资源简介

2025-2026学年四川省成都市青羊区树德中学高二（下）期中数学试卷
一、单项选择题：本大题共8小题，共40分。
1.若1，a1，a2，a3，7成等差数列；1，b1，b2，125成等比数列，则等于（　　）
A. 8 B. C. D. 4
2.若f（x）=e-2x+1，则f（x）在处的切线方程为（　　）
A. 2x+y-2=0 B. 2x-y=0 C. 2x+y-e-1=0 D. 2ex+y-2e=0
3.在（x+y）（x-2y）5的展开式中，x3y3的系数为（　　）
A. 120 B. 80 C. 40 D. -40
4.树德中学有甲乙等5名同学约好去看三场不同的世界杯比赛，每名同学可自由选择观看其中的一场比赛，且每场比赛都有同学观看，且甲乙去看同一场比赛，则不同选择的种数为（　　）
A. 30 B. 36 C. 72 D. 108
5.若函数f（x）=lnx+ax2-4在区间内存在单调递增区间，则实数a的取值范围是（　　）
A. B. C. （-2，+∞） D. [-2，+∞）
6.已知双曲线=1（a＞0，b＞0）的左、右焦点分别为F1，F2，点A的坐标为，点P是双曲线在第二象限的部分上一点，且∠F1PF2=2∠F1PA，点Q是线段PF2的中点，且F1，Q关于直线PA对称，则双曲线的离心率为（　　）
A. 3 B. 2 C. D.
7.已知定义在R上的函数f（x）的导数为f′（x），f（1）=e,且对任意的x满足f'（x）-f（x）＜ex，则不等式f（x）＞xex的解集是（　　）
A. （-∞，1） B. （-∞，0） C. （0，+∞） D. （1，+∞）
8.如图所示的挂件由7个圆组成，中心圆为主挂件，从中心向三个方向延伸出分挂件，每个方向有两个分挂件，靠近主挂件的为第一层分挂件，远离主挂件的为第二层分挂件.现用四种不同的颜色给所有的挂件涂色，要求相邻的挂件涂不同的颜色，且同一层的分挂件涂不同的颜色，则所有的涂色方法种数为（　　）
A. 54 B. 154 C. 264 D. 286
二、多项选择题：本大题共3小题，共18分。
9.已知抛物线y2=4x的焦点为F，过F的直线交抛物线于A（x1，y1），B（x2，y2）两点，Q为抛物线上一个动点，且P（2，1），则（　　）
A. |AB|的最小值为4 B. 以AF为直径的圆与抛物线的准线相切
C. D. |PQ|+|QF|的最小值为3
10.已知事件A，B，且，，，则（　　）
A. B. P（B）=P（A）
C. D.
11.数列{an}，{bn}满足函数，其中，fn+1（x）=fn′（x），n∈N*，现令，则（　　）
A.
B. cn为公差为的等差数列
C. {（-1）ncn}的前2026项和为1013
D. n≥2，n∈N*，
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知一个圆锥的母线长为1，其高与母线的夹角为45°，则该圆锥的体积为______．
13.甲袋子中装有3个白球和2个红球，乙袋子中装有4个白球和4个红球，先随机取一个袋子，再从该袋子中不放回的取两次，每次取一个球，则在第一次取出的球是红球的条件下，第二次取出的球是白球的概率为 .
14.函数f（x）=ax2ex-2lnx-x+b（a＞0）有且仅有一个零点，则a2+b最小值为 .
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题13分)
如图，在四棱锥P-ABCD中，BC∥AD，AB=BC=1，AD=3，点E在AD上，且PE⊥AD，PE=DE=2.
（1）若F为线段PE中点，求证：BF∥平面PCD.
（2）若AB⊥平面PAD，求平面PAB与平面PCD夹角的余弦值.
16.(本小题15分)
某种资格证考试，每位考生一年内最多有3次考试机会，一旦考试通过，便可领取资格证书，不再参加后续考试，否则继续参加考试，直至用完三次机会.某考生小王决定参加考试，如果他参加考试通过的概率依次为0.4，0.6，0.8，且每次考试是否通过相互独立，试求：
（1）小王在一年内领到证书的概率；
（2）小王在一年内参加考试次数X的分布列；
（3）假设每次考试需缴纳80元报名费，求小王在一年内缴纳的报名费Y（单位：元）的分布列.
17.(本小题15分)
已知数列{an}的前n项和为Sn，a1=2，且满足.
（1）求数列{an}的通项公式；
（2）若bn=nlog2an+1，求数列的前n项和Tn；
（3）对于 n∈N*，（-1）n λ＜Tn恒成立，求实数λ的取值范围.
18.(本小题17分)
设椭圆+=1（a＞b＞0）的左顶点为A，上顶点为B．已知椭圆的离心率为，|AB|=．
（1）求椭圆的方程；
（2）设P，Q为椭圆E上异于点A的两动点，若直线AP、AQ的斜率之积为．
①证明直线PQ恒过定点，并求出该点坐标；
②求△APQ面积的最大值．
19.(本小题17分)
已知函数.
（1）求f（x）在（0，+∞）上的极值；
（2）若x3f（x）＞asinx在（0，π）上恒成立，求实数a的取值范围；
（3）若存在正实数m使得函数h（x）=f（x）-m在（0，+∞）上有两个不同的零点x1，x2，证明：lnx1+lnx2＞2-lnm.
1.【答案】A
2.【答案】A
3.【答案】D
4.【答案】B
5.【答案】C
6.【答案】C
7.【答案】A
8.【答案】C
9.【答案】AD
10.【答案】BCD
11.【答案】ABD
12.【答案】
13.【答案】．
14.【答案】．
15.【答案】证明：取PD的中点为S，则SF∥ED，，
而ED∥BC，ED=2BC，故SF∥BC，SF=BC，
故四边形SFBC为平行四边形，
故BF∥SC，而BF 平面PCD，SC 平面PCD，
所以BF∥平面PCD
16.【答案】0.952 X的分布列为：
X 1 2 3
P 0.4 0.36 0.24
Y的分布列为：
Y 80 160 240
P 0.4 0.36 0.24

17.【答案】an=2n（n∈N*） Tn= （-，）
18.【答案】（1）解：由题意，，解得.
∴椭圆的方程为；
（2）①证明：当直线PQ的斜率存在时，设PQ：y=kx+m，
与椭圆方程联立，可得（4k2+3）x2+8kmx+4m2-12=0．
设P（x1，y1），Q（x2，y2），则，，
又A（-2，0），∴，，
由，得（x1+2）（x2+2）+4y1y2=（x1+2）（x2+2）+4（kx1+m）（kx2+m）
==0，
代入根与系数的关系并整理得：（m-2k）（m+k）=0，
得m=2k或m=-k，
当m=2k时，PQ：y=kx+2k，直线过定点（-2，0），不合题意；
当m=-k时，PQ：y=kx-k，直线过定点（1，0），符合题意．
当直线PQ的斜率存在时，P（1，），Q（1，-），满足直线AP、AQ的斜率之积为．
综上所述，直线PQ恒过定点（1，0）；
②解：由①知，直线PQ恒过定点（1，0），设为M，
故当△APQ面积最大时，PQ⊥AM，即PQ与x轴垂直时，△APQ面积最大，
此时|AQ|=3，|AM|=3，则△APQ面积的最大值为．
19.【答案】极小值为，无极大值 （-∞，1] 已知h（x）=f（x）-m有两个零点x1，x2，
则：，，
两边取对数，得x1-2lnx1=lnm，x2-2lnx2=lnm，
两式相减，得x1-x2=2（lnx1-lnx2）；两式相加，得x1+x2-2（lnx1+lnx2）=2lnm；要证lnx1+lnx2＞2-lnm，即证x1+x2-2lnm＞4-2lnm，即证x1+x2＞4，
令，则x1=tx2，
由x1-x2=2（lnx1-lnx2），得tx2-x2=2lnt，
解得，，
则需证，即证lnt+tlnt＞2（t-1），
令F（t）=tlnt+lnt-2t+2（t＞1），
求导得：，
再次求导得：，
故F'（t）在（1，+∞）上单调递增，
则F'（t）＞F'（1）=0，即F（t）在（1，+∞）上单调递增，
故F（t）＞F（1）=0，即x1+x2＞4成立，
因此lnx1+lnx2＞2-lnm
第1页，共1页

展开更多......

收起↑