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2025-2026学年上海市华东师大附属浦东临港高级中学高一（下）期中数学试卷
一、单项选择题：本大题共4小题，共12分。
1.在△ABC中，，则△ABC是（　　）三角形.
A. 等腰 B. 等腰直角 C. 等腰或直角 D. 等边
2.设是非零向量，则“”是“”的（　　）
A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件
C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件
3.已知是平面向量的一组基底，则下列各组向量中，不能作为平面向量的一组基的是（　　）
A. B.
C. D.
4.已知D为△ABC所在平面内的一点，则下列命题中正确的个数为（　　）
①若，则D为△ABC内心
②若，则△ABC为等腰三角形
③若，则D为△ABC的外心
④若，则点D的轨迹一定经过△ABC的重心
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
二、填空题：本题共12小题，每小题3分，共36分。
5.已知，若，则x= .
6.函数y=1-cos2x的最小正周期是______．
7.已知，则= .
8.函数的值域是 .
9.已知向量与不平行，与平行，则实数k= .
10.若，则的取值范围是 .
11.已知函数f（x）=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，|φ|＜π）的部分图象如图所示，则ω= .
12.把函数的图像向右平移个单位，再将横坐标缩短到原来的，所得函数的解析式为______．
13.已知||=||=1，若，则向量与的夹角的余弦值为 .
14.已知向量，且x∈[0，π]，则在方向上的数量投影的取值范围是 .
15.已知函数f（x）=sinx（x∈[0，π]）和函数g（x）=tanx的图象交于A，B，C三点，则△ABC的面积为______．
16.如图，在锐角△ABC中，BC=a，AC=b，AB=c，a＞b＞c，且a、b、c是常数，O是△ABC的外心，OD⊥BC于D，OE⊥AC于E，OF⊥AB于F，设m= ，n= ，l= ，则m：n：l= ______.
三、解答题：本题共5小题，共52分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.(本小题8分)
已知，与的夹角θ=120°，求：
（1）；
（2）向量和的夹角余弦值.
18.(本小题8分)
设两个向量满足，，与的夹角为60°，若向量与向量的夹角为锐角，求实数t的取值范围.
19.(本小题10分)
如图所示：湖面上甲、乙、丙三艘船沿着同一条直线航行，某一时刻，甲船在最前面的A点处，乙船在中间B点处，丙船在最后面的C点处，且BC：AB=3：1．一架无人机在空中的P点处对它们进行数据测量，在同一时刻测得∠APB=30°，∠BPC=90°．（船只与无人机的大小及其它因素忽略不计）
（1）求此时无人机到甲、丙两船的距离之比；
（2）若此时甲、乙两船相距100米，求无人机到丙船的距离．（精确到1米）
20.(本小题12分)
已知=（cos2，sinx），=（2，1），设函数f（x）=.
（1）当x，求函数f（x）的值域；
（2）当f（α）=，且-，求sin（2）的值.
21.(本小题14分)
定义：若非零向量，函数f（x）的解析式满足f（x）=asinx+bcosx,则称f（x）为的伴随函数，为f（x）的伴随向量.
（1）若向量为函数的伴随向量，求；
（2）已知A（-2，3），B（2，6），为函数的伴随向量，，请问在y=φ（x）的图象上是否存在一点P，使得若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由.
（3）若函数f（x）为向量的伴随函数，关于x的方程在[0，2π]上有且仅有四个不相等的实数根，求实数m的取值范围.
1.【答案】D
2.【答案】C
3.【答案】D
4.【答案】B
5.【答案】-2．
6.【答案】π
7.【答案】
8.【答案】[-2，2]．
9.【答案】-
10.【答案】[4，8]．
11.【答案】．
12.【答案】y=sin4x
13.【答案】
14.【答案】．
15.【答案】
16.【答案】1：1：1
17.【答案】；
．
18.【答案】（-∞，-3-）∪（-3+，）∪（，+∞）．
19.【答案】解：（1）在△APB中，由正弦定理，得，，
在△BPC中，由正弦定理，得，
又，sin∠ABP=sin∠CBP，
故．即无人机到甲、丙两船的距离之比为．
（2）由BC：AB=3：1得AC=400，且∠APC=120°，
由（1），可设AP=2x，则CP=3x，
在△APC中，由余弦定理，得160000=（2x）2+（3x）2-2（2x）（3x）cos120°，
解得，
即无人机到丙船的距离为≈275米．
20.【答案】（本题满分为12分，每小题6分）
解：（1）∵=（cos2，sinx），=（2，1），
∴f（x）==2cos2+sinx=1+cosx+sinx=2sin（x+）+1，
∵x，可得：x+∈[-，]，
∴sin（x+）∈[-，1]，可得：f（x）=2sin（x+）+1∈[0，3]．
（2）∵f（α）=2sin（α+）+1=，
∴解得：sin（α+）=，
∵-，α+∈（-，），
∴cos（α+）==，
∴sin（2）=sin[2（α+）]=2sin（α+）cos（α+）=2×=．
21.【答案】2 存在，理由如下：
由为函数的伴随向量，
可得h（x）==msin（x-）=sinx-，
则m=-2，
=-2sin（）=2cos，
设P（t，2cos），使得，A（-2，3），B（2，6），
则=（t+2，2cos-3），=（t-2，2cos-6），
所以=t2-4+4-18cos+18=t2+4-18cos+14=0，
即4-18cos=-（14+t2）≤-14，
解得1，根据余弦函数性质可得，cos=1，即t=0时，经检验符合题意，此时P（0，2）
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