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秘密 ★ 启用前
高 2026届高考适应性考试
数 学
注意事项：
1. 考生领到答题卡后，须在规定区域填写本人的姓名、考号和班级。
2. 考生回答选择题时，选出每小题答案后，须用 2B铅笔将答题卡上对应题目的答案标
号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。考生回答非选择题时，须用
0.5mm黑色字迹签字笔将答案写在答题卡上。选择题和非选择题的答案写在试卷或草稿纸上
无效。
3. 考生不得将答题卡带离考场，考试结束后由监考员收回。
一、选择题：本题共 8小题，每小题 5分，共 40分．在每小题给出的四个选项中，只有一
项是符合题目要求的．
1．若复数 z满足 iz 1 i，则 z的虚部为（ ）
A． 1 B． 2 C． i D. 2i
2．已知集合 A x Z x 3 ,B 1,3,5 ，则 A B的元素个数为（ ）
A．5 B．6 C．7 D．8
3 C : y
2 x2
．若双曲线 1 a 0,b 0 的渐近线方程为 y 2x2 2 ，则C的离心率为（ ）a b
A 5． B 6． C． 3 D． 5
2 2
π
4．若点 ( ,0)是函数 f (x) tan(x )的图象的一个对称中心，则 的最小正值为（ ）
6
4π π 5π π
A． B． C． D．
3 3 6 6

5．已知向量 a 3,4 ，b 2,1 ，则向量a在向量b上的投影向量是（ ）
1 r 1 b 2
r
A． B． 2b C． b D． b5 2 5
6. 2x 5 y 的展开式中 x2 y3的系数是（ ）
A．40 B．30 C． 40 D． 30
7. 已知 y f (x 1)是定义在 R上的周期为 2的偶函数，当 x [1, 2]时， f (x) log2 x，设
a f (1) b f (4， ) , c f (
5
)，则 a、b、c的大小关系为( )
2 3 4
A．a c b B． c a b C．b c a D． c b a
8．冷链物流是指冷藏冷冻类物品在生产、贮藏、运输、销售到消费前的各个环节中始终处
于规定的低温环境下，以保证物品质量、减少损耗的系统工程.主要包括初级农产品（如蔬
菜、水果、肉禽蛋等）、加工食品（如速冻食品、冰淇淋等）和特殊商品（如药品等）.已知
某蔬菜的保鲜时间 y（单位：小时）与贮藏温度 x（单位：℃）之间满足： y eax b（其中 a，
b为常数）.若该蔬菜在贮藏温度为 9℃的环境下保鲜时间为 261小时，在 23℃的环境下保鲜
时间为 29小时，且该蔬菜所需物流时间为 87小时，则该蔬菜在物流过程中的贮藏温度不能
超过（ ）
A．12℃ B．14℃ C．16℃ D．18℃
二、选择题：本题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分．在每小题给出的选项中，有多项符合
题目要求．全部选对的得 6 分，部分选对的得部分分，有选错的得 0 分．
9．在正三棱柱 ABC A1B1C1中，D是棱 AC的中点，则（ ）
A． BD C1D B． BD∥B1C1
C．平面 BDC1 平面 ABC D．平面 BDC1 平面 ACC1A1
10．设抛物线 E：x2 4y的焦点为 F，过点 P 0,3 的直线与 E相交于 A，B两点，且 AF 2，
BF 10，则（ ）
0, 1 A．E的焦点坐标为 B． E的准线方程为 y 1
16
C． AB 8 2 D． AOF 的面积为 2
sin A sin B sinC
11． ABC的面积为 1，角 A,B,C分别所对的边为 a,b,c .若 1，且
bc ac ab
cos BcosC 1
,则（ ）
bc 5
A．5sinAcosBcosC 2 B． a2 5
C．b c 4 D．bc 2
三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分．
1 a
12. 若正实数 a b满足 a 1，则 的最大值为__________．
2b b
13．某次调研测试中，考生成绩 X服从正态分布 N 75, 2 ．若P 60 X 90 3 ，则从参
5
加这次考试的考生中任意选取 3名考生，至少有 2名考生的成绩高于 90的概率为
________．（用分数作答）
a 214 ． 数 列 n (1 n 2026,n N
*) 共 2026 项 , 现 剔 除 前 两 项 a1,a2 , 并 将2n 1
a1a2 a1 a2 作为最后一项,组成一个新的数列{bn} ,显然数列{bn}共 2025项。循环此操作
剔除前两项 b1,b2，并将 b1b2 b1 b2 作为最后一项,组成一个新的数列{cn}，显然{cn}共
2024项。依此操作共重复 2025次,则最后还剩下一项,此项为____________.
四、解答题：本题共 5小题，共 77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
15. (本小题满分 13分）
已知等比数列 an 的前n项和为Sn ,且满足 an+1= 2Sn+ 2(n∈N *).
(1)求数列 an 的通项公式;
(2) n求数列 a 的前n项和T .2 n n
1 6.(本小题满分15分）
已知正方形ABCD ,M、N分别是AB、CD的中点，将△ADM沿DM折起，如图所示.
(1)求证：BN //平面AMD ;
(2)若翻折后当△ACD为等边三角形时，求平面ABC与平面BCD夹角的余弦值.
1 7.(本小题满分15分）
已知函数 f(x)的定义域是R，导函数 f (x) = xe-x，设 l是曲线 y= f(x)在点A(a , f(a) (a≠ 0)
处的切线．
(1)求 f (x)的最大值；
(2)当 a< 0时，证明：除切点A外，曲线 y= f(x)在直线 l的上方.
1 8.(本小题满分17分）
x2 y2
已知椭圆C1 : + = 1(a> b> 0) 3，离心率为 .圆C : x2+ y2= 4.4 b2 2 2
(1)求椭圆C1的方程；
(2) 2如图所示，A ,B是曲线C1 ,C2的两个公共顶点，过点 E( , 0)作一直线 l与曲线C1交于3
C ,D两点（D在C的上方）.过D作与 y轴平行的直线与圆C2在 x轴上方交于点D .
①证明AD //BC；

②若直线AC ,BD'交于H ,求证：OE OH为定值.
1 9.(本小题满分17分）
已知 a1 , a2 , , ak是 k个正整数,记M= ai +ai + +ai |1≤i1i *j∈N .
(1)若 k= 4 , j= 3 ,M= 7,9,11,12 ,求 a1+ a2+ a3+ a4的值;
(2)若 k= 9 , j= 8 ,M= 81,83,85,86,88,89,92 ,求 a1 , a2 , , a9中的最大数与最小数的和所
有可能的集合；
(3)若 k= 2n , j= 2n- 1 , a1 , a2 , , a2n是 1 , 2 , 3 , 2n的一个排列.从M中随机取出 n个不同
的数，记取出的数中最小元素为X.求E(X)（用n表示）.
高 2023级高考适应性考试
数学参考答案及评分标准
一、选择题：1．A 2．C 3．A 4．D 5． B 6. C 7． D 8．C
1 i 1 i i1 i 1．解析:由已知条件知： iz 1 i . 所以 z 2 i 1.i i 1
所以该复数的虚部为-1.
2．解析: A x Z x 3 2, 1,0,1,2 ，B 1,3,5 ，
A B { 2, 1,0,1,2,3,5}， A B的元素个数为 7 .
2 2 a
3 y x．解析:由双曲线 y x
a2
2 1，得渐近线方程为 ，又已知双曲线渐近线方程为b b
a c a2 +b2 2 2y 2x 2 . e b 1 5，所以 b = = 2 = 1+ = 1+ =
.
a a a 2 2
π
4.解析:由点 ( ,0)是函数 f (x) tan(x )
π kπ
图象的一个对称中心，得 ,k Z，
6 6 2
kπ π ,k Z π则 ，所以当 k 0时， 取得最小正值为 .
2 6 6
a b 6 4
5．解析: 由题意可得向量a在向量b上的投影向量是： 2 b 2 2 b 2b .
b ( 2) 1
r 3，
6. 5 r解析：由题意T Cr 2x y r Cr 25 r


r 1 5 5 1
r x5 r y r ，令 即 r 3，
5 r 2，
3
故展开式中 x2 y3的系数为C3 25 2 1 40 .
7. 解析:∵ y f (x 1)是定义在 R上的偶函数，∴ （f x 1） （f x 1），故函数 （f x）的图象
关于直线 x 1对称，故有 （f x） （f 2 x）．
再由 y f (x 1)是定义在 R上的周期为 2的函数可得，函数 （f x）也是周期等于 2的函数．
4 5 3 5
故有 a f (
1 ) f (2 1 ) f (3)，b f ( ) , c f ( ) f ( ) f ( ) .又当 x [1, 2]时，
2 2 2 3 4 4 4
f (x) log2 x是增函数，可得 c b a，
8．解析:已知保鲜时间 y与贮藏温度 x的关系为 y eax b（a,b为常数）.
当 x 9时， y 261，代入得： e9a b 261，①
当 x 23时， y 29，代入得： e23a b 29，②设恰好保留 87小时的温度为 x .
则 eax b 87，③ 则①式除以③式得：3 e9a ax ，同理：③式除以②式得：3 eax 23a .
所以9a ax ax 23a，解得 x 16 .
所以该蔬菜在物流过程中的贮藏温度不能超过16 C .
二、选择题：9．AD 10．BC 11．ABD
9．解析:在正三棱柱中， BC∥B1C1，又BD BC B，故 BD与 B1C1不平行，B错误；
易证 BD 平面 ACC1A1，所以 BD C1D，A正确；
∵ BB1 平面 ABC，又 BB1 面BDC1 B ,所以平面 BDC1与平面 ABC不垂直，C错误；
∵ BD 平面 ACC1A1，又 BD 平面 BDC1，所以平面 BDC1 平面 ACC1A1，D正确．
10．解析：因为抛物线 E的方程为 x2 4y，所以 p 2，
则 E的焦点坐标为(0,1)，准线方程为 y 1，所以 A错误，B正确；
设 A x1, y1 ,B x
p
2 , y2 ，则 y1 2 1, y2 10
p
9，
2 2
把 y1 1, y2 9代入 x2 4y x2 2，可得 1 4y1 4, x2 4y2 36，
由抛物线的对称性，不妨设 A( 2,1),B(6,9)，则 | AB | 8 2，选项 C正确；
因为 A( 2,1)
1 1
，则 AOF 的面积 S△AOF |OF | d 1 2 1，选项 D错误．2 2
1
11．解析：由 S ABC bcsin A 1 ,得bcsin A 2
cos BcosC 1
（*）,由 ，
2 bc 5
得5cosBcosC bc，即5sin AcosBcosC bcsin A 2 ,则 A正确.
sin A sin B sinC
又由 1，得asin A bsinB csinC abc，由正弦定理得：
bc ac ab
2 2 2 1 cos 2A 1 cos 2Bsin A sin B sin C bc sin A 2， 可得 sin2 C 2，
2 2
化简可得 cos2A cos2B 2cos2C 0，
即 cos[(A B) (A B)] cos[(A B) (A B)] 2cos 2C 0 （即和差化积）,
可得 2cos A B cos A B 2cos 2C 0 ，由 A B C π，则 cos A B cosC，
代入上式可得 2cosC cos A B 2cos2C 0，即 2cosC cosC cos A B 0 .
cosB cosC 1
因为 0，所以 cosC 0， cosB 0，则 cosC cos A B ，
bc 5
所以C A B 2kπ或C A B 2kπ， k Z .
因为 A,B,C是三角形的内角，所以C A B或C B A，
当C B A时， B A C B π，即 ，不合题意.
2
当C π A B时， A B C，即 A ，所以 sin A 1.由（*），bc 2，则 D正确;
2
A π 时，在 Rt ABC中，cosBcosC bc cos BcosC 1 ，代入 得 a22 5，则 B正确；2 a bc 5
由b2 c2 5，bc 2得b c 3，则 C错误.
1 13
三、填空题： 12． 13． 14．4052
2 125
12 a,b 1 a 1 a
a 1
．解析：因为 均为正实数，所以 2 ，
2b 2b b 2
1
当且仅当 a ，b 1时取等号
2
1 P 60 X 9013． 解析：由已知条件可得：P(X 90) 1 ，故任意选取 3名考生，
2 5
2 3
1 4 1 13
至少有 2名考生的成绩高于 90的概率为 P C23 ．
5 5 5 125
14．解析：第一次变换是：删除两项 a1,a2，添加 a1 a2 a1a2 ，
∵ 1 a1 1 a2 1 a1 a2 a1a2 ，正好是1 新添加的项，
也就是说，数列{an}中每一项加 1的积，等于数列{bn}中每一项加 1的积，也等于数列{cn}
中每一项加 1的积………
2 2 2 2
原数列是 2, , , , , 共 2026 项，
3 5 4049 4051
2026 2 2026 (1 ) (2k 1) 3 5 7 4053每项加 1后，初始乘积为： 4053
k 1 2k 1 k 1 2k 1 1 3 5 4051
每一次变换会让数列的项数减少1，初始有 2026项，经过 2025次变换后，
数列只剩1项，设为 x，根据不变量，有1 x 4053，解得 x 4052 .
四、解答题
15.改编自人教A版选必二P56练习11
解： (1)当n≥ 2时, an+1= 2Sn+ 2 , an= 2Sn-1+ 2相减可得当n≥ 2 , an+1- an= 2an．......... 2分
即 an+1= 3an ,n≥ 2.因为 an 是等比数列, an+1= 3an ,n∈N *． ........． 3分
当n= 1时， a2= 2a1+ 2= 3a1 ,可解得 a1= 2． ........ 4分
数列 an 的通项公式为 an= 2× 3n-1． ........ 6分
(2) ∵ n an=n 3n-1 ........ 7分2
∴ Tn= 1× 30+ 2× 31+ 3× 32+ +(n- 1) × 3n-2+n× 3n-1 , ① ......... 8分
①×3得 3Tn= 1× 31+ 2× 32+ 3× 33+ +(n- 1) × 3n-1+n× 3n ， ② ........ 9分
由①-②得-2Tn= 1× 30+ 1× 31+ 1× 32+ +1× 3n-1-n× 3n， ........ 10分
1×(1-3n- = )即 2T nn - -n× 3 = (
1 -n) × 3n- 1 ， .......... 12分
1 3 2 2
n
化简得Tn= ( - 1 ) × 3n+ 1 ． .......... 13分2 4 4
16.改编自2007年辽宁卷
证明：（1）设正方形边长为 a ,由已知得BM //DN ,且BM=DN= a ,
2
所以四边形BMDN为平行四边形． ......... 2分
DM //BN ,
则DM //BN ,由 BN 平面AMD, 所以BN //平面AMD. .......． 5分
DM 平面AMD,
解： (2)设正方形边长为 a ,则△ACD为边长为 a的等边三角形，
由 N为DC中点，得AN CD． .........7分
又MN CD ,MN∩AN=N ,则CD 平面AMN． ........ 9分
由CD 平面BMDC ,则平面AMN 平面BMDC.
过A作AH MN于H ,则AH 平面BMDC.
过H作HE BC于E ,连接AE，则AE BC，
从而∠AEH为二面角A-BC-D的平面角． ......... 11分
△AMN a 3a中，AM= ,AN= ,MN= a ,易知△AMN为直角三角形.
2 2
由S 1△AMN= AM AN=
1 AH MN ,得AH= 3a .
2 2 4
在矩形BCNM中，易得HE= a .则Rt△AHE中，可求得AE= 7a .
2 4
a
在Rt△AHE中， cos∠AEH= HE = 2 = 2 7 .
AE 7a 7
4
所以平面ABC与平面BCD 2 7夹角的余弦值为 ． .........15分
7
注：（2）也可建立空间直角坐标系求解.
17.改编自 2025年北京卷
解：(1)由 f (x) = xe-x ,得 f (x) = e-x(1- x)， ......... 2分
当 x∈ (-∞ , 1) , f (x)> 0 ,则 f (x)在 (-∞ , 1)单调递增；
当 x∈ (1 ,+∞) , f (x)< 0 ,则 f (x)在 (1 ,+∞)单调递减. ......... 4分
所以 f (x)在 x= 1 1处取得极大值，也即最大值， f '(x) max= f (1) = ． ......... 6分e
证明： (2)点A(a , f(a) (a≠ 0)处的切线 l可表示为： y- f(a) = f (a) (x- a) , .........8分
构造函数 h(x) = f(x) - [ f(a) + f (a) (x- a)] ,
则 h (x) = f (x) - f (a) , a< 0 .当 a< 0时， f '(a) = ae-a < 0 ......... 10分
法一：由（1）可知当 x∈ (-∞ , 0) , f (x)< 0 ,当 x∈ (0 ,+∞) , f (x)> 0 ;
当 x∈ (-∞ , 1)时， f (x)在 (-∞ , 1)单调递增，当 x∈ (1 ,+∞) , f (x)在 (1 ,+∞)单调递减；
(ⅰ)当 x< a< 0时， f (x)单增，则 f (x)< f (a) ,即 h (x)< 0 , h(x)在 -∞,a 单调递减，则
h(x)> h(a) = 0；
(ⅱ)当 0> x> a时， f (x)单增，则 f (x) > f (a) ,即 h (x) > 0 , h(x)在 a,0 单调递增，则
h(x)> h(a) = 0；
(ⅲ)当 x> 0时， f (x)> 0，则 h (x)> 0 , h(x)在 0,+∞ 单调递增，
h(x)> h(0)> h(a) = 0； ......... 14分
综上，除了切点A , h(x)> 0 ,即曲线 y= f(x)在直线 l的上方． ......... 15分
法二：因为函数 h'(x)与 f '(x)的单调性相同，
所以 h'(x)在 -∞,1 单调递增，在 1,+∞ 单调递减，且 h'(a) = 0. ......... 9分
当 x∈ -∞,a 时， h'(x)< 0 , h(x)在 -∞,a 单调递减;
当 x∈ a,+∞ 时，在 x→+∞时， f (x) → 0 ,则 h'(x)> 0 , h(x)在 a,+∞ 单调递增.
且 h(a) = 0.即 h(x)≥ 0 ,当且仅当 x= a时， h(x) = 0.
综上，除了切点A , h(x)> 0 ,即曲线 y= f(x)在直线 l的上方． ......... 15分
注：本题可先求出 f(x) = c- (1+ x)e-x(c为常数），但并不需要.
18.改编自湘教版教材选必一P173习题19
解： (1)由题意知， a= 2 , e= c = 3 ,则 c= 3 , b2= a2- c2= 4- 3= 1 ,
a 2
x2
所以椭圆C1的方程为 + y2= 1． ......... 3分4
(2) 2①直线 l的斜率不为 0，设 l的方程为： x= ty+ ,C(x1 , y1) ,D(x2 , y3 2).
x=ty+
2 ,
3
联立 2 可得 9(t2+ 4)y2+ 12ty- 32= 0 ,x 2
+y =1,4
由 = 144t2+ 36(t2+ 4) × 32> 0.
y + y =- 4t则 1 2 , y1y2=- 32 ． ......... 6分
3(t2+4) 9(t2+4)

由D在椭圆上，D 在圆上，易知D (x2 , 2y2) ,则AD' = (x2+ 2 , 2y2) ,BC = (x1- 2 , y1).
∵ x1= ty + 21 , x2= ty + 22 ......... 8分3 3
∴ 2y2(x1- 2) - y (x 2 2 81 2+ 2) = 2y2(ty1+ - 2) - y1(ty2+ + 2) = ty1y2- (y1+ y2)3 3 3
代入韦达定理得 ty1y
8
2- (y1+ y2) = t(- 32 ) - 8 (- 4t ) = 0 ,3 9(t2+4) 3 3(t2+4)

则AD'//BC，从而AD //BC． ........． 11分
= y1 ( + ) , 2y②直线AC 2的方程为： y + x 2 直线BD 的方程为： y=x1 2 x2-
(x- 2) ,
2
y1
则 (x+ 2) = 2y2 (x- 2) ,
x1+2 x2-2
2
x +2 2y (x +2) 2y2(ty1+ 3 +2) 2y (ty +
2 +2) 2ty y + 16 y
∴ H 2 1
2 1 1 2 2
- = = =
3 3
= ......... 13分
xH 2 y (x -2) y (ty + 21 2 1 2 3 -2) y1(ty2+
2
3 -2) ty y
4
1 2- 3 y1
8(y +y )
由①中韦达定理可知 ty 1 21y2= ,代入可得：3
2ty1y + 16 y 16 (y +y )+ 16 y 162 3 2 3 1 2 3 2 3 y +
32
1 3 y2= = = 4 ,
ty1y2- 43 y
8 4 4 8
1 3 (y1+y2)- 3 y1 3 y1+ 3 y2
xH+2 10即 = 4 ,可解得 x = ． ......... 15分
xH-2 H 3
10 H( ,m) , OH = ( 10
2
由题意，可设 则 ,m) ,又OE= ( , 0) ,从而OE OH = 20 .
3 3 3 9

OE OH 20所以， 为定值 ． ......... 17分
9
19.解： (1)当 k= 4 , j= 3时， a1 , a2 , a3 , a4是 4个正整数，M是这4个正整数中任取其中3个数的
和构成的集合，且集合M恰好有4个数.
由条件可知， a1 , a2 , a3 , a4这 4个正整数互不相同． ......... 2分
令S= a1+ a2+ a3+ a4 ,Si=S- ai ,
则 7+ 9+ 11+ 12= 3S ,S= 13.即 a1+ a2+ a3+ a4= 13． ......... 4分
(2)当 k= 9 , j= 8时， a1 , a2 , , a9是9个正整数，M是这9个正整数中任取其中8个数的和构
成的集合，且集合M只有7个数.由条件可知， a1 , a2 , a3 , , a9这9个正整数中必有2个数或者1
个数重复． ......... 6分
令S= a1+ a2+ +a9 ,Si=S- ai ,
则 81+ 83+ 85+ +92= 8S+m+ t，其中m , t∈M .
S= 604+m+t整理可得 = 75+ 4+m+t , S 4+m+t由 是整数， 必为整数． ......... 8分
8 8 8
①当m , t= 4+m+t 81,83 ,满足 为整数，所以S= 96,
8
所以, a1 , a2 , , a8中最大的数为: 96- 81= 15,最小数为 96- 92= 4,
所以它们的和为 19． ......... 9分
②当m , t= 89,83 4+m+t 或者 86 ,满足 为整数，所以S= 97,
8
所以, a1 , a2 , , a8中最大的数为: 97- 81= 16,最小数为 97- 92= 5,
所以它们的和为 21． ......... 10分
③当m , t= 92,88 , 4+m+t 满足 为整数，所以S= 98,
8
所以, a1 , a2 , , a8中最大的数为: 98- 81= 17,最小数为 98- 92= 6,
所以它们的和为 23． ......... 11分
综上， a1 , a2 , , a9中的最大数与最小数的和所有可能的集合为 19,21,23 ． ......... 12分
2n
(3)当 k= 2n , j= 2n- 1时，记S= ai=n(2n+ 1)， ......... 13分
i=1
且M= S-ai|i=1,2, 2n = S-1,S-2, ,S-2n ......... 14分
从集合M中随机取出n个不同的数（等可能），记取出的数中最小值为X.
则X=S- (ai)max ,
记Y是从 1,2, 2n 中均匀随机选取的n的元素的最大值.
n-1
共有Cn2n种取法，P(Y= k) =
Ck-1 . ......... 15分
Cn2n
2n 2n
E(Y) = kP(Y= k) = 1 kCn-1k-1 ,又nCnk = kCn-1n k-1 ,
k=n C2n k=n
2n 2n
E(Y) = 1 nCn= n Cn ,
Cn
k n k
2n k=n C2n k=n
2n
方法一： Cnk =Cnn+Cnn+1+ +Cn =Cn+1 n n n+1 n n n+12n n+1+Cn+1+ +C2n=Cn+2+Cn+2+ +C2n=C2n+1.
k=n
方法二：Cn+12n+1可理解为从 2n+ 1个不同的元素里选出n+ 1个元素的总的方案数.
Cn+Cnn n+1+ +Cn2n可理解为按选出的n+ 1个元素里最大的那个元素来分类计算：
若最大元素是第n+ 1个，则剩下的n个元素要从前面n个里选：Cnn ;
若最大元素是第n+ 2个，则剩下的n个元素要从前面n+ 1个里选：Cnn+1 ;

若最大元素是第2n+ 1个，则剩下的n个元素要从前面2n个里选：Cn2n ;
所有情况加在一起，即Cnn+Cn nn+1+ +C2n=Cn+12n+1成立.
即E(Y) = n+ (2n+ 1).n 1
2
而E(X) =S-E(Y) =n(2n+ 1) - n+ (2n+ 1) =
n
n 1 n+ (2n+ 1)． ......... 17分1
热身考试大礼包
预祝同学们一切顺利！高考大捷！
7．圆与椭圆有密切联系，将圆在同一方向等比例“压缩”或者“拉伸”，圆会变形为椭圆；同
样的，将椭圆在同一方向等比例“压缩”或者“拉伸”，椭圆会变形为不同的椭圆或圆．已知二
面角 l 的大小为60 ，半平面 内的圆C在半平面 上的正投影是椭圆C1,C1在半平面
上的正投影是椭圆C2 ，则椭圆C2 的离心率为（ ）
A 3． B 15 7 1． C． D．
2 4 4 4
7.答案 B 解析：不妨设圆C与 l切于点O，过O作与 l垂直的平面分别交半平面 ， 于
射线OA，OB（如图）.设圆的半径为 r r 0 ，椭圆C1，C2 的中心分别为C1，C2 ，长短半
轴分别为 a1，b1，a2，b2，
则 a1 a2 r，b1 OC1，b2 OC2，而 AOB 60 ，
由平面几何知识易得，b2 b1·cos60
1
b 11 OC cos60
1
r
2 2 4
r 2 1 r 22 2
故椭圆C2 的离心率 e a2 b 2 16 15 .2 a22 r
2 4
12．如图， O是地球的示意图，其中 AB表示赤道，CD，EF分别表示北回归线和南回归
线， DOB FOB 23.5 .夏至日正午时，太阳光线GD所在直线经过地心O，此时点 F处
的太阳高度角 IFH (即平行于GD的光线HF与 O的切线 FI 所成的锐角 )的大小为___ .
12．答案:43 解析 DOB FOB 23.5 ，
DOF DOB FOB 47 ，
GD / /HF， OFH 180 DOF 180 47 133 ，
FI 是 O的切线，
OF FI ，则 OFI 90 ，
则 IFH 133 90 43 .
8 2．已知实数a,b满足 a b log2a 2log 2b，则 a,b的大小关系不可能是（ ）
A． a b 1 B． b a 1 C．1 a b D．1 b a
B 1. : a2 log a b 4log b b log b 4答案 解析：（法 同构法）由 已知变形得 2 2 2 ，
令 g(x) x2 log 2x(x 0)，函数单调递增.
b 1 2令 时， a log a 1 4 7 (1)2 log 1 12 2 2 ,2 2 2 4 4 16
a 1 b 1， 所以 A对.
4
b 2 a2令 时， log2a 2 4 6 2
2 log 22 5 , a 2 b 1 , 所以 D对.
令b 4 a2时， log2a 4 8 12 4
2 log 24 18 , 1 a 4 b , 所以 C对.
2
（法 2.图象法）解析:由已知变形得: a log2a b 4log 2b
f x x2 log x x 4log x x2令 2 2 x 3log 2 x ，
则 f x 2x 1 3 ，令 g x 2x 3 3 1 ，则 g x 2
x ln 2 x ln 2 x2
0，所以 f x 单调
ln 2
递增，对于选项 A,B，当 x 0,1 时，
f x f 1 3 1 0，所以 f x 在 0,1 单调递减，
ln 2
所以 f x f 1 0 2，即函数 y x log2 x始终在函数 y x 4log2 x上方，
2
如图所示.若 a log2 a b 4log 2b，则 a b 1，A正确，B错误；
对于选项C ,D，因为 f 1 0， f 2 3 3 0，且 f x 单调递增，
2 ln 2
所以 x0 1,2 ， f x0 0，
且 x 1, x0 时， f x 0， x x0 , 时， f x 0，
所以 f x 在 1, x0 单调递减，又 f 1 0，所以 f x 0在 1, x0 恒成立，
当 x x0 , 时， f x 单调递增，
因为 f 2 4 2 3 1 0， f 3 9 3 3log2 3 9 3 6 0，
所以 x1 2,3 ， f x1 0，
所以 x 1, x1 时， f x 0恒成立； x x1, 时， f x 0恒成立，
即 x 1, x y x21 时，函数 log2 x始终在函数 y x 4log2 x下方；
x x1, 2时，函数 y x log2 x始终在函数 y x 4log2 x上方.如图，
2
若 a log2 a b 4log 2b，则1 a b，或1 b a，C ,D正确；
10．抛物线有如下光学性质：由其焦点射出的光线经抛物线反射后，沿平行于抛物线对称轴
的方向射出；反之，平行于抛物线对称轴的入射光线经抛物线反射后必过抛物线的焦点.已
知抛物线C : y2 2 px p 0 ,O为坐标原点，一条平行于 x轴的光线 l1从抛物线内的点 P（ P
不在 x轴上）射入，经过C上的点 A反射，再经C上另一点 B反射后，沿直线 l2射出并经过
点Q，则（ ）
41
A．若 P , 44
, p 4，则 S△AOB 8

41
B．若 P , 4

, p 2，则 PB平分 ABQ
4
C．若 p 4，延长 AO交直线 x 2于点M ，则M ,B,Q三点共线
D．若 p 2，过 B作 x轴的平行线交抛物线的准线于点 N ,S△OBA 3S△OBN，则直线 AB的斜
率 k 2
答案 ABC 解析：作出示意图，如图所示.
对 A，若 p
41
4，则C : y2 8x P , 4 ，又点 ，所以 A 2,4 .易知C的焦点
4
F 2,0 ，
所以 AB x轴，则 AB 2p 8 1 1，所以 S△AOB OF AB 2 8 8，故2 2
A正确.
41 2
对 B，若 p 2，则C : y2 4x，又点P , 4

，所以 A 4,4 ，易知4 xAx
2
B 1， 4
x 1 AB x x p 4 1 2 25所以 B ， A B ，则 AP
41 4 25 AB .
4 4 4 4 4
所以 APB ABP，又∠APB ∠PBQ，所以 ABP PBQ，
即 PB平分 ABQ，B正确.
y y y
对 C，若 p 4 A M M，延长 AO交直线 x 2于点M ，则 kOA kOM，即 x ，A xM 2
16 16
则 yM y ，易知 yA yB p
2 16，则 yB y ，所以 yB yM，A A
则M ,B,Q三点共线，故 C正确.
对 D，易知 A,O,N三点共线，设 A x1, y1 y1 0 ,B x , y 22 2 ，则 y1y2 p 4 .
2
2
因为 S△OBA 3S△OBN，所以 OA 3ON ，所以 y1 3y2 .由 y
y1
1y2 4,y1 0，3
得 y1 2 3，则 A 3,2 3 2 3 0，又焦点 F 1,0 ，所以 k kAF 3，故 D不正确.3 1
2 2
速解：对于 A S p 4， △AOB 8( 是直线 AB的倾斜角），故 A正确.2sin 2sin90
对于 C，设抛物线 y2 2 px( p 0)的焦点为 F，经过点 F的直线交抛物线于 A,B两点，O为
坐标原点，直线 AO交准线于点M ，则 BM∥x轴.反之亦成立.故 C正确.
15.(本小题满分13分）
已知等比数列 an 的前n项和为Sn ,且满足 an+1= 2Sn+ 2(n∈N *).
(1)求数列 an 的通项公式.
(2)定义数列 bn= a1C 0 1n- a2Cn+ a3C 2- a C 3+ + (-1)na Cnn 4 n n+1 n , n∈N * .求数列 bn 的前 n项
和Tn.
(3) 1 1 1 1定义数列 bn= 3an- 2 ,求证 + + + < .b1 b2 bn 2
15.改编自人教A版选必二P56练习11
解： (2)bn= a1C0n- a 12Cn+ a C2 3 n n3 n- a4Cn+ +(-1) an+1Cn
= a [C0- qC11 n n+ q2C2 3 3 n n nn- q Cn+ +(-1) q Cn]= a (1- q)n1 ， ......... 9分
又 a1= 2 , q= 3 ,即 bn= 2 (-2)n， ......... 11分
= (-2) [1-(-2)
n]
Tn 2 = 4 [(-2)n- 1]． ......... 13分
1-(-2) 3
注：也可使用数学归纳法，先猜后证.
(3)bn= 2× 3n- 2 , ......... 7分
1 + 1 + + 1 1 1 1 1= ( + + ) ......... 8分
b 1 2 n1 b2 bn 2 3 -1 3 -1 3 -1
1 ( 1 + 1 + + 1 )< 1 ( 2 + 2 + + 2 ) = 1 + 1 + + 1方法一： ,
2 31-1 32-1 3n-1 2 31 32 3n 31 32 3n
1 1 n
1 + 1 + + 1 < 1
[1-(
+ 1 + + 1 = 3 3
) ]
= 1 [1- ( 1
n
) ]< 1即 ......... 13分
b b b 31 21 2 n 3 3n 1- 1 2 3 23
方法二： 3n- 1= 2× 3n-1+ 3n-1- 1≥ 2× 3n-1 ,
1 = 1所以 ≤ 1 ,
bn 2×(3n-1) 4×3n-1
1 n
1 + 1 + + 1 < 1 ( 1 + 1 1 1
1-( ) n
+ + )= [ 3 ]= 3 [1- ( 1 ) ]< 3 < 1 . 13分
b b b 4 30 31 3n-11 2 n 4 1- 1 8 3 8 23
1 7.已知函数 f(x)的定义域是R，且 f(0) = 0 ,导函数 f (x) = xe-x，设 l1是曲线 y= f(x)在点A
(a , f(a) (a≠ 0)处的切线．
(1)求 f (x)的最大值；
(2)当 a< 0时，证明：除切点A外，曲线 y= f(x)在直线 l1的上方；
(3)若 a> 0 ,设过点A的直线 l2与直线 l1垂直， l1， l2与 x轴交点的横坐标分别是 x1、 x2.求
2a-x1-x2
- 的取值范围．x2 x1
(3)易知 f(a) ≠ 0 , f '(a) ≠ 0.
f(a)
由（2）可知， l1 : y- f(a) = f (a) (x- a) ,令 y= 0 , x1=- + a； ......... 11分
f (a)
l : y- f(a) = -12 (x- a) ,令 y= 0 , x

2= f(a)f (a) + a； ......... 12分
f (a)
2a+ f(a) 1 2a-x -x ( ) -a- f(a)f (a)-a ( ) - f (a)1 2 f a f a 1- f (a) 2 代入 = = =
x2-x1 ( ) 1 f a f (a)+ f(a) + f (a) 1+ f
(a) 2

f (a) f (a)
=-1+ 2 , ......... 13分
1+ f (a) 2
1 1 2 2e2
由（1）可知当 a> 0 , f (a) ∈ (0 , ] ,所以 f (a) 2∈ (0 , ] , ∈ [ , 2) ,
e e2 1+ f (a) 2 e2+1
2a-x 2
则 1
-x2
- ∈[
e -1 , 1)．
x2 x e21 +1
2a-x 2
所以 1
-x2 e -1
x2-
的取值范围是 [ , 1). ......... 15分
x 21 e +1

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