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2025-2026学年广东省肇庆市端州中学高一（下）期中数学试卷
一、单项选择题：本大题共8小题，共40分。
1.已知i是虚数单位，复数z=（x2-4）+（x+2）i是纯虚数，则实数x的值为（　　）
A. 2 B. -2 C. ±2 D. 4
2.已知和都是单位向量，则的取值范围（　　）
A. （0，1） B. （0，2） C. [0，2] D. [0，1]
3.两条直线a，b分别和异面直线c，d都相交，则直线a，b的位置关系是（　　）
A. 一定是异面直线 B. 一定是相交直线
C. 可能是平行直线 D. 可能是异面直线，也可能是相交直线
4.在复平面内，复数3+2i,-2+3i对应的向量分别是，其中O是坐标原点，则向量对应的复数为（　　）
A. 1+i B. 5-i C. 5-3i D. -5+i
5.在△ABC中，若（a+b+c）（a-b+c）=ac,则B=（　　）
A. 30° B. 60° C. 120° D. 150°
6.已知正四棱锥的底面正方形的边长为4，高与斜高的夹角为，则正四棱锥的侧面积为（　　）
A. B. 8 C. D. 32
7.如图，矩形ABCD的长为3，宽为2，E是BC边的中点，F是AB边上靠近点A的三等分点，AE与DF交于点M，则∠EMF的余弦值为（　　）

A. B. C. D.
8.位于P处的雷达接收到在其正东方向相距海里的B处的一艘渔船遇险后抛锚的营救信号后，即刻通知位于P处雷达北偏东且与P处雷达相距30海里的M处的甲船前往救援，则甲船至少需要航行的海里数为（　　）
A. B. C. D.
二、多项选择题：本大题共3小题，共18分。
9.若复数，则（　　）
A. z=4-i
B.
C. z在复平面内对应的点位于第四象限
D. 复数ω满足|ω|=1，则|ω-z|的最大值为
10.已知向量的夹角为，且，，则（　　）
A. B.
C. D. 在的方向上的投影向量为
11.在正方体ABCD-A1B1C1D1中，M，N，Q分别是棱D1C1，A1D1，BC的中点，点P在BD1上且BP=BD1.则以下四个说法中正确的是（　　）
A. MN∥平面APC B. C1Q∥平面APC
C. A，P，M三点共线 D. 平面MNQ∥平面APC
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.△ABC中，B=120°，AC=7，AB=5，则BC= .
13.已知和是两个不共线的向量，，，且与是共线向量，则实数k的值是 .
14.如图，已知球O是棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1的内切球，则平面ACD1截球O的截面面积为______．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题13分)
已知复数z=（2m2-3m-2）+（m2-3m+2）i,m∈R.
（1）当z为纯虚数时，求m的值；
（2）当m=-1时，z是关于x的方程x2+px+q=0的一个根，求实数p,q的值.
16.(本小题15分)
已知复平面内平行四边形ABCD，A点对应的复数为2+i,向量对应的复数为1+2i,向量BC对应的复数为3-i,求：
（1）点D对应的复数；
（2）三角形ABC的面积.
17.(本小题15分)
已知△ABC的内角A、B、C所对的边分别为a、b、c，且a=2，cosB=．
（Ⅰ）若b=4，求sinA的值；
（Ⅱ）若△ABC的面积S=4，求b、c的值．
18.(本小题17分)
如图在四棱锥P-ABCD中，AB∥CD，M，N分别是PA，BC的中点，CD=3AB.
（1）求证：MN∥平面PCD；
（2）若点F在棱PC上且满足PF=λPC，PA∥平面BDF，求λ的值.
19.(本小题17分)
在锐角△ABC中，内角A，B，C的对边分别是a,b,c,且满足a2+c2-ac=b2.
（1）求角B的大小；
（2）若b=1，求a的取值范围.
1.【答案】A
2.【答案】C
3.【答案】D
4.【答案】D
5.【答案】C
6.【答案】D
7.【答案】A
8.【答案】B
9.【答案】BCD
10.【答案】AB
11.【答案】BC
12.【答案】3．
13.【答案】-4
14.【答案】
15.【答案】 p=-6，q=45
16.【答案】解：（1）设点D坐标（x,y），对应复数x+yi.由题意知，点A坐标（2，1），
∴，
∵平行四边形ABCD中，，
∴x=5，y=0，
∴点D对应的复数为5；
（2）∵=（1，2），=（3，-1），
∴，
又∵B∈[0，π]，
∴，
∴三角形ABC面积．
17.【答案】解：（I）∵（2分）
由正弦定理得．
∴．（5分）
（II）∵，
∴．
∴c=5（7分）
由余弦定理得b2=a2+c2-2accosB，
∴（10分）
18.【答案】证明过程见详解；
．
19.【答案】；

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