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江苏泰州中学2025-2026学年第二学期期中考试
高二数学试题
一、单选题
1．已知，那么（ ）
A．5 B．9 C．10 D．11
2．若随机变量，且，则（ ）
A．0.15 B．0.25 C．0.35 D．0.45
3．已知空间向量，若，则（　　）
A．-2 B．-3 C．2 D．3
4．今年贺岁片，《飞驰人生3》，《惊蛰无声》，《镖人》，《》票房前四，小明和他的同学一行五人决定去看这四部电影，每人只看一部电影，则不同的选择共有（ ）
A．种 B．60种 C．120种 D．种
5．空间内有三点，则点到直线的距离为（ ）
A． B． C． D．
6．此时此刻你正在做这道选择题，假设你会做的概率是，当你会做的时候，又能选对正确答案的概率为100%，而当你不会做这道题时，你选对正确答案的概率是0.25，那么这一刻，你答对题目的概率为（ ）
A．0.5 B．0.75 C．0.65 D．0.625
7．已知，则下列描述正确的是 （ ）
A． B．除以5所得的余数是1
C． D．
8．正方体的棱长为5，点M在棱AB上，且，点P是正方体下底面ABCD内（含边界）的动点，且动点P到直线的距离与点P到点M的距离的平方差为25，则动点P到B点的最小值是（ ）
A． B． C． D．
二、多选题
9．若则（ ）
A． B． C． D．
10．南宋数学家杨辉所著的《详解九章算法》一书中画了一张表示二项式系数构成的三角形数阵（如图所示），在“杨辉三角”中，下列选项正确的是（ ）
A．第10行所有数字的和为1024 B．
C．第9行所有数字的平方和等于 D．若第行第个数记为，则
11．在四棱锥中，底面是正方形，，，，为棱上一点，则下列说法正确的是（ ）
A．点到平面的距离为2
B．若为棱的中点，则过A，D，P的平面截此四棱锥的截面面积为6
C．四棱锥外接球的表面积为
D．直线与平面所成角的正弦值的最大值为
三、填空题
12．某学习小组由6名男生和4名女生组成，从中依次随机抽取2人参加知识竞赛，则在第一次抽到男生的条件下，第二次抽到女生的概率等于______.
13．在平行六面体中，已知，，，，则的长度为________.
14．设展开式为，则________.
四、解答题
15．在的展开式中，第2，3，4项的二项式系数依次成等差数列．
(1)证明展开式中没有常数项；
(2)求展开式中所有的有理项．
16．有2名男生、3名女生，在下列不同条件下，求不同的排列方法总数．
(1)全体排成一排，女生必须站在一起；
(2)全体排成一排，男生互不相邻；
(3)全体排成一排，5人中的甲不站最左边，乙不站最右边．
17．据调查，目前对于已经近视的小学生，有两种配戴眼镜的选择，一种是佩戴传统的框架眼镜；另一种是佩戴角膜塑形镜，这种眼镜是晚上睡觉时佩戴的一种特殊的隐形眼镜（因其在一定程度上可以减缓近视的发展速度，所以越来越多的小学生家长透择角膜塑形镜控制孩子的近视发展），A市从该地区小学生中随机抽取容量为100的样本，其中因近视佩戴眼镜的有24人（其中佩戴角膜塑形镜的有8人，其中2名是男生，6名是女生）
(1)若从样本中选一位学生，已知这位小学生戴眼镜，那么，他戴的是角膜塑形镜的概率是多大？
(2)从这8名戴角膜塑形镜的学生中，选出3个人，求其中男生人数X的期望与方差；
(3)若将样本的频率当做估计总体的概率，请问，从A市的小学生中，随机选出20位小学生，求佩戴角膜塑形镜的人数Y的期望和方差.
18．如图，在四棱台中，已知，.
(1)证明：平面；
(2)若四棱台的体积为，求二面角的余弦值.
19．某学校有甲 乙 丙三名保安，每天由其中一人管理停车场，相邻两天管理停车场的人不相同.若某天是甲管理停车场，则下一天有的概率是乙管理停车场；若某天是乙管理停车场，则下一天有的概率是丙管理停车场；若某天是丙管理停车场，则下一天有的概率是甲管理停车场.已知今年第1天管理停车场的是甲.
(1)求第4天是甲管理停车场的概率；
(2)求第天是甲管理停车场的概率；
(3)设今年甲 乙 丙管理停车场的天数分别为，判断的大小关系.（给出结论即可，不需要说明理由）
参考答案
1．C
【详解】因为，
所以，
则.
故选：C.
2．B
【详解】
.
3．D
【详解】由，有，则，解得．
故选：D．
4．A
【详解】五人看四部电影，不同的选择共有种
5．B
【详解】因为，所以，
.所以，，
点P到直线EF的距离为.
故选：B..
6．D
【详解】由题意，令表示会做，表示选对，则，
且，
所以.
7．B
【详解】对于A：令得：；令，得．
，因此A错误；
对于B：
，因此B正确
对于C：因为二项展开式的通项公式为，
由通项公式知，二项展开式中偶数项的系数为负数，
所以，
由，令，得到，
令，得到，
所以，因此C错误
对于D：对原表达式的两边同时对求导，
得到，
令，得到，令，得
所以，
所以选项D错误．
故选：B
8．B
【详解】
如图所示，作，Q为垂足，则平面，
过点Q作，交于，则平面PQR，所以PR即为P到直线的距离．
因为，且，所以．
所以点P的轨迹是以AD为准线，点M为焦点的抛物线．
如图建立直角坐标系，则点P的轨迹方程是，
点，设，所以
，所以当，取得最小值.
故选：B
9．BC
【详解】对于选项A：，A错误；
对于选项B：，B正确；
对于选项C：，，C正确；
对于选项D：，，D错误.
故选：BC.
10．ACD
【详解】对于A，在杨辉三角中，第10行的所有的数字之和为，正确；
对于B：由公式得：
，错误；
对于C，在“杨辉三角”中，第行所有数字的平方和恰好是第行的中间一项的数字，
即，
因为
对应相乘可得的系数为，
而二项式展开式的通项公式，，
当时，，则的系数为，
所以，
所以第9行所有数字的平方和等于，正确；
对于D，第行的第个数为，
所以
即，正确.
故选：ACD
11．ABD
【详解】对于A选项，因为，，又，且，面，
所以面，又因为，所以平面，
因为，且，
可得到平面的距离为，即三棱锥的高为，
设点到平面的距离为，且，
由，可得，得.
所以点到平面的距离为2，所以A正确；
对于B选项，因为，所以点为棱的中点，
取中点为，连接，，则平面即为平面截此四棱锥所得的截面.
且点是的中点，点为棱的中点，
所以在中，是的中位线，则，且，
又因为四边形是正方形，则，所以，
因为面，且面，面，所以.
所以四边形是以为下底、为上底，为高的直角梯形，
因为，在等腰中，，且平分，
可得，
则平面截此四棱锥所得截面的面积为，所以B正确；
对于C选项，又因为，，且，
所以，即，其中为外接圆半径，
因为正方形的中心到面的距离等于其边长的一半，即，故四棱锥外接球的半径为.
所以四棱锥外接球的表面积为，所以C不正确；
对于D选项，过点作，再过点作，使得分别在线段上，连接.
根据线面平行的判定定理，可得平面，平面，
因为，且平面，所以平面平面，
又因为平面，所以平面，即平面.
所以即为与平面所成的角，即为与平面所成的角.
由于平面，在平面内，故.
从而在直角中，可得.
设，由，可得，
所以，所以.
由于，
故在中，由余弦定理可得，
在中，由余弦定理可得，
在直角中，可得，
且当时，取得等号.
所以的最大值是，所以D正确.
12．
【详解】在第一次抽到男生的条件下，学习小组剩余9个人，其中男生5名，女生4名，
所以在第一次抽到男生的条件下，第二次取到女生的概率是.
13．
【详解】在平行六面体中，，
.
因为，，
，
所以，即.
14．
【详解】由，
故，则，
由
，
则，即有，
故
.
15．(1)证明见解析
(2)和
【详解】（1）由第2，3，4项的二项式系数依次成等差数列得
解得（舍去）或
的展开式的通式为
令，得
故展开式中没有常数项；
（2）令，则，
，
展开式中的有理项为和
16．(1)36；
(2)72；
(3)78．
【详解】（1）先将女生捆绑共：种排列方法；
再与另外2名男生一共看成3个元素全排列：种排列方法；
分步用乘法：共种．
（2）先对女生进行全排列：种；
再将男生插空，4个空放2名男生：种；
分步用乘法：共种．
（3）法一：对甲的位置进行分类：
第一类：甲在最右边：1种情况；其他无特殊要求种；
共种；
第二类：甲不在最右边且不在最左边，共3个位置可以选；
乙不在最右边，除去甲已选的位置，也有3个位置可以选；
其余3人全排列：种；
分步用乘法：共种；
综上，分类用加法：共种．
法二（间接法）：
全体排成一排：种；
其中甲站最左边：种；
乙站最右边：种；
其中甲站最左边且乙站最右边：种；
故共有种．
17．(1)；
(2)，；
(3)佩戴角膜塑形镜的人数的期望是，方差是.
【详解】（1）根据题中样本数据，设“这位小学生佩戴眼镜”为事件A，则，
“这位小学生佩戴的眼镜是角膜塑形镜”为事件，则“这位小学生佩戴眼镜，且眼镜是角膜塑形镜”为事件，则，
故所求的概率为： ，
所以从样本中选一位学生，已知这位小学生戴眼镜，则他戴的是角膜塑形镜的概率是；
（2）依题意，佩戴角膜塑形镜的有人，其中名是男生，名是女生，故从中抽3人，男生人数X的所有可能取值分别为0，1，2，
其中：；
；
.
所以男生人数的分布列为：
所以，
，
（3）由已知可得：
则：，
所以佩戴角膜塑形镜的人数的期望是，方差是.
18．(1)证明见解析
(2)
【详解】（1）在四边形中，，
，，，
又平面，
平面而平面，.
又平面平面；
（2），
，
如图建系，
，
，设平面的一个法向量，
，取，则，
平面的一个法向量，设二面角的平面角为，
显然为锐角，.
19．(1)
(2)
(3)
【详解】（1）由题意可知：前4天管理停车场的顺序为“甲乙丙甲”或“甲丙乙甲”，
所以.
（2）设事件表示“第天甲管理停车场”，事件表示“第天乙管理停车场”，事件表示“第天丙管理停车场”，
可知，
记，则，
由题意可知：，
当时，，
即，整理得，
可得，且，
所以是以为首项，为公比的等比数列，
所以，故，
所以第天是甲管理停车场的概率为.
（3）由题意可知：当时，，
，
可得，
两式相减得：，
且，可知，即，
综上所述：对任意恒成立，可知；
令的前n项和为，则或，
可得，
可知，
又因为，
则；
综上所述：.

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