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2025-2026学年山东省青岛市第九中学高一（下）期中数学试卷
一、单项选择题：本大题共8小题，共40分。
1.若复数z满足（1-2i）z=4-3i,则z的虚部为（　　）
A. i B. -i C. 1 D. -1
2.设x，y∈R，向量=（x，1），=（1，y），=（2，-4），且⊥，，则x+y=（　　）
A. 0 B. 1 C. 2 D. 3
3.给出下列四个命题：
①若平面α∥平面β，直线a α，直线b β，则a∥b；
②若直线a∥直线b,直线a∥平面α，直线b∥平面β，则α∥β；
③若平面α∥平面β，直线a α，则a∥β；
④若直线a∥平面α，平面α∥平面β，则a∥β.
其中真命题的个数为（　　）
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
4.已知上、下底面半径分别为1，2的圆台的体积为7π，则该圆台外接球的体积为（　　）
A. B. 20π C. D.
5.如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，M，N，P分别是C1D1，BC，A1D1的中点，则下列说法不正确的是（　　）
A. 直线BD1与NM是异面直线 B. MP∥AC
C. CM∥平面BB1D1D D. 直线CP，BD1，AM相交于一点
6.在△ABC中，A＝30°，AB＝2，且△ABC的面积为，则△ABC外接圆的半径为( )
A. B. C. 2 D. 4
7.柱是建筑物中用来承托建筑物上部重量的直立的杆体，俗称“柱子”.柱子在各个时期既有延续与继承，又有发展和变化，如方柱在秦代时开始出现，而在汉代时则又增加了八角形柱、束竹式柱、人像柱等.某凉亭的一根正三棱形柱子可近似看作如图所示的图形，记该正三棱柱为ABC-A1B1C1，其底面边长是3，侧棱长是，M为A1C1的中点，N是侧面BCC1B1上一点，且MN∥平面ABC1，则点N的轨迹长为（　　）
A. 27 B. C. 12 D. 6
8.如图，“六芒星”是由两个边长为2正三角形组成，中心重合于点O且三组对边分别平行，点A，B是“六芒星”（如图）的两个顶点，动点P在“六芒星”上（内部以及边界），则的取值范围是（　　）
A. B. C. D.
二、多项选择题：本大题共3小题，共18分。
9.如图，向量，对应的复数分别为z1，z2，则下列选项正确的是（　　）
A. Z1，Z2间的距离为
B. 为纯虚数
C. z1z2在复平面内对应的点位于第一象限
D. 若，则
10.在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a,b,c,sinAsinBsinC=，且△ABC的面积为1，则下列命题正确的是（　　）
A. △ABC的外接圆半径为1 B. abc=4
C. b2+c2≥4 D. △ABC可能为钝角三角形
11.如图，在棱长为2的正方体ABCD-A1B1C1D1中，点M在线段BC1（不包含端点）上，则下列结论正确的是（　　）
A. 三棱锥D1-AMC的体积随着点M的运动而变化
B. 异面直线A1M与AD1所成角的取值范围是
C. 直线A1M∥平面ACD1
D. 三棱锥M-ACD1的外接球表面积的最小值为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知非零向量，满足，且在向量方向上的投影向量为，则，的夹角为 .
13.如图，在圆锥PO中，PO=4，B，C为圆O上的点，且OB=2，，若D为PC的中点，E为OB的中点，则异面直线DE与PB所成角的余弦值为 .
14.如图，在△ABC中，∠BAC=，，P为CD上一点，且满足，若△ABC的面积为，则的最小值是 .
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题12分)
如图所示，直三棱柱ABC-A1B1C1的底面是边长为2的正三角形，点E，F分别是棱CC1，BB1上的点，点M是线段AC的中点，EC=2FB=2.
（1）求证BM∥平面AEF；
（2）若C1E=BF，求多面体AEF-A1B1C1的体积
16.(本小题12分)
如图，四边形ABCD中，，AB=3，BC=2，且∠ABC为锐角.
（1）求BD；
（2）求△ACD的面积.
17.(本小题15分)
如图，在四棱锥P-ABCD中，四边形ABCD是平行四边形，AC，BD交于点O，点E是棱PB上的一点，且PD∥平面EAC.
（1）求证：点E是PB的中点；
（2）在棱BC上是否存在点G，使得平面EOG∥平面PCD？若存在，请加以证明，并写出的值；若不存在，请说明理由.
18.(本小题19分)
在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a,b,c,且bsinB-csinC+（c-a）sinA=0.
（1）求角B；
（2）如图，∠ABC的角平分线交AC于点D，且a=3，c=4，
（i）求BD的长度；
（ii）若AB边上的中线CE与BD相交于点F，求∠DFE的余弦值.
19.(本小题19分)
人工智能和大模型的领域内，文字、图象等信息常常是由向量表示的，通过计算向量之间的相似度，就可以说明两段文字或两张图片所表达内容的关联度.非零向量，之间的相似度的一种定义为.
（1）菱形ABCD中，∠BAD=60°，点P在直线CD上.若AP⊥AD，求；
（2）在信息处理的过程中，有时为了增加，的相似度，会选取合适的正实数λ，μ，调整为，后再纳入模型计算.
（i）对于任意不共线的向量，，证明：；
（ii）设，夹角θ为锐角.若λ+μ=2，且，讨论和cosθ+1的大小关系，并说明理由.
1.【答案】C
2.【答案】A
3.【答案】A
4.【答案】C
5.【答案】C
6.【答案】C
7.【答案】B
8.【答案】A
9.【答案】ABD
10.【答案】ABC
11.【答案】BC
12.【答案】
13.【答案】．
14.【答案】．
15.【答案】证明：取AE的中点O，连接OF，OM，∵O，M分别为AE，AC的中点，
∴OM∥CE，，而BF∥CE，且EC=2FB=2，∴OM∥FB，
且OM=FB，∴四边形OMBF为平行四边形，∴BM∥OF，
又∵BM 平面AEF，OF 平面AEF，∴BM∥平面AEF
16.【答案】解：（1）∵，∴AB BC sin∠ABC=，
又AB=3，BC=2，则×3×2×sin∠ABC=，
∴sin∠ABC=，
∵∠ABC是锐角，∴．
由余弦定理可得AC2=AB2+BC2-2AB BC cos∠ABC=7，则AC=．
∵，∴BD是四边形ABCD外接圆的直径，
∴BD是△ABC外接圆的直径，利用正弦定理知BD==×=；
（2）由，BD=，AB=3，BC=2，
则AD=，CD=，又，则 ，
因此S△ACD=AD CD sin∠ADC
=×××=，
故△ACD的面积为．
17.【答案】证明见解析．
存在点G，证明见解析，．
18.【答案】；
（i）；（ii）．
19.【答案】 （i）由可得，
，
，
所以，
因此，，
设，
所以，
要证，
即证，只需证Y2＜X2；因为，为不共线的向量，则，
所以，即X2＜Y2，
因此成立；（ii）当时，；当时，；当时，；理由如下：
由（i）知，
所以，
由λ+μ=2可得（λ+μ）2=4，则λ2+μ2=4-2λμ，
代入上式可得，
因为，夹角为θ，所以，
代入化简，
令m=λμ，由λ+μ=2，λ≠μ，λ，μ＞0，则，所以0＜m＜1，
因为，
化简得，
由题意知夹角，则cosθ∈（0，1），
所以，
当m（cosθ+3）-2＞0，即时，，所以；当m（cosθ+3）-2=0，即时，，所以；当m（cosθ+3）-2＜0，即时，，所以；综上所述：当时，；当时，；当时，
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