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2026年山东省学业水平考试
数 学 模 拟 试 题
本试卷共8页。满分120分。考试时长120分钟。考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
注意事项：
1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置。
2.回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，用0.5毫米黑色签字笔将答案写在答题卡上。答案写在本试卷上无效。
一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分．每小题只有一个选项符合题目要求。
1．如图所示的几何体，其主视图是
A． B． C． D．
2．2025年我国外贸进出口总额达4.547×105亿元，其中出口总额2.699×105亿元，增长了6.1%，进口总额1.848×105亿元，增长了0.5%．2025年我国贸易顺差（顺差＝出口总额﹣进口总额）用科学记数法表示为（　　）
A．0.851×105亿元 B． 8.51×105亿元
C．851×102亿元 D． 8.51×104亿元
3．实数a，b，c满足a＞b且ac＜bc，它们在数轴上的对应点的位置可以是 　　
A． B．
C． D．
4．刺绣是中华优秀传统文化的璀璨瑰宝．下列刺绣图案既是轴对称图形又是中心对称图形的是
A． B． C． D
5．若m＋n=1，则代数式的值是
A． B． C．2 D．－2
6．如图，电路图上有1个小灯泡以及4个断开状态的开关，，，，现随机闭合两个开关，小灯泡发光的概率为
A． B．
C． D．
7．《九章算术》方程章的一道题目：今有五雀六燕，集称之衡，雀俱重，燕俱轻．一雀一燕交而处，横适平．并雀，燕重一斤．问雀，燕一枚各重几何？大意是：五雀比六燕重，各交换一只后一样重，即4雀加上1燕与5燕加上1雀的重量相等．所有的燕雀共重一斤，问各重几两？（古题中，1斤等于16两），设每只雀两，每只燕两，下列方程组不满足题意的是
A． B．
C． D．
8. 在方格图中，以格点为顶点的三角形叫做格点三角形．在如
图所示的平面直角坐标系中，格点成位似关
系，则位似中心的坐标为
A． B．
C． D．
9． 如图，由边长为1的小正方形构成的网格中，点，，都在格点上，以为直径的圆经过点，，则的值为
A． B．
C． D.
10．如图，在平面直角坐标系中，是抛物线上一点．以点为圆心，CA 为半径的圆与抛物线在第一象限交于点，抛物线和在点，之间的部分分别记为，．，分别是，上的两个动点，均不与，重合）．给出下面四个结论：
①当轴时，长的最大值为；
②若点在轴上，则在第一象限内存在点，使四边形的面积等于△的面积；
③△可能是等边三角形；
④以为中点的线段恰有两条．
上述结论中，所有正确结论的序号是
A．①③ B．①④ C．②③ D．②④
二、填空题：本大题共5小题，每小题3分，共15分。
11．代数式有意义，则实数a的取值范围是________。
12．若关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则a的取值范围 。
13．如图，方格纸中2个小正方形的边长均为1，图中阴影部分均为扇形，则这两个小扇形的面积之和为 　 （结果保留π）。
14．如图，O是坐标原点，菱形OABC的顶点A的坐标为（﹣3，4），顶点C在x轴的负半轴上，函数的图象经过顶点B，则k的值为 　。
15．如图，AB＝4，点M是线段AB的中点，线段AM绕点A旋转得到线段AN，连接BN，以BN为斜边在BN的上方作Rt△NBD，使∠DBN＝60°，连接AD，则AD的最大值_____。
三、解答题：本大题共8小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
16．（本小题满分8分）
（1）计算：；
（2）解不等式组：，并写出它的所有整数解。
17．（本小题满分8分）
如图，在△ABC中，点E是AC的中点，分别以点A，B为圆心，以大于的长为半径画弧，两弧相交于点M，N，直线MN交AB于点D，交AB于点F，连接DE，BF，DE＝4, DF＝5。
（1）求BC的长；
（2）若∠A=30°，AC=16，判断△BCF的形状并说明理由。
18．（本小题满分8分）
小华的家、书店、公园依次在同一条直线上，书店离家0.6km，公园离家1.8km．小华从家出发，先匀速步行了6min到书店，在书店停留了12min，之后匀速步行了12min到公园，在公园停留25min后，再用15min匀速跑步返回家。如图，x表示时间，y表示离家的距离．图象反映了这个过程中小华离家的距离与时间之间的对应关系．
请根据相关信息，回答下列问题：
（1）①填表：
小华离开家的时间/min 1 6 18 50
小华离家的距离/km 0.6
②填空：小华从公园返回家的速度为 　 　 km/min；
③当0≤x≤30时，请直接写出小华离家的距离y关于时间x的函数解析式；
（2）若小华的妈妈与小华同时从家出发，小华的妈妈以0.05km/min的速度散步直接到公园．在从家到公园的过程中，对于同一个x的值，小华离家的距离为y1，小华的妈妈离家的距离为y2，当y1＜y2时，求x的取值范围（直接写出结果即可）。
19．（本小题满分10分）
某年级共有300名学生，为了解该年级学生学习A，B两门课程的情况，从中随机抽取60名学生进行测试，获得了他们的成绩（百分制），并对数据（成绩）进行整理、描述和分析，部分信息如下：
a: A课程成绩的频数直方图如右图．
（数据分成6组，40≤x＜50，50≤x＜60，
60≤x＜70，70≤x＜80，80≤x＜90，90≤x≤100）
b:A课程成绩在70≤x＜80这一组的数据如下：
70，71，71，71，76，76，77，78，
78．5，78．5，79，79，79，79．5
c: A，B两门课程成绩的平均数、中位数、众数如下：
课程 平均数 中位数 众数
A 75．8 m 84．5
B 72．2 70 83
请结合以上信息完成下列问题：
（1）A课程成绩在60≤x＜90的人数是_______，并补全频数直方图；
（2）表中m的值为________；
（3）在此次测试中，某学生的A课程成绩为76分，B课程成绩为71分，这名学生成绩排名更靠前的课程是_______（填A或B），理由是_______；
（4）假设该年级都参加此次考试，请你估计80分及以上的学生人数．
20．（本小题满分10分）
已知：如图，AB为⊙O的直径，D是AB延长线上的点，
CD与⊙O相切于点C，连接AC，BC，∠D=30°，点E是的中点，连接CE，过点B作BF⊥CE，垂足为F．
（1）求证：AC=CD；
（2）若BF=3，求线段AC的长．
21．（本小题满分9分）
如图，某小区入口处安装“曲臂杆”，OA⊥AB，OA=1m，点O是臂杆转动的支点，点C是曲臂杆两段的连接点，没有车辆通过时，O、C、D共线，CD∥AB，当车辆通过时，曲臂杆升起，CD部分始终与AB平行，当曲臂杆绕点O旋转升高到OE时，∠AOE=121°， E到AB的距离是1.7m，当曲臂杆OC升高到最高位置OF时，∠AOF=156°．求点F到地面的距离．（结果精确到0.1米）（参考数据：sin，sin）
22．（本小题满分11分）
抛物线：过点A（－1，0），点B（3，0），与y轴交于点C，对称轴与x轴交于点D．
（1）求抛物线的解析式及点D坐标；
（2）如图，连接CD，在直线BC上方的抛物线上是否存在点P，使得∠PCB=∠DCB？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由；
（3）将抛物线向右平移m （m＞0）个单位长度，再向下平移n（n＞0）个单位长度得抛物线，若时，直线CB与图象有唯一公共点，求n的取值范围．
23．（本小题满分11分）
在锐角△ABC中，AB=AC，∠BAC=α，射线BD与AC交于点D，在BD上任取一点M，
将线段AM绕点A按逆时针方向旋转α，得到线段AN，连接NC，MN．
（1）如图1，若α=30°，线段AM与AD重合，点N在线段BD延长线上时，请直
接写出∠ABN= °，MB与NC的数量关系是 ；
（2）如图2，若点M在线段BD上，（1）中MB与NC的数量关系是否仍然成立？若成
立，请给予证明；若不成立，请说明理由．
（3）如图3，在（2）的条件下，延长NM交BC于点E，连接MC，若BE=CE，∠BAM=45°时，试探究当α为多少时，△MNC是等腰三角形．
绝密★启用前
数学试题参考答案及评分意见
一、选择题
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 A D A B A D C B C A
二、填空题
11． 12．a＜1且a≠0 13．π 14．-32 15．
三、解答题
16（1）解：原式＝3－＋+ 4 3分
　 ＝7 4分
（2）解：解不等式①，得x<3 5分
解不等式②，得x≥1 6分
在同一条数轴上表示不等式①②的解集
原不等式组的解集是 7分
∴整数解为1，2 8分
17解：（1）由作图知，MN为线段AB的中垂线 1分
所以，D为AB的中点 2分
因为，E为AC的中点
所以， 3分
（2）△BCF为直角三角形。
由题知，∠A=30°，在Rt△ADF中，AF=2DF=10 4分
因为，MN为线段AB的中垂线
所以，BF =AF=10，CF=AC-AF=6 6分
因为， 7分
所以，∠C=90°，即△BCF为直角三角形 8分
18解：（1）①小华在最初的6min内的速度为0.6÷6＝0.1（km/min），
当x＝1时，y＝0.1×1＝0.1，
当x＝18时，y＝0.6，
当x＝50时，y＝1.8． 3分
②小华从公园返回家的速度为1.8÷15＝0.12（km/min）．
③当0≤x≤6时，y＝0.1x，
当6＜x≤18，y＝0.6，
当18＜x≤30时，小华的速度为（1.8﹣0.6）÷12＝0.1（km/min），则y＝0.6+0.1（x﹣18）＝0.1x﹣1.2，
∴当0≤x≤30时，写出小华离家的距离y关于时间x的函数解析式
当x＝50时，y＝1.8． 2分
y 5分
（2）妈妈从家到公园所用时间为1.8÷0.05＝36（min），则小华的妈妈离家的距离为y2与x之间的函数图象如图所示：
y2与x之间的函数关系式为y2＝0.05x（0≤x≤36），
当6≤x≤18时，当y1＝y2时，得0.05x＝0.6，
解得x＝12，
当18＜x≤30时，当y1＝y2时，得0.1x﹣1.2＝0.05x，
解得x＝24 8分
19：解：
（1）44，如答案图 4分
（2）m=78.75 6分
（3）排名更靠前的是B，理由是76＜78.75,71＞70
B课程比中位数高. 8分
（4）300×=130（人）
答：甲课程成绩80分及以上人数约为130人． 10分
20证明：（1）连接OC 1分
∵CD与⊙O相切于点C
∴OC⊥CD
∴∠OCD=90°.........................2分
∵∠CDA =30°
∴∠COB=90°－∠CDA =60°
∵所对的圆周角为∠CAB，圆心角为∠COB
∴∠CAB=∠COB=30°...............................4分
∴∠CAD=∠CDA
∴CA=CD 5分
（2）∵E为的中点∴=分且两条弧的度数都是90°
∴∠ECB =45° 6分
∵BF⊥CE BF=
∴∠CFB=90°
∴=6 8分
∵AB为直径
∴∠ACB=90° 9分
在Rt△ABC中，∠CAB=30° ，BC=6
∴ 10分
21解：如图，过点E做EM⊥OD交OD于H, AB于M,过点F作FG⊥OD交OD于G,AB于N 则： 1分
∵OA⊥AB, OC∥AB ∴∠AOD=90°
∵∠AOE=121°
∴∠EOC=31° 3分
∵FM=1.7m，HM=OA=1
∴EH=0.7
∴OE= 4分
∴OF=OE=1.4
∵∠AOF=156°
∴∠FOG=66° 6分
∴ 8分
∴FN=FG+GN=1.26+1≈2.3 9分
∴点F到地面的距离为2.3m.
22解：（1）由题意知 2分
解得
∴
∴D的坐标（1，0） 3分
（2）过点P作x轴的垂线与过点C平行x轴的直线交于点Q
∵点C（3，0），D（1，0）
∴tan∠OCD= 4分
∵点C（0，3），B（3，0）
∴∠OCB=45°
∵CQ∥x轴
∴∠QCB=45°
∵∠PCB=∠DCB
∴∠PCQ=∠OCD
∴tan∠PCQ= 5分
设点P坐标为（n，），则PQ=，CQ=n
∴ 6分
解得或n=0(舍)
∴P 7分
（3）设将抛物线向右平移m （m＞0）个单位长度，再向下平移n（n＞0）个单位长度后得抛物线： 8分
∵点C（0，3），B（3，0）
∴直线BC的关系式为y=x+3
由抛物线与直线BC相交得
整理得
9分
∵直线CB与抛物线有唯一公共点
∴
∴ 10分
∵
∴ 11分
23解：（1）∠ABN=45° 1分
MB与NC的数量关系：MB=NC 2分
（2）MB=NC仍然成立．
理由：如答案图1，在△ABC中，
∵将线段AM绕点A按逆时针方向旋转α，∠BAC=α
∴∠BAC=∠MAN=α，AM=AN 3分
∴∠BAC-∠MAC=∠MAN-∠MAC
即∠BAM=∠CAN 5分
∵AB=AC
∴△ABM≌△ACN 6分
∴MB =NC 7分
（3）α=60°时，△MNC是等腰三角形
如图2，延长NE到点H，使得NE=HE，连接BH
∵BE=CE，∠BEH=∠CEN
∴△BEH≌△CEN
∴BH=NC，∠H=∠CNE
由（2）得MB=NC
∴BH=MB
∴∠H=∠BME
∴∠BME=∠CNE
∵△ABM≌△ANC，BE=CE
∴∠AMB=∠ANC，∠AMN=∠ANM
∵∠AMB+∠BME+∠AMN=180°
∴∠AMB+∠CNE+∠ANM=∠AMB+∠ANC=2∠AMB=180°
∴∠AMB=90° 9分
∵∠BAM=45°
∴AM=BM
∴AM=NC
当α=60°
△AMN是等边三角形 10分
∴AM=MN
∴MN=NC 11分
即△MNC是等腰三角形

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