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第五章
万有引力与宇宙航行
人造卫星　宇宙速度
第21课时
1.会比较卫星运行的各物理量之间的关系。
2.理解三种宇宙速度，并会求解第一宇宙速度的大小。
3.会处理人造卫星的变轨和对接问题。
4.会应用万有引力定律解决星球“瓦解”和黑洞问题。
目标要求
考点一　卫星运行参量的分析
考点二　宇宙速度
内容索引
考点三　卫星的变轨问题
课时精练
考点四　星球“瓦解”问题　黑洞问题
卫星运行参量的分析
考点一
1.基本公式
(1)线速度大小：由G=m得v=。
(2)角速度：由G=mω2r得ω=。
(3)周期：由G=m()2r得T= 。
(4)向心加速度：由G=man得an=。
结论：同一中心天体的不同卫星，轨道半径r越大，v、ω、an ，
T ，即越高越 。
2.“黄金代换式”的应用
忽略中心天体自转影响，则有mg=G，整理可得 。在引力常量G和中心天体质量M未知时，可用gR2替换GM。
3.人造卫星
GM=gR2
卫星运行的轨道平面一定通过地心，一般分为赤道轨道、极地轨道和其他轨道，同步卫星中的静止卫星的轨道是赤道轨道。
(1)极地卫星运行时每圈都经过南北两极，由于地球自转，极地卫星可以实现全球覆盖。
(2)同步卫星
①静止卫星的轨道平面与 共面，且与
地球自转的方向相同。
②周期与地球自转周期相等，T= 。
③高度固定不变，h=3.6×107 m。
④运行速率约为v=3.1 km/s。
(3)近地卫星：轨道在 附近的卫星，其轨道半径r=R(地球半径)，运行速度等于第一宇宙速度v=7.9 km/s(人造地球卫星做匀速圆周运动的最大运行速度)。
注意：近地卫星可能为极地卫星，也可能为赤道卫星。
赤道平面
24 h
地球表面
(1)在同一轨道上质量大的卫星受到地球引力大，是否加速度就大，运行速度就快？
答案　由a=及v=可得卫星运行加速度和速度与卫星质量无关，同一轨道上各卫星具有相同加速度大小和速度大小。
讨论交流
(2)随着我国航空航天科技的发展，将来可以发射定点到广州上空的静止卫星吗？
答案　由于静止卫星必须与地球自转同步，且转动中心必须在地心，故静止卫星只能定点在赤道正上方。
(3)赤道上放置一待发射卫星A，天空运行一同步卫星B，可以由v=得A卫星线速度大于B卫星线速度吗？
答案　赤道上放置的物体由万有引力的一个分力提供向心力，故不满足v=，由v=ωr，A、B两卫星具有相同的角速度，故B卫星线速度大。
(2025·湖北卷·2)甲、乙两行星绕某恒星做匀速圆周运动，甲的轨道半径比乙的小。忽略两行星之间的万有引力作用，下列说法正确的是
A.甲运动的周期比乙的小
B.甲运动的线速度比乙的小
C.甲运动的角速度比乙的小
D.甲运动的向心加速度比乙的小
√
恒星对行星的万有引力提供行星做匀速圆周运动所需的向心力，可知G=m=mω2r=mr=ma，解得T=2π，v=，ω=，a=，因r甲v乙，ω甲>ω乙，a甲>a乙，故选A。
(2025·浙江省七彩阳光新高考研究联盟联考)天通一号系统是我国自主研制建设的卫星移动通信系统，天通一号系统空间段目前由01星、02星和03星三颗地球同步轨道卫星组成。天通一号卫星距地面的高度约为地球半径的5.6倍，中国空间站距地面的高度约为400 km，地球半径约为6.4×103 km，则天通一号卫星与中国空间站相比
A.线速度约为倍 B.角速度约为倍
C.周期约为倍 D.受到的万有引力约为倍
√
地球半径约为6.4×103 km，天通一号卫星距地面的高度约为地球半径的5.6倍，则天通一号卫星的轨道半径r1=6.6R
中国空间站距地面的高度约为400 km，则中国空间站的轨道半径r2=6.8×103 km≈R
根据万有引力提供向心力有G=m
解得=≈
A正确；
根据万有引力提供向心力有G=mrω2=mr
解得=≈，=≈
B、C错误；
根据万有引力公式有F=G
由于天通一号卫星与中国空间站的质量关系未知，无法求出万有引力的关系，D错误。
(多选)(2024·天津卷)卫星未发射时静置在赤道上随地球转动，地球半径为R。卫星发射后在地球同步轨道上做匀速圆周运动，轨道半径为r。则卫星未发射时和在轨道上运行时
A.角速度之比为1∶1
B.线速度之比为∶
C.向心加速度之比为R∶r
D.受到地球的万有引力之比为R2∶r2
√
√
卫星未发射时静置在赤道上随地球转动，角速度与地球自转角速度相等，卫星发射后在地球同步轨道上做匀速圆周运动，角速度与地球自转角速度相等，则卫星未发射时和在轨道上运行时角速度之比为1∶1，故A正确；
根据题意，由公式v=ωr可知，卫星未发射时和在轨道上运行时，由于角速度相等，则线速度之比为轨道半径之比R∶r，故B错误；
根据题意，由公式an=ω2r可知，卫星未发射时和在轨道上运行时，由于角速度相等，则向心加速度之比为轨道半径之比R∶r，故C正确；
根据题意，由公式F=可知，卫星未发射时和在轨道上运行时，受到地球的万有引力之比与轨道半径的平方成反比，即r2∶R2，故D错误。
同步卫星、近地卫星及赤道上物体的比较
比较项目 近地卫星a(r1、ω1、v1、a1) 同步卫星b(r2、ω2、v2、a2) 赤道上随地球自转的物体c(r3、ω3、v3、a3)
向心力来源 万有引力 万有引力 万有引力的一个分力
轨道半径 r2>r1=r3 角速度 ω1>ω2=ω3 线速度 v1>v2>v3 向心加速度 a1>a2>a3 返回
考点二
宇宙速度
第一宇宙速度 (环绕速度) v1= km/s，是人造地球卫星的 发射速度，这也是地球卫星的最大环绕速度
第二宇宙速度 v2=11.2 km/s，是物体挣脱 引力束缚的最小发射速度
第三宇宙速度 v3=16.7 km/s，是物体挣脱 引力束缚的最小发射速度
三个宇宙速度
7.9
最小
地球
太阳
1.(1)试推导第一宇宙速度的两个表达式。
答案　由G=m得v=
由mg=m得v=
讨论交流
(2)近地卫星的运行周期大约是多长时间？
(已知地球质量为m地，地球半径为R，地球表面重力加速度为g，引力常量为G，其中R=6.4×103 km，g取9.8 m/s2)
答案　近地卫星运行周期T=2π=2π s≈85 min。
2.已知引力势能的表达式为Ep=-，其中r为卫星到地心的距离。试推导地球第二宇宙速度与第一宇宙速度的关系，并给出第二宇宙速度的估算值。(此关系对于其他天体也是正确的)
答案　卫星从发射到脱离地球至无穷远处的过程中机械能守恒，有
-+m=0
在地球表面附近环绕的卫星=
联立得v2=v1
又v1=7.9 km/s，故可得v2=11.2 km/s。
火星为太阳系里四颗类地行星之一，火星的半径约为地球半径的一半，质量约为地球质量的十分之一，把地球和火星看作质量分布均匀的球体，忽略地球和火星的自转，则火星与地球的第一宇宙速度大小之比约为
A.1∶ B.2∶5
C.3∶5 D.2∶3
√
根据万有引力提供向心力有G=m，可得==，故选A。
(2025·甘肃卷·2)如图，一小星球与某恒星中心距离为R时，小星球的速度大小为v、方向与两者中心连线垂直。恒星的质量为M，引力常量为G。下列说法正确的是
A.若v=，小星球做匀速圆周运动
B.若C.若v=，小星球做椭圆运动
D.若v>，小星球可能与恒星相撞
√
根据题意，若小星球做匀速圆周运动，由万有引力提供向心力有=m，解得v=，故A正确；
结合A分析可知，若若v=，这是小星球脱离恒星引力束缚的临界速度，小星球将做抛物线运动，而不是椭圆运动，故C错误；
若v>，小星球将脱离恒星引力束缚，不可能与恒星相撞，故D错误。
宇宙速度与运动轨迹的关系
1.v发=7.9 km/s时，卫星绕地球表面做匀速圆周运动。
2.7.9 km/s3.11.2 km/s≤v发<16.7 km/s时，卫星绕太阳运动的轨迹为椭圆。
4.v发≥16.7 km/s时，卫星将挣脱太阳引力的束缚，飞到太阳系以外的空间。
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考点三
卫星的变轨问题
1.卫星发射模型
人造卫星的发射过程一般要经过多次 方可到达预定轨道，如图所示。
变轨
(1)为了节省能量，在赤道上顺着地球自转方向先发射卫星到圆轨道Ⅰ上，卫星在轨道Ⅰ上做匀速圆周运动，有G=m。
(2)在A点(近地点)点火加速，由于速度变大，所需向心力变大，G(3)在椭圆轨道B点( 点)，G>m，将做近心运动，再次点火加速，使G=m，进入圆轨道Ⅲ。
离心运动
远地
若使在轨道Ⅲ运行的宇宙飞船返回地面，应如何操作？
答案　使飞船先减速进入椭圆轨道Ⅱ，到达近地点时，使飞船再减速进入近地圆轨道Ⅰ，之后再减速做近心运动着陆。
讨论交流
2.变轨过程中几个物理量的大小比较
(1)速度：设卫星在圆轨道Ⅰ和Ⅲ上运行时的速率分别为v1、v3，则v1 v3，则在轨道Ⅱ上过A点和B点速率分别为vA、vB，在A点加速，则vA v1，在B点加速，则v3 vB，故有vA>v1>v3>vB。
(2)加速度：因为在A点，卫星只受到 作用，故不论从轨道Ⅰ还是轨道Ⅱ上经过A点，卫星的加速度都 。同理，经过B点加速度也 。
(3)周期：设卫星在Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ轨道上运行周期分别为T1、T2、T3，轨道半径为r1、r2(半长轴)、r3。由开普勒第三定律=k，可知有T1 T2>
>
>
万有引力
相同
相同
<
(4)机械能：卫星在一个确定的圆(椭圆)轨道上运行时机械能 。若在Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ轨道的机械能分别为E1、E2、E3，从轨道Ⅰ到轨道Ⅱ、从轨道Ⅱ到轨道Ⅲ，都需要点火加速，则E1 E2 E3。
(5)引力势能：物体在万有引力场中具有的势能叫作引力势能，若取两物体相距无穷远时的引力势能为零，一个质量为m的质点距质量为M的引力源中心为r时，其引力势能为Ep=-(G为引力常量)。设卫星在A点、B点的引力势能分别为EpA、EpB，则EpA EpB。
守恒
<
<
<
(2025·浙江省新阵地教育联盟联考)执行中国首次火星探测任务的探测器天问一号从地球发射后，在如图甲所示的P点沿地火转移轨道运动到Q点，再通过变轨操作依次进入如图乙所示的调相轨道和停泊轨道，以下关于天问一号的说法正确的是
A.从P点转移到Q点的时间小于6个月
B.发射速度介于11.2 km/s与16.7 km/s
之间
C.在地火转移轨道运动时的速度均大于地球绕太阳的速度
D.在停泊轨道的机械能比在调相轨道的机械能大
√
地球公转周期为12个月，根据开普勒第三定律可知，天问一号在地火转移轨道的轨道半径大于地球的公转半径，则运行周期大于12个月，从P点运动到Q点的时间大于6个月，故A错误；
因发射的卫星要能变轨到绕火星转动，则发射速度要大于第二宇宙速度，即发射速度介于11.2 km/s与16.7 km/s之间，故B正确；
天问一号在Q点点火加速进入火星轨道，则在地火转移轨道运动时，Q点的速度小于在火星轨道运动的速度，根据万有引力提供向心力有G=m，可得v=，由题图甲可知地球公转半径小于火星公转半径，则地球绕太阳运动的速度大于火星绕太阳运动的速度，则在地火转移轨道运动时，Q点的速度小于地球绕太阳运动的速度，故C错误。
因在环绕火星调相轨道变轨到停泊轨道，降轨要点火减速，则停泊轨道机械能比调相轨道的小，故D错误。
(多选)(2025·浙江省杭州学军中学检测)北京时间2024年8月16日15时35分，我国在西昌卫星发射中心使用长征四号乙运载火箭，成功将遥感四十三号01组卫星发射升空，卫星顺利进入预定轨道，发射任务获得圆满成功。卫星的发射过程可简化为三个轨道，如图所示，先由近地圆轨道①进入椭圆轨道②，再
调整至圆轨道③。已知近地圆轨道的半径等于地球的半径R，椭圆轨道的半长轴
等于地球的直径2R，卫星沿椭圆轨道②运行时，经过P点的速度大小为，g
为地球表面的重力加速度，卫星质量为m。忽略地球的自转及卫星变轨时质量的变化且变轨时间极短，除了变轨瞬间，卫星在轨道上运行时均处于无动力航行状态，下列说法正确的是
A.变轨时卫星需要在P点加速，在Q点减速
B.卫星沿椭圆轨道运动到Q点时的动能为
C.卫星在P点变轨时发动机做的功为
D.在①轨道和在③轨道上运行时，卫星与地心的连线单位时间内扫过的
面积之比为1∶
√
√
由题设条件知，卫星在P和Q点变轨时，均向高轨道变轨，故需要增大速度，使卫星做离心运动，故A错误；
根据开普勒第二定律有vPR=vQ×(4R-R)，卫星沿椭圆轨道运动到Q点时的动能Ek=m=m()2=mgR，故B错误；
卫星在近地圆轨道运行时mg=m，在P点变轨时，根据动能定理W=m-m=，故C正确；
在①轨道和在③轨道上运行时，卫星与地心的连线单位时间内扫过的面积之比===1∶，故D正确。
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考点四
星球“瓦解”问题　黑洞问题
1.星球的瓦解问题
当星球自转越来越快时，星球对“赤道”上的物体的引力不足以提供向心力时，物体将会“飘起来”，进一步导致星球瓦解，瓦解的临界条件是“赤道”上的物体所受星球的引力恰好提供向心力，即=mω2R，
得ω=。当ω>时，星球瓦解，当ω<时，星球稳定运行。
2.黑洞
黑洞是一种密度极大、引力极大的天体，以至于光都无法逃逸，科学家一般通过观测绕黑洞运行的天体的运动规律间接研究黑洞。当天体的逃逸速度(逃逸速度为其第一宇宙速度的倍)超过光速时，该天体就是黑洞。
一近地卫星的运行周期为T0，地球的自转周期为T，则地球的平均密度与地球不因自转而瓦解的最小密度之比为
A. B.
C. D.
√
对近地卫星，有 G=m()2R，地球的质量M=ρ1·πR3，联立解得ρ1=，以地球赤道处一质量为m0的物体为研究对象，只有当它受到的万有引力大于或等于它随地球一起旋转所需的向心力时，地球才不会瓦解，设地球不因自转而瓦解的最小密度为ρ2，则有G=m0()2R，M=ρ2·πR3，联立解得ρ2=，所以=，故选D。
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课时精练
精练高频考点
提升关键能力
对一对
题号 1 2 3 4 5 6 7 8
答案 A B C C D B A C
题号 9 10 答案 A D 答案
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1.(2025·河南卷·3)2024年天文学家报道了他们新发现的一颗类地行星Gliese12b，它绕其母恒星的运动可视为匀速圆周运动。已知Gliese12b轨道半径约为日地距离的，其母恒星质量约为太阳质量的，则Gliese12b绕其母恒星的运动周期约为
A.13天 B.27天
C.64天 D.128天
√
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答案
基础落实练
地球绕太阳运行时，根据万有引力提供向心力得=m0r0，同理得类地行星绕其母恒星运行时有=mr，整理得=，将r=r0，M=M0，T0=365天，代入得T=T0≈13天，选项A正确。
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答案
2.(2025·海南卷·4)2025年4月24日，载人飞船神舟二十号在酒泉卫星发射中心点火发射，在进入预定轨道后成功与空间站完成自主快速交会对接，然后绕地球做匀速圆周运动。已知空间站轨道高度低于地球同步卫星轨道，则下面说法正确的是
A.火箭在加速升空的过程中处于失重状态
B.航天员在空间站所受地球的引力小于其在地面上受到的地球引力
C.空间站绕地球做匀速圆周运动的角速度小于地球自转角速度
D.空间站绕地球做匀速圆周运动的加速度小于地球同步卫星的加速度
√
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答案
火箭加速升空过程，加速度方向竖直向上，则处于超重状态，故A错误；
根据F=，航天员与地球的质量不变，航天员在空间站离地心更远，则受到的万有引力小于在地表受到万有引力，故B正确；
根据=mω2R可得ω=，可知空间站绕地球做匀速圆周运动的角速度大于同步卫星的角速度，即大于地球自转角速度，故C错误；
根据=ma可得a=，可知空间站绕地球做匀速圆周运动的加速度大于地球同步卫星的加速度，故D错误。
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答案
3.(2025·浙江省新阵地教育联盟联考)如图所示，某卫星在地球附近沿轨道Ⅰ逆时针方向做匀速圆周运动，为实现变轨，在A点向图中箭头所指径向极短时间喷射气体，使卫星进入轨道Ⅱ。之后某次经过B点再次变轨进入Ⅲ轨道。已知Ⅱ轨道半长轴大于Ⅰ轨道半径。则
A.卫星在Ⅱ 轨道周期小于Ⅰ 轨道
B.卫星在Ⅲ 轨道运行速度最大，第二次变轨需要加速
C.卫星在Ⅰ 轨道经过A点的速度比Ⅱ 轨道经过B点的速度小
D.卫星在A点变轨前后速度变小
√
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答案
Ⅱ轨道半长轴大于Ⅰ轨道半径，根据开普勒第三定律=k可知卫星在Ⅱ轨道周期大于Ⅰ轨道的周期，故A错误；
根据卫星的变轨原理可知，过B点再次变轨进入 Ⅲ 轨道，需点火减速，则卫星在轨道 Ⅱ 的B点速度最大，故B错误；
卫星在Ⅰ轨道经过A点点火喷气获得水平向左的速度分量，此时的速度为水平速度和原圆周速度(在图中A点竖直向上)的合速度，方向为Ⅱ 轨道的切线方向，因此变轨后速度变大，椭圆轨道近地点B点速度大于Ⅲ 轨道圆周速度，而Ⅲ 轨道圆周速度大于Ⅰ 轨道圆周速度，则卫星在Ⅰ 轨道经过A点的速度比Ⅱ 轨道经过B点的速度小，故C正确，D错误。
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答案
4.2024年11月16日，天舟八号货运飞船与空间站完成交会对接，然后做匀速圆周运动，如图甲所示。本次“太空快递”的上行物资中含有模拟月壤成分烧制的“月壤砖”(如图乙所示)，则
A.在空间站中，月壤砖处于完全失重状
态，不受重力
B.飞船与空间站质量不相等，则对接后
二者向心加速度不相等
C.月壤砖随空间站绕地球运行的速度一定小于第一宇宙速度
D.若空间站轨道高度略有降低，则其绕地运行的周期变大
√
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答案
月壤砖随空间站一起绕地球运行，在空间站中，月壤砖处于完全失重状态，但是仍然受到重力，故A错误。
根据牛顿第二定律有G=man
可得an=
可知天体绕地球运行的向心加速度与其质量没有关系，与环绕半径有关，飞船与空间站对接后一起绕地球运行，环绕半径相同，则飞船与空间站对接后二者的向心加速度相等，故B错误。
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答案
根据万有引力提供向心力有G=m
可得v=
又空间站绕地球运行的轨道半径大于地球半径，故月壤砖随空间站绕地球运行的速度一定小于第一宇宙速度，故C正确。
根据万有引力提供向心力有G=mr
可得T=2π
故空间站轨道高度略有降低，轨道半径减小，则其绕地运行的周期变小，故D错误。
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答案
5.千帆星座卫星具有覆盖范围广以及传输延迟低等优点，已知千帆星座的某颗卫星运行在距地球表面高度约为600 km的圆轨道上，地球半径为R=6 400 km，地球质量为M=5.97×1024 kg，引力常量G=6.67×10-11 N·m2/kg2。则
A.若轨道高度加倍，该卫星的线速度将变为原来的倍
B.该卫星的公转周期约为24小时
C.该卫星的公转速度大小约为3 km/s
D.该卫星的向心加速度大小约为8.1 m/s2
√
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答案
根据万有引力提供向心力有G=m，解得v=，可知轨道高度加倍，则线速度变小，故A错误；
根据万有引力提供向心力有G=m()2r，解得T=2π，因其轨道半径比同步卫星的小，故其周期一定比同步卫星的周期24小时小，故B错误；
由v=代入数据得v≈7.5 km/s，故C错误；
根据牛顿第二定律有G=ma，代入数据解得向心加速度大小a≈8.1 m/s2，故D正确。
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答案
6.史瓦西半径是任何有质量的物质都存在的一个临界半径，该半径的含义是：该物质被压缩到此半径时，就成为一个黑洞，即它的逃逸速度等于光速c。已知某星球的逃逸速度为其第一宇宙速度的倍，该星球半径R=6 400 km，表面重力加速度g取10 m/s2，光速c=3×108 m/s，不考虑星球的自转，则该星球的史瓦西半径约为
A.6 mm B.9 mm C.6 m D.9 m
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答案
对该星球，有=m，由黄金代换公式有GM=gR2，联立得史瓦西半径r=≈9×10-3 m，即9 mm。故选B。
7.(2025·北京卷·7)2024年6月，嫦娥六号探测器首次实现月球背面采样返回。如图所示，探测器在圆形轨道1上绕月球飞行，在A点变轨后进入椭圆轨道2，B为远月点。关于嫦娥六号探测器，下列说法正确的是
A.在轨道2上从A向B运动过程中动能逐渐减小
B.在轨道2上从A向B运动过程中加速度逐渐变大
C.在轨道2上机械能与在轨道1上相等
D.利用引力常量和轨道1的周期，可求出月球的质量
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答案
在轨道2上从A向B运动过程中，探测器远离月球，月球对探测器的引力做负功，根据动能定理，动能逐渐减小，A正确；
探测器受到万有引力，由G=ma，解得a=G，在轨道2上从A向B运动
过程中，r增大，加速度逐渐变小，B错误；
探测器在A点从轨道1变轨到轨道2，需要在A点加速，机械能增加，所以探测器在轨道2上机械能大于在轨道1上的机械能，C错误；
探测器在轨道1上做圆周运动，根据万有引力提供向心力，得G=mr，解得M=，利用引力常量G和轨道1的周期T，还需要知道轨道1的半径r，才能求出月球的质量，D错误。
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答案
8.(2025·浙江省浙南名校联盟一模)第二宇宙速度是在行星上发射一卫星挣脱行星引力束缚的最小发射速度。已知地球平均半径与火星平均半径之比为k1，两物体分别在离地球表面与离火星表面同样高度处做自由落体运动到达星球表面所花时间之比为k2；若取离行星无穷远处的引力势
能为零势能点，则行星与卫星间引力势能Ep=-G，其中M、m分别为
行星和卫星的质量，r为卫星与行星中心的距离，不考虑星球自转的影响。则地球的第二宇宙速度与火星的第二宇宙速度之比为
A. B. C. D.
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能力综合练
设地球的半径为R1，重力加速度为g1；火星的半径为R2，重力加速度为g2，则有=k1，两物体分别在离地球表面与离火星表面同样高度处做自由落体运动到达星球表面所花时间之比为k2，根据自由落体运动的公式有h=g1=g2，解得=，又从星球地面出发到脱离星球吸引需要提供的发射速度，即为第二宇宙速度；当卫星摆脱星球引力时到达无穷远，引力势能和动能都为零，则卫星从星球地面上发射后到脱离星球吸引，根据机械能守恒定律有m+Ep=0，卫星在星球表面上的引力势能为Ep=-G，又卫星静止在星球表面上时，万有引力等于重力，则有G=mg，联立解得第二宇宙速度为v2=，故地球的第二宇宙速度与火星的第二宇宙速度之比为==，故选C。
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9.(2025·浙江宁波市一模)2023年4月12日我国首颗综合性太阳探测卫星“夸父一号”准实时观测部分数据向国内外试开放，实现了数据共享，体现了大国担当。如图所示，“夸父一号”卫星和另一颗卫星S分别沿圆轨道和椭圆轨道绕地球逆时针运动，两轨道相交于A、B两点。已知“夸父一号”卫星的速度大小为v1，卫星S在椭圆轨道远地点P时速度大小为v2，椭圆轨道的近地点为Q，两颗卫星的运行周期相同，某时刻两卫星与地球在同一直线上，下列说法正确的是
A.两卫星在图示位置的速度v1>v2
B.从P点运动到Q点的过程中卫星S的机械能增加
C.两卫星通过A点时的加速度大小相等，但方向不同
D.在相等时间内卫星S与地心连线扫过的面积与“夸父一号”卫星与地心连线
扫过的面积相等
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设沿椭圆轨道运行卫星在远地点变轨成绕地球做匀速圆周运动，则需要在变轨处点火加速，可知v2小于变轨后圆轨道的运行速度v2'；卫星
绕地球做匀速圆周运动时，由万有引力提供向心力可得=，解得v=，可知v1>v2'，则两卫星在图示位置的速度v1>v2，A正确；
从P点运动到Q点的过程中，只有万有引力做功，机械能守恒，B错误；
两卫星在A处，都靠万有引力提供加速度，加速度大小相等，方向相同，C错误；
开普勒第二定律是指同一卫星在相等的时间内，与中心天体连线扫过的面积相等，而“夸父一号”卫星和另一颗卫星S不是同一卫星，在相等的时间内，与地心连线扫过的面积不一定相等，D错误。
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10.(2025·重庆卷·7)“金星凌日”时，从地球上看，金星就像镶嵌在太阳表面的小黑点。在地球上间距为d的两点同时观测，测得金星在太阳表面的小黑点相距为L，如图所示。地球和金星绕太阳的运动均视为匀速圆周运动，太阳直径远小于金星的轨道半径，则地球和金星绕太阳运动的
A.轨道半径之比为
B.周期之比为
C.线速度大小之比为
D.向心加速度大小之比为()2
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根据题意结合几何知识可知地球和金星绕太阳运动的轨道半径之比为=，故A错误；
根据万有引力提供向心力有=m()2r=m=ma，解得T=，v=，a=，故可得周期之比为=；线速度大小之比为=；向心加速度大小之比为=()2，故B、C错误，D正确。
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