次根式有意义的条件是（ ▲ ）
A． B．
C． D．
2．如图，在平行四边形中，，则的度数为（ ▲ ）
A． B．
C． D．
3．下列图象中，可以表示是的函数的是（ ▲ ）
A． B．
C． D．
4．下列计算正确的是（ ▲ ）
A． B．
C． D．
5．如图是两人某次棋局棋盘上的一部分，若棋盘中每个小正方形的边长为，则“车”“炮”两棋子所在格点之间的距离为（ ▲ ）
A． B．
C． D．
6．如图所示的木制活动衣帽架是由三个全等的菱形构成的，根据实际需要可以调节，间的距离．若，间的距离调节到，菱形的边长，则的度数是（ ▲ ）
A． B． C． D．
7．由于大风，山坡上的一棵树甲从点处被拦腰折断，其顶点恰好落在一棵树乙的底部处，如图所示．已知，，两棵树的水平距离是，则甲树原来的高度是（ ▲ ）
A． B． C． D．
8．如图所示的是小红从家去图书馆看书，又去超市买东西，然后回家的过程，其中（分钟）表示时间，（千米）表示小红离家的距离，且小红家、图书馆、超市在同一条直线上，则下列叙述不正确的是（ ▲ ）
A．小红从家到图书馆用了15分钟，图书馆离小红家有千米
B．小红在图书馆看书用了60分钟
C．超市离小红家有千米，小红从超市回家的平均速度是千米/分钟
D．从图书馆到超市用了7分钟，图书馆离超市有千米
9．如图，在长方形中，，，点为射线上一个动点，把沿直线折叠，当点的对应点刚好落在线段的垂直平分线上时，则的长为（ ▲ ）
A． B．
C． D．
10．如图①，为矩形的边上一点，点从点出发沿折线运动到点停止，点从点出发沿运动到点停止，它们的运动速度都是，现两点同时出发，设运动时间为，的面积为，若与的对应关系如图②所示，则矩形的面积是（ ▲ ）
A． B． C． D．
二、填空题（每题3分，共15分）
11．计算：的结果为 ▲ ．
12．我国古代园林连廊常采用八角形的窗户设计（如图），其轮廓是一个正八边形，从窗户向外观看，景色宛如镶嵌于一个画框之中．如图的正八边形是其示意图，则的度数是 ▲ ．
13．如图，把两根钢条，的一个端点连在一起，点，分别是，的中点．若，则该工件内槽宽的长为 ▲ ．
14．如图，正方形，，的边长分别为，和．则图中阴影部分的面积为 ▲ ．
15．如图，已知菱形的顶点（，），，点在轴正半轴上．按以下步骤作图：①分别以点和点为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点，；②作直线，交于点，连接，若恰好经过点，则点的坐标为 ▲ ．
三、解答题（本题共8小题，共75分，解答应写出文字说明、演算步骤或推理过程）
16．计算：（每小题4分，共8分）
（1）
（2）
17．（本小题8分）如图，在的正方形网格中，每个小方格的顶点叫做格点，以格点为顶点按下列要求画图．
（1）在图①中，画一个面积为的平行四边形；
（2）在图②中，画一个面积为的正方形；
（3）在图③中，画一个三边长分别为，，的三角形．
18．（本小题8分）如图中的折线是甲地向乙地打长途电话所需要付的电话费（元）与通话时间（分钟）之间的关系的图像．
（1）通话1分钟，要付电话费多少元？通话5分钟要付多少电话费？
（2）如果通话3分钟以上，电话费（元）与时间（分钟）的关系式是，那么通话4分钟的电话费是多少元？
19．（本小题8分）如图，在四边形中，点、在上，且，，．
（1）求证：四边形是平行四边形；
（2）若，，，，求的长．
20．（本小题8分）根据背景素材，探索解决问题．
测量风筝离地面的垂直高度（）
背景素材 风筝起源于中国，最早的风筝是由古代哲学家墨翟制造的，是用木头制成木鸟．后来其学生鲁班用竹子改进，演变成为今日的多线风筝．到南北朝时期，风筝开始成为传递信息的工具；从隋唐开始，由于造纸业的发达，民间
开始用纸来裱糊风筝，称之为“纸鸢”．
操作步骤 ①先测得放飞点与风筝的水平距离为米．
②测得牵线放风筝的手的位置处到地面的距离为米； （备注：点，，，在同一平面内．）
问题解决
任务一 （1）如图，根据手中余线长度，计算出段风筝线的长度为米，求风筝离地面的垂直高度 （提示：过点作于点）
任务二 （2）如图，在任务一的基础上，，若要使风筝沿射线方向再上升米，即米，线段的长度不变，手中剩余的风筝线是多少米时，才能成
功？并说明理由．
21．（本小题10分）随着教育教学改革的不断深入，数学教学如何改革和发展，如何从“重教轻学”向自主学习探索为主的方向发展，是一个值得思考的问题．从数学的产生和发展历程来看分析，不外乎就是三个环节，【阅读观察】－【类比应用】－【拓展延伸】．下面同学们从这三个方面试着解决下列问题，
阅读观察：
二次根式的除法，要化去分母中的根号，需将分子、分母同乘以一个恰当的二次根式．
例如，化简．
解：将分子、分母同乘以得，．
类比应用：
（1）化简：________；
拓展延伸：
宽与长的比是的矩形叫黄金矩形．如图①，已知黄金矩形的宽．
（2）求黄金矩形的长；
（3）如图②，将图①中的黄金矩形裁剪掉一个以为边的正方形，得到新的矩形，求证：矩形是黄金矩形．
22．（本小题12分）在菱形中，，动点在边上，连接，．
（1）如图，若，，求的长；
（2）如图，在上取点，使得，且，连接，点是的中点，连接，延长到点，使得，连接．补全图形，判断与的数量关系，并说明理由．
（3）如图，若，在同一平面上取一点（点与点在的异侧），使得，且，连接．当取到最小值时，求的面积．
23．（本小题13分）在第章的学习中，我们体会了函数关系式与函数图象的对应关系，经历了“根据函数关系式画函数的图象—根据图象研究函数的性质—运用函数的性质解决问题”的学习过程．现在，让我们用由特殊到一般的数学方法，探究函数（为常数）图象及部分性质．
【特例研究】
当时，画函数的图象，经历分析表达式、列表、描点、连线的过程得到函数图象，如图：
… …
… …
我们发现：函数的图象是由两条射线组成的轴对称图形，具有如下性质：图象关于轴（直线）对称；当时，随增大而减小，当时，随增大而增大；当时，函数有最小值．
【类比发现】
（1）当时，即函数，
①在上图的平面直角坐标系中，画出函数的图象；
②观察函数图象，写出此函数的一条性质：
③根据函数的图象与性质，当时，求的取值范围是________；
【深入探究】
（2）观察图象可知，函数的图象可由函数的图象平移得到；若，则函数图象可由函数的图象怎样平移得到呢？
（3）根据函数的图象与性质，当时，函数的最小值为，求的值．2025-2026学年期中八年级数学限时训练参考答案
一、单选题（每小题3分，共30分）
1．B 2．C 3．D 4．C 5．D 6．C 7．B 8．D 9．B 10．A
二、填空题（每小题3分，共15分）
11.1 12.135 13.4 14． 15．
三、解答题（本题共小题，共75分，解答应写出文字说明、演算步骤或推理过程）
16．（1）解：
；
（2）
．
17．（1）解：如图所示，即为所求；
（2）解：如图所示，即为所求；
（3）解：如图所示，即为所求；
18．（1）解：观察图像，可知当时，；当时，，
∴通话1分钟，要付电话费元，通话5分钟要付元；
（2）解：当时，，
∴通话4分钟的电话费是元．
19．（1）证明：，
，
．
，
．
在和中，
（），
，
∴四边形是平行四边形；
（2）解：由（1）可知，四边形是平行四边形，
，．
∵，
．
，
，
．
的长为．
20．解：如图，过点作于点，
，，，
四边形是矩形，
则米，米，．
（米）
（米）；
所以，风筝离地面的垂直高度为米；
（2）剩余线等于或者多余米能成功．
理由：假设能上升米，
米，
（米）．
在中，（米），
米，余线，
剩余线等于或者多余米能成功．
21．（1）化简：．
（2）宽与长的比是的矩形叫黄金矩形，黄金矩形的宽，
黄金矩形的长为：．
故答案为：．
（3）矩形是黄金矩形，理由如下：
由裁剪可知：
根据黄金矩形的性质可知：
，
，
，
所以矩形是黄金矩形；
22．（1）解：，，
，
，
．
，
，
，（舍去），
．
（2）证明：延长到点，使得，连接，
点是的中点，
．
，
．
，
．
，
，
，
．
菱形中，，
，，
，
，
，
．
，，
，
．
，
．
（3）解：过点作于点，在上截取
根据垂线段最短，得当时，最小，此时点与点重合，点与点重合，
菱形中，，
，，，
，．
，
此时，．
菱形的边长为，
根据勾股定理，得，
解得，
，
．
23．（1）解：列表得
… …
… …
描点连线得
如图即为的图象．
②由图可知：此函数的对称轴为直线；（符合要求的一条性质即可）
③由图可知：当时，的取值范围是，
故答案为：；
（2）若，函数图象可由函数的图象向右平移个单位长度得到．
（3）当时，
在对称轴右侧，随的增大而增大，
∴当时，有最小值，
∴，
∴．
当时，
在对称轴左侧，随的增大而减小，
∴当时，有最小值，
∴，
∴．
当时，
在对称轴最小值为，与题意不符，舍去．
综上所述，的值为或

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